Предел 1 sinx. Первый замечательный предел. Формула и следствия
Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции
|
Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).
S D МОА
=
S МОА =
=
S D C ОА =
Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:
sin x < x < tg x .
После почленного деления наsinx
:
или
Поскольку
,
то переменнаязаключена между двумя величинами,
имеющими один и тот же предел, т.е. , на
основании теоремы о пределе промежуточной
функции предыдущего пункта имеем:
-первый замечательный предел .
Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:
Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)
Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:
Ответ:-2.
Второй замечательный предел.
Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е :
Определение.
Предел переменной
величины
при
называется числом
е
:
- Второй замечательный предел
Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:
e = 2,7182818284…»2,7.
Теорема. Функция
при
х
, стремящемся к бесконечности,
стремится к пределу
е
:
Пример. Вычислите пределы функций:
Решение.
Согласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:
Кроме того, аналогичным образом можно
доказать, что
Ответ. 1)е 3 , 2) е 2 , 3)е 4 .
Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: е -5
Непрерывность функции Непрерывность функции в точке
Определение. Функция f ( x ), x Î ( a ; b ) x о Î ( a ; b ), если предел функции f ( x ) в точке х о существует и равен значению функции в этой точке:
.
Согласно данному определению, непрерывность функции f (x ) в точкех о означает выполнимость следующих условий:
функция f (x ) должна быть определена в точкех о ;
у функции f (x ) должен существовать предел в точкех о ;
предел функции f (x ) в точкех о должен совпадать со значением функции в этой точке.
Пример.
Функция f
(x
)
=
x
2
определена на всей числовой прямой и
непрерывна в точкех
= 1 посколькуf
(1)
= 1 и
Непрерывность функции на множестве
Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а,
2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.
3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точкеа.
Пример.
Функция f (x ) = x п , гдеn Î N , непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функцииf (x ) = x .
Функция f (x ) = с x п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.
Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.
Теорема 2 . Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения .
Пример.
Определение
Функция
f
(
x
)
называется непрерывной в точке
х
= а
, если в этой точке ее приращение
стремится
к нулю, когда приращение аргумента
стремится
к нулю, или иначе: функция
f
(х)
называется непрерывной в точке
х = а
, если в этой точке
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции, т. е. если
Формула второго замечательного предела имеет вид lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Другая форма записи выглядит так: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1 ∞ , т.е. единицей в бесконечной степени.
Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.
Пример 1
Найдите предел lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Решение
Подставим нужную формулу и выполним вычисления.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Если x → ∞ , тогда t → - ∞ .
Посмотрим, что у нас получилось после замены:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Ответ: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Пример 2
Вычислите предел lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Решение
Подставим бесконечность и получим следующее.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
После этого предел приобретает следующий вид:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Заменяем переменные. Допустим, что t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; если x → ∞ , то t → ∞ .
После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.
Ответ: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Пример 3
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
При замене t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Выводы
Неопределенность 1 ∞ , т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов
.
имеет вид .
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.
Необходимо вычислить предел
Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.
Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:
Получаем неопределенность .
Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:
Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:
Подставим решение первого замечательного примера и получаем:
Упрощаем дробь:
Ответ: 7/3.
Как видите – все очень просто.
Имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .
Необходимо вычислить предел
Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.
Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:
Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :
Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:
Не забываем выделять наш замечательный предел:
Вот такие действительно замечательные пределы
!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам
, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.
Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.
Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.
Мало информации? - Вы можете !
Можно писать математические вычисления в блокнотах. В блокноты с логотипом (http://www.blocnot.ru) индивидуальным писать намного приятней.
Собраны формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью первого замечательного предела. Даны подробные решения примеров с использованием первого замечательного предела его следствий.
СодержаниеСм. также: Доказательство первого замечательного предела и его следствий
Применяемые формулы, свойства и теоремы
Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется первый замечательный предел и его следствия.
Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.
- Первый замечательный предел и его следствия:
. - Тригонометрические формулы для синуса, косинуса , тангенса и котангенса :
;
;
;
при , ;
;
;
;
;
;
.
Примеры решений
Пример 1
Для этого.
1. Вычисляем предел .
Поскольку функция непрерывна для всех x
,
и в том числе в точке ,
то
.
2. Поскольку функция не определена (и, следовательно, не является непрерывной) при ,
то нам нужно убедиться, что существует такая проколотая окрестность точки ,
на которой .
В нашем случае при .
Поэтому это условие выполнено.
3. Вычисляем предел .
В нашем случае он равен первому замечательному пределу:
.
Таким образом,
.
Аналогичным образом, находим предел функции в знаменателе:
;
при ;
.
И наконец, применяем арифметические свойства предела функции :
.
Применим .
При .
Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ;
при .
Тогда .
Пример 2
Найдите предел:
.
Решение с помощью первого замечательного предела
При , , . Это неопределенность вида 0/0 .
Преобразуем функцию за знаком предела:
.
Сделаем замену переменной .
Поскольку и при ,
то
.
Аналогичным образом имеем:
.
Поскольку функция косинус непрерывна на всей числовой оси, то
.
Применяем арифметические свойства пределов:
.
Решение с помощью эквивалентных функций
Применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного .
При .
Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ;
при .
Тогда .
Пример 3
Найти предел:
.
Подставим в числитель и знаменатель дроби:
;
.
Это неопределенность вида 0/0
.
Попробуем решить этот пример с помощью первого замечательного предела. Поскольку в нем значение переменной стремится к нулю, то сделаем подстановку, чтобы новая переменная стремилась не к , а к нулю. Для этого от x перейдем к новой переменной t , сделав подстановку , . Тогда при , .
Предварительно преобразуем функцию за знаком предела, умножив числитель и знаменатель дроби на :
.
Подставим и воспользуемся приведенными выше тригонометрическими формулами.
;
;
.
Функция непрерывна при .
Находим ее предел:
.
Преобразуем вторую дробь и применим первый замечательный предел:
.
В числителе дроби мы сделали подстановку .
Применяем свойство предела произведения функций:
.
Пример 4
Найти предел:
.
При , , . У нас неопределенность вида 0/0 .
Преобразуем функцию под знаком предела. Применим формулу:
.
Подставим :
.
Преобразуем знаменатель:
.
Тогда
.
Поскольку и при ,
то сделаем подстановку ,
и применим теорему о пределе сложной функции и первый замечательный предел:
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Пример 5
Найдите предел функции:
.
Нетрудно убедиться, что в этом примере мы имеем неопределенность вида 0/0
.
Для ее раскрытия, применим результат предыдущей задачи, согласно которому
.
Введем обозначение:
(П5.1)
.
Тогда
(П5.2)
.
Из (П5.1) имеем:
.
Подставим в исходную функцию:
,
где ,
,
;
;
;
.
Используем (П5.2) и непрерывность функции косинус. Применяем арифметические свойства предела функции.
,
здесь m
- отличное от нуля число, ;
;
;
.
Пример 6
Найти предел:
.
При ,
числитель и знаменатель дроби стремятся к 0
.
Это неопределенность вида 0/0
.
Для ее раскрытия, преобразуем числитель дроби:
.
Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .
Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .
Числитель дроби:
.
Функция за знаком предела примет вид:
.
Найдем предел последнего множителя, учитывая его непрерывность при :
.
Применим тригонометрическую формулу:
.
Подставим ,
.
Тогда
.
Разделим числитель и знаменатель на ,
применим первый замечательный предел и одно из его следствий:
.
Окончательно имеем:
.
Примечание 1.
Также можно было применить формулу
.
Тогда .
Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.
Пример 1. Найти предел .
Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:
.
В знаменателе - синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:
.
В знаменателе - синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и получить выражение .
И приходим к разновидности первого замечательного предела:
потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.
Умножаем икс на три и тут же делим:
.
В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену дробного выражения:
Теперь можем окончательно решить данный предел:
.
Пример 2. Найти предел .
Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости "нуль делить на нуль":
.
Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как и далее, производя действия с дробями, получаем:
.
Пример 3. Найти предел .
Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":
.
Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем:
.
Пример 4. Найти предел .
Решение. Вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":
.
Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:
Пример 5. Найти предел .
Решение. И вновь неопределённость "нуль делить на нуль":
Помним из тригонометрии, что тангенс - это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем:
.
Пример 6. Найти предел .
Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела. Представляем его как отношение синуса к косинусу.