ما هي مساحة السطح الجانبية. مساحة السطح الجانبي والكامل للمخروط

- هذا شكل يقع في قاعدته مضلع عشوائي ، ويتم تمثيل الوجوه الجانبية بمثلثات. تقع رؤوسهم عند نقطة واحدة وتتوافق مع قمة الهرم.

يمكن أن يتنوع الهرم - مثلث ، رباعي الزوايا ، سداسي ، إلخ. يمكن تحديد اسمه اعتمادًا على عدد الزوايا المجاورة للقاعدة.
الهرم الصحيحيسمى الهرم ، حيث تكون جوانب القاعدة والزوايا والحواف متساوية. أيضًا ، في مثل هذا الهرم ، ستكون مساحة الوجوه الجانبية متساوية.
صيغة مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع مساحات كل أوجهه:
أي لحساب مساحة السطح الجانبي للهرم التعسفي ، من الضروري إيجاد مساحة كل مثلث فردي وإضافتهما معًا. إذا تم قطع الهرم ، فسيتم تمثيل وجوهه بواسطة شبه منحرف. الهرم الصحيح هناك معادلة أخرى. في ذلك ، يتم حساب مساحة السطح الجانبي من خلال نصف مقياس القاعدة وطول الهيكل:

ضع في اعتبارك مثالاً لحساب مساحة السطح الجانبي للهرم.
دعونا نعطي هرم منتظم رباعي الزوايا. جانب القاعدة ب= 6 سم ، و apothem أ\ u003d 8 سم. أوجد مساحة السطح الجانبي.

يوجد مربع عند قاعدة الهرم المنتظم. أولاً ، لنجد محيطه:

الآن يمكننا حساب مساحة السطح الجانبي لهرمنا:

لإيجاد المساحة الكلية لمجسم متعدد الوجوه ، عليك إيجاد مساحة قاعدته. قد تختلف صيغة مساحة قاعدة الهرم ، اعتمادًا على المضلع الذي يقع في القاعدة. للقيام بذلك ، استخدم صيغة مساحة المثلث ، منطقة متوازي الأضلاعإلخ.

ضع في اعتبارك مثالًا لحساب مساحة قاعدة الهرم المعطاة وفقًا لشروطنا. بما أن الهرم منتظم ، فهو يحتوي على مربع في قاعدته.
مساحة مربعةمحسوبة بالصيغة:،
حيث أ هو جانب المربع. لدينا تساوي 6 سم ، إذن مساحة قاعدة الهرم:

الآن يبقى فقط إيجاد المساحة الإجمالية لمجسم متعدد السطوح. معادلة مساحة الهرم هي مجموع مساحة قاعدته وسطحه الجانبي.

مساحة السطح الجانبي للهرم العشوائي تساوي مجموع مساحات الوجوه الجانبية. من المنطقي إعطاء صيغة خاصة للتعبير عن هذه المنطقة في حالة الهرم المنتظم. إذن ، دعونا نعطي هرمًا منتظمًا يقع في قاعدته n-gon منتظم مع ضلع يساوي a. دع h يكون ارتفاع الوجه الجانبي ، ويسمى أيضًا عتمةالاهرام. مساحة وجه جانب واحد هي 1/2ah ، والسطح الجانبي للهرم بأكمله مساحته ن / 2 هكتار. نظرًا لأن na محيط قاعدة الهرم ، يمكننا كتابة الصيغة الموجودة على النحو التالي :

مساحة السطح الجانبيلهرم منتظم يساوي حاصل ضرب محيطه بنصف محيط القاعدة.

بخصوص المساحة الإجمالية، ثم قم ببساطة بإضافة مساحة القاعدة إلى الجانب.

الكرة والكرة منقوشة ومحدودة. وتجدر الإشارة إلى أن مركز الكرة المدرج في الهرم يقع عند تقاطع مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم. يقع مركز الكرة الموصوفة بالقرب من الهرم عند تقاطع المستويات التي تمر عبر نقاط المنتصف لحواف الهرم والعمودية عليها.

الهرم المقطوع.إذا تم قطع الهرم بمستوى موازي لقاعدته ، فإن الجزء المحاط بين مستوى القطع والقاعدة يسمى هرم مبتور.يوضح الشكل هرمًا ، يتجاهل جزءه الموجود فوق مستوى القطع ، نحصل على هرم مبتور. من الواضح أن الهرم الصغير المراد التخلص منه متماثل مع الهرم الكبير مع مركز التماثل في قمته. معامل التشابه يساوي نسبة الارتفاع: k = h 2 / h 1 ، أو الأضلاع الجانبية ، أو الأبعاد الخطية المقابلة لكلا الهرم. نحن نعلم أن مناطق الأشكال المتشابهة مرتبطة كمربعات ذات أبعاد خطية ؛ لذلك فإن مناطق قواعد كلا الهرم (أي قطع قواعد الهرم المقطوع) مرتبطة

هنا S 1 هي مساحة القاعدة السفلية ، و S 2 هي مساحة القاعدة العلوية للهرم المقطوع. الأسطح الجانبية للأهرامات بنفس النسبة. هناك قاعدة مماثلة للأحجام.

أحجام الهيئات المتشابهةترتبط كمكعبات بأبعادها الخطية ؛ على سبيل المثال ، ترتبط أحجام الأهرامات كمنتجات ارتفاعاتها بمساحة القواعد ، والتي يتبعها حكمنا مباشرة. إنه ذو طابع عام تمامًا ويتبع مباشرة حقيقة أن الحجم دائمًا ما يكون له أبعاد القوة الثالثة للطول. باستخدام هذه القاعدة ، نشتق صيغة تعبر عن حجم الهرم المقطوع بدلالة الارتفاع ومساحات القواعد.

دع هرمًا مبتورًا بارتفاع h ومساحة القاعدة S 1 و S 2. إذا تخيلنا أنه يمتد إلى الهرم الكامل ، فيمكن بسهولة إيجاد معامل التشابه بين الهرم الكامل والهرم الصغير كجذر للنسبة S 2 / S 1. يتم التعبير عن ارتفاع الهرم المقطوع بالصيغة h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). الآن لدينا حجم الهرم المقطوع (V 1 و V 2 تدل على أحجام الهرم الكامل والصغير)

صيغة حجم الهرم المقطوع

نشتق صيغة المساحة S للسطح الجانبي لهرم مبتور منتظم عبر المحيطين P 1 و P 2 للقواعد وطول الهيكل a. نجادل بالطريقة نفسها تمامًا كما هو الحال عند اشتقاق صيغة الحجم. نحن نكمل الهرم بالجزء العلوي ، لدينا P 2 \ u003d kP 1 ، S 2 \ u003d k 2 S 1 ، حيث k هي معامل التشابه ، P 1 و P 2 هي محيط القواعد ، و S 1 و S 2 هي خيول الأسطح الجانبية للهرم الناتج بأكمله وقمة ، على التوالي. بالنسبة للسطح الجانبي نجد (a 1 و a 2 - apothems of the Pyramids ، a \ u003d a 1 - a 2 \ u003d a 1 (1-k))

صيغة مساحة السطح الجانبية لهرم مبتور منتظم

عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع جميع المعلومات المعروفة ، على سبيل المثال ، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك ، بدءًا من القاعدة والجوانب الجانبية إلى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الموقف واضحًا مع الوجوه الجانبية ، نظرًا لأنها مثلثات ، فإن القاعدة تكون مختلفة دائمًا.

ماذا تفعل عند إيجاد مساحة قاعدة الهرم؟

يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة ، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا ، يمكن أن تكون شكلًا عاديًا أو غير صحيح. في مهام الاستخدام التي تهم تلاميذ المدارس ، لا توجد سوى مهام ذات الأرقام الصحيحة في القاعدة. لذلك ، سنتحدث عنها فقط.

مثلث قائم

هذا هو متساوي الأضلاع. واحد حيث جميع الأطراف متساوية ويشار إليه بالحرف "أ". في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:

S = (أ 2 * √3) / 4.

مربع

معادلة حساب مساحتها هي الأبسط ، وهنا يكون "أ" هو الضلع مرة أخرى:

العادية التعسفية n-gon

جانب المضلع له نفس التسمية. لعدد الزوايا ، يتم استخدام الحرف اللاتيني n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).

كيف يتم المتابعة عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟

نظرًا لأن القاعدة شكل منتظم ، فإن جميع أوجه الهرم متساوية. علاوة على ذلك ، كل واحد منهم هو مثلث متساوي الساقين ، لأن الحواف الجانبية متساوية. بعد ذلك ، من أجل حساب المساحة الجانبية للهرم ، تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع المونوميرات المتطابقة. يتم تحديد عدد الحدود من خلال عدد جوانب القاعدة.

يتم حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالصيغة التي يتم فيها ضرب نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم يسمى apothem. تعيينها هو "أ". الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبية هي:

S \ u003d ½ P * A ، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.

هناك حالات عندما تكون جوانب القاعدة غير معروفة ، ولكن يتم إعطاء الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند قمتها (α). ثم من المفترض استخدام هذه الصيغة لحساب المساحة الجانبية للهرم:

S = n / 2 * في 2 sin α .

مهمة 1

شرط.أوجد المساحة الكلية للهرم ، إذا كانت قاعدته تقع في ضلع يبلغ 4 سم ، وكانت قيمة العمود الفقري 3 سم.

المحلول.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. نظرًا لأن هذا مثلث عادي ، إذن P \ u003d 3 * 4 \ u003d 12 سم. نظرًا لأن apothem معروف ، يمكنك على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½ * 12 * √3 = 6 √3 سم 2.

بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة ، سيتم الحصول على قيمة المساحة التالية: (4 2 * √3) / 4 \ u003d 4√3 سم 2.

لتحديد المساحة بأكملها ، ستحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم 2.

إجابه. 10√3 سم 2.

المهمة رقم 2

شرط. يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 مم ، الحافة الجانبية 16 مم. تحتاج إلى معرفة مساحة سطحه.

المحلول.نظرًا لأن متعدد السطوح رباعي الزوايا ومنتظم ، فإن قاعدته مربعة. بعد معرفة مناطق القاعدة والجوانب الجانبية ، سيكون من الممكن حساب مساحة الهرم. صيغة المربع معطاة أعلاه. وفي الوجوه الجانبية ، جميع جوانب المثلث معروفة. لذلك ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مساحتها.

الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم 2. بالنسبة للقيمة الثانية ، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 مم. يمكنك الآن حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 ملم 2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل ، لذلك عند حساب الرقم النهائي ، ستحتاج إلى ضربه في 4.

اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.

إجابه. القيمة المطلوبة 267.576 ملم 2.

المهمة رقم 3

شرط. للحصول على هرم رباعي الزوايا منتظم ، تحتاج إلى حساب المنطقة. فيه طول ضلع المربع ٦ سم والارتفاع ٤ سم.

المحلول.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والنقطة. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني أكثر صعوبة بقليل.

علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقسم ، وهو الوتر. الضلع الثاني يساوي نصف جانب المربع ، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.

الطول المطلوب (وتر المثلث القائم الزاوية) هو √ (3 2 + 4 2) = 5 (سم).

يمكنك الآن حساب القيمة المطلوبة: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \ u003d 96 (سم 2).

إجابه. 96 سم 2.

المهمة رقم 4

شرط.الجانب الصحيح من قاعدته 22 مم ، الأضلاع الجانبية 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبي لهذا متعدد السطوح؟

المحلول.المنطق فيه هو نفسه الموصوف في المشكلة رقم 2. فقط هناك تم إعطاء هرم به مربع في قاعدته ، وهو الآن شكل سداسي.

بادئ ذي بدء ، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة أعلاه: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 سم 2.

أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط المثلث متساوي الساقين ، وهو وجه جانبي. (22 + 61 * 2): 2 = 72 سم ويبقى حساب مساحة كل مثلث باستخدام صيغة هيرون ، ثم اضربها في ستة وأضفها إلى تلك التي تحولت إلى يتمركز.

الحسابات باستخدام صيغة Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \ u003d √ 435600 = 660 سم 2. الحسابات التي ستعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم 2. يبقى جمعها لمعرفة السطح بالكامل: 5217.47≈5217 سم 2.

إجابه.القاعدة - 726√3 سم 2 ، السطح الجانبي - 3960 سم 2 ، المساحة بأكملها - 5217 سم 2.

نعلم ما هو المخروط ، فلنحاول إيجاد مساحة سطحه. لماذا من الضروري حل مثل هذه المشكلة؟ على سبيل المثال ، أنت بحاجة إلى فهم مقدار العجين الذي ستستخدمه لصنع كعكة الوافل؟ أو كم عدد الطوب الذي يتطلبه وضع سقف القرميد لقلعة؟

ليس من السهل قياس مساحة السطح الجانبية للمخروط. لكن تخيل نفس القرن ملفوفًا بقطعة قماش. للعثور على مساحة قطعة القماش ، عليك قصها ونشرها على الطاولة. نحصل على شكل مسطح ، يمكننا إيجاد مساحته.

أرز. 1. قسم من المخروط على طول المولد

لنفعل الشيء نفسه مع المخروط. دعونا "نقطع" سطحه الجانبي على طول أي مولد ، على سبيل المثال ، (انظر الشكل 1).

نحن الآن "نفك" السطح الجانبي على متن طائرة. نحصل على قطاع. مركز هذا القطاع هو الجزء العلوي من المخروط ، ونصف قطر القطاع يساوي المصفوفة التوليدية للمخروط ، وطول قوسه يتطابق مع محيط قاعدة المخروط. يسمى هذا القطاع بتطور السطح الجانبي للمخروط (انظر الشكل 2).

أرز. 2. تطوير السطح الجانبي

أرز. 3. قياس الزاوية بالتقدير الدائري

دعنا نحاول إيجاد مساحة القطاع وفقًا للبيانات المتاحة. أولاً ، دعنا نقدم رمزًا: اجعل الزاوية أعلى القطاع بوحدات الراديان (انظر الشكل 3).

سنواجه في كثير من الأحيان الزاوية في الجزء العلوي من عملية المسح في المهام. في هذه الأثناء ، دعنا نحاول الإجابة على السؤال: ألا يمكن أن تكون هذه الزاوية أكثر من 360 درجة؟ أي ، ألن يتضح أن المسح سوف يركب نفسه؟ بالطبع لا. دعنا نثبت ذلك رياضيا. دع الاجتياح "يتداخل" مع نفسه. هذا يعني أن طول قوس الاجتياح أكبر من محيط نصف القطر. ولكن ، كما ذكرنا سابقًا ، فإن طول قوس الاجتياح هو محيط نصف القطر. ونصف قطر قاعدة المخروط ، بالطبع ، أقل من المصفوفة ، على سبيل المثال ، لأن ضلع المثلث القائم أصغر من الوتر

ثم دعونا نتذكر صيغتين من مسار قياس الكواكب: طول القوس. منطقة القطاع:.

في حالتنا ، يتم لعب الدور بواسطة المولد , وطول القوس يساوي محيط قاعدة المخروط أي. لدينا:

أخيرًا نحصل على:

إلى جانب مساحة السطح الجانبية ، يمكن أيضًا العثور على إجمالي مساحة السطح. للقيام بذلك ، أضف مساحة القاعدة إلى مساحة السطح الجانبية. لكن القاعدة عبارة عن دائرة نصف قطرها مساحتها وفقًا للصيغة.

أخيرًا لدينا: , أين هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة ، هو المولد.

لنحل مشكلتين في الصيغ المعطاة.

أرز. 4. الزاوية المرغوبة

مثال 1. تطور السطح الجانبي للمخروط هو قطاع بزاوية عند القمة. أوجد هذه الزاوية إذا كان ارتفاع المخروط 4 سم ونصف قطر القاعدة 3 سم (انظر الشكل 4).

أرز. 5. مثلث قائم الزاوية يشكل مخروط

من خلال الإجراء الأول ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نجد المولد: 5 سم (انظر الشكل 5). علاوة على ذلك ، نحن نعلم ذلك .

مثال 2. مساحة المقطع المحوري للمخروط ، الارتفاع. أوجد مساحة السطح الكلية (انظر الشكل 6).

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.