ما هو نصف محيط الدائرة؟ رسم نظام المعادلات

إذا كانت الكميات مثل طول الدائرة أو نصف قطرها أو مساحة الدائرة المحددة بدائرة معينة معروفة في المشكلة، فلن يكون حساب القطر صعبًا. هناك عدة طرق يمكنك من خلالها حساب قطر الدائرة. إنها بسيطة للغاية ولا تسبب أي صعوبات على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس للوهلة الأولى.

كيفية العثور على قطر الدائرة - طريقة واحدة

عند إعطاء قيمة نصف قطر الدائرة، يمكن اعتبار المشكلة نصف محلولة، لأن نصف القطر هو المسافة من نقطة تقع في أي مكان على الدائرة إلى مركز هذه الدائرة بالذات. كل ما عليك فعله للعثور على القطر في هذه الحالة هو ضرب قيمة نصف القطر المعطاة بـ 2. يتم تفسير طريقة الحساب هذه بحقيقة أن نصف القطر يساوي نصف القطر. لذلك، إذا كان معروفًا ما هو نصف القطر، فقد تم بالفعل العثور على قيمة نصف القطر المطلوب.

كيفية العثور على قطر الدائرة - الطريقة الثانية

إذا كانت المسألة معطاة فقط محيط الدائرة، فعندئذ للعثور على القطر تحتاج ببساطة إلى قسمته على رقم يعرف باسم π، والذي له قيمة تقريبية تبلغ 3.14. أي إذا كانت قيمة الطول 31.4، فقسمتها على 3.14، نحصل على قيمة القطر، وهي 10.

كيفية العثور على قطر الدائرة - الطريقة الثالثة

إذا كانت البيانات المصدر تحتوي على مساحة الدائرة، فمن السهل أيضًا العثور على القطر. كل ما عليك فعله هو استخراج الجذر التربيعيمن قيمة معينة وتقسيم النتيجة على الرقم π. وهذا يعني أنه إذا كانت قيمة المساحة 64، فعندما يتم استخراج الجذر، يبقى الرقم 8. وإذا قسمنا 8 الناتجة على 3.14، نحصل على قيمة قطر تساوي 2.5 تقريبًا.

كيفية العثور على قطر الدائرة - الطريقة الرابعة

داخل الدائرة تحتاج إلى رسم خط أفقي مستقيم من نقطة إلى أخرى باستخدام مسطرة أو مربع. قم بتسمية تقاطعات هذا الخط بخط في دائرة بأحرف، على سبيل المثال، A و B. ولا يهم في أي جزء من الدائرة يقع هذا الخط.

بعد ذلك، تحتاج إلى رسم دائرتين أخريين. ولكن بطريقة تصبح النقطتان A وB مركزيهما. سوف تتقاطع الأشكال المشكلة حديثًا عند نقطتين. تحتاج إلى رسم خط مستقيم آخر من خلالهم. بعد ذلك، قم بقياس طوله باستخدام المسطرة. وستكون قيمة القياس مساوية لطول القطر، لأن الخط الأخير المرسوم هو القطر نفسه.

ومن المثير للاهتمام أنه في الماضي البعيد، لنسج سلال بحجم معين، تم أخذ أغصان أطول بحوالي 3 مرات. لقد أوضح العلماء وأثبتوا تجريبياً أنه إذا قسم طول أي دائرة على قطرها، كان الناتج نفس العدد تقريباً.

- هذا شخصية مسطحةوهي عبارة عن مجموعة من النقاط متساوية البعد عن المركز. جميعهم على نفس المسافة ويشكلون دائرة.

يسمى الجزء الذي يصل مركز الدائرة بالنقاط الموجودة على محيطها نصف القطر. في كل دائرة، جميع أنصاف الأقطار متساوية مع بعضها البعض. يسمى الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين في الدائرة ويمر بمركزها قطر الدائرة. يتم حساب صيغة مساحة الدائرة باستخدام ثابت رياضي - الرقم π..

هذا مثير للاهتمام : الرقم π. يمثل نسبة محيط الدائرة إلى طول قطرها وهي قيمة ثابتة. تم استخدام القيمة π = 3.1415926 بعد عمل L. Euler في عام 1737.

يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام الثابت π. ونصف قطر الدائرة. تبدو صيغة مساحة الدائرة من حيث نصف القطر كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام نصف القطر. دعونا نحصل على دائرة نصف قطرها R = 4 سم.

مساحة دائرتنا ستكون 50.24 مترًا مربعًا. سم.

هناك صيغة مساحة الدائرة من خلال القطر. كما أنه يستخدم على نطاق واسع لحساب المعلمات الضرورية. يمكن استخدام هذه الصيغ للعثور على.

لنأخذ مثالاً لحساب مساحة دائرة من خلال قطرها، ومعرفة نصف قطرها. لنحصل على دائرة نصف قطرها R = 4 سم. أولًا، دعونا نوجد القطر، والذي كما نعلم يساوي ضعف نصف القطر.


الآن نستخدم البيانات كمثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة أعلاه:

كما ترون، فإن النتيجة هي نفس الإجابة كما في الحسابات الأولى.

ستساعدك معرفة الصيغ القياسية لحساب مساحة الدائرة على تحديدها بسهولة في المستقبل منطقة القطاعوالعثور بسهولة على القيم المفقودة.

نحن نعلم بالفعل أن صيغة مساحة الدائرة يتم حسابها بضرب القيمة الثابتة π في مربع نصف قطر الدائرة. يمكن التعبير عن نصف القطر من حيث المحيط واستبدال التعبير في صيغة مساحة الدائرة من حيث المحيط:
الآن دعونا نستبدل هذه المساواة في صيغة حساب مساحة الدائرة ونحصل على صيغة لإيجاد مساحة الدائرة باستخدام المحيط

لنفكر في مثال لحساب مساحة الدائرة باستخدام المحيط. دع الدائرة التي طولها l = 8 cm تعوض بالقيمة في الصيغة المشتقة:

المساحة الإجمالية للدائرة ستكون 5 أمتار مربعة. سم.

مساحة دائرة محاطة بمربع

من السهل جدًا العثور على مساحة الدائرة المحيطة بالمربع.

للقيام بذلك، ما عليك سوى جانب المربع ومعرفة الصيغ البسيطة. سيكون قطر المربع مساوياً لقطر الدائرة المقيدة. بمعرفة الضلع أ يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس: من هنا.
بعد أن نجد القطر، يمكننا حساب نصف القطر: .
وبعد ذلك سنعوض كل شيء في الصيغة الأساسية لمساحة الدائرة المحيطة بالمربع:

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من المساحة الداخلية، فهو لا ينتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو قطر الدائرةهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحتوي القرص المضغوط الوتر على قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

1. استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD للدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من نقطتنا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المنقوشة، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مباشر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي يتقاطع فيها المنصفان زوايا داخليةالشكل، سيكون مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

دائرة حولها

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

لنأخذ البوصلة. لنضع ساق البوصلة مع الإبرة عند النقطة "O"، ونقوم بتدوير ساق البوصلة بقلم الرصاص حول هذه النقطة. وهكذا نحصل على خط مغلق. يسمى هذا الخط المغلق - دائرة.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على الدائرة. دعونا نتعرف على ما يسمى بمركز الدائرة ونصف قطرها وقطرها.

• (·) يا يسمى مركز الدائرة.
• يُسمى الجزء الذي يصل المركز بأي نقطة على الدائرة نصف قطر الدائرة. يُشار إلى نصف قطر الدائرة بالحرف "R". في الشكل أعلاه، هذا هو الجزء "OA".
• يسمى الجزء الذي يصل بين نقطتين في الدائرة ويمر بمركزها قطر الدائرة.

  يُشار إلى قطر الدائرة بالحرف "D". في الشكل أعلاه، هذا هو الجزء "BC".

  يوضح الشكل أيضًا أن القطر يساوي نصف قطر. ولذلك فإن التعبير "D = 2R" صالح.

الرقم π والمحيط

قبل أن تتعرف على كيفية حساب محيط الدائرة، عليك أن تعرف ما هو الرقم π (يُقرأ باسم "Pi")، والذي يتم ذكره كثيرًا في الدروس.

في العصور البعيدة للرياضيات اليونان القديمةدرس الدائرة بعناية وتوصل إلى نتيجة مفادها أن طول الدائرة وقطرها مترابطان.

يتذكر!

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي نفسها بالنسبة لجميع الدوائر ويشار إليها الرسالة اليونانيةπ ("بي").
π ≈ 3.14…

يشير الرقم "Pi" إلى الأرقام القيمة الدقيقةوالتي لا يمكن تدوينها باستخدام الكسور العاديةولا بمساعدة الكسور العشرية. لإجراء حساباتنا يكفي أن نستخدم القيمة π،
تقريب إلى المركز المائة π ≈ 3.14...

الآن، بعد أن عرفنا ما هو الرقم π، يمكننا كتابة صيغة المحيط.

يتذكر!

محيطهو حاصل ضرب العدد π في قطر الدائرة. يُشار إلى محيط الدائرة بالحرف "C" (يُقرأ باسم "Tse").
ج= بي د
ج = 2ط ر، حيث أن D = 2R

كيفية العثور على محيط الدائرة

لتعزيز المعرفة المكتسبة، دعونا نحل مشكلة على شكل دائرة.

فيلينكين الصف السادس. رقم 831

المهمة:

أوجد محيط الدائرة التي نصف قطرها ٢٤ سم، قرب العدد π إلى أقرب جزء من مائة.

دعونا نستخدم صيغة المحيط:

ج = 2π ر ≈ 2 3.14 24 ≈ 150.72 سم

دعونا نحلل المسألة العكسية، عندما نعرف محيط الدائرة، ويطلب منا إيجاد قطرها.

فيلينكين الصف السادس. رقم 835

المهمة:

حدد قطر الدائرة إذا كان طولها 56.52 dm. (π ≈ 3.14).

دعونا نعبر عن القطر من صيغة محيط الدائرة.

ج= بي د
د = ج / π
د = 56.52 / 3.14 = 18مارك ألماني

وتر وقوس الدائرة

في الشكل أدناه، ضع علامة على النقطتين "أ" و"ب" على الدائرة. تقسم هذه النقاط الدائرة إلى قسمين يسمى كل منهما قوس. هذه هي القوس الأزرق "AB" والقوس الأسود "AB". يتم استدعاء النقطتين "أ" و "ب". نهايات الأقواس.