المعادلات غير المنطقية. التحضير لامتحان الرياضيات للمستوى الأساسي والملف الشخصي. معادلات بسيطة في متغير واحد

اليوم سنقوم بتدريب مهارة حل المهمة 5 من الاستخدام - ابحث عن جذر المعادلة. لنبحث عن جذر المعادلة. ضع في اعتبارك أمثلة لحل مثل هذه المهام. لكن أولاً ، لنتذكر - ما معنى ذلك - لإيجاد جذر المعادلة؟

هذا يعني إيجاد رقم مشفر تحت x ، والذي سنعوضه عن x وستكون معادلتنا مساواة حقيقية.

على سبيل المثال ، 3 س = 9 معادلة و 3. 3 = 9 هي بالفعل مساواة حقيقية. أي في هذه الحالة ، استبدلنا الرقم 3 بدلاً من x - حصلنا على التعبير الصحيح أو المساواة ، مما يعني أننا حللنا المعادلة ، أي وجدنا الرقم المعطى x = 3 ، والذي يحول المعادلة إلى a المساواة الحقيقية.

هذا ما سنفعله - سنجد جذر المعادلة.

المهمة 1 - أوجد جذر المعادلة 2 1-4x = 32

هذه معادلة أسية. يتم حلها على النحو التالي - من الضروري أن تكون هناك درجة بنفس القاعدة على يسار ويمين علامة "المساواة".

على اليسار لدينا قاعدة من الدرجة 2 ، وعلى اليمين لا توجد درجة على الإطلاق. لكننا نعلم أن 32 يساوي 2 أس خمسة. أي 32 = 2 5

وبالتالي ، ستبدو معادلتنا كما يلي: 2 1-4x \ u003d 2 5

على اليسار واليمين ، قواعد الدرجة الخاصة بنا هي نفسها ، مما يعني أنه لكي نحصل على المساواة ، يجب أن يكون الأسس متساويين:

نحصل على معادلة عادية. نحل بالطريقة المعتادة - نترك كل المجهول على اليسار ، وننقل المعلومة إلى اليمين ، نحصل على:

الفحص: 2 1-4 (-1) = 32

لقد وجدنا جذر المعادلة. الجواب: س = -1.

ابحث عن جذر المعادلة بنفسك في المهام التالية:

ب) 2 1-3x \ u003d 128

المهمة 2 - ابحث عن جذر المعادلة

نحل المعادلة بطريقة مماثلة - عن طريق تقريب الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة إلى نفس قاعدة الدرجة. في حالتنا ، إلى أساس الدرجة 2.

نستخدم خاصية الدرجة التالية:

من خلال هذه الخاصية ، نحصل على الجانب الأيمن من معادلتنا:

إذا كانت أساسات الأس متساوية ، فإن الأسس متساويان:

الجواب: س = 9.

دعونا نجري فحصًا - استبدلنا القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية - إذا حصلنا على المساواة الصحيحة ، فسنحل المعادلة بشكل صحيح.

لقد وجدنا جذر المعادلة بشكل صحيح.

المهمة 3 - ابحث عن جذر المعادلة

لاحظ أن لدينا 1/8 على اليمين ، و 1/8 هي

ثم ستتم كتابة معادلتنا على النحو التالي:

إذا كانت أسس الدرجة متساوية ، فإن الأسس متساويان ، نحصل على معادلة بسيطة:

الجواب: س = 5. قم بالتحقق بنفسك.

المهمة 4 - أوجد جذر المعادلة 3 (15's) = log 3 2

يتم حل هذه المعادلة بنفس طريقة حل المعادلة الأسية. نريد أن تكون قواعد اللوغاريتمات على يسار ويمين إشارة التساوي متساوية. الآن هي نفسها ، لذلك نحن نساوي تلك التعبيرات التي تقع تحت علامة اللوغاريتمات:

الجواب: س = 13

المهمة 5 - ابحث عن جذر سجل المعادلة 3 (3-x) = 3

الرقم 3 هو log 3 27. لتوضيح ذلك أدناه ، فإن الرمز الموجود أسفل علامة اللوغاريتم هو الرقم الذي يتم رفعه إلى الأس ، في حالتنا 3 ، فإن علامة اللوغاريتم هي الرقم الذي ظهر عند رفعه إلى الأس 27 ، واللوغاريتم نفسه هو الأس الذي تحتاج إلى رفعه 3 للحصول على 27.

انظر الى الصورة:

وبالتالي ، يمكن كتابة أي رقم كلوغاريتم. في هذه الحالة ، من الملائم جدًا كتابة الرقم 3 كلوغاريتم بالأساس 3. نحصل على:

سجل 3 (3-س) = سجل 3 27

قواعد اللوغاريتمات متساوية ، مما يعني أن الأرقام الموجودة تحت علامة اللوغاريتم متساوية أيضًا:

دعونا تحقق:

سجل 3 (3 - (- 24)) = سجل 3 27

سجل 3 (3 + 24) = سجل 3 27

سجل 3 27 = سجل 3 27

الجواب: س = -24.

أوجد جذر المعادلة. المهمة 6.

تسجيل 2 (x + 3) = تسجيل 2 (3x-15)

تحقق: تسجيل 2 (9 + 3) = تسجيل 2 (27-15)

سجل 2 12 = سجل 2 12

الجواب: س = 9.

أوجد جذر المعادلة. المهمة 7.

تسجيل 2 (14-2x) = 2 سجل 2 3

تسجيل 2 (14-2x) = تسجيل 2 3 2

تحقق: سجل 2 (14-5) = 2 سجل 2 3

تسجيل 29 = 2log23

سجل 2 3 2 = 2 سجل 2 3

2 سجل 2 3 = 2 سجل 2 3

الجواب: س = 2.5

استعد للامتحان ولـ OGE - انظر الموضوعات السابقة و.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

معادلات في استخدام الرياضيات أمثلة وحلول Kravchenko N.A. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية رقم 891 موسكو عرض تعليمي للتحضير للامتحان

المحتويات شرح المهمة مثال 1 (معادلة غير منطقية) مثال 2 (معادلة أسية) مثال 3 (معادلة غير منطقية) مثال 4 (معادلة كسرية منطقية) مثال 5 (معادلة لوغاريتمية) مثال 6 (معادلة لوغاريتمية) مثال 7 (معادلة مثلثية) مثال 8 (المعادلة الأسية) مثال 9 (معادلة غير منطقية) مثال 10 (معادلة لوغاريتمية)

نوع التخصيص: المعادلة. صفة المهمة: معادلة أسية بسيطة أو لوغاريتمية أو مثلثية أو غير منطقية. التعليق: يتم تقليل المعادلة في خطوة واحدة إلى خطي أو مربع واحد (في هذه الحالة ، يجب الإشارة إلى واحد فقط من الجذور في الإجابة - أكبر أو أصغر). ترتبط الإجابات غير الصحيحة بشكل أساسي بالأخطاء الحسابية.

حل المعادلة. مثال 1 الحل. دعنا نربّع: بعد ذلك ، ننتقل من حيث الإجابة: -2

مثال 2 حل المعادلة. قرار. دعنا ننتقل إلى قاعدة واحدة من الدرجة: من المساواة في القواعد يذهب إلى المساواة في الدرجات: من حيث الإجابة: 3

مثال 3 حل المعادلة. قرار. دعنا نرفع كلا طرفي المعادلة إلى القوة الثالثة: بعد التحويلات الأولية ، نحصل على: الإجابة: 23

مثال 4 حل المعادلة. إذا كانت المعادلة تحتوي على أكثر من جذر واحد ، فأشر إلى الجذر الأصغر في إجابتك. قرار. النطاق المسموح به: x ≠ 10. في هذه المنطقة ، نضرب في المقام: كلا الجذور تقع في ODZ. الأصغر هو −3. الجواب: -3

مثال 5 حل المعادلة. قرار. باستخدام الصيغة نحصل على: الإجابة: 6

مثال 6 حل المعادلة. قرار. إن لوغاريتمي تعبيرين متساويين إذا كانت التعابير نفسها متساوية وفي نفس الوقت موجبة: من حيث نحصل على الإجابة: 6

مثال 7 حل المعادلة. أعط إجابتك أصغر جذر موجب. قرار. لنحل المعادلة:

تتوافق القيم مع جذور موجبة كبيرة. إذا كان k = 1 ، فإن x 1 = 6.5 و x 2 = 8.5. إذا كان k = 0 ، فإن x 3 = 0.5 و x 4 = 2.5. القيم تتوافق مع القيم الأصغر للجذور. أصغر حل إيجابي هو 0.5. الجواب: 0.5

مثال 8 حل المعادلة. قرار. بإحضار الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة إلى قوى 6 ، نحصل على: أين تعني ، الإجابة: 2

مثال 9 حل المعادلة. قرار. بتربيع طرفي المعادلة ، نحصل على: من الواضح من حيث الإجابة: 5

مثال 10 حل المعادلة. قرار. دعنا نعيد كتابة المعادلة بحيث يكون هناك لوغاريتم أساس 4 على كلا الجانبين: علاوة على ذلك ، من الواضح من أين تأتي الإجابة: -11

تم أخذ المواد المستخدمة من الموقع: http://reshuege.ru pd-1 & p = 3 & text = equations٪ 20images & noreask = 1 & pos = 100 & rpt = simage & lr = 213 & img_url = http٪ 3A٪ 2F٪ 2Fwww.presentermedia.com٪ 2Ffiles٪ 2Fclipart ٪ 2F00003000٪ 2F3804٪ 2Fdrawing_math_equation_pc_md_wm.jpg

حول الموضوع: التطورات المنهجية والعروض التقديمية والملاحظات

عمل المشروع منهجية لإعداد الطلاب لحل المشكلات المتعلقة بموضوعي "مشاكل الحركة" و "مشاكل الخلائط والسبائك" ، المدرجة في امتحان الرياضيات.

الفكرة السائدة للمكوِّن الفيدرالي للمعيار التعليمي للولاية في الرياضيات هي التطوير المكثف للتفكير المنطقي ، والخيال المكاني ، والعلم ...

المهام ذات التوجه الموضوعي في الاستخدام في الرياضيات.

يعد تطوير واختيار المهام لتكوين المعرفة والمهارات والقدرات مهمة مهمة للغاية. لتحقيق هذا الهدف ، يتم استخدام نوعين من المشاكل - الرياضيات البحتة والممارسة المنحى. أيام...

المعادلات ، الجزء $ C $

تسمى المساواة التي تحتوي على رقم غير معروف ، يُشار إليها بحرف ، معادلة. يسمى التعبير الموجود على يسار علامة التساوي الجانب الأيسر من المعادلة ، والتعبير الموجود على اليمين يسمى الجانب الأيمن من المعادلة.

مخطط لحل المعادلات المعقدة:

1. قبل حل المعادلة ، من الضروري تدوين منطقة القيم المقبولة (ODV) لها.
2. حل المعادلة.
3. اختر من الجذور التي تم الحصول عليها من المعادلة تلك التي تلبي ODZ.

ODZ من التعبيرات المختلفة (تحت التعبير سوف نفهم التسجيلة الأبجدية الرقمية):

1. يجب ألا يساوي التعبير الموجود في المقام صفرًا.

$ (f (x)) / (g (x)) ؛ ز (س) ≠ 0 دولار

2. يجب ألا يكون التعبير الجذري سالبًا.

$ √ (g (x)) ؛ ز (س) ≥ 0 دولار.

3. يجب أن يكون التعبير الجذري في المقام موجبًا.

$ (f (x)) / (√ (g (x))) ؛ g (x)> 0 دولار

4. بالنسبة للوغاريتم: يجب أن يكون التعبير اللوغاريتمي موجبًا ؛ يجب أن تكون القاعدة إيجابية ؛ لا يمكن أن تكون القاعدة مساوية لواحد.

$ log_ (f (x)) g (x) \ table \ (\ g (x)> 0؛ \ f (x)> 0؛ f (x) ≠ 1؛ $

المعادلات اللوغاريتمية

المعادلات اللوغاريتمية هي معادلات على شكل $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $ ، حيث $ a $ هو رقم موجب يختلف عن $ 1 $ ، والمعادلات التي تختزل إلى هذا النموذج.

لحل المعادلات اللوغاريتمية ، تحتاج إلى معرفة خصائص اللوغاريتمات: سننظر في جميع خصائص اللوغاريتمات لـ $ a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 ، c> 0 ، m $ - أي رقم حقيقي.

1. لأية أرقام حقيقية $ m $ و $ n $ فإن المساواة صحيحة:

$ log_ (a) b ^ m = mlog_ (a) b ؛ $

$ log_ (a ^ m) b = (1) / (m) log_ (a) b. $

$ log_ (a ^ n) b ^ m = (m) / (n) log_ (a) b $

$ log_ (3) 3 ^ (10) = 10log_ (3) 3 = 10 ؛ $

$ log_ (5 ^ 3) 7 = (1) / (3) log_ (5) 7 ؛ $

$ log_ (3 ^ 7) 4 ^ 5 = (5) / (7) log_ (3) 4 ؛ $

2. لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات في نفس الأساس من كل عامل.

$ log_a (bc) = log_ (a) b + log_ (a) c $

3. لوغاريتم حاصل القسمة يساوي الفرق بين لوغاريتمي البسط والمقام على نفس الأساس

$ log_ (a) (b) / (c) = log_ (a) b-log_ (a) c $

4. عند ضرب لوغاريتمين ، يمكنك تبديل قواعدهما

$ log_ (a) b ∙ log_ (c) d = log_ (c) b ∙ log_ (a) d $ إذا $ a ، b ، c $ و $ d> 0 ، a 1 ، b ≠ 1. $

5. $ c ^ (log_ (a) b) = b ^ (log_ (a) b) $ ، حيث $ a ، b ، c> 0 ، a ≠ 1 $

6. صيغة للانتقال إلى قاع جديد

$ log_ (a) b = (log_ (c) b) / (log_ (c) a) $

7. على وجه الخصوص ، إذا كان من الضروري تبديل القاعدة والتعبير اللوغاريتمي الفرعي

$ log_ (a) b = (1) / (log_ (b) a) $

هناك عدة أنواع رئيسية من المعادلات اللوغاريتمية:

أبسط المعادلات اللوغاريتمية: $ log_ (a) x = b $. حل هذا النوع من المعادلات يأتي من تعريف اللوغاريتم ، أي $ x = a ^ b $ و $ x> 0 $

دعونا نمثل طرفي المعادلة في صورة لوغاريتم في الأساس $ 2

$ log_ (2) x = log_ (2) 2 ^ 3 $

إذا كانت اللوغاريتمات متساوية في نفس القاعدة ، فإن التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية متساوية أيضًا.

الجواب: $ x = $ 8

المعادلات بالصيغة: $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $. لان القواعد هي نفسها ، ثم نساوي التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية ونأخذ في الاعتبار ODZ:

$ \ table \ (\ f (x) = g (x)؛ \ f (x)> 0؛ \ g (x)> 0، a> 0، a ≠ 1؛ $

$ log_ (3) (x ^ 2-3x-5) = log_ (3) (7-2x) $

لان القواعد هي نفسها ، ثم نساوي التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية

ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر من المعادلة ونعطي شروطًا مماثلة

دعنا نتحقق من الجذور التي تم العثور عليها وفقًا للشروط $ \ table \ (\ x ^ 2-3x-5> 0 ؛ \ 7-2x> 0 ؛ $

عند التعويض في المتباينة الثانية ، فإن جذر $ x = 4 $ لا يفي بالشرط ، لذلك فهو جذر غريب

الجواب: $ x = -3 $

• طريقة الاستبدال المتغير.

في هذه الطريقة تحتاج إلى:

1. اكتب معادلة ODZ.
2. وفقًا لخصائص اللوغاريتمات ، تأكد من الحصول على نفس اللوغاريتمات في المعادلة.
3. استبدل $ log_ (a) f (x) $ بأي متغير.
4. حل معادلة المتغير الجديد.
5. ارجع إلى الخطوة 3 ، استبدل قيمة بدلاً من متغير واحصل على أبسط معادلة بالصيغة: $ log_ (a) x = b $
6. حل أبسط معادلة.
7. بعد إيجاد جذور المعادلة اللوغاريتمية ، من الضروري وضعها في البند 1 والتحقق من حالة ODZ.

حل المعادلة $ log_ (2) √x + 2log_ (√x) 2-3 = 0 $

1. لنكتب معادلات ODZ:

$ \ table \ (\ x> 0، \ text "لأنه يقع تحت علامة الجذر واللوغاريتم" ؛ \ √x ≠ 1 → x ≠ 1؛ $

2. لنصنع لوغاريتمات للأساس $ 2 ، ولهذا سنستخدم قاعدة الانتقال إلى قاعدة جديدة في المصطلح الثاني:

$ log_ (2) √x + (2) / (log_ (2) √x) -3 = 0 دولار

4. نحصل على معادلة كسرية - منطقية بالنسبة إلى المتغير t

لنختزل كل الحدود إلى قاسم مشترك $ t $.

$ (t ^ 2 + 2-3t) / (t) = 0 $

الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام ليس صفرًا.

$ t ^ 2 + 2-3t = 0 $ ، $ t ≠ 0 $

5. نحل المعادلة التربيعية الناتجة باستخدام نظرية فييتا:

6. لنعد إلى الخطوة 3 ، ونجري الاستبدال العكسي ونحصل على معادلتين لوغاريتميتين بسيطتين:

$ log_ (2) √x = 1 $ ، $ log_ (2) √x = 2 $

نأخذ لوغاريتم الأجزاء الصحيحة من المعادلات

$ log_ (2) √x = log_ (2) 2 $، $ log_ (2) √x = log_ (2) 4 $

مساواة التعبيرات اللوغاريتمية

$ √x = 2 دولار ، $ x = 4 دولارات

للتخلص من الجذر ، نقوم بتربيع طرفي المعادلة

$ х_1 = 4 دولارات ، $ _2 = 16 دولارًا

7. دعونا نعوض بجذور المعادلة اللوغاريتمية في البند 1 ونتحقق من حالة ODZ.

$ \ (\ table \ 4> 0 ؛ \ 4 ≠ 1 ؛ $

الجذر الأول يرضي ODZ.

$ \ (\ table \ 16> 0؛ \ 16 ≠ 1؛ $ يتوافق الجذر الثاني أيضًا مع DDE.

الجواب: 4 دولارات ؛ 16 دولار

• المعادلات بالصيغة $ log_ (a ^ 2) x + log_ (a) x + c = 0 $. يتم حل هذه المعادلات عن طريق إدخال متغير جديد وتمريرها إلى المعادلة التربيعية المعتادة. بعد العثور على جذور المعادلة ، من الضروري تحديدها مع مراعاة ODZ.

المعادلات الكسرية المنطقية

• إذا كان الكسر صفرًا ، فإن البسط يساوي صفرًا والمقام ليس صفرًا.
• إذا كان جزء واحد على الأقل من المعادلة المنطقية يحتوي على كسر ، فإن المعادلة تسمى كسور منطقية.

لحل معادلة منطقية كسرية ، تحتاج إلى:

1. أوجد قيم المتغير التي لا معنى لها (ODV)
2. أوجد المقام المشترك للكسور المتضمنة في المعادلة ؛
3. اضرب طرفي المعادلة بمقام مشترك ؛
4. حل المعادلة الكاملة الناتجة ؛
5. استبعد من جذوره تلك التي لا تفي بشرط ODZ.

• إذا تم تضمين كسرين في المعادلة وكان البسط عبارة عن تعبيرات متساوية ، فيمكن معادلة المقامات ببعضها البعض ويمكن حل المعادلة الناتجة دون الالتفات إلى البسط. ولكن بالنظر إلى ODZ للمعادلة الأصلية بأكملها.

المعادلات الأسية

المعادلة الأسية هي معادلة يتم فيها احتواء المجهول في الأس.

عند حل المعادلات الأسية ، يتم استخدام خصائص القوى ، لنتذكر بعضها:

1. عند ضرب الأسس بنفس الأسس ، يبقى الأساس كما هو ، ويتم إضافة الأسس.

$ a ^ n a ^ m = a ^ (n + m) $

2. عند قسمة الدرجات على نفس الأسس ، تظل القاعدة كما هي ، ويتم طرح المؤشرات

$ a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) $

3. عند رفع درجة إلى قوة ، يبقى الأساس كما هو ، ويتم ضرب الأسس

$ (a ^ n) ^ m = a ^ (n ∙ m) $

4. عند رفع منتج إلى قوة ، يتم رفع كل عامل إلى هذه القوة

$ (a b) ^ n = a ^ n b ^ n $

5. عند رفع الكسر إلى أس ، يتم رفع البسط والمقام إلى هذه الأس

$ ((a) / (b)) ^ n = (a ^ n) / (b ^ n) $

6. عند رفع أي أساس إلى أس صفر ، فإن النتيجة تساوي واحدًا

7. يمكن تمثيل القاعدة في أي أس سالب كقاعدة في نفس الأس الموجب عن طريق تغيير موضع القاعدة بالنسبة إلى خط الكسر

$ a ^ (- n) = (1) / (a ​​^ n) $

$ (a ^ (- n)) / (b ^ (- k)) = (b ^ k) / (a ​​^ n) $

8. يمكن تمثيل الجذر (الجذر) كدرجة ذات أس كسري

$ √ ^ n (a ^ k) = a ^ ((k) / (n)) $

أنواع المعادلات الأسية:

1. المعادلات الأسية البسيطة:

أ) النموذج $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ ، حيث $ a> 0 ، a 1 ، x $ غير معروف. لحل مثل هذه المعادلات ، نستخدم خاصية القوى: القوى التي لها نفس الأساس ($ a> 0 ، a ≠ 1 $) تكون متساوية فقط عندما يتساوى الأسس.

ب) معادلة بالصيغة $ a ^ (f (x)) = b، b> 0 $

لحل مثل هذه المعادلات ، من الضروري أخذ كلا الجزأين من اللوغاريتم في الأساس $ a $ ، كما اتضح

$ log_ (a) a ^ (f (x)) = log_ (a) b $

2. طريقة تعديل القاعدة.

3. طريقة التحليل إلى العوامل وتغيير المتغير.

• بالنسبة لهذه الطريقة ، في المعادلة بأكملها ، وفقًا لخاصية الدرجات ، من الضروري تحويل الدرجات إلى نموذج واحد $ a ^ (f (x)) $.
• قم بتغيير المتغير $ a ^ (f (x)) = t، t> 0 $.
• نحصل على معادلة منطقية يجب حلها بتحليل التعبير إلى عوامل.
• نجري بدائل عكسية ، مع الأخذ في الاعتبار أن $ t>

حل المعادلة $ 2 ^ (3x) -7 2 ​​^ (2x-1) +7 2 ^ (x-1) -1 = 0 $

بخاصية الدرجات ، نقوم بتحويل التعبير بحيث يتم الحصول على الدرجة 2 ^ x.

$ (2 ^ x) ^ 3- (7 (2 ^ x) ^ 2) / (2) + (7 2 ^ x) / (2-1) = 0 دولار

دعونا نغير المتغير $ 2 ^ x = t؛ ر> 0 دولار

نحصل على معادلة تكعيبية للصورة

$ t ^ 3- (7 طن ^ 2) / (2) + (7 طن) / (2) -1 = 0 دولار

اضرب المعادلة بأكملها في $ 2 للتخلص من المقامات

2 طن ^ 3-7 طن ^ 2 + 7 طن 2 = 0 دولار

لنفكِّر الجانب الأيسر من المعادلة بطريقة التجميع

$ (2t ^ 3-2) - (7 طن ^ 2-7 طن) = 0 دولار

نخرج العامل المشترك $ 2 من القوس الأول ، $ 7t $ من الفئة الثانية

2 دولار (t ^ 3-1) -7t (t-1) = 0 دولار

بالإضافة إلى ذلك ، في القوس الأول نرى صيغة فرق المكعبات

$ (t-1) (2t ^ 2 + 2t + 2-7t) = 0 $

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا

1) $ (t-1) = 0 ؛ $ 2) $ 2t ^ 2 + 2t + 2-7t = 0 $

لنحل المعادلة الأولى

نحل المعادلة الثانية من خلال المميز

دولار D = 25-4 2 2 = 9 = 3 ^ 2 دولار

$ t_2 = (5-3) / (4) = (1) / (2) دولار

$ t_3 = (5 + 3) / (4) = 2 دولار

2 ^ س = 1 دولار ؛ 2 ^ س = (1) / (2) ؛ 2 ^ س = 2 دولار

2 ^ س = 2 ^ 0 ؛ 2 ^ س = 2 ^ (- 1) ؛ 2 ^ س = 2 ^ 1 دولار

x_1 دولار = 0 ؛ س_2 = -1 ؛ x_3 = 1 دولار

الجواب: -1 دولار ؛ 0 ؛ 1 دولار

4. طريقة التحويل إلى معادلة من الدرجة الثانية

• لدينا معادلة بالصيغة $ A · a ^ (2f (x)) + В · a ^ (f (x)) + С = 0 $ ، حيث $ A و B $ و $ C $ معاملات.
• نجري التغيير $ a ^ (f (x)) = t، t> 0 $.
• اتضح أن المعادلة التربيعية بالصيغة $ A · t ^ 2 + B · t + С = 0 $. نحل المعادلة الناتجة.
• نجري الاستبدال العكسي ، مع الأخذ في الاعتبار أن $ t> 0 $. نحصل على أبسط معادلة أسية $ a ^ (f (x)) = t $ ، ونحلها ونكتب النتيجة ردًا.

طرق العوملة:

• إخراج العامل المشترك من الأقواس.

لتحليل كثير الحدود إلى عوامل عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس ، فأنت بحاجة إلى:

1. حدد العامل المشترك.
2. قسّم كثير الحدود المعطى به.
3. اكتب حاصل ضرب العامل المشترك وحاصل القسمة الناتج (ضع حاصل القسمة بين قوسين).

حلل كثير الحدود إلى عوامل: $ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a $.

العامل المشترك لكثير الحدود هو $ 2a $ ، حيث يمكن القسمة على $ 2 $ و "a". بعد ذلك ، نجد حاصل قسمة كثير الحدود الأصلي على "2a" ، نحصل على:

$ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a = 2a ((10a ^ (3) b) / (2a) - (8a ^ (2) b ^ 2) / (2a) + ( 2a) / (2a)) = 2a (5a ^ (2) b-4ab ^ 2 + 1) $

هذه هي النتيجة النهائية للعوامل.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة

1. يتحلل مربع المجموع إلى مربع الرقم الأول مضافًا إليه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول بالرقم الثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

$ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $

2. يتحلل مربع الفرق إلى مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول في الثاني ومربع الرقم الثاني.

$ (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 $

3. يتحلل فرق المربعات إلى حاصل ضرب فرق الأعداد ومجموعها.

$ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) $

4. مكعب المجموع يساوي مكعب الرقم الأول زائد ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الرقم الثاني بالإضافة إلى مكعب الرقم الثاني .

$ (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 $

5. مكعب الفرق يساوي مكعب الرقم الأول مطروحًا منه ثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع الرقم الأول والثاني ، زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الرقم الثاني ، وسالب مكعب الرقم الثاني.

$ (a-b) ^ 3 = a ^ 3-3a ^ 2b + 3ab ^ 2-b ^ 3 $

6. مجموع المكعبات يساوي حاصل ضرب مجموع الأعداد والمربع غير المكتمل للفرق.

$ a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) $

7. فرق المكعبات يساوي حاصل ضرب فرق الأعداد بالمربع غير المكتمل في المجموع.

$ a ^ 3-b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $

طريقة التجميع

طريقة التجميع ملائمة للاستخدام عندما يكون من الضروري تحليل كثير الحدود بعدد زوجي من المصطلحات. في هذه الطريقة ، من الضروري تجميع المصطلحات في مجموعات وإخراج العامل المشترك من القوس من كل مجموعة. عدة مجموعات ، بعد وضعها بين قوسين ، يجب أن تحصل على نفس التعبيرات ، ثم نأخذ هذا القوس للأمام كعامل مشترك ونضربه في قوس حاصل القسمة الناتج.

حلل كثير الحدود إلى عوامل $ 2a ^ 3-a ^ 2 + 4a-2 $

لتوسيع هذا كثير الحدود ، نستخدم طريقة التجميع الجمع ، لذلك نقوم بتجميع أول حدين وآخر حدين ، بينما من المهم وضع العلامة بشكل صحيح أمام المجموعة الثانية ، نضع علامة + وبالتالي نكتب شروط مع علاماتهم بين قوسين.

$ (2a ^ 3-a ^ 2) + (4a-2) = a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) $

بعد إخراج العوامل المشتركة ، حصلنا على زوج من الأقواس المتطابقة. نخرج الآن هذا القوس كعامل مشترك.

$ a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) = (2a-1) (a ^ 2 + 2) $

حاصل ضرب هذه الأقواس هو النتيجة النهائية للعوامل.

باستخدام صيغة التربيع ثلاثي الحدود.

إذا كان هناك ثلاثي مربع بالصيغة $ ax ^ 2 + bx + c $ ، فيمكن توسيعه بالصيغة

$ ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) $ ، حيث $ x_1 $ و $ x_2 $ هي جذور مثلث ثلاثي الحدود