كيفية إيجاد مساحة المثلث إذا كانت الرؤوس معروفة. مساحة المثلث. الصيغ

في بعض الأحيان توجد مواقف في الحياة يتعين عليك فيها الخوض في ذاكرتك بحثًا عن معرفة مدرسية منسية منذ زمن طويل. على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحديد مساحة قطعة أرض ذات شكل مثلث ، أو أن دور الإصلاح التالي في شقة أو منزل خاص قد حان ، وتحتاج إلى حساب مقدار المواد التي ستستغرقها لسطح ذو شكل مثلثي. كان هناك وقت يمكنك فيه حل مثل هذه المشكلة في دقيقتين ، والآن تحاول يائسًا أن تتذكر كيفية تحديد مساحة المثلث؟

لا داعي للقلق بشأن هذا! بعد كل شيء ، من الطبيعي تمامًا أن يقرر العقل البشري نقل المعرفة التي لم يتم استخدامها منذ فترة طويلة في مكان ما في زاوية نائية ، والتي يصعب أحيانًا استخلاصها منها. حتى لا تضطر إلى المعاناة من البحث عن المعرفة المدرسية المنسية لحل مثل هذه المشكلة ، تحتوي هذه المقالة على طرق مختلفة تجعل من السهل العثور على المنطقة المطلوبة للمثلث.

من المعروف أن المثلث هو نوع من المضلعات يكون مقيدًا بأقل عدد ممكن من الأضلاع. من حيث المبدأ ، يمكن تقسيم أي مضلع إلى عدة مثلثات من خلال ربط رؤوسه بأجزاء لا تتقاطع مع جوانبها. لذلك ، بمعرفة المثلث ، يمكنك حساب مساحة أي شكل تقريبًا.

من بين جميع المثلثات الممكنة التي تحدث في الحياة ، يمكن تمييز الأنواع التالية: والمستطيل.

أسهل طريقة لحساب مساحة المثلث هي عندما يكون أحد أركانه على اليمين ، أي في حالة المثلث القائم. من السهل أن نرى أنه نصف مستطيل. إذن ، مساحته تساوي نصف حاصل ضرب الأضلاع ، التي تشكل الزاوية القائمة بينهما.

إذا علمنا ارتفاع المثلث ، بعد خفضه من أحد رءوسه إلى الضلع المقابل ، وطول هذا الضلع الذي يسمى القاعدة ، فإن المساحة تُحسب على أنها نصف حاصل ضرب الارتفاع والقاعدة. هذا مكتوب باستخدام الصيغة التالية:

S = 1/2 * ب * ح ، حيث

S هي المنطقة المرغوبة من المثلث ؛

ب ، ح - على التوالي ، ارتفاع وقاعدة المثلث.

من السهل جدًا حساب مساحة المثلث متساوي الساقين ، لأن الارتفاع سينقسم إلى نصفين في الجانب الآخر ، ويمكن قياسه بسهولة. إذا تم تحديد المنطقة ، فمن الملائم أخذ طول أحد الجوانب لتشكيل الزاوية اليمنى كالارتفاع.

كل هذا جيد بالتأكيد ، لكن كيف تحدد ما إذا كانت إحدى زوايا المثلث صحيحة أم لا؟ إذا كان حجم الشكل صغيرًا ، فيمكنك استخدام زاوية بناء أو مثلث رسم أو بطاقة بريدية أو أي كائن آخر مستطيل الشكل.

ولكن ماذا لو كان لدينا قطعة أرض مثلثة الشكل؟ في هذه الحالة ، تابع ما يلي: من أعلى الزاوية اليمنى المزعومة على جانب واحد ، يتم قياس مسافة مضاعفة 3 (30 سم ، 90 سم ، 3 م) ، وعلى الجانب الآخر ، يتم قياس مضاعف 4 (40) سم ، 160 سم ، 4 م). أنت الآن بحاجة إلى قياس المسافة بين نقطتي نهاية هذين المقطعين. إذا كانت القيمة من مضاعفات 5 (50 سم ، 250 سم ، 5 م) ، فيمكن القول إن الزاوية صحيحة.

إذا كانت قيمة طول كل جانب من الجوانب الثلاثة لشكلنا معروفة ، فيمكن تحديد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون. من أجل الحصول على شكل أبسط ، يتم استخدام قيمة جديدة تسمى شبه المحيط. هذا هو مجموع كل أضلاع المثلث مقسومًا على نصفين. بعد حساب نصف المحيط ، يمكنك البدء في تحديد المنطقة باستخدام الصيغة:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)) ، أين

الجذر التربيعي - الجذر التربيعي ؛

p هي قيمة نصف المحيط (p = (a + b + c) / 2) ؛

أ ، ب ، ج - حواف (جوانب) المثلث.

لكن ماذا لو كان للمثلث شكل غير منتظم؟ هناك طريقتان ممكنتان هنا. أولهما محاولة تقسيم هذا الشكل إلى مثلثين قائم الزاوية ، يتم حساب مجموع مساحتهما بشكل منفصل ، ثم إضافتهما. أو ، إذا كانت الزاوية بين الجانبين وحجم هذه الأضلاع معروفة ، فقم بتطبيق الصيغة:

S = 0.5 * ab * sinC ، أين

أ ، ب - جوانب المثلث ؛

c هي الزاوية بين هذين الجانبين.

الحالة الأخيرة نادرة في الممارسة ، ولكن مع ذلك ، كل شيء ممكن في الحياة ، لذا فإن الصيغة المذكورة أعلاه لن تكون غير ضرورية. حظا سعيدا مع حساباتك!

تتطلب بعض المهام في الهندسة ، أو بشكل أكثر دقة ، في قياس الكواكب ، إيجاد مساحة بعض الأشكال المحددة. يمكن أن تكون مساحة أي شكل هي الهدف النهائي للمشكلة ، والحساب الوسيط الضروري للاستبدال في صيغة أكثر تعقيدًا. في كثير من الأحيان في مثل هذه المشاكل يطلب منهم إيجاد مساحة المثلث. قد تكون البيانات الأولية مختلفة. في بعض الحالات ، تُعرف بعض جوانب المثلث وقيمة الارتفاع المرسومة إليه ، وفي حالات أخرى - محيط المثلث ، وما إلى ذلك.

افترض أنه قد طُلب منك إيجاد مساحة المثلث إذا كانت الأضلاع الثلاثة معروفة. تستخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحة مثل هذا المثلث. لتحديد المساحة باستخدام هذه الصيغة ، يجب عليك أولاً حساب نصف محيط المثلث (ن). معرفة معاني جميع الجوانب الثلاثة ، فمن الأساسي القيام بذلك. تحتاج إلى تلخيص كل جوانب المثلث - سيكون هذا هو محيطه ، ثم قسمة القيمة الناتجة على اثنين. بعد ذلك ، من الضروري طرح أطوال كل جانب من أضلاع المثلث الثلاثة المعطاة ، أي طرح a من n ، ثم طرح b من n ، وأخيراً طرح c من قيمة semiperimeter ن.

يجب ضرب الفروق الثلاثة التي تم الحصول عليها فيما بينها ويجب ضرب هذا المنتج مرة أخرى بقيمة نصف المحيط. بعد تنفيذ جميع الإجراءات المذكورة أعلاه والحصول على نتيجة الضرب ، من الضروري استخراج الجذر التربيعي من هذه النتيجة. الرقم الذي سيتم الحصول عليه بعد استخراج الجذر التربيعي سيكون مساحة المثلث المحدد. باختصار ، ستكون صيغة مساحة المثلث هي: المنطقة (S) \ u003d الجذر التربيعي لـ (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)). كما يمكن فهمه من الصيغة ، من السهل جدًا حل مسألة العثور على مثلث بقيم معروفة للأضلاع.

على سبيل المثال ، كيفية إيجاد مساحة المثلث إذا كانت 3 جوانب معروفة: الضلع أ يساوي 3 سنتيمترات ، والضلع ب يساوي 4 سنتيمترات والضلع ج يساوي 2 سنتيمترات. سيساوي محيط هذا المثلث أ + ب + ج \ u003d 3 سم + 4 سم + 2 سم \ u003d 9 سم إذن نصف المحيط هو 9: 2 \ u003d 4.5 سم نحصل على: S \ u003d الجذر التربيعي من (4.5 سم * (4 .5 سم - 3 سم) * (4.5 سم - 4 سم) * (4.5 سم - 2 سم)) = 2.9 سم مربع

لكن ماذا لو لم تكن قيم الأضلاع معروفة فحسب ، بل تمت الإشارة أيضًا إلى أنها متساوية وفقًا لحالة المشكلة؟ في هذه الحالة ، كيف يمكن إيجاد مساحة المثلث إذا كانت جميع الأضلاع معروفة ومتساوية أيضًا؟ يمكنك بالطبع حسابه أيضًا باستخدام صيغة Heron التي تمت مناقشتها أعلاه ، ولكن لماذا الحسابات الإضافية إذا تم اشتقاق صيغة أخرى لمثل هذا المثلث ، وهو أبسط بكثير من صيغة Heron. وفقًا لهذه الصيغة ، يجب عليك أولاً حساب الجذر التربيعي للرقم 3 ، ثم رفع قيمة طول ضلع المثلث إلى القوة الثانية ، وضرب هذه القيمة في القوة الثانية بجذر الرقم 3 و قسّم الناتج الناتج عن الضرب في الرقم 4. تحصل على مساحة المثلث المعطى. عند كتابتها ، تبدو هذه الصيغة كما يلي: S = (a ^ 2 * root (3)) / 4

لنفترض أن هناك مثلثًا بنفس طول ضلعه يساوي 3 سنتيمترات. باستخدام هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على مساحة مثل هذا المثلث: S \ u003d (3 ^ 2 * root (3)) / 4 = 3.9 سنتيمترات مربعة. للتحقق مما إذا كانت قيمة مساحة مثلث معين محسوبة بشكل صحيح أم لا ، يمكنك إجراء حسابات إضافية باستخدام صيغة Heron ومقارنة النتائج.

نصف محيط (ع) = (3 + 3 + 3) / 2 = 4.5 سم. وفقًا لصيغة هيرون هي: S \ u003d الجذر التربيعي لـ (4.5 سم * (4.5 سم - 3 سم) * (4.5 سم - 3 سم) * (4.5 سم - 3 سم)) \ u003d 3 .9 سم مربع. تتطابق قيمتا المنطقة التي تم العثور عليها بواسطة الصيغ المختلفة. إذن مساحة المثلث صحيحة. عند حل أي مشاكل أخرى ، يجب أن تأخذ في الاعتبار البيانات الموجودة في الشرط واستخدام الصيغة المقابلة لهذه البيانات.

يمكن العثور على أكثر من 10 صيغ لحساب مساحة المثلث على الإنترنت ، ويستخدم الكثير منها في مشاكل الأضلاع والزوايا المعروفة للمثلث. ومع ذلك ، هناك عدد من الأمثلة المعقدة حيث ، وفقًا لشرط التخصيص ، هناك جانب واحد وزوايا المثلث ، أو نصف قطر الدائرة المحصورة أو المنقوشة ، وهناك خاصية أخرى معروفة. في مثل هذه الحالات ، لا يمكن تطبيق صيغة بسيطة.

ستحل المعادلات أدناه 95 بالمائة من المسائل التي تحتاج فيها لإيجاد مساحة المثلث.
دعنا ننتقل إلى دراسة صيغ المنطقة المشتركة.
ضع في اعتبارك المثلث الموضح في الشكل أدناه

في الشكل وكذلك في الصيغ ، يتم تقديم التعيينات الكلاسيكية لجميع خصائصه
أ ، ب ، ج هي جوانب المثلث ،
R هو نصف قطر الدائرة المحددة ،
r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة ،
h [b] ، h [a] ، h [c] - الارتفاعات المرسومة وفقًا للأضلاع أ ، ب ، ج.
ألفا ، بيتا ، هامه - زوايا بالقرب من الرؤوس.

الصيغ الأساسية لمساحة المثلث

1. المساحة تساوي نصف حاصل ضرب ضلع المثلث والارتفاع ينخفض ​​إلى هذا الجانب. في لغة الصيغة ، يمكن كتابة هذا التعريف كـ

وبالتالي ، إذا كان الضلع والارتفاع معروفين ، فسيجد كل طالب المساحة.
بالمناسبة ، يمكن اشتقاق علاقة مفيدة بين المرتفعات من هذه الصيغة

2. إذا أخذنا في الاعتبار أن ارتفاع المثلث عبر الضلع المجاور يتم التعبير عنه بالتبعية

ثم من الصيغة الأولى للمنطقة اتبع نفس النوع من الثانية

انظر بعناية إلى الصيغ - يسهل تذكرها ، لأن العمل يتميز بضلعين وزاوية بينهما. إذا حددنا جوانب وزوايا المثلث بشكل صحيح (كما في الشكل أعلاه) ، فسنحصل على وجهين أ ، ب والزاوية مرتبطة بالثالثج (هامه).

3. بالنسبة لزوايا المثلث ، العلاقة

يسمح لك التبعية بتطبيق الصيغ التالية لمساحة المثلث في العمليات الحسابية

أمثلة على هذا الاعتماد نادرة للغاية ، لكن يجب أن تتذكر أن هناك مثل هذه الصيغة.

4. إذا كان الضلع وزاويتان متجاورتان معروفين ، فيمكن إيجاد المساحة بواسطة الصيغة

5. صيغة المساحة بدلالة الضلع وظل التمام للزوايا المجاورة هي كما يلي

من خلال إعادة ترتيب الفهارس ، يمكنك الحصول على تبعيات للجوانب الأخرى.

6. تُستخدم صيغة المساحة أدناه في المهام عندما يتم إعطاء رؤوس المثلث على المستوى ذي الإحداثيات. في هذه الحالة ، المساحة تساوي نصف محدد المقياس.

7. صيغة هيرونتستخدم في الأمثلة ذات الجوانب المعروفة في المثلث.
أوجد أولًا نصف محيط المثلث

ثم حدد المساحة بالصيغة

أو

غالبًا ما يستخدم في كود برامج الآلة الحاسبة.

8. إذا كانت جميع ارتفاعات المثلث معروفة ، فسيتم تحديد المساحة بواسطة الصيغة

من الصعب حسابها باستخدام الآلة الحاسبة ، ولكن في الحزم MathCad و Mathematica و Maple ، تكون المنطقة "واحد اثنين".

9. تستخدم الصيغ التالية أنصاف الأقطار المعروفة للدوائر المنقوشة والمحددة.

على وجه الخصوص ، إذا كان نصف قطر المثلث وأضلاعه أو محيطه معروفين ، فسيتم حساب المنطقة وفقًا للصيغة

10. في الأمثلة التي تم فيها إعطاء جوانب الدائرة المحددة ونصف قطرها أو قطرها ، يتم العثور على المنطقة من خلال الصيغة

11. تحدد الصيغة التالية مساحة المثلث بدلالة ضلع وزوايا المثلث.

وأخيرًا - حالات خاصة:
مساحة المثلث القائمذات الأرجل أ و ب تساوي نصف منتجها

صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع (العادي)=

\ u003d ربع حاصل ضرب مربع الضلع وجذر الثلاثة.

منطقة المثلث - الصيغ وأمثلة لحل المشكلات

هي أقل صيغ لإيجاد مساحة مثلث عشوائيوهي مناسبة لإيجاد مساحة أي مثلث ، بغض النظر عن خصائصه أو زواياه أو أبعاده. يتم تقديم الصيغ في شكل صورة ، وهنا تفسيرات للتطبيق أو تبرير صحتها. أيضًا ، يوضح شكل منفصل مراسلات رموز الحروف في الصيغ والرموز الرسومية في الرسم.

ملحوظة . إذا كان للمثلث خصائص خاصة (متساوي الساقين ، مستطيل ، متساوي الأضلاع) ، يمكنك استخدام الصيغ أدناه ، بالإضافة إلى الصيغ الخاصة التي تكون صحيحة فقط للمثلثات ذات الخصائص التالية:

• "صيغ لمساحة مثلث متساوي الأضلاع"

صيغ منطقة المثلث

تفسيرات الصيغ:
أ ، ب ، ج- أطوال أضلاع المثلث الذي نريد إيجاد مساحته
ص- نصف قطر الدائرة المنقوشة في المثلث
ص- نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث
ح- ارتفاع المثلث مخفضاً إلى الجانب
ص- نصف محيط المثلث ، 1/2 مجموع أضلاعه (محيط)
α - الزاوية المقابلة للضلع أ في المثلث
β - الزاوية المقابلة للضلع ب من المثلث
γ - الزاوية المقابلة للضلع ج من المثلث
ح أ, ح ب , ح ج- ارتفاع المثلث ، منخفضًا إلى الجانب أ ، ب ، ج

يرجى ملاحظة أن الترميز المعطى يتوافق مع الشكل أعلاه ، لذلك عند حل مشكلة حقيقية في الهندسة ، سيكون من الأسهل بالنسبة لك استبدال القيم الصحيحة بصريًا في الأماكن الصحيحة في الصيغة.

• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ارتفاع المثلث وطول الضلع الذي ينزل فيه هذا الارتفاع(فورمولا 1). يمكن فهم صحة هذه الصيغة منطقيًا. سيؤدي انخفاض الارتفاع إلى القاعدة إلى تقسيم مثلث عشوائي إلى قسمين مستطيلين. إذا أكملنا كل منهما إلى مستطيل بأبعاد b و h ، فمن الواضح أن مساحة هذين المثلثين ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل بالضبط (Spr = bh)
• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ضلعيها وجيب الزاوية بينهما(الصيغة 2) (انظر مثالاً لحل مشكلة باستخدام هذه الصيغة أدناه). على الرغم من أنه يبدو مختلفًا عن السابق ، إلا أنه يمكن بسهولة تحويله إليه. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية B إلى الضلع b ، فسنجد أن حاصل ضرب الضلع a وجيب الزاوية γ ، وفقًا لخصائص الجيب في المثلث القائم الزاوية ، يساوي ارتفاع المثلث المرسوم بواسطة لنا ، والتي ستعطينا الصيغة السابقة
• يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي عير الشغلنصف قطر دائرة منقوشة فيها بمجموع أطوال أضلاعها(الصيغة 3) ، بمعنى آخر ، تحتاج إلى ضرب نصف محيط المثلث في نصف قطر الدائرة المنقوشة (يسهل تذكرها بهذه الطريقة)
• يمكن إيجاد مساحة المثلث العشوائي بقسمة حاصل ضرب كل جوانبه على 4 أنصاف أقطار من الدائرة المحصورة حوله (الصيغة 4)
• الصيغة 5 هي إيجاد مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه ونصف محيطه (نصف مجموع أضلاعه)
• صيغة هيرون(6) هو تمثيل لنفس الصيغة دون استخدام مفهوم semiperimeter ، فقط من خلال أطوال الأضلاع
• مساحة المثلث العشوائي تساوي حاصل ضرب مربع جانب المثلث وجيب الزوايا المجاورة لهذا الضلع مقسومة على الجيب المزدوج للزاوية المقابلة لهذا الضلع (الصيغة 7)
• يمكن إيجاد مساحة المثلث العشوائي على أنها حاصل ضرب مربعين لدائرة مقيدة حوله وجيوب كل زاوية من زواياه. (الفورمولا 8)
• إذا كان طول ضلع واحد وحجم الزاويتين المتجاورتين له معروفين ، فيمكن إيجاد مساحة المثلث كمربع من هذا الضلع ، مقسومًا على المجموع المزدوج لمظلات ظل هذه الضلع الزوايا (الصيغة 9)
• إذا كان طول كل ارتفاع من ارتفاعات المثلث معروفًا فقط (الصيغة 10) ، فإن مساحة هذا المثلث تتناسب عكسًا مع أطوال هذه الارتفاعات ، كما هو الحال في صيغة هيرون
• تسمح لك الصيغة 11 بالحساب مساحة المثلث حسب إحداثيات رءوسه، والتي تُعطى كقيم (x ؛ y) لكل رأس من الرؤوس. يرجى ملاحظة أن القيمة الناتجة يجب أن تؤخذ بطريقة نمطية ، لأن إحداثيات الرؤوس الفردية (أو حتى جميع) يمكن أن تكون في منطقة القيم السالبة

ملحوظة. فيما يلي أمثلة لحل المشكلات في الهندسة لإيجاد مساحة المثلث. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة في الهندسة ، مثلها غير موجودة هنا - فاكتب عنها في المنتدى. في الحلول ، يمكن استخدام دالة sqrt () بدلاً من رمز "الجذر التربيعي" ، حيث يمثل الجذر التربيعي رمز الجذر التربيعي ، ويُشار إلى التعبير الجذري بين قوسين.في بعض الأحيان يمكن استخدام الرمز لتعبيرات جذرية بسيطة √

مهمة. أوجد المساحة بمعلومية ضلعين والزاوية بينهما

طول ضلعي المثلث 5 و 6 سم ، والزاوية بينهما 60 درجة. أوجد مساحة المثلث.

المحلول.

لحل هذه المسألة ، نستخدم الصيغة رقم اثنين من الجزء النظري من الدرس.
يمكن إيجاد مساحة المثلث من خلال أطوال ضلعين وجيب الزاوية بينهما وستكون مساوية لـ
S = 1/2 أب sin γ

نظرًا لأن لدينا جميع البيانات اللازمة للحل (وفقًا للصيغة) ، يمكننا فقط استبدال القيم من حالة المشكلة في الصيغة:
S = 1/2 * 5 * 6 * خطيئة 60

في جدول قيم الدوال المثلثية ، نجد قيمة الجيب 60 درجة ونستبدلها في التعبير. سيساوي جذر ثلاثة في اثنين.
S = 15 3/2

إجابه: 7.5 3 (اعتمادًا على متطلبات المعلم ، من المحتمل ترك 15 3/2)

مهمة. أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع

أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 3 سم.

المحلول .

يمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

منذ a \ u003d b \ u003d c ، ستتخذ صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع الشكل:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

إجابه: 9 √3 / 4.

مهمة. تغيير في المنطقة عند تغيير طول الجوانب

كم مرة تزداد مساحة المثلث إذا تضاعفت أضلاعه أربع مرات؟

المحلول.

نظرًا لأننا لا نعرف أبعاد أضلاع المثلث ، لحل المشكلة سنفترض أن أطوال الأضلاع تساوي على التوالي أرقامًا عشوائية أ ، ب ، ج. بعد ذلك ، للإجابة على سؤال المشكلة ، نجد مساحة هذا المثلث ، ثم نجد مساحة مثلث أضلاعه أكبر بأربعة أضعاف. ستعطينا النسبة بين مساحات هذين المثلثين إجابة المشكلة.

بعد ذلك ، نقدم شرحًا نصيًا لحل المشكلة في خطوات. ومع ذلك ، في النهاية ، يتم تقديم نفس الحل في شكل رسومي أكثر ملاءمة للإدراك. أولئك الذين يرغبون يمكن أن يسقطوا الحل على الفور.

لحل هذه المشكلة ، نستخدم صيغة Heron (انظر أعلاه في الجزء النظري من الدرس). تبدو هكذا:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(انظر السطر الأول من الصورة أدناه)

يتم الحصول على أطوال أضلاع مثلث عشوائي بواسطة المتغيرات أ ، ب ، ج.
إذا زادت الجوانب بمقدار 4 مرات ، فإن مساحة المثلث الجديد ج ستكون:

ق 2 = 1/4 قدم مربع ((4 أ + 4 ب + 4 ج) (4 ب + 4 ج - 4 أ) (4 أ + 4 ج - 4 ب) (4 أ + 4 ب -4 ج))
(انظر السطر الثاني في الصورة أدناه)

كما ترى ، 4 عامل مشترك يمكن وضعه بين قوسين من جميع التعبيرات الأربعة وفقًا للقواعد العامة للرياضيات.
ثم

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - في السطر الثالث من الصورة
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - السطر الرابع

من الرقم 256 ، يتم استخلاص الجذر التربيعي تمامًا ، لذلك سنخرجه من تحت الجذر
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(انظر السطر الخامس من الشكل أدناه)

للإجابة على السؤال المطروح في المسألة ، يكفي أن نقسم مساحة المثلث الناتج على مساحة المثلث الأصلي.
نحدد نسب المساحة بقسمة التعبيرات على بعضها البعض وتقليل الكسر الناتج.

المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة خطوط مستقيمة متصلة عند نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد. نقاط الاتصال للخطوط هي رؤوس المثلث ، والتي يتم الإشارة إليها بأحرف لاتينية (على سبيل المثال ، A ، B ، C). تسمى الخطوط المستقيمة المتصلة للمثلث بالمقاطع ، والتي يُشار إليها أيضًا عادةً بأحرف لاتينية. هناك الأنواع التالية من المثلثات:

• مستطيلي.
• منفرج الزاوية.
• زاوية حادة.
• متعدد الجوانب والاستعمالات.
• متساوي الاضلاع.
• متساوي الساقين.

الصيغ العامة لحساب مساحة المثلث

صيغة مساحة المثلث للطول والارتفاع

S = أ * ح / 2 ،
حيث a هو طول ضلع المثلث الذي يجب إيجاد مساحته ، h هو طول الارتفاع المرسوم على القاعدة.

صيغة هيرون

S = √p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ،
حيث √ هو الجذر التربيعي ، و p هو نصف محيط المثلث ، و أ ، ب ، ج هو طول كل ضلع من أضلاع المثلث. يمكن حساب نصف مقياس المثلث باستخدام الصيغة p = (a + b + c) / 2.

صيغة مساحة المثلث بدلالة زاوية المقطع وطوله

S = (a * b * sin (α)) / 2 ،
حيث ب ، ج هو طول ضلعي المثلث ، وجيب (α) هو جيب الزاوية بين الجانبين.

صيغة مساحة المثلث بمعلومية نصف قطر الدائرة المحيطية وثلاثة أضلاع

S = p * r ،
حيث p هو نصف قطر المثلث الذي توجد مساحته ، r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في هذا المثلث.

صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة جوانب ونصف قطر دائرة حوله

S = (أ * ب * ج) / 4 * ص ،
حيث a ، b ، c هو طول كل ضلع من أضلاع المثلث ، R هو نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث.

صيغة مساحة المثلث بالإحداثيات الديكارتية للنقاط

الإحداثيات الديكارتية للنقاط هي إحداثيات في نظام xOy ، حيث x تمثل الإحداثي السيني و y الإحداثي. يسمى نظام الإحداثيات الديكارتية xOy على المستوى بالمحور العددي المتعامد بشكل متبادل Ox و Oy مع نقطة مرجعية مشتركة عند النقطة O. إذا كانت إحداثيات النقاط على هذا المستوى معطاة بالصيغة A (x1 ، y1) ، B (x2) ، y2) و C (x3، y3) ، ثم يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة التالية ، والتي يتم الحصول عليها من حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) | / 2 ،
أين || لتقف على وحدة.

كيفية إيجاد مساحة المثلث القائم

المثلث القائم الزاوية هو مثلث بزاوية قياسها 90 درجة. يمكن أن يكون للمثلث زاوية واحدة فقط.

صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية على قدمين

S = أ * ب / 2 ،
حيث أ ، ب هو طول الساقين. تسمى الأرجل بالجوانب المجاورة للزاوية اليمنى.

صيغة مساحة المثلث القائم بمعلومية الوتر والزاوية الحادة

S = a * b * sin (α) / 2 ،
حيث أ ، ب هي أرجل المثلث ، وجيب (α) هي جيب الزاوية التي يتقاطع عندها الخطان أ ، ب.

صيغة مساحة المثلث القائم بالضلع والزاوية المقابلة

S = a * b / 2 * tg () ،
حيث a ، b هي أرجل المثلث ، tg (β) هي ظل الزاوية التي ترتبط بها الأرجل a ، b.

كيفية حساب مساحة مثلث متساوي الساقين

المثلث المتساوي الساقين هو المثلث الذي له ضلعان متساويان. هذه الجوانب تسمى الجوانب والجانب الآخر هو القاعدة. يمكنك استخدام إحدى الصيغ التالية لحساب مساحة المثلث متساوي الساقين.

الصيغة الأساسية لحساب مساحة المثلث متساوي الساقين

S = ح * ج / 2 ،
حيث c هي قاعدة المثلث ، و h هي ارتفاع المثلث المنخفض إلى القاعدة.

صيغة مثلث متساوي الساقين على الجانب الجانبي والقاعدة

S = (ج / 2) * √ (أ * أ - ج * ج / 4) ،
حيث c هي قاعدة المثلث ، و a هي قيمة أحد جانبي المثلث متساوي الساقين.

كيفية إيجاد مساحة مثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع الأضلاع. لحساب مساحة مثلث متساوي الأضلاع ، يمكنك استخدام الصيغة التالية:
S = (√3 * أ * أ) / 4 ،
حيث a هو طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع.

ستسمح لك الصيغ أعلاه بحساب المساحة المطلوبة للمثلث. من المهم أن تتذكر أنه من أجل حساب التباعد بين المثلثات ، يجب أن تأخذ في الاعتبار نوع المثلث والبيانات المتاحة التي يمكن استخدامها في الحساب.