النقاط الحرجة للدالة. كيفية العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط دالة كيفية العثور على الحد الأقصى لنقطة مشتق دالة

تحتل الوظيفة ودراسة معالمها أحد الفصول الرئيسية في الرياضيات الحديثة. المكون الرئيسي لأي وظيفة هو الرسوم البيانية التي تصور ليس فقط خصائصها ، ولكن أيضًا معلمات مشتق هذه الوظيفة. دعنا نلقي نظرة على هذا الموضوع الصعب. إذن ما هي أفضل طريقة لإيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط دالة؟

الوظيفة: التعريف

أي متغير يعتمد بطريقة ما على قيم كمية أخرى يمكن أن يسمى دالة. على سبيل المثال ، الدالة f (x 2) تربيعية وتحدد قيم المجموعة بأكملها x. لنفترض أن x = 9 ، فإن قيمة الدالة تساوي 9 2 = 81.

تأتي الدوال في مجموعة متنوعة من الأنواع: المنطقية والمتجهية واللوغاريتمية والمثلثية والرقمية وغيرها. كانت عقول بارزة مثل لاكروا ولاجرانج ولايبنيز وبرنولي منخرطة في دراستهم. تعمل كتاباتهم بمثابة حصن في الطرق الحديثة لدراسة الوظائف. قبل إيجاد الحد الأدنى من النقاط ، من المهم جدًا فهم معنى الوظيفة ومشتقاتها.

المشتق ودوره

تعتمد جميع الوظائف على متغيراتها ، مما يعني أنها تستطيع تغيير قيمتها في أي وقت. على الرسم البياني ، سيتم تصوير ذلك على أنه منحنى ينخفض أو يرتفع على طول المحور الصادي (هذه هي مجموعة الأرقام الكاملة "y" على طول عمودي الرسم البياني). وبالتالي فإن تعريف نقطة الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظيفة مرتبط بهذه "التذبذبات". دعونا نشرح ما هي هذه العلاقة.

يتم رسم مشتق أي دالة لدراسة خصائصها الرئيسية وحساب مدى سرعة تغير الوظيفة (أي تغير قيمتها اعتمادًا على المتغير "x"). في الوقت الذي تزداد فيه الوظيفة ، سيزداد الرسم البياني لمشتقها أيضًا ، ولكن في أي ثانية قد تبدأ الوظيفة في الانخفاض ، ثم ينخفض الرسم البياني للمشتق. تلك النقاط التي ينتقل عندها المشتق من سالب إلى زائد تسمى الحد الأدنى من النقاط. من أجل معرفة كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط ، يجب أن تفهم بشكل أفضل

كيف تحسب المشتق؟

يتضمن التعريف والوظائف عدة مفاهيم من بشكل عام ، يمكن التعبير عن تعريف المشتق على النحو التالي: هذه هي القيمة التي توضح معدل تغير الوظيفة.

تبدو الطريقة الرياضية لتعريفها للعديد من الطلاب معقدة ، ولكن في الواقع كل شيء أبسط بكثير. من الضروري فقط اتباع الخطة القياسية لإيجاد مشتق من أي دالة. فيما يلي وصف لكيفية إيجاد الحد الأدنى من نقطة دالة دون تطبيق قواعد التفاضل ودون حفظ جدول المشتقات.

يمكنك حساب مشتق دالة باستخدام الرسم البياني. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تصوير الوظيفة نفسها ، ثم تأخذ نقطة واحدة عليها (النقطة أ في الشكل) ، ارسم خطًا عموديًا لأسفل إلى محور الإحداثية (النقطة × 0) ، وعند النقطة أ ارسم ظلًا إلى الرسم البياني للوظيفة. يشكل محور الإحداثية والماس زاوية أ. لحساب قيمة سرعة زيادة الدالة ، تحتاج إلى حساب ظل هذه الزاوية أ.
اتضح أن ظل الزاوية بين المماس واتجاه المحور السيني هو مشتق من الدالة في منطقة صغيرة بالنقطة أ. تعتبر هذه الطريقة طريقة هندسية لتحديد المشتق.

طرق فحص الوظيفة

في المناهج المدرسية للرياضيات ، من الممكن العثور على الحد الأدنى لوظيفة ما بطريقتين. لقد حللنا بالفعل الطريقة الأولى باستخدام الرسم البياني ، ولكن كيف نحدد القيمة العددية للمشتق؟ للقيام بذلك ، سوف تحتاج إلى تعلم العديد من الصيغ التي تصف خصائص المشتق وتساعد في تحويل المتغيرات مثل "x" إلى أرقام. الطريقة التالية عالمية ، لذا يمكن تطبيقها على جميع أنواع الوظائف تقريبًا (الهندسية واللوغاريتمية).

من الضروري مساواة الدالة بالدالة المشتقة ، ثم تبسيط التعبير باستخدام قواعد الاشتقاق.
في بعض الحالات ، عندما يتم إعطاء دالة يكون فيها المتغير "x" قاسمًا ، فمن الضروري تحديد نطاق القيم المقبولة باستبعاد النقطة "0" منها (لسبب بسيط هو أنه في الرياضيات لا يمكن القسمة على صفر بأي حال).
بعد ذلك ، يجب تحويل الشكل الأصلي للدالة إلى معادلة بسيطة ، معادلة التعبير بالكامل بالصفر. على سبيل المثال ، إذا بدت الوظيفة على النحو التالي: f (x) \ u003d 2x 3 + 38x ، فوفقًا لقواعد التفاضل ، فإن مشتقها يساوي f "(x) \ u003d 3x 2 + 1. ثم نقوم بتحويل هذا التعبير في معادلة بالشكل التالي: 3x 2 +1 \ u003d 0.
بعد حل المعادلة وإيجاد النقاط "x" ، يجب تصويرها على المحور x وتحديد ما إذا كان المشتق في هذه المناطق بين النقاط المحددة موجبًا أم سالبًا. بعد التعيين ، سيتضح عند أي نقطة تبدأ الوظيفة في الانخفاض ، أي أنها تغير الإشارة من ناقص إلى عكس ذلك. وبهذه الطريقة يمكنك إيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.

قواعد التمايز

المكون الأساسي في دراسة الوظيفة ومشتقاتها هو معرفة قواعد التفاضل. فقط بمساعدتهم يمكن تحويل التعبيرات المرهقة والوظائف المعقدة الكبيرة. دعنا نتعرف عليهم ، هناك الكثير منهم ، لكنهم جميعًا بسيطون للغاية بسبب الخصائص العادية لكل من وظائف القوة واللوغاريتمية.

مشتق أي ثابت هو صفر (f (x) = 0). أي أن المشتق f (x) \ u003d x 5 + x - 160 سيأخذ الشكل التالي: f "(x) \ u003d 5x 4 +1.
مشتق مجموع فترتين: (f + w) "= f" w + fw ".
مشتق دالة لوغاريتمية: (log a d) "= d / ln a * d. تنطبق هذه الصيغة على جميع أنواع اللوغاريتمات.
مشتق القوة: (x n) "= n * x n-1. على سبيل المثال ، (9x 2)" = 9 * 2x = 18x.
مشتق الدالة الجيبية: (sin a) "= cos a. إذا كانت قيمة sin الزاوية a تساوي 0.5 ، فإن مشتقها هو √3 / 2.

النقاط القصوى

لقد ناقشنا بالفعل كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط ، ومع ذلك ، هناك مفهوم الحد الأقصى لنقاط الوظيفة. إذا كان الحد الأدنى يشير إلى تلك النقاط التي تنتقل عندها الدالة من سالب إلى زائد ، فإن النقاط القصوى هي تلك النقاط على المحور x التي يتغير عندها مشتق الدالة من موجب إلى العكس - ناقص.

يمكنك العثور عليها باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، فقط يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنها تشير إلى تلك المناطق التي تبدأ فيها الوظيفة في الانخفاض ، أي أن المشتق سيكون أقل من الصفر.

في الرياضيات ، من المعتاد تعميم كلا المفهومين ، واستبدالهما بعبارة "نقاط القيم القصوى". عندما تطلب المهمة تحديد هذه النقاط ، فهذا يعني أنه من الضروري حساب مشتق هذه الوظيفة وإيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.

تأمل الشكل التالي.

يظهر الرسم البياني للدالة y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. ضع في اعتبارك بعض الفترات التي تحتوي على النقطة x = 0 ، على سبيل المثال ، من -1 إلى 1. ويسمى هذا الفاصل أيضًا بجوار النقطة x = 0. كما يمكن رؤيته في الرسم البياني ، في هذا الحي ، الدالة y = x يأخذ ^ 3 - 3 * x ^ 2 أكبر قيمة بالضبط عند النقطة x = 0.

الحد الأقصى والأدنى للدالة

في هذه الحالة ، النقطة س = 0 تسمى النقطة القصوى للدالة. بالتشابه مع هذا ، فإن النقطة x = 2 تسمى النقطة الدنيا للدالة y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. نظرًا لوجود مثل هذا الجوار لهذه النقطة حيث ستكون القيمة عند هذه النقطة ضئيلة بين جميع القيم الأخرى من هذا الحي.

نقطة أقصىتسمى الوظيفة f (x) بالنقطة x0 ، بشرط أن يكون هناك جوار للنقطة x0 بحيث لا يساوي x0 من هذا الحي ، المتباينة f (x)< f(x0).

نقطة الحد الأدنىتسمى الوظيفة f (x) بالنقطة x0 ، بشرط أن يكون هناك جوار للنقطة x0 بحيث يتم استيفاء عدم المساواة f (x)> f (x0) لكل x لا يساوي x0 من هذا الحي.

عند الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الدوال ، فإن قيمة مشتق الدالة تساوي صفرًا. لكن هذا ليس شرطًا كافيًا لوجود دالة عند الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

على سبيل المثال ، الدالة y = x ^ 3 عند النقطة x = 0 لها مشتقها يساوي صفرًا. لكن النقطة س = 0 ليست الحد الأدنى أو الحد الأقصى للدالة. كما تعلم ، تزيد الدالة y = x ^ 3 على المحور الحقيقي بأكمله.

وبالتالي ، ستكون النقاط الدنيا والقصوى دائمًا من بين جذر المعادلة f '(x) = 0. ولكن لن تكون كل جذور هذه المعادلة نقاطًا قصوى أو دنيا.

النقاط الثابتة والحرجة

تسمى النقاط التي تكون فيها قيمة مشتق الدالة مساوية للصفر بالنقاط الثابتة. يمكن أن تكون هناك أيضًا نقاط بحد أقصى أو أدنى عند النقاط التي لا يوجد فيها مشتق الوظيفة على الإطلاق. على سبيل المثال ، y = | x | عند النقطة x = 0 لها حد أدنى ، لكن المشتق غير موجود في هذه المرحلة. ستكون هذه النقطة هي النقطة الحرجة للوظيفة.

النقاط الحرجة للدالة هي النقاط التي يكون فيها المشتق مساويًا للصفر ، أو أن المشتق غير موجود في هذه المرحلة ، أي أن الوظيفة في هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق. من أجل العثور على الحد الأقصى أو الأدنى لوظيفة ما ، يجب استيفاء شرط كاف.

لنفترض أن f (x) تكون دالة قابلة للتفاضل في الفترة (أ ؛ ب). تنتمي النقطة x0 إلى هذا الفاصل الزمني و f '(x0) = 0. ثم:

1. إذا ، عند المرور عبر النقطة الثابتة x0 ، تشير الدالة f (x) ومشتقاتها من "زائد" إلى "ناقص" ، فإن النقطة x0 هي النقطة القصوى للدالة.

2. عند المرور عبر النقطة الثابتة x0 ، تشير الدالة f (x) ومشتقاتها من "ناقص" إلى "زائد" ، فإن النقطة x0 هي النقطة الدنيا للدالة.

خوارزمية بسيطة لإيجاد القيم القصوى ..

إيجاد مشتق التابع
يساوي هذا المشتق بصفر
نجد قيم متغير التعبير الناتج (قيم المتغير الذي يتم تحويل المشتق عنده إلى صفر)
نقسم خط الإحداثيات إلى فواصل زمنية بهذه القيم (في نفس الوقت ، يجب ألا ننسى نقاط الفاصل ، والتي يجب أيضًا رسمها على الخط) ، كل هذه النقاط تسمى نقاط "مشبوهة" للنقطة القصوى
نحسب في أي من هذه الفترات ستكون المشتقة موجبة ، وفي أي منها ستكون سالبة. للقيام بذلك ، عليك التعويض بالقيمة من الفترة في المشتق.

من النقاط المشتبه بها من أقصى حد ، من الضروري أن تجد بالضبط. للقيام بذلك ، ننظر إلى الفجوات الموجودة لدينا على خط الإحداثيات. إذا تغيرت علامة المشتق من موجب إلى سالب عند المرور بنقطة ما ، فستكون هذه النقطة أقصى، وإذا كان من سالب إلى زائد ، إذن الحد الأدنى.

لإيجاد أكبر وأصغر قيمة لدالة ما ، تحتاج إلى حساب قيمة الدالة في نهايات المقطع وعند النقاط القصوى. ثم اختر القيمة الأكبر والأصغر.

تأمل في مثال
نجد المشتق ونعادله بالصفر:

نطبق القيم التي تم الحصول عليها من المتغيرات على خط الإحداثيات ونحسب علامة المشتق في كل فترة من الفواصل الزمنية. حسنًا ، على سبيل المثال ، لأول مرة-2 ، فإن المشتق سيكون-0,24 ، للمرة الثانية0 ، فإن المشتق سيكون2 ، والثالث الذي نأخذه2 ، فإن المشتق سيكون-0.24. نضع العلامات المناسبة.

نرى أنه عند المرور بالنقطة -1 ، يتغير المشتق من سالب إلى موجب ، أي أنها ستكون نقطة دنيا ، وعند المرور عبر 1 ، من موجب إلى ناقص ، على التوالي ، هذه نقطة عظمى.

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري للأطراف؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأدنى للدالة.

الشرط الضروري للحد الأقصى والأدنى (أقصى) للوظيفة هو كما يلي: إذا كانت الوظيفةو (x ) له حد أقصى عند النقطة x = a ، ثم في هذه المرحلة يكون المشتق إما صفرًا أو لانهائيًا أو غير موجود.

هذا الشرط ضروري ولكنه ليس كافيا. يمكن للمشتق عند النقطة x = a أن يختفي ، أو ينتقل إلى ما لا نهاية ، أو لا يوجد دون أن يكون للدالة قيمة قصوى في هذه المرحلة.

ما هو الشرط الكافي للدالة القصوى (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

F؟ (x ) موجب على يسار a وسالب على يمين a ، ثم عند النقطة ذاتها x = a الدالةو (x ) لديها أقصىشريطة أن الوظيفةو (x ) مستمر هنا.

إذا كان على مقربة كافية من النقطة x \ u003d a ، فإن المشتق F؟ (x ) سالب على يسار a وموجب على يمين a ، ثم عند النقطة ذاتها x = a الدالةو (x ) لديها الحد الأدنىشريطة أن الوظيفةو (x ) مستمر هنا.

بدلا من ذلك ، يمكنك استخدام الشرط الثاني الكافيالوظيفة القصوى:

دع عند النقطة x = والمشتق الأول F؟ (x ) يختفي إذا كان المشتق الثاني F؟؟ (أ) سالبة ، ثم الدالة f (x) عند النقطة x = a الحد الأقصى ، إذا كان موجبًا - الحد الأدنى.

حول القضية و ؟؟ (أ) = 0 يمكن العثور عليها في كتيب الرياضيات العليا بواسطة M.Ya. فيجودسكي.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الوظيفة التي عندها يكون للوظيفة حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه ، تحتاج أوجد المشتقالمهام F؟ (x ) ومعادلته بالصفر ، حل المعادلة F؟ (x ) = 0. جذور هذه المعادلة ، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة ، هي نقاط حرجة ، أي قيم الحجة التي يمكن أن يكون عندها حد أقصى. يمكن التعرف عليها بسهولة من خلال النظر إليها الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثية (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من الانقطاعات.

على سبيل المثال ، دعنا نجد أقصى درجات القطع المكافئ.

الوظيفة y (x) \ u003d 3 x 2 + 2 x - 50.

مشتق الوظيفة:ذ؟ (س) = 6 س + 2

نحل المعادلة:ذ؟ (س) = 0

6x + 2 \ u003d 0.6x \ u003d -2 ، x \ u003d -2/6 \ u003d -1/3

في هذه الحالة ، النقطة الحرجة هي x 0 = -1/3. لهذه القيمة للحجة أن الوظيفة لها أقصى. للحصول عليه لايجاد، نعوض بالرقم الموجود في التعبير عن الوظيفة بدلاً من "x":

ص 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة ، أي أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت علامة المشتق من "زائد" إلى "ناقص" عند المرور عبر النقطة الحرجة x 0 ، فإن x 0 تكون أقصى نقطة؛ إذا تغيرت إشارة المشتق من سالب إلى موجب ، فإن x 0 تكون الحد الأدنى من النقاط؛ إذا لم تتغير العلامة ، فعند النقطة × 0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

للمثال المدروس:

نأخذ قيمة اعتباطية للحجة إلى يسار النقطة الحرجة: x = -1

عندما س = -1 ، ستكون قيمة المشتق ص? (-1) \ u003d 6 * (-1) + 2 \ u003d -6 + 2 \ u003d -4 (أي العلامة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة اعتباطية للحجة إلى يمين النقطة الحرجة: x = 1

بالنسبة إلى x = 1 ، ستكون قيمة المشتق y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي علامة الجمع).

كما ترى ، عند المرور بالنقطة الحرجة ، تغير المشتق الإشارة من سالب إلى موجب. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة لـ x 0 ، لدينا نقطة صغرى.

أكبر وأصغر قيمة للدالة في الفترة(في المقطع) تم العثور عليها وفقًا لنفس الإجراء ، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ، ربما ، لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفترة الزمنية المحددة. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من النظر. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط داخل الفترة الزمنية ، فسيكون لها إما حد أقصى أو أدنى. في هذه الحالة ، لتحديد أكبر وأصغر قيم للدالة ، نأخذ أيضًا في الاعتبار قيم الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية.

على سبيل المثال ، لنجد أكبر وأصغر قيم للدالة

y (x) \ u003d 3 sin (x) - 0.5x

على فترات:

أ) [-9 ؛ تسع]

ب) [-6 ؛ -3]

إذن ، مشتق الدالة هو

ذ؟ (س) = 3 كوس (س) - 0.5

حل المعادلة 3كوس (س) - 0.5 \ u003d 0

3cos (x) = 0.5

كوس (س) = 0.5 / 3 = 0.16667

x \ u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

نجد النقاط الحرجة في الفترة [-9 ؛ تسع]:

س \ u003d arccos (0.16667) - 2 π * 2 = -11.163 (خارج النطاق)

س \ u003d - أركوس (0.16667) - 2 π * 1 \ u003d -7.687

س \ u003d arccos (0.16667) - 2 π * 1 \ u003d -4.88

س \ u003d - أركوس (0.16667) + 2 π * 0 \ u003d -1.403

س \ u003d arccos (0.16667) + 2 π * 0 \ u003d 1.403

س \ u003d - أركوس (0.16667) + 2 π * 1 \ u003d 4.88

س \ u003d arccos (0.16667) + 2 π * 1 \ u003d 7.687

س \ u003d - أركوس (0.16667) + 2 π * 2 = 11.163 (غير مدرج في النطاق)

نجد قيم الوظيفة عند القيم الحرجة للحجة:

ص (-7.687) = 3 كائنات (-7.687) - 0.5 = 0.885

ص (-4.88) = 3 كوز (-4.88) - 0.5 = 5.398

ص (-1.403) = 3 كائنات (-1.403) - 0.5 = -2.256

ص (1.403) = 3 كائنات (1.403) - 0.5 = 2.256

ص (4.88) = 3 كوز (4.88) - 0.5 = -5.398

ص (7.687) = 3 كوز (7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفترة [-9 ؛ 9] للدالة أكبر قيمة عندس = -4.88:

س = -4.88 ، ص = 5.398 ،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88 ، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 هي y = 5.398.

نجد قيمة الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية:

ص (-6) = 3 كوس (-6) - 0.5 = 3.838

ص (-3) = 3 كوس (-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا أكبر قيمة للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية إيجاد نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد جانبي التحدب والتقعر؟

للعثور على جميع نقاط توقف الخطص = و (س ) ، فأنت بحاجة إلى إيجاد المشتق الثاني ، ومعادلته بالصفر (حل المعادلة) واختبار كل قيم x التي يكون المشتق الثاني فيها صفرًا أو لانهائيًا أو غير موجود. إذا ، عند المرور عبر إحدى هذه القيم ، فإن المشتق الثاني يغير علامة ، فإن الرسم البياني للوظيفة له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير ، فلا يوجد انعطاف.

جذور المعادلة و؟ (x ) = 0 ، بالإضافة إلى النقاط المحتملة لانقطاع الوظيفة والمشتق الثاني ، قسّم مجال الوظيفة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتهم بعلامة المشتق الثاني. إذا كان المشتق الثاني عند نقطة في الفترة قيد الدراسة موجبًا ، فسيكون الخطص = و (س ) هنا عن طريق التقعر لأعلى ، وإذا كان سالبًا ، ثم إلى الأسفل.

كيفية إيجاد القيم القصوى لدالة متغيرين؟

لإيجاد القيم القصوى للدالةو (س ، ص ) ، القابلة للتفاضل في مجال مهمتها ، من الضروري:

1) أوجد النقاط الحرجة ، ولهذا حل جملة المعادلات

و x؟ (س ، ص) \ u003d 0 ، و ص؟ (س ، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة Р 0 (أ؛ ب ) للتحقق مما إذا كانت علامة الاختلاف لم تتغير

و (س ، ص) - و (أ ، ب)

لجميع النقاط (س ؛ ص) قريبة بدرجة كافية من Р 0. إذا احتفظ الاختلاف بإشارة موجبة ، فعند النقطة P 0 يكون لدينا حد أدنى ، إذا كان سالبًا ، ثم حدًا أقصى. إذا لم يحتفظ الاختلاف بعلامته ، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة Р 0.

وبالمثل ، يتم تحديد الحد الأقصى للدالة لعدد أكبر من الوسائط.

مصادر:

فيجودسكي م. كتيب الرياضيات العليا
تشيرنينكو في. الرياضيات العليا في الأمثلة والمهام. في 3 مجلدات. المجلد 1