اللوغاريتمات بنفس الأسس. اللوغاريتم الطبيعي ، دالة ln x

لوغاريتم b (b> 0) للقاعدة a (a> 0 ، a ≠ 1)هو الأس الذي تحتاج إلى رفعه للحصول على b.

يمكن كتابة لوغاريتم b للأساس 10 بالصيغة تسجيل (ب)، واللوغاريتم إلى الأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) - ln (ب).

غالبًا ما تستخدم عند حل المشكلات باستخدام اللوغاريتمات:

خصائص اللوغاريتمات

هناك أربعة رئيسية خصائص اللوغاريتمات.

لنفترض أن a> 0 و a 1 و x> 0 و y> 0.

خاصية 1. لوغاريتم المنتج

لوغاريتم المنتجيساوي مجموع اللوغاريتمات:

سجل أ (س ⋅ ص) = سجل أ س + سجل أ ص

الخاصية 2. لوغاريتم حاصل القسمة

لوغاريتم حاصل القسمةيساوي فرق اللوغاريتمات:

سجل أ (س / ص) = سجل أ س - سجل أ ص

خاصية 3. لوغاريتم الدرجة

لوغاريتم الدرجةيساوي حاصل ضرب الدرجة واللوغاريتم:

إذا كان أساس اللوغاريتم في الأس ، فسيتم تطبيق صيغة أخرى:

خاصية 4. لوغاريتم الجذر

يمكن الحصول على هذه الخاصية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، حيث أن جذر الدرجة n يساوي قوة 1 / n:

صيغة الانتقال من لوغاريتم في قاعدة ما إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

تُستخدم هذه الصيغة أيضًا غالبًا عند حل المهام المختلفة للوغاريتمات:

حالة خاصة:

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

لنفترض أن لدينا وظيفتين f (x) و g (x) تحت اللوغاريتمات بنفس الأسس وهناك علامة عدم مساواة بينهما:

لمقارنتها ، عليك أولاً إلقاء نظرة على قاعدة اللوغاريتمات أ:

إذا كانت a> 0 ، فإن f (x)> g (x)> 0
إذا كان 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

كيفية حل مشاكل اللوغاريتمات: أمثلة

المهام مع اللوغاريتماتالمدرجة في الاستخدام في الرياضيات للصف 11 في المهمة 5 والمهمة 7 ، يمكنك العثور على مهام مع حلول على موقعنا في الأقسام ذات الصلة. أيضًا ، تم العثور على المهام ذات اللوغاريتمات في بنك المهام في الرياضيات. يمكنك العثور على جميع الأمثلة من خلال البحث في الموقع.

ما هو اللوغاريتم

لطالما اعتبرت اللوغاريتمات موضوعًا صعبًا في دورة الرياضيات المدرسية. هناك العديد من التعريفات المختلفة للوغاريتم ، ولكن لسبب ما تستخدم معظم الكتب المدرسية أكثرها تعقيدًا وأسوأها.

سنقوم بتعريف اللوغاريتم بكل بساطة ووضوح. لنقم بإنشاء جدول لهذا:

إذن ، لدينا قوى لاثنين.

اللوغاريتمات - الخصائص والصيغ وكيفية حلها

إذا أخذت الرقم من الخلاصة ، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي يجب أن ترفع بها اثنين للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال ، للحصول على 16 ، عليك رفع اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة. ولكي تحصل على 64 ، عليك أن ترفع اثنين أس ستة. هذا يمكن رؤيته من الجدول.

والآن - في الواقع ، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a من السعة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على العدد x.

تدوين: سجل أ س \ u003d ب ، حيث أ هو الأساس ، س هو الوسيطة ، ب هو في الواقع ما يساوي اللوغاريتم.

على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لوغاريتم 8 للأساس 2 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). قد يكون كذلك سجل 2 64 = 6 ، لأن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين. لذلك دعونا نضيف صفًا جديدًا إلى طاولتنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ ، لا يتم النظر في جميع اللوغاريتمات بسهولة. على سبيل المثال ، حاول العثور على log 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول ، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سوف يقع في مكان ما على المقطع. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير منطقية: يمكن كتابة الأرقام بعد الفاصلة العشرية إلى أجل غير مسمى ، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فمن الأفضل تركه على النحو التالي: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم عبارة عن تعبير به متغيرين (الأساس والحجة). في البداية ، كثير من الناس يخلطون بين مكان الأساس وأين الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. تذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي تحتاج إلى رفع الأساس للحصول على الحجة. إنها القاعدة التي يتم رفعها إلى قوة - في الصورة مظللة باللون الأحمر. اتضح أن القاعدة دائمًا في الأسفل! أقول هذه القاعدة الرائعة لطلابي في الدرس الأول - ولا يوجد أي لبس.

كيف نحسب اللوغاريتمات

توصلنا إلى التعريف - يبقى أن نتعلم كيفية حساب اللوغاريتمات ، أي تخلص من علامة "السجل". بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين يتبعان التعريف:

يجب أن تكون الوسيطة والأساس دائمًا أكبر من صفر. هذا يتبع من تعريف الدرجة بواسطة الأس المنطقي ، والذي يتم اختزال تعريف اللوغاريتم إليه.
يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الوحدة ، لأن الوحدة لأي قوة لا تزال وحدة. لهذا السبب ، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرفع المرء للحصول على اثنين" لا معنى له. لا توجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود مجال صحيح(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كالتالي: log a x = b ⇒ x> 0، a> 0، a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم) غير مفروضة. على سبيل المثال ، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1 ، لأن 0.5 = 2 1.

ومع ذلك ، نحن الآن نفكر في التعبيرات العددية فقط ، حيث لا يلزم معرفة ODZ للوغاريتم. تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مجمعي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة حيز التنفيذ ، ستصبح متطلبات DHS إلزامية. في الواقع ، في الأساس والحجة يمكن أن تكون هناك إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن ضع في اعتبارك المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

اكتب القاعدة a والسعة x كقوة لها أصغر أساس ممكن أكبر من واحد. على طول الطريق ، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية ؛
حل معادلة المتغير ب: س = أ ب ؛
سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فسيتم رؤية ذلك بالفعل في الخطوة الأولى. يعتبر اشتراط أن تكون القاعدة أكبر من واحد وثيق الصلة للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. وبالمثل مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية ، فسيكون هناك عدد مرات أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط مع أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 5 25

دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 52 ؛

لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 5 25 = ب (5 1) ب = 5 2 ⇒5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ؛

تلقى إجابة: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 4 64

دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة لاثنين: 4 = 2 2؛ 64 = 26 ؛
لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 4 64 = ب (2 2) ب = 2 6 ⇒2 2 ب = 2 6 ⇒2 ب = 6 ⇒ ب = 3 ؛
تلقى إجابة: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 16 1

لنمثل الأساس والسعة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ؛ 1 = 20 ؛
لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒2 4 ب = 2 0 ⇒4 ب = 0 ب = 0 ؛
تلقى الرد: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 7 14

دعنا نمثل القاعدة والسعة كقوة سبعة: 7 = 7 1 ؛ ١٤ لا يتم تمثيلها كقوة سبعة ، لأن ٧ ١< 14 < 7 2 ;
ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يؤخذ في الاعتبار ؛
الجواب لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف تتأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ بسيط جدًا - فقط قم بتحليله إلى عوامل أولية. إذا كان هناك عاملين متميزين على الأقل في التوسع ، فإن الرقم ليس قوة دقيقة.

مهمة. اكتشف ما إذا كانت قوى العدد بالضبط هي: 8 ؛ 48 ؛ 81 ؛ 35 ؛ أربعة عشرة.

8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 - الدرجة الدقيقة ، لأن يوجد مضاعف واحد فقط ؛
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ليست قوة دقيقة لأن هناك عاملين: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة ؛
35 = 7 5 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
14 \ u003d 7 2 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها دائمًا ما تكون قوى محددة لها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة لدرجة أن لها اسمًا خاصًا وتسمية.

من الوسيطة x هو لوغاريتم الأساس 10 ، أي الأس التي يجب رفع 10 إليها للحصول على x. التعيين: lgx.

على سبيل المثال ، سجل 10 = 1 ؛ سجل 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا ، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في الكتاب المدرسي ، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك ، إذا لم تكن معتادًا على مثل هذا التعيين ، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على الكسور العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له رمز خاص به. بمعنى أنه أكثر أهمية من النظام العشري. هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.

من وسيطة x هو لوغاريتم للقاعدة e ، أي القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: lnx.

سوف يسأل الكثير: ما هو الرقم e؟ هذا رقم غير نسبي ، لا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وتدوينها. هذه هي الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459 ...

لن نتعمق في ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = تسجيل الدخول x

هكذا ln e = 1 ؛ سجل ه 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - إلخ. من ناحية أخرى ، ln 2 عدد غير نسبي. بشكل عام ، اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد نسبي غير منطقي. باستثناء الوحدة بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية ، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

أنظر أيضا:

لوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

كيفية تمثيل الرقم كلوغاريتم؟

نستخدم تعريف اللوغاريتم.

اللوغاريتم هو مؤشر على القوة التي يجب أن ترفع القاعدة إليها للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

وبالتالي ، من أجل تمثيل رقم معين ج كلوغاريتم للقاعدة أ ، من الضروري وضع درجة تحت علامة اللوغاريتم بنفس أساس أساس اللوغاريتم ، وكتابة هذا الرقم ج في الأس :

في شكل لوغاريتم ، يمكنك تمثيل أي رقم على الإطلاق - موجب ، سالب ، عدد صحيح ، كسري ، منطقي ، غير منطقي:

من أجل عدم الخلط بين a و c في الظروف المجهدة للاختبار أو الاختبار ، يمكنك استخدام القاعدة التالية لتذكر:

ما هو في الأسفل يذهب إلى الأسفل ، ما في الأعلى يرتفع للأعلى.

على سبيل المثال ، تريد تمثيل الرقم 2 كلوغاريتم للأساس 3.

لدينا رقمان - 2 و 3. هذان الرقمان هما الأساس والأس ، الذي سنكتبه تحت علامة اللوغاريتم. يبقى تحديد أي من هذه الأرقام يجب كتابته ، في قاعدة الدرجة ، وأيها - أعلى ، في الأس.

القاعدة 3 في سجل اللوغاريتم موجودة في الأسفل ، مما يعني أنه عندما نمثل الشيطان كلوغاريتم للقاعدة 3 ، فسنكتب 3 أيضًا إلى القاعدة.

2 أعلى من 3. وفي تدوين الدرجة ، نكتب الاثنين فوق الثلاثة ، أي في الأس:

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمرقم موجب، عدد إيجابي ببسبب أ، أين أ> 0 ، أ 1، هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه. أ، ليحصل ب.

تعريف اللوغاريتميمكن كتابتها بإيجاز مثل هذا:

هذه المساواة صالحة ل ب> 0 ، أ> 0 ، أ 1.عادة ما يتم استدعاؤه الهوية اللوغاريتمية.
يسمى إجراء إيجاد لوغاريتم رقم اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتمات:

لوغاريتم المنتج:

لوغاريتم حاصل القسمة:

استبدال قاعدة اللوغاريتم:

لوغاريتم الدرجة:

لوغاريتم الجذر:

لوغاريتم بقاعدة طاقة:

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

اللوغاريتم العشريتستدعي الأرقام اللوغاريتم الأساسي 10 لذلك الرقم وتكتب & nbsp lg ب
اللوغاريتم الطبيعيتستدعي الأرقام لوغاريتم هذا الرقم إلى الأساس ه، أين ههو رقم غير نسبي يساوي تقريبًا 2.7. في نفس الوقت يكتبون ln ب.

ملاحظات أخرى حول الجبر والهندسة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. لذلك دعونا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x و log a y. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

سجل أ س + سجل أ ص = سجل أ (س ص) ؛
سجل أ س - سجل أ ص = سجل أ (س: ص).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.

الأسس هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم لوغاريتم أ س معطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس وسعة اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "قلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة.

في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون العدد n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا تم رفع الرقم ب لدرجة أن الرقم ب في هذه الدرجة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل معادلات التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم وسعة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

سجل أ أ = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أ من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
سجل أ 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، تسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، سوف نتعمق في حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن ثم ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أن إيجاد اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، فإن حساب اللوغاريتم ، بالتعريف ، ينخفض إلى إيجاد مثل هذا الرقم c الذي هو c \ u003d b ، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

المحلول.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابه:

سجل 2 2 −3 = 3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم إعطاء الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم باعتباره قوة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم ب في الشكل أ ج. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و.

المحلول.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة لـ 7: (انظر إذا لزم الأمر). بالتالي، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك . لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابه:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون عدد طبيعي كبير بدرجة كافية تحت علامة اللوغاريتم ، فلا يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يساعد في تمثيل مثل هذا الرقم مثل بعض قوة أساس اللوغاريتم ، وبالتالي لحساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

المحلول.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يكون الرقم 1 أو الرقم أ تحت علامة اللوغاريتم ، يساوي أساس اللوغاريتم ، ففي هذه الحالات يكون اللوغاريتمات 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10؟

المحلول.

منذ ذلك الحين ، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، لذا فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابه:

و lg10 = 1.

لاحظ أن اللوغاريتمات الحاسوبية بالتعريف (التي ناقشناها في الفقرة السابقة) تعني استخدام سجل المساواة أ أ ع = ص ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد اللوغاريتم ، يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم.

المحلول.

إجابه:

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب أيضًا ، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين عليك استخدام ترسانة أكبر من خصائص اللوغاريتمات من أجل حساب اللوغاريتم الأصلي من حيث اللوغاريتمات المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كان معروفًا أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

المحلول.

إذن علينا إيجاد log 60 27. من السهل ملاحظة أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة ، يمكن إعادة كتابته على النحو 3 · log 60 3.

لنر الآن كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لك خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس كتابة سجل المساواة 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. في هذا الطريق، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1. بالتالي، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 − السجل 60 5 = 1−2 أ − ب.

أخيرًا ، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

إجابه:

السجل 60 27 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

بشكل منفصل ، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج . يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات مع أي قاعدة إلى لوغاريتمات ذات قاعدة محددة ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأصلي ، وفقًا لصيغة الانتقال ، يتحولون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لوجود جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من الدقة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخداماتها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم. الأكثر استخدامًا هو جدول اللوغاريتم الأساسي 2 وجدول اللوغاريتم الطبيعي وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بالعثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1.000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - إنه أوضح. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) موجود في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام باللون البرتقالي). يعطي مجموع الأرقام المميزة القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري حتى المكان العشري الرابع ، أي ، السجل 1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة الرقم في الشكل القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري لأقرب منزلة عشرية ثالثة ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: lg102.76332 = lg1.0276332 10 2 ميكرو جرام 1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها في الجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. وفقًا لصيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. في هذا الطريق، .

فهرس.

كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

الخصائص الأساسية للوغاريتم الطبيعي ، الرسم البياني ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، المشتق ، التكامل ، التوسع في سلسلة القوة وتمثيل الوظيفة ln x عن طريق الأعداد المركبة.

تعريف

اللوغاريتم الطبيعيهي الوظيفة y = ln x، معكوس الأس ، x \ u003d e y ، وهو لوغاريتم قاعدة الرقم e: ln x = تسجيل الدخول x.

يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط أشكال: (ln x) ′ = 1 / x.

على أساس تعريفات، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045 ...;
.

رسم بياني للدالة y = ln x.

رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الوظائف y = ln x) من الرسم البياني للأس عن طريق انعكاس مرآة حول الخط المستقيم y = x.

يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي للقيم الموجبة لـ x. إنه يزيد بشكل رتيب في مجال تعريفه.

كما x → 0 حد اللوغاريتم الطبيعي هو سالب اللانهاية (- ∞).

مثل x → + ∞ ، فإن نهاية اللوغاريتم الطبيعي هي زائد اللانهاية (+ ∞). بالنسبة إلى x الكبيرة ، يزيد اللوغاريتم ببطء نسبيًا. أي دالة قوة x a ذات الأس الموجب a تنمو بشكل أسرع من اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

مجال التعريف ، مجموعة القيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب ، لذلك ليس له قيمة قصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.

قيم ln x

سجل 1 = 0

الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية

الصيغ الناشئة عن تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

يمكن التعبير عن أي لوغاريتم من حيث اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام صيغة التغيير الأساسي:

يتم تقديم البراهين على هذه الصيغ في قسم "اللوغاريتم".

وظيفة عكسية

مقلوب اللوغاريتم الطبيعي هو الأس.

اذا ثم

اذا ثم .

المشتق ln x

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للوضع x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

متكامل

يتم حساب التكامل عن طريق التكامل بالأجزاء:
.
وبالتالي،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة لمتغير معقد ض:
.
دعونا نعبر عن المتغير المركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو
.
لم يتم تعريف الحجة φ بشكل فريد. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لن مختلفة.

لذلك ، فإن اللوغاريتم الطبيعي ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة ، سننظر في المشكلات المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. بالنسبة إلى الاستخدام ، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات والمشكلات التطبيقية وأيضًا في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

ترتبط اللوغاريتمات الحاسوبية ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نسرد بعضًا منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس صحيح ، تتغير علامة الأس إلى العكس. علي سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة لقوة ، تظل القاعدة كما هي ، لكن الأسس تتضاعف.

* * *

كما ترى ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو أن الممارسة الجيدة ضرورية ، والتي تعطي مهارة معينة. من المؤكد أن معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند حل المهام البسيطة ، يمكن للمرء أن يخطئ بسهولة.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا. في المستقبل ، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، فلا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "درجة" ويعني الدرجة التي يلزم عندها رفع الرقم في القاعدة للعثور على الرقم النهائي.

أنواع اللوغاريتمات

log a b هو لوغاريتم الرقم b للقاعدة a (a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0) ؛
lg b - اللوغاريتم العشري (لوغاريتم الأساس 10 ، أ = 10) ؛
ln b - اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم الأساسي e ، a = e).

كيف تحل اللوغاريتمات؟

لوغاريتم الرقم b للقاعدة a هو الأس ، والذي يتطلب رفع القاعدة a إلى الرقم b. يتم نطق النتيجة على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى قاعدة a". حل المشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة المعطاة بالأرقام بالأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد اللوغاريتم أو حله ، بالإضافة إلى تحويل الترميز نفسه. باستخدامهم ، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية ، وإيجاد المشتقات ، وحل التكاملات ، ويتم تنفيذ العديد من العمليات الأخرى. أساسًا ، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الرئيسية:

لأي أ> 0 ؛ أ ≠ 1 ولأي س ؛ ص> 0.

a log a b = b هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية
سجل a 1 = 0
تسجيل أ = 1
سجل أ (س ص) = سجل أ س + سجل أ ص
سجل أ س / ص = سجل أ س - سجل أ ص
سجل 1 / x = -log a x
سجل أ س ص = ص سجل أ س
سجل أ ل س = 1 / ك سجل أ س ، ل ك ≠ 0
سجل أ س = سجل أ ج س ج
log a x \ u003d log b x / log b a - صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
سجل أ س = 1 / سجل س أ

كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة لحلها

أولاً ، اكتب المعادلة المطلوبة.

يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10 ، فسيتم تقصير السجل ، ويتم الحصول على اللوغاريتم العشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e ، فسنكتبه ، واختزاله إلى لوغاريتم طبيعي. هذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

بشكل مباشر ، يكمن الحل في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام لوغاريتم ، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة ، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية بالرجوع قليلاً إلى الوراء في المقالة.

عند جمع وطرح اللوغاريتمات برقمين مختلفين ولكن بنفس القاعدة ، استبدل بلوغاريتم واحد بمنتج أو قسمة الرقمين ب وج ، على التوالي. في هذه الحالة ، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال على قاعدة أخرى (انظر أعلاه).

إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم ، فهناك بعض القيود التي يجب أن تكون على دراية بها. وهذا هو: أساس اللوغاريتم a هو رقم موجب فقط ، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب ، مثل أ ، يجب أن يكون أكبر من صفر.

هناك حالات ، بعد تبسيط التعبير ، لن تتمكن من حساب اللوغاريتم في الشكل العددي. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له ، لأن العديد من الدرجات هي أرقام غير منطقية. في ظل هذا الشرط ، اترك قوة الرقم كلوغاريتم.