أوجد رءوس المثلث الذي تعطى المعادلة جوانبه. كيف تتعلم حل المشكلات في الهندسة التحليلية؟ مشكلة نموذجية مع مثلث على مستوى. ما تحتاج إلى معرفته والقدرة على حل المشكلات في الهندسة بنجاح

كيف تتعلم حل المشكلات في الهندسة التحليلية؟
مشكلة نموذجية مع مثلث على مستوى

تم إنشاء هذا الدرس حول نهج خط الاستواء بين هندسة المستوى وهندسة الفضاء. في الوقت الحالي ، هناك حاجة إلى تنظيم المعلومات المتراكمة والإجابة على سؤال مهم للغاية: كيف تتعلم حل المشكلات في الهندسة التحليلية؟تكمن الصعوبة في حقيقة أن هناك عددًا لا حصر له من المشكلات في الهندسة ، ولا يمكن لأي كتاب مدرسي أن يحتوي على جميع الأمثلة العديدة والمتنوعة. ليس مشتق الوظيفةمع خمس قواعد للتمايز وجدول وتقنيات قليلة….

هل هناك حل! لن أقول كلمات صاخبة إنني طورت نوعًا من التقنية الفخمة ، ومع ذلك ، في رأيي ، هناك نهج فعال للمشكلة قيد الدراسة ، والذي يسمح حتى للغلاية الكاملة بتحقيق نتائج جيدة وممتازة. على الأقل ، اتخذت الخوارزمية العامة لحل المشكلات الهندسية شكلًا واضحًا جدًا في رأسي.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا عليه
لحل المشاكل في الهندسة بنجاح؟

لا مفر من هذا - لكي لا تضغط على الأزرار بشكل عشوائي بأنفك ، فأنت بحاجة إلى إتقان أساسيات الهندسة التحليلية. لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الهندسة أو نسيتها تمامًا ، فيرجى البدء بالدرس ناقلات للدمى. بالإضافة إلى المتجهات والإجراءات معهم ، تحتاج إلى معرفة المفاهيم الأساسية للهندسة المستوية ، على وجه الخصوص ، معادلة الخط المستقيم في المستوىو . يتم تمثيل هندسة الفضاء بالمقالات معادلة الطائرة, معادلات الخط المستقيم في الفراغوالمهام الأساسية على الخط والطائرة وبعض الدروس الأخرى. تقف الخطوط المنحنية والأسطح المكانية من الدرجة الثانية متباعدة إلى حد ما ، ولا توجد الكثير من المشاكل المحددة معها.

افترض أن طالبًا ما لديه بالفعل معرفة أولية ومهارات في حل أبسط مشاكل الهندسة التحليلية. ولكن يحدث هذا على النحو التالي: تقرأ حالة المشكلة ، و ... تريد إغلاق الأمر برمته ، وإلقائه في الزاوية البعيدة ونسيانه ، مثل حلم رهيب. علاوة على ذلك ، لا يعتمد هذا بشكل أساسي على مستوى مؤهلاتك ، فأنا نفسي من وقت لآخر أواجه مهام لا يكون حلها واضحًا. كيف تتصرف في مثل هذه الحالات؟ لا داعي للخوف من مهمة لا تفهمها!

أولا، يجب ضبطه على هل هي مشكلة "مستوية" أم مشكلة مكانية؟على سبيل المثال ، إذا ظهرت متجهات ذات إحداثيين في الحالة ، فهذا بالطبع هو الشكل الهندسي للمستوى. وإذا قام المعلم بتحميل المستمع الممتن بهرم ، فمن الواضح أن هناك هندسة الفضاء. نتائج الخطوة الأولى جيدة بالفعل ، لأننا تمكنا من قطع كمية هائلة من المعلومات غير الضرورية لهذه المهمة!

ثانيا. الحالة ، كقاعدة عامة ، سوف تهمك ببعض الأشكال الهندسية. في الواقع ، قم بالسير على طول ممرات جامعتك الأصلية ، وسترى الكثير من الوجوه المتوترة.

في المشاكل "المسطحة" ، ناهيك عن النقاط والخطوط الواضحة ، يكون الشكل الأكثر شيوعًا هو المثلث. سنقوم بتحليلها بتفصيل كبير. يأتي بعد ذلك متوازي الأضلاع ، ويكون المستطيل والمربع والمعين والدائرة والأشكال الأخرى أقل شيوعًا.

في المهام المكانية ، يمكن أن تطير نفس الأشكال المسطحة + الطائرات نفسها والأهرامات المثلثية الشائعة ذات السطوح المتوازية.

السؤال الثاني - هل تعرف كل شيء عن هذا الرقم؟لنفترض أن الحالة تتعلق بمثلث متساوي الساقين ، وتتذكر بشكل غامض نوع هذا المثلث. نفتح كتابًا مدرسيًا ونقرأ عن مثلث متساوي الساقين. ماذا أفعل .. قال الطبيب معين ، لذلك المعين. الهندسة التحليلية هي الهندسة التحليلية ولكن ستساعد المشكلة في حل الخصائص الهندسية للأشكال نفسهامعروف لنا من المناهج المدرسية. إذا كنت لا تعرف مجموع زوايا المثلث ، فيمكنك أن تعاني لفترة طويلة.

ثالث. حاول دائمًا اتباع المخطط(على مسودة / نظيف / عقلي) ، حتى لو لم تكن الحالة مطلوبة. في المهام "المسطحة" ، أمر إقليدس بنفسه أن يأخذ مسطرة بقلم رصاص في يده - وليس فقط لفهم الحالة ، ولكن أيضًا لغرض الاختبار الذاتي. في هذه الحالة ، المقياس الأكثر ملاءمة هو وحدة واحدة = 1 سم (خليتان رباعيتان). دعونا لا نتحدث عن الطلاب وعلماء الرياضيات المهملين الذين يدورون في قبورهم - يكاد يكون من المستحيل ارتكاب خطأ في مثل هذه المشاكل. بالنسبة للمهام المكانية ، نقوم بإجراء رسم تخطيطي ، والذي سيساعد أيضًا في تحليل الحالة.

غالبًا ما يسمح لك الرسم أو الرسم التخطيطي بمعرفة طريقة حل المشكلة على الفور. بالطبع ، لهذا تحتاج إلى معرفة أساس الهندسة وقطع خصائص الأشكال الهندسية (انظر الفقرة السابقة).

الرابع. تطوير خوارزمية الحل. العديد من مشاكل الهندسة متعددة التمريرات ، لذلك من المريح جدًا تقسيم الحل وتصميمه إلى نقاط. غالبًا ما تتبادر الخوارزمية على الفور إلى الذهن بعد قراءة الحالة أو إكمال الرسم. في حالة وجود صعوبات ، نبدأ بسؤال المشكلة. على سبيل المثال ، حسب الشرط "مطلوب بناء خط مستقيم ...". السؤال الأكثر منطقية هنا هو: "ما الذي يكفي أن تعرف لبناء هذا الخط؟". لنفترض ، "نحن نعرف النقطة ، نحتاج إلى معرفة متجه الاتجاه." نطرح السؤال التالي: "كيف نجد متجه الاتجاه هذا؟ أين؟" إلخ.

في بعض الأحيان يكون هناك "قابس" - لم يتم حل المهمة وهذا كل شيء. يمكن أن تكون أسباب السدادة كما يلي:

- فجوة خطيرة في المعرفة الابتدائية. بمعنى آخر ، أنت لا تعرف أو (و) لا ترى شيئًا بسيطًا للغاية.

- الجهل بخصائص الأشكال الهندسية.

- كانت المهمة صعبة. نعم ، هذا يحدث. لا فائدة من التبخير لساعات وجمع الدموع في منديل. اسأل معلمك أو زملائك الطلاب أو اطرح سؤالاً في المنتدى للحصول على المشورة. علاوة على ذلك ، من الأفضل جعل بيانه ملموسًا - حول ذلك الجزء من الحل الذي لا تفهمه. صرخة على شكل "كيف تحل المشكلة؟" لا يبدو جيدًا ... وفوق كل شيء ، لسمعتك الخاصة.

المرحلة الخامسة. نحن نحل - تحقق ، حل - تحقق ، حل - تحقق - نعطي إجابة. من المفيد التحقق من كل عنصر من عناصر المهمة فور الانتهاء من ذلك. سيساعدك هذا في العثور على الخطأ على الفور. بطبيعة الحال ، لا أحد يمنع حل المشكلة برمتها بسرعة ، ولكن هناك خطر من إعادة كتابة كل شيء مرة أخرى (غالبًا عدة صفحات).

هنا ، ربما ، هي جميع الاعتبارات الرئيسية التي من المستحسن الاسترشاد بها عند حل المشاكل.

يتم تمثيل الجزء العملي من الدرس بالهندسة على المستوى. سيكون هناك مثالان فقط ، لكن لن يبدو ذلك كافياً =)

دعنا ننتقل إلى سلسلة الخوارزمية التي قمت بمراجعتها للتو في عملي العلمي الصغير:

مثال 1

أعطيت ثلاثة رؤوس متوازي الأضلاع. ابحث عن القمة.

لنبدأ في اكتشاف ذلك:

الخطوةالاولى: من الواضح أننا نتحدث عن مشكلة "مسطحة".

الخطوة الثانية: المشكلة تدور حول متوازي الأضلاع. الجميع يتذكر مثل هذا الشكل متوازي الأضلاع؟ لا داعي للابتسام ، فالكثير من الناس يتعلمون في سن 30-40-50 سنة أو أكثر ، لذلك حتى الحقائق البسيطة يمكن محوها من الذاكرة. تم العثور على تعريف متوازي الأضلاع في المثال رقم 3 من الدرس الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجه.

الخطوة الثالثة: لنرسم رسمًا نحدد عليه ثلاثة رؤوس معروفة. من المضحك أنه من السهل بناء النقطة المطلوبة على الفور:

البناء ، بالطبع ، جيد ، لكن الحل يجب أن يكون رسميًا تحليليًا.

الخطوة الرابعة: تطوير خوارزمية الحل. أول ما يتبادر إلى الذهن هو أنه يمكن العثور على نقطة عند تقاطع الخطوط. معادلاتهم غير معروفة لنا ، لذلك علينا أن نتعامل مع هذه المسألة:

1) الجوانب المتقابلة متوازية. بالنقاط أوجد اتجاه اتجاه هذه الجوانب. هذه هي أبسط مهمة تم أخذها في الاعتبار في الدرس. ناقلات للدمى.

ملحوظة: من الأصح أن نقول "معادلة لخط مستقيم يحتوي على جانب" ، ولكن فيما بعد ، للإيجاز ، سأستخدم عبارات "معادلة الجانب" ، "متجه توجيه جانب" ، إلخ.

3) الجوانب المتقابلة متوازية. من النقاط نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب.

4) يؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه

في الفقرات 1-2 و 3-4 ، قمنا بالفعل بحل نفس المشكلة مرتين ، بالمناسبة ، تم تحليلها في المثال رقم 3 من الدرس أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. كان من الممكن أن نقطع شوطا أطول - أولا ابحث عن معادلات الخطوط وبعد ذلك فقط "اسحب" متجهات الاتجاه منها.

5) الآن معادلات الخطوط معروفة. يبقى تكوين وحل نظام المعادلات الخطية المقابل (انظر الأمثلة رقم 4 ، 5 من نفس الدرس أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى).

تم العثور على نقطة.

المهمة بسيطة للغاية وحلها واضح ، لكن هناك طريقة أقصر!

الطريقة الثانية لحلها:

يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع من خلال نقطة تقاطعها. لقد حددت النقطة ، لكن من أجل عدم تشويش الرسم ، لم أرسم الأقطار بنفسي.

لنجعل معادلة الضلع بالنقاط:

للتحقق ، عقليًا أو على مسودة ، استبدل إحداثيات كل نقطة في المعادلة الناتجة. لنجد الآن الميل. للقيام بذلك ، نعيد كتابة المعادلة العامة في شكل معادلة بميل:

لذا فإن عامل الانحدار هو:

وبالمثل ، نجد معادلات الضلعين. لا أرى فائدة كبيرة في رسم نفس الشيء ، لذلك سأعطي النتيجة النهائية على الفور:

2) أوجد طول الضلع. هذه أبسط مهمة تمت مناقشتها في الدرس. ناقلات للدمى. للحصول على نقاط نستخدم الصيغة:

باستخدام نفس الصيغة ، من السهل إيجاد أطوال الأضلاع الأخرى. يتم إجراء الفحص بسرعة كبيرة باستخدام مسطرة عادية.

نستخدم الصيغة .

دعنا نجد المتجهات:

في هذا الطريق:

بالمناسبة ، وجدنا أطوال الأضلاع على طول الطريق.

نتيجة ل:

حسنًا ، يبدو أنه صحيح ، للإقناع ، يمكنك إرفاق منقلة في الزاوية.

انتباه! لا تخلط بين زاوية المثلث والزاوية بين الخطوط المستقيمة. يمكن أن تكون زاوية المثلث منفرجة ، لكن الزاوية بين الخطوط المستقيمة ليست كذلك (انظر الفقرة الأخيرة من المقالة أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى). ومع ذلك ، للعثور على زاوية المثلث ، يمكنك أيضًا استخدام صيغ الدرس أعلاه ، لكن الخشونة هي أن هذه الصيغ تعطي دائمًا زاوية حادة. بمساعدتهم ، قمت بحل هذه المشكلة في مسودة وحصلت على النتيجة. وعلى النسخة النظيفة ، يجب عليك كتابة أعذار إضافية.

4) اكتب معادلة خط مستقيم يمر بنقطة موازية لخط مستقيم.

مهمة قياسية ، تمت مناقشتها بالتفصيل في المثال رقم 2 من الدرس أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. من المعادلة العامة للخط المستقيم سحب ناقلات الاتجاه. لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه التوجيه:

كيف تجد ارتفاع المثلث؟

5) لنقم بمعادلة الارتفاع ونوجد طوله.

لا مفر من التعريفات الصارمة ، لذلك عليك أن تسرق من كتاب مدرسي:

ارتفاع المثلث يسمى العمودي المرسوم من رأس المثلث إلى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل.

أي أنه من الضروري تكوين معادلة العمود الرأسي المرسومة من الرأس إلى الجانب. يتم أخذ هذه المهمة في الاعتبار في الأمثلة رقم 6 ، 7 من الدرس أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. من المعادلة إزالة المتجه العادي. سنقوم بتكوين معادلة الارتفاع للنقطة ومتجه الاتجاه:

يرجى ملاحظة أننا لا نعرف إحداثيات النقطة.

أحيانًا يتم العثور على معادلة الارتفاع من نسبة ميل المستقيمين المتعامدين:. في هذه الحالة ، ثم:. سنقوم بتكوين معادلة الارتفاع لنقطة وميل (انظر بداية الدرس معادلة خط مستقيم على مستوى):

يمكن إيجاد طول الارتفاع بطريقتين.

يوجد طريق دائري:

أ) إيجاد - نقطة تقاطع الارتفاع والجانب ؛
ب) أوجد طول القطعة بنقطتين معروفتين.

لكن في الفصل أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوىتم النظر في صيغة مناسبة للمسافة من نقطة إلى خط. النقطة معروفة: معادلة الخط معروفة أيضًا: ، في هذا الطريق:

6) احسب مساحة المثلث. في الفضاء ، يتم حساب مساحة المثلث بشكل تقليدي باستخدام عبر المنتج من النواقل، ولكن يوجد هنا مثلث في المستوى. نستخدم صيغة المدرسة:
مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه.

في هذه الحالة:

كيف تجد وسيط المثلث؟

7) يؤلف المعادلة الوسيطة.

متوسط ​​المثلث يسمى المقطع المستقيم الذي يصل رأس المثلث بنقطة المنتصف في الضلع المقابل.

أ) ابحث عن نقطة - نقطة منتصف الضلع. نحن نستخدم منتصف تنسيق الصيغ. تُعرف إحداثيات نهايات المقطع: ، ثم إحداثيات الوسط:

في هذا الطريق:

نقوم بتكوين المعادلة المتوسطة بالنقاط :

للتحقق من المعادلة ، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقاط فيها.

8) أوجد نقطة تقاطع الارتفاع والوسيط. أعتقد أن الجميع قد تعلم بالفعل كيفية أداء هذا العنصر من التزلج على الجليد دون الوقوع:

الفصلالخامس. الهندسة التحليلية على متن الطائرة

وفي الفضاء

يتضمن القسم المهام التي تم أخذها في الاعتبار في موضوع "الهندسة التحليلية على مستوى وفي الفضاء": رسم معادلات مختلفة للخطوط على مستوى وفي الفضاء ؛ تحديد الموضع النسبي للخطوط المستقيمة على المستوى ، والخطوط المستقيمة ، والخط المستقيم والمستوى ، والطائرات في الفضاء ؛ صورة منحنيات من الدرجة الثانية. تجدر الإشارة إلى أن هذا القسم يعرض مشاكل المحتوى الاقتصادي ، حيث يتم في حلها استخدام المعلومات من الهندسة التحليلية على المستوى.

عند حل مشاكل الهندسة التحليلية ، يُنصح باستخدام الكتب الدراسية للمؤلفين التاليين: Kletenika ، N. Sh. Kremera ، D.T. مكتوب V.I. Malykhin ، لأن تغطي هذه الأدبيات مجموعة واسعة من المهام التي يمكن استخدامها للدراسة الذاتية حول هذا الموضوع. تم وصف تطبيق الهندسة التحليلية في حل المشكلات الاقتصادية في المنشورات التعليمية لـ MS. كراس و في. ارماكوف.

مشكلة 5.1. بالنظر إلى إحداثيات رءوس المثلثABC . ضروري

أ) اكتب معادلات أضلاع المثلث.

ب) اكتب معادلة ارتفاع المثلث المرسوم من الرأسمن إلى الجانبAB وتجد طوله ؛

ج) اكتب معادلة وسيط المثلث المرسوم من الرأسفي إلى الجانبتيار متردد ;

د) إيجاد زوايا المثلث وتحديد نوعه (مستطيل ، حاد الزاوية ، منفرج الزاوية) ؛

هـ) إيجاد أطوال أضلاع المثلث وتحديد نوعه (مدرج ، متساوي الساقين ، متساوي الأضلاع) ؛

و) أوجد إحداثيات مركز الجاذبية (نقطة تقاطع الوسطاء) للمثلثABC ;

ز) ابحث عن إحداثيات المركز العمودي (نقطة تقاطع الارتفاعات) للمثلثABC .

لكل نقطة من النقاط أ) - ج) من القرار ، قم بعمل رسومات في نظام الإحداثيات. في الأشكال ، حدد الخطوط والنقاط المقابلة لنقاط المشكلة.

مثال 5.1

بالنظر إلى إحداثيات رءوس المثلثABC : . من الضروري أ) كتابة معادلات أضلاع المثلث ؛ ب) اكتب معادلة ارتفاع المثلث المرسوم من الرأس من إلى الجانبAB وتجد طوله ؛ ج) اكتب معادلة وسيط المثلث المرسوم من الرأسفي إلى الجانبتيار متردد ؛ د) إيجاد أطوال أضلاع المثلث وتحديد نوعه (مدرج ، متساوي الساقين ، متساوي الأضلاع) ؛ هـ) إيجاد زوايا المثلث وتحديد نوعه (مستطيل ، حاد الزاوية ، منفرج الزاوية) ؛ و) أوجد إحداثيات مركز الجاذبية (نقطة تقاطع الوسطاء) للمثلث ABC ؛ ز) ابحث عن إحداثيات المركز العمودي (نقطة تقاطع الارتفاعات) للمثلثABC .

المحلول

لكن)لكل جانب من جوانب المثلث ، إحداثيات نقطتين تقعان على الخطوط المرغوبة معروفة ، مما يعني أن معادلات أضلاع المثلث هي معادلات الخطوط التي تمر عبر نقطتين معينتين

,

أين
و
إحداثيات النقطة المقابلة.

وبالتالي ، بالتعويض في الصيغة (5.1) بإحداثيات النقاط المستقيمة المقابلة ، نحصل عليها

,
,
,

من أين ، بعد التحولات ، نكتب معادلات الأضلاع

على التين. 7 تصور الأضلاع المقابلة للمثلث
مستقيم.

إجابه:

ب)اسمحوا ان
- الارتفاع مرسوم من الأعلى إلى الجانب
. بقدر ما
يمر عبر نقطة عمودي على المتجه
، ثم نقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم وفقًا للصيغة التالية

أين
هي إحداثيات المتجه عموديًا على الخط المطلوب ،
هي إحداثيات نقطة تنتمي إلى هذا الخط. أوجد إحداثيات متجه عمودي على خط مستقيم
، والتعويض في الصيغة (5.2)

,
,

.

أوجد طول الارتفاع CHكمسافة من النقطة على التوالي

,

أين
- معادلة الخط المستقيم
,
- إحداثيات نقطة .

في الفقرة السابقة وجد

استبدال البيانات في الصيغة (5.3) ، نحصل عليها

,

على التين. 8 ارسم مثلث وجد ارتفاعه CH.

إجابه: .

ص يكون. 8

في)الوسيط
مثلث
يقسم الجانب
إلى قسمين متساويين ، أي نقطة هي نقطة المنتصف للجزء
. بناءً على ذلك ، يمكنك إيجاد الإحداثيات
نقاط

, ,

أين
و
و ، استبدال أي في الصيغ (5.4) ، نحصل عليها

;
.

معادلة وسيطة
مثلث
يؤلف كمعادلة لخط مستقيم يمر عبر النقاط
و
بواسطة الصيغة (5.1)

,

.

إجابه:(الشكل 9).

ص يكون. تسع

ز)نجد أطوال أضلاع المثلث مثل أطوال المتجهات المقابلة ، أي

,
,
.

حفلات
و
مثلث
يساوي المثلث متساوي الساقين مع قاعدته
.

إجابه:مثلث
متساوي الساقين مع القاعدة
;

,
.

ه)زوايا المثلث
نجد الزوايا بين المتجهات المنبثقة من الرؤوس المقابلة للمثلث المعطى ، أي

,
,
.

لأن المثلث متساوي الساقين مع قاعدة
، ومن بعد

,

نحسب الزوايا بين المتجهات بالصيغة (4.4) ، والتي تتطلب المنتجات العددية للمتجهات
,
.

أوجد إحداثيات المتجهات ووحداتها اللازمة لحساب الزوايا

,
;

,
,
.

استبدال البيانات الموجودة في الصيغة (4.4) ، نحصل عليها

,

نظرًا لأن قيم جيب التمام لجميع الزوايا الموجودة موجبة ، فإن المثلث
حاد.

إجابه:مثلث
حاد الزاوية.

,
,
.

ه)اسمحوا ان

ثم الإحداثيات
نقاط
يمكن إيجادها بالصيغ (5.5)

, ,

أين
,
و
هي إحداثيات النقاط على التوالي , و ، بالتالي،

,
.

إجابه:
- مركز ثقل المثلث
.

ز)اسمحوا ان هو تقويم المثلث
. أوجد إحداثيات نقطة باعتبارها إحداثيات نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. معادلة الارتفاع
تم العثور عليه عند نقطة ب). لنجد معادلة الارتفاع
:

,
,

.

بقدر ما
، ثم حل النظام

هي إحداثيات النقطة من حيث نجد
.

إجابه:
هو تقويم المثلث
.

مشكلة 5.2. التكاليف الثابتة في المؤسسة لإصدار بعض المنتجات هيF الخامس 0 فرك. لكل وحدة إنتاج ، في حين أن الإيراداتص 0 فرك. لكل وحدة من المنتج المصنّع. يؤلف دالة ربحص (ف ) (ف

بيانات حالة المهمة المقابلة للخيارات:

مثال 5.2

التكاليف الثابتة في المؤسسة لإصدار بعض المنتجات هي
فرك. شهريًا ، تكاليف متغيرة -
فرك. لكل وحدة إنتاج ، في حين أن الإيرادات
فرك. لكل وحدة من المنتج المصنّع. يؤلف دالة ربحص (ف ) (ف - عدد المنتجات المنتجة) ؛ بناء الرسم البياني الخاص به وتحديد نقطة التعادل.

المحلول

دعونا نحسب إجمالي تكاليف الإنتاج للإصدار فوحدات من بعض المنتجات

إذا بيعت فوحدات الإنتاج ، ثم سيكون إجمالي الدخل

بناءً على الوظائف التي تم الحصول عليها لإجمالي الدخل والتكاليف الإجمالية ، نجد دالة الربح

,

.

نقطة التعادل - النقطة التي يكون فيها الربح صفرًا أو النقطة التي عندها تساوي التكلفة الإجمالية إجمالي الدخل

,

,

أين نجد

- التعادل.

لبناء رسم بياني (الشكل 10) لدالة الربح ، سنجد نقطة أخرى

إجابه:وظيفة الربح
، التعادل
.

المشكلة 5.3. يتم تحديد قوانين العرض والطلب لسلعة معينة على التوالي من خلال المعادلاتص = ص د (ف ), ص = ص س (ف )، أينص - سعر البضاعة ،ف - كمية البضائع. من المفترض أن الطلب يتحدد فقط بسعر البضائع في السوق.ص من ، والعرض - بالسعر فقطص س استلمها الموردون. ضروري

أ) تحديد نقطة توازن السوق.

ب) نقطة التوازن بعد إدخال ضريبة تساوير . تحديد الزيادة في السعر والنقص في حجم توازن المبيعات ؛

ج) البحث عن الدعمس ، مما سيؤدي إلى زيادة المبيعات بمقدارف 0 الوحدات بالنسبة إلى الأصل (المحدد في الفقرة أ)) ؛

د) إيجاد نقطة توازن جديدة وإيرادات حكومية عند إدخال ضريبة تتناسب مع السعر وتساوين %;

هـ) تحديد مقدار الأموال التي ستنفقها الحكومة على شراء الفائض ، مع تحديد سعر أدنى يساوي ص 0 .

لكل نقطة قرار ، ارسم رسمًا في نظام الإحداثيات. في الشكل ، حدد الخطوط والنقاط المقابلة لعنصر المشكلة.

بيانات حالة المهمة المقابلة للخيارات:

في الهندسة ، غالبًا ما يتم النظر في مفهوم مثل "رأس المثلث". هذه هي نقطة التقاطع بين جانبي هذا الشكل. يتم مصادفة هذا المفهوم في كل مهمة تقريبًا ، لذلك من المنطقي النظر فيه بمزيد من التفصيل.

تحديد رأس المثلث

يوجد في المثلث ثلاث نقاط تقاطع بين الأضلاع تشكل ثلاث زوايا. يطلق عليهم الرؤوس ، والجوانب التي يستريحون عليها تسمى جوانب المثلث.

أرز. 1. قمة في مثلث.

يتم الإشارة إلى الرؤوس في المثلثات بأحرف لاتينية كبيرة. لذلك ، في أغلب الأحيان في الرياضيات ، يُشار إلى الأضلاع بحرفين لاتينيين كبيرين ، وفقًا لاسم الرؤوس المضمنة في الجوانب. على سبيل المثال ، الضلع AB هو أحد جوانب المثلث الذي يربط بين الرؤوس A و B.

أرز. 2. تعيين الرؤوس في المثلث.

خصائص المفهوم

إذا أخذنا مثلثًا موجهًا بشكل تعسفي في مستوى ما ، فمن المريح جدًا من الناحية العملية التعبير عن خصائصه الهندسية من حيث إحداثيات رؤوس هذا الشكل. وبالتالي ، يمكن التعبير عن الرأس A للمثلث كنقطة ذات معلمات عددية معينة A (x ؛ y).

بمعرفة إحداثيات رءوس المثلث ، يمكنك إيجاد نقاط التقاطع للوسيطات ، وطول الارتفاع المنخفض إلى أحد جانبي الشكل ، ومساحة المثلث.

لهذا الغرض ، يتم استخدام خصائص المتجهات الموضحة في نظام الإحداثيات الديكارتية ، لأن طول أحد أضلاع المثلث يتم تحديده من خلال طول المتجه مع النقاط التي توجد بها الرؤوس المقابلة لهذا الشكل.

استخدام رأس المثلث

في أي رأس لمثلث ، يمكنك إيجاد زاوية مجاورة للزاوية الداخلية للشكل المعني. للقيام بذلك ، سيكون عليك تمديد أحد جانبي المثلث. نظرًا لوجود جانبين عند كل رأس ، فهناك زاويتان خارجيتان عند كل رأس. الزاوية الخارجية تساوي مجموع زاويتين داخليتين لمثلث لا يجاورها.

أرز. 3. خاصية الزاوية الخارجية للمثلث.

إذا قمت ببناء زاويتين خارجيتين في رأس واحد ، فستكونان متساويتين ، مثل الزاويتين الرأسية.

ماذا تعلمنا؟

الرأس هو أحد المفاهيم الهامة للهندسة عند التفكير في أنواع مختلفة من المثلثات. هذه هي النقطة التي يتقاطع فيها ضلعي زاوية شكل هندسي معين. يُشار إليه بأحد الأحرف الكبيرة في الأبجدية اللاتينية. يمكن التعبير عن رأس المثلث بدلالة إحداثيات x و y ، وهذا يساعد على تحديد طول ضلع المثلث على أنه طول المتجه.

اختبار الموضوع

تصنيف المادة

متوسط ​​تقييم: 4.2 مجموع التصنيفات المستلمة: 153.