القانون العادي للتوزيع الاحتمالي. احتمالية وقوع قيم السيرة الذاتية العادية في فاصل زمني متماثل فيما يتعلق بالتوقع الرياضي ، قاعدة الثلاث سيجما أوجد فترة زمنية متماثلة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي
يتم إعطاء التوقع الرياضي أ = 3 والانحراف المعياري = 5 لمتغير عشوائي توزيع عادي X.
اكتب كثافة التوزيع الاحتمالية ورسمها بيانيًا تخطيطيًا.
أوجد احتمال أن يأخذ x قيمة من الفترة (2 ؛ 10).
أوجد احتمال أن x سيكون أكبر من 10.
أوجد الفترة الزمنية المتماثلة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي ، والتي ، مع وجود احتمال = 0.95 ، سيتم تضمين قيم x.
واحد). قم بتكوين دالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي X مع المعلمات a = 3 ، = 5 باستخدام الصيغة
. نقوم ببناء رسم بياني تخطيطي للوظيفة 
. دعونا ننتبه إلى حقيقة أن المنحنى الطبيعي متماثل حول الخط المستقيم x = 3 وله حد أقصى عند هذه النقطة يساوي 
، بمعنى آخر. 
ونقطتا انعطاف 
مع الاحداثية 
لنقم ببناء رسم بياني 
2) لنستخدم الصيغة: 
تم العثور على قيم الدالة من جدول التطبيق.
4) دعنا نستخدم الصيغة 
. حسب الشرط ، فإن احتمالية الوقوع في فترة متناظرة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي 
. وفقًا للجدول ، نجد t ، حيث Ф (t) = 0.475 ، t = 2. يعني 
. في هذا الطريق، 
. الجواب هو x (-1 ؛ 7).
للمهام 31-40.
ابحث عن فاصل الثقة لتقدير بموثوقية 0.95 التوقع الرياضي غير المعروف أ للميزة الموزعة بشكل طبيعي X للجمهور العام ، إذا كان الانحراف المعياري العام = 5 ، متوسط العينة 
وحجم العينة ن = 25.
مطلوب للعثور على فاصل الثقة 
.
جميع الكميات باستثناء t معروفة. لنجد t من النسبة Ф (t) = 0.95 / 2 = 0.475. وفقًا لجدول التطبيق ، نجد t = 1.96. بالتعويض ، نحصل أخيرًا على فاصل الثقة المطلوب 12.04 قام قسم التحكم الفني بفحص 200 دفعة من المنتجات المتطابقة وحصل على التوزيع التجريبي التالي ، التردد ni هو عدد الدُفعات التي تحتوي على منتجات غير قياسية xi. مطلوب عند مستوى دلالة 0.05 لاختبار الفرضية القائلة بأن عدد غير - المنتجات المعيارية X توزع حسب قانون بواسون. لنجد متوسط العينة: دعونا نأخذ تقديرًا للمعامل لتوزيع بواسون ، متوسط العينة = 0.6. لذلك ، قانون بواسون المفترض بوضع i = 0،1،2،3،4 ، نجد الاحتمالات P i لظهور منتجات i غير القياسية في 200 دفعة: أوجد الترددات النظرية بالصيغة دعونا نقارن الترددات التجريبية والنظرية باستخدام معيار بيرسون. للقيام بذلك ، سنقوم بعمل جدول حساب. دعونا نجمع الترددات القليلة (4 + 2 = 6) والترددات النظرية المقابلة لها (3.96 + 0.6 = 4.56). احتمالية أن الانحراف CB Xمن M.O. أفي القيمة المطلقة سيكون أقل من رقم موجب معين ، يساوي إذا وضعنا هذه المساواة ، فإننا نحصل عليها w: space = "720" />"> أي SW موزعة بشكل طبيعي Xينحرف عن M.O. أ، كقاعدة عامة ، بنسبة أقل من 3. وهذا هو ما يسمى ب 3 حكم سيجما، والتي غالبًا ما تستخدم في الإحصاء الرياضي. دالة لمتغير عشوائي واحد. التوقع الرياضي لوظيفة SV واحد (tetr) إذا كانت كل قيمة ممكنة لمتغير عشوائي X
يتوافق مع قيمة واحدة محتملة للمتغير العشوائي ص
، ومن بعد ص
مسمى دالة الحجة العشوائية X: ص = φ
(X
). دعنا نتعرف على كيفية إيجاد قانون توزيع دالة وفقًا لقانون توزيع السعة المعروف. 1) دع الحجة X
هو متغير عشوائي منفصل ، وقيم مختلفة X
تتوافق مع قيم مختلفة ص
. ثم احتمالات القيم المقابلة X
و ص
مساو .
2) إذا كانت القيم مختلفة X
يمكن أن تتطابق مع نفس القيم ص
، ثم يتم إضافة احتمالات قيم الوسيطة التي تأخذ الوظيفة نفس القيمة من أجلها. 3) إذا X
هو متغير عشوائي مستمر ، ص = φ
(X
), φ
(x
) هي دالة رتيبة وقابلة للتفاضل ، و ψ
(في
) هي الدالة العكسية ل φ
(X
). التوقع الرياضي لدالة حجة عشوائية واحدة. اسمحوا ان ص = φ
(X
) هي دالة في وسيطة عشوائية X
، ومطلوب إيجاد توقعه الرياضي ، ومعرفة قانون التوزيع X
. 1) إذا X
متغير عشوائي منفصل ، إذن 2) إذا X
هو متغير عشوائي مستمر م
(ص
) بطرق مختلفة. إذا كانت كثافة التوزيع معروفة ز
(ذ
)، ومن بعد 21. وظيفة اثنين من الحجج العشوائية. توزيع الوظيفة Z = X + Y لـ SV X و Y. (tetr) إذا كان كل زوج من القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية X و Y يتوافق مع قيمة واحدة محتملة لمتغير عشوائي Z ، فإن Z يسمى دالة من وسيطتين عشوائيتين X و Y ويكتب Z = φ (X ، Y). إذا كانت X و Y متغيرات عشوائية مستقلة منفصلة ، فعندئذٍ للعثور على توزيع الوظيفة Z = X + Y ، من الضروري إيجاد جميع القيم الممكنة لـ Z ، والتي يكفي لإضافة كل قيمة ممكنة لـ X لجميع القيم الممكنة لـ Y ؛ احتمالات القيم الممكنة التي تم العثور عليها Z تساوي حاصل ضرب احتمالات القيم المضافة X و Y. إذا كانت X و Y متغيرات عشوائية مستقلة ومستقلة ، فإن كثافة التوزيع g (z) لمجموع Z = X + Y (بشرط أن يتم إعطاء كثافة التوزيع لواحدة على الأقل من الوسيطات في الفاصل الزمني (- oo ، oo) بواسطة صيغة واحدة) بواسطة الصيغة ، أو بصيغة مكافئة ، حيث تكون f1 و f2 كثافات التوزيع للحجج ؛ إذا كانت القيم المحتملة للوسيطات غير سالبة ، فعندئذٍ يتم العثور على كثافة التوزيع g (z) للقيمة Z = X + Y بواسطة الصيغة ، أو بواسطة صيغة مكافئة. في حالة إعطاء كل من الكثافات f1 (x) و f2 (y) على فترات محدودة ، لإيجاد الكثافة g (z) للقيمة Z = X + Y ، يُنصح أولاً بإيجاد دالة التوزيع G (z ) ثم اشتقها فيما يتعلق بـ z: g (z) = G '(z). إذا كانت X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين تعطيهما كثافة التوزيع المقابلة f1 (x) و f2 (y) ، فإن احتمال نقطة عشوائية (X ، Y) تقع في المنطقة D يساوي التكامل المزدوج على هذه المنطقة من ناتج كثافات التوزيع: Р [(X، Y) cD] = Р 0.3 0.7 Р 0.6 0.4 أوجد توزيع المتغير العشوائي Z = X + K. الحل. لتكوين توزيع القيمة Z = X + Y ، من الضروري إيجاد جميع القيم الممكنة لـ Z واحتمالاتها. قيم Z المحتملة هي مجموع كل قيمة X ممكنة مع جميع قيم Y الممكنة: Z 1 = 1 + 2 = 3 ؛ ض 2 \ u003d 1 + 4 \ u003d 5 ؛ ض 3 = 3 + 2 = 5 ؛ z4 = 3 + 4 = 7. لنجد احتمالات هذه القيم الممكنة. من أجل Z = 3 ، يكفي أن تأخذ القيمة X القيمة x1 = l والقيمة K-value y1 = 2. احتمالات هذه القيم المحتملة ، على النحو التالي من قوانين التوزيع هذه ، تساوي على التوالي 0.3 و 0.6. نظرًا لأن الوسيطتين X و Y مستقلتان ، فإن الحدثين X = 1 و Y = 2 مستقلان ، وبالتالي فإن احتمال حدوثهما المشترك (أي احتمال وقوع الحدث Z = 3) وفقًا لنظرية ضرب المطر هو 0.3 * 0.6 = 0 ، ثمانية عشر. وبالمثل نجد: I B =! - f4 = 5) = 0.3 0.4 = 0.12 ؛ الفوسفور (Z = 34-2 = 5) = 0.7 0.6 = 0.42 ؛ P (Z = 3rd = 7) = 0.7-0.4 = 0.28. لنكتب التوزيع المطلوب عن طريق إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة Z = z 2 = 5 ، Z = z 3 = 5 (0.12 + 0.42 = 0.54): ض 3 5 7 ؛ ف 0.18 0.54 0.28. التحكم: 0.18 + 0.54 + 0.28 = 1. كما ذكرنا سابقًا ، أمثلة على التوزيعات الاحتمالية متغير عشوائي مستمر
X هي: دعونا نعطي مفهوم قانون التوزيع العادي ، ودالة التوزيع لمثل هذا القانون ، وإجراء حساب احتمال ضرب متغير عشوائي X في فترة زمنية معينة. الطول X لجزء ما هو متغير عشوائي يتم توزيعه وفقًا لقانون التوزيع العادي ، وله متوسط قيمته 20 مم وانحراف معياري قدره 0.2 مم. المحلول.
لكن)الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي X ، موزعة وفقًا للقانون العادي ، نجد: بشرط أن م س = 20 ، σ = 0.2. ب)للتوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي ، يتم تحديد احتمال الوقوع في الفترة الزمنية (19.7 ؛ 20.3) من خلال: في)تم العثور على احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف أقل من رقم موجب 0.1: ز)نظرًا لأن احتمال حدوث انحراف أقل من 0.1 مم هو 0.383 ، فإنه يتبع ذلك ، في المتوسط ، 38.3 جزء من 100 سيكون مع مثل هذا الانحراف ، أي 38.3٪. ه)نظرًا لأن النسبة المئوية للأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن المتوسط النسبة المحددة قد زادت إلى 54٪ ، فإن P (| X-20 |< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. باستخدام التطبيق ( الجدول 2
) ، نجد δ / σ = 0.74. ومن ثم δ = 0.74 * σ = 0.74 * 0.2 = 0.148 ملم. ه)بما أن الفترة المرغوبة متماثلة بالنسبة للقيمة المتوسطة m x = 20 ، يمكن تعريفها على أنها مجموعة من قيم X تحقق المتباينة 20 -< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . حسب الشرط ، فإن احتمال العثور على X في الفترة المطلوبة هو 0.95 ، مما يعني أن P (| x - 20 |< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. باستخدام التطبيق ( الجدول 2
) ، نجد δ / = 1.96. ومن ثم δ = 1.96 * σ = 1.96 * 0.2 = 0.392. مثال 1التوقع الرياضي لل SW المستمر الموزع بشكل طبيعي XM(X) = 6 ، والانحراف المعياري ق ( X) = 2. أوجد: 1) احتمال ضرب قيم CB Xفي الفترة (2 ؛ 9) ؛ 3) فاصل متماثل بالنسبة ل أ Xمع احتمال ز = 0.9642. المحلول. 1) أوجد احتمال ضرب قيم CB Xفي الفترة (2 ؛ 9). قيم دالة لابلاس 2) تحديد الاحتمال لأن أ = م(X) = 6 و ق = ق ( X) = 2 إذن 3) أوجد فاصل زمني متماثل بالنسبة ل أ، والذي يتضمن قيم SW Xمع احتمال ز = 0.9642. مثال 2قيمة عشوائية تي(ساعات) - مدة تشغيل الجهاز لها توزيع أسي. ابحث عن احتمال أن يعمل الجهاز دون إصلاح لمدة 600 ساعة على الأقل إذا كان متوسط وقت التشغيل الخالي من الأعطال للأجهزة من هذا النوع هو 400 ساعة. المحلول. م(تي) = 400 ساعة ، إذن ، وفقًا للصيغة (1.46) منذ التوزيع الأسي مثال 3قيمة عشوائية Xموزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني [ أ, ب]. أوجد احتمال الوصول إلى متغير عشوائي Xلقطعة المحلول. دعنا نستخدم الصيغة في هذا الطريق مثال 4تعمل القطارات الكهربائية بدقة وفقًا للجدول الزمني مع فاصل زمني المحلول. X- وقت الانتظار (بالدقائق) لقطار كهربائي ، يمكن اعتباره متغيرًا عشوائيًا موزعًا بشكل موحد بكثافة: مثال 5الآلة تنتج البطانات. يعتبر الغلاف جيدًا إذا كان الانحراف Xقطرها من حجم التصميم في القيمة المطلقة أقل من 1 مم. على افتراض أن المتغير العشوائي Xتوزع عادة مع الانحراف المعياري s = 0.5 ملم والتوقع الرياضي أ= 0 ، ابحث عن عدد البطانات المناسبة من بين 100 من البطانات المصنعة ، بالإضافة إلى احتمال أن يكون الانحراف عن حجم التصميم 0.4 مم على الأقل ولا يزيد عن 0.8 مم. المحلول. دعنا نستخدم الصيغة () ويترتب على ذلك أن ما يقرب من 95 جلبة من أصل 100 ستكون مناسبة. لإيجاد احتمال أن يكون الانحراف عن حجم التصميم 0.4 مم على الأقل ولا يزيد عن 0.8 مم ، نستخدم الصيغة (1.54) قيم الوظيفة Ф ( x) من الجدول. خيارات المهام الخيار 1 X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: F(x م(X)، تشتت د(XX)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x). المهمة 2. كل واحد من الرماة يطلق النار على الهدف مرة واحدة. احتمال إصابة السهم الأول والثاني والثالث للهدف برصاصة واحدة ، على التوالي ، هو 0.8 ؛ 0.6 و 0.9. بالنسبة المهمة 3. احتمال وقوع حدث ما لكنفي كل تجربة 0.6. مطلوب: 1) لبناء سلسلة توزيع منفصلة سي بي X- عدد تكرارات الحدث لكنفي أربع تجارب مستقلة ؛ 2) تقدير احتمال حدوث هذا الحدث 60 مرة على الأقل في سلسلة من 80 تجربة مستقلة. المشكلة 4. منفصلة سي بي Xمن خلال سلسلة من التوزيعات: ابحث عن سلسلة التوزيع سي بي واي = –2X 2 + 3, م(ص) و د(ص). المهمة 5. مستمر سي بي X البحث: أ) كثافة التوزيع F(x) ؛ ب) م(x) ؛ في) المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة أ سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 14 و ث ( X SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أ سي بي Xمع احتمال ز = 0.8385. المهمة 8. مقياس ساعة الإيقاف له قيمة قسمة 0.2 ثانية. يتم العد التنازلي لأقرب قسمة صحيحة مع التقريب لأقرب ضلع. يمكن اعتبار خطأ القراءة في ظل هذه الظروف متغيرًا عشوائيًا موزعًا بشكل منتظم. أوجد احتمال استخدام ساعة الإيقاف هذه لحساب الوقت بخطأ أ) أقل من 0.05 ثانية ؛ ب) لا تقل عن 0.01 ثانية ولا تزيد عن 0.05 ثانية. الخيار 2 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x). المشكلة 2. هناك 100 بطاقة في اليانصيب ، 10 منها فائزة. شخص ما يشتري 4 تذاكر. بالنسبة SV X- عدد التذاكر الفائزة من بين تلك التي سيتم شراؤها ، قم بعمل سلسلة توزيع واعثر عليها F(x), م(X)، س( X). المهمة 3. يتم تجميع التقارير بشكل مستقل عن بعضها البعض. احتمال ارتكاب خطأ في كل تقرير هو 0.3. المطلوب: 1) بناء سلسلة توزيع CBX-عدد التقارير التي تحتوي على أخطاء بين الأربعة التي تم تجميعها ؛ احسب م(X), د(X) و s ( X) ؛ 2) تقدير احتمالية أن 50 تقريرًا ستعادل 20 تقريرًا بها أخطاء. مشكلة 4. ومن المعروف أن المنفصل سي بي Xيمكن أن تأخذ قيمتين فقط x 1 = -2 و x 2 = 3 وتوقعها الرياضي م(X) = 1.5. تجميع سلسلة التوزيع سي بي Xو سي بي زي= بحث F(ض) و ق ( ض). المهمة 5. مستمر سي بي Xمن خلال دالة التوزيع F(x); 2) م(x) و د(X); المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة تحديد قيمة المعلمة أ، حيث تحدد هذه الوظيفة كثافة التوزيع الاحتمالي لبعض المستمر سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 12 و ث ( X SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أالفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم سي بي Xمع احتمال ز = 0.4515. المشكلة 8. خطأ القياس العشوائي لبعض التفاصيل يخضع للقانون العادي مع المعلمة s = 20 مم. أوجد الاحتمال التالي: أ) تم قياس الجزء بخطأ لا يتجاوز 22 مم في القيمة المطلقة ؛ ب) في أي من القياسين اللذين تم إجراؤهما ، لن يتجاوز الخطأ 22 مم من حيث القيمة المطلقة. الخيار 3 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x). المشكلة الثانية: من بين الرياضيين الثلاثة المدرجين في فريق شباب الدولة في منافسات الوثب العالي ، يمكن للمرء أن يجتاز البداية المؤهلة باحتمال 0.9 ، والثاني باحتمال 0.8 والثالث مع احتمال 0.6. بالنسبة سي بي X- عدد لاعبي المنتخب الوطني الذين سيذهبون إلى الجولة التالية من المنافسة ، وعمل سلسلة توزيع وإيجاد م(X)، س( X). المهمة 3. يتم إطلاق سلسلة من الطلقات المستقلة على الهدف. احتمال إصابة الهدف مع كل طلقة هو 0.8. المطلوب: 1) بناء سلسلة توزيع CBX-عدد الضربات بثلاث طلقات ؛ 2) قدر احتمال أنه مع 100 طلقة سيكون هناك 90 إصابة على الأقل. المشكلة 4. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث عن دالة السلسلة والتوزيع سي بي واي = 2X + 1, م(ص) و د(ص). المهمة 5. مستمر سي بي Xمن خلال دالة التوزيع تجد: 1) كثافة التوزيع F(x); 2) م(x) و د(X); المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة تحديد قيمة المعلمة أ، حيث تحدد هذه الوظيفة كثافة التوزيع الاحتمالي لبعض المستمر سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 13 و ث ( X SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أالفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم سي بي Xمع احتمال ز = 0.9973. المشكلة 8. من المعروف أن وقت إصلاح التلفزيون متغير عشوائي X، موزعة وفقًا للقانون الأسي ، بينما يبلغ متوسط مدة إصلاح التلفزيون أسبوعين. أوجد احتمال أن يستغرق إصلاح التلفزيون الذي تم إحضاره إلى ورشة العمل: أ) أقل من 10 أيام ؛ ب) 9 إلى 12 يومًا. الخيار 4 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x). المهمة 2. لدى المضيف 5 مفاتيح مختلفة من غرف مختلفة. أخرج مفتاحًا عشوائيًا ، وحاول فتح باب إحدى الغرف. للحصول على ملف منفصل سي بي X- عدد محاولات فتح الباب (لم يتم استخدام المفتاح الذي تم التحقق منه للمرة الثانية) قم بعمل سلسلة توزيع وابحث F(x) و م(X). المشكلة 3. احتمال تصنيع جزء بمعلمات الدقة المعطاة من قطعة عمل قياسية لكل جزء هو 0.8. المطلوب: 1) بناء سلسلة توزيع سي بي X- عدد الأجزاء ذات خصائص الدقة المحددة التي سيتم تصنيعها من خمسة فراغات قياسية ؛ 2) تقدير احتمال تصنيع 70 قطعة بخصائص دقة معينة من 90 قطعة عمل. سي بي Xو ص: قم بتكوين سلسلة توزيع سي بي زي = ص – X. لايجاد م(ض) و د(ض). المهمة 5. مستمر سي بي Xمن خلال دالة التوزيع تجد: 1) كثافة التوزيع F(x); 2) م(x); 3) المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة تحديد قيمة المعلمة أ، حيث تحدد هذه الوظيفة كثافة التوزيع الاحتمالي لبعض المستمر سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 16 و ث ( X) = 2 يتم توزيعها بشكل طبيعي بشكل مستمر SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أالفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم سي بي Xمع احتمال ز = 0.9281. مشكلة 8. ارتفاع الذكر البالغ SV X، موزعة وفقًا للقانون العادي مع المعلمات لكن\ u003d 175 سم و \ u003d 10 سم. أوجد احتمال أن يكون ارتفاع الرجل المختار عشوائيًا: أ) أقل من 180 سم ؛ ب) لا تقل عن 170 سم ولا تزيد عن 175 سم. الخيار 5 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x). المشكلة الثانية: الهدف يتكون من دائرة وحلقتين متحدة المركز. ضرب الدائرة يساوي 6 نقاط ، وضرب الحلقة 2 يساوي 4 نقاط ، وضرب الحلقة 3 يساوي نقطتين. تبلغ احتمالية ضرب الدائرة والحلقتين 2 و 3 على التوالي 0.2 ؛ 0.3 و 0.5. للحصول على ملف منفصل SV X- مجموع النقاط التي تم تسجيلها نتيجة ثلاث مرات ، قم بعمل سلسلة توزيع واعثر عليها F(x), م(X)، س( X). المهمة 3. يتكون الخط الآلي من نآلات مستقلة من نفس النوع. احتمال أن الآلة سوف تتطلب التعديل أثناء التحول لكل آلة هو 0.3. المطلوب: 1) بناء سلسلة توزيع سي بي X- عدد الآلات التي تتطلب التعديل أثناء المناوبة ، إذا ن= 4 ؛ 2) تقدير احتمال أن 20 آلة سوف تتطلب التعديل لكل وردية ، إذا ن = 100. المشكلة 4. التوزيع المشترك من منفصلة سي بي Xو صمعطى بالجدول: يؤلف قانون التوزيع سي بي زي = ص + X. لايجاد م(ض) و د(ض). المهمة 5. مستمر سي بي Xمن خلال دالة التوزيع تجد: 1) كثافة التوزيع F(x); 2) م(x) و د(X); المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة تحديد قيمة المعلمة أ، حيث تحدد هذه الوظيفة كثافة التوزيع الاحتمالي لبعض المستمر سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 10 و ث ( X) = 4 توزع بشكل طبيعي بشكل مستمر SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أالفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم سي بي Xمع احتمال ز = 0.5161. المشكلة 8. يقفز عقرب الدقائق في الساعة الكهربائية في نهاية كل دقيقة. قيمة عشوائية X- الفرق بين الوقت الموضح على لوحة النتائج والوقت الحقيقي له توزيع موحد. أوجد احتمال أن تشير الساعة في وقت ما إلى وقت يختلف عن الوقت الحقيقي: أ) بما لا يقل عن 10 ثوانٍ ولا يزيد عن 25 ثانية ؛ ب) لا تقل عن 25 ثانية. الخيار 6 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x). المهمة 2. هناك 12 طالبًا في المجموعة ، يعيش 5 منهم في نزل. يتم اختيار 4 طلاب بشكل عشوائي من القائمة. بالنسبة SV X- عدد الطلاب الذين يعيشون في النزل من بين أولئك الذين سيتم اختيارهم ، قم بعمل سلسلة توزيع وايجاد F(x), م(X) و د(X). المشكلة 3. عند تصنيع أجزاء من نفس النوع على معدات قديمة ، قد يكون كل جزء معيبًا باحتمال 0.1. سلسلة توزيع المؤامرة سي بي X< 3); المهمة 6. يتم إعطاء وظيفة تحديد قيمة المعلمة أ، حيث تحدد هذه الوظيفة كثافة التوزيع الاحتمالي لبعض المستمر سي بي X. لايجاد F(x), المهمة 7. معطى م(X) = 11 و ث ( X) = 3 توزع بشكل طبيعي بشكل مستمر SW X. لايجاد: 1) الاحتمال 2) الاحتمال 3) متناظرة فيما يتعلق أالفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم سي بي Xمع احتمال ز = 0.9973. المهمة 8. مدة تشغيل تلفزيون من هذه العلامة التجارية عبارة عن متغير عشوائي يتم توزيعه وفقًا للقانون العادي مع المعلمات لكن= 12 سنة و s = سنتان. أوجد احتمال أن يعمل التلفزيون بدون إصلاح: أ) من 9 إلى 12 عامًا ؛ الخيار 7 المشكلة 1. متغير عشوائي منفصل X (سي بي X) من خلال سلسلة التوزيع: البحث: 1) دالة التوزيع F(x) ؛ 2) الخصائص العددية: التوقع الرياضي م(X)، تشتت د(X)، انحرافات معيارية( X)، موضه م 0 (X) ؛ 3) الاحتمال ص(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x). المهمة 2. العامل يخدم 4 آلات عمل مستقلة. احتمال أن الآلة لا تتطلب انتباه العامل للجهاز الأول في غضون ساعة هي 0.7 ؛ للثانية - 0.75 ؛ للثالث - 0.8 ؛ للرابع - 0.9. للحصول على ملف منفصل SV X- عدد الآلات التي لن تتطلب انتباه العامل لمدة ساعة ، قم بعمل سلسلة توزيع واعثر عليها F(x), م(X) و د(X). المهمة 3. متاح نآلات تعمل بشكل مستقل. سلسلة توزيع المؤامرة سي بي X- عدد الآلات التي تعمل في وقت معين ، إذا ن= 6 ، واحتمال تشغيل الجهاز في وقت معين هو 0.9 ؛ احسب م(X) و د(X). تقييم احتمالية أن الشركة التي لديها ن= 180 واحتمال عمل كل آلة 0.98 ، وسيكون عدد الآلات العاملة حاليًا 170 على الأقل. المشكلة 4. توزيع قوانين مستقلة منفصلة سي بي Xو ص: قم بتكوين سلسلة توزيع سي بي زي = س ص+ 2. بحث م(ض) و د(ض). بدون مبالغة ، يمكن أن يطلق عليه قانون فلسفي. عند مراقبة الأشياء والعمليات المختلفة للعالم من حولنا ، غالبًا ما نواجه حقيقة أن شيئًا ما لا يكفي ، وأن هناك قاعدة: ما هي الأمثلة التي يمكن أن تعطى؟ هم مجرد ظلام. هذا ، على سبيل المثال ، هو الطول والوزن للأشخاص (وليس فقط) ، والقوة البدنية والقدرات العقلية ، وما إلى ذلك. هناك "كتلة" (بطريقة أو بأخرى)وهناك انحرافات في كلا الاتجاهين. هذه خصائص مختلفة للأشياء غير الحية (نفس الأبعاد والوزن). هذه مدة عشوائية من العمليات ، على سبيل المثال ، وقت سباق مائة متر أو تحول الراتنج إلى كهرمان. من الفيزياء ، تتبادر إلى الذهن جزيئات الهواء: من بينها جزيئات بطيئة ، وهناك جزيئات سريعة ، لكن معظمها يتحرك بسرعات "قياسية". بعد ذلك ، نحيد عن المركز بانحراف معياري آخر ونحسب الارتفاع: وضع علامات على الرسم (اللون الاخضر)ونرى أن هذا يكفي تمامًا. في المرحلة النهائية ، نرسم رسمًا بيانيًا بعناية ، و بعناية خاصةتعكس ذلك التحدب / التقعر! حسنًا ، ربما أدركت منذ وقت طويل أن محور الإحداثي هو كذلك خط مقارب أفقي، ومن المستحيل تمامًا "التسلق" لذلك! من خلال التصميم الإلكتروني للحل ، من السهل إنشاء الرسم البياني في Excel ، وبشكل غير متوقع بالنسبة لي ، فقد سجلت مقطع فيديو قصيرًا حول هذا الموضوع. لكن أولاً ، لنتحدث عن كيفية تغير شكل المنحنى الطبيعي اعتمادًا على قيم و. عند زيادة أو نقصان "a" (مع "سيجما" غير متغيرة)الرسم البياني يحتفظ بشكله و يتحرك يمينًا / يسارًاعلى التوالى. لذلك ، على سبيل المثال ، عندما تأخذ الدالة الشكل في حال حدوث تغيير في "سيجما" (مع ثابت "أ")، الرسم البياني "لا يزال في مكانه" ، ولكن يتغير شكله. عندما يتضخم ، يصبح منخفضًا وممدودًا ، مثل الأخطبوط الذي يمد مجساته. والعكس صحيح عند إنقاص الرسم البياني يصبح أضيق وأطول- اتضح "فاجأ الأخطبوط". نعم ، في تخفيض"سيجما" مرتين: يضيق المخطط السابق ويمتد مرتين: يسمى التوزيع الطبيعي بقيمة الوحدة "سيجما" تطبيع، وإذا كان كذلك تتمحور(حالتنا) ، ثم يسمى هذا التوزيع اساسي. لديها وظيفة كثافة أبسط ، والتي تمت مواجهتها بالفعل في نظرية لابلاس المحلية: لنشاهد الآن فيلمًا:
نعم ، صحيح تمامًا - لقد بقينا في الظل إلى حد ما بشكل غير مستحق دالة التوزيع الاحتمالية. نحن نتذكرها تعريف: داخل التكامل ، عادةً ما يتم استخدام حرف مختلف بحيث لا توجد "تراكبات" مع الترميز ، لأنه يتم تعيين كل قيمة هنا تكامل غير لائق لا يمكن حساب جميع القيم تقريبًا بالضبط ، ولكن كما رأينا للتو ، مع قوة الحوسبة الحديثة ، هذا ليس بالأمر الصعب. لذلك ، بالنسبة للوظيفة = NORMSDIST (ض) واحد اثنان - وقد انتهيت: الآن دعنا نتذكر إحدى المهام الرئيسية للموضوع ، وهي معرفة كيفية إيجاد - احتمالية وجود متغير عشوائي عادي سوف تأخذ قيمة من الفاصل الزمني. هندسيًا ، هذا الاحتمال يساوي مساحةبين المنحنى الطبيعي والمحور x في القسم المقابل: ! يتذكر أيضا
، ماذا او ما هنا يمكنك استخدام Excel مرة أخرى ، ولكن هناك بعض "لكن" مهمة: أولاً ، ليس دائمًا في متناول اليد ، وثانيًا ، القيم "الجاهزة" ، على الأرجح ، ستثير أسئلة من المعلم. لماذا ا؟ لقد تحدثت عن هذا مرارًا وتكرارًا من قبل: في وقت ما (وليس منذ فترة طويلة جدًا) كانت الآلة الحاسبة العادية ترفًا ، ولا تزال الطريقة "اليدوية" لحل المشكلة قيد الدراسة محفوظة في الأدبيات التعليمية. جوهرها هو توحيدالقيمتان "alpha" و "beta" ، أي تقليل الحل إلى التوزيع القياسي: ملحوظة
: الوظيفة سهلة الحصول عليها من الحالة العامة لماذا هذا مطلوب؟ الحقيقة هي أن القيم تم حسابها بدقة من قبل أسلافنا وتم تلخيصها في جدول خاص ، وهو موجود في العديد من الكتب على terver. لكن الأكثر شيوعًا هو جدول القيم ، الذي تعاملنا معه بالفعل نظرية لابلاس التكاملية: إذا كان لدينا تحت تصرفنا جدول قيم دالة لابلاس أذكرك بذلك إجابهمطلوب إعطاؤه كنسبة مئوية ، لذلك يجب ضرب الاحتمال المحسوب في 100 وتقديم النتيجة بتعليق ذي مغزى: - مع رحلة من 5 إلى 70 مترًا ، سيسقط ما يقرب من 15.87٪ من القذائف نحن نتدرب بمفردنا: مثال 3 قطر المحامل المصنعة في المصنع عبارة عن متغير عشوائي يتم توزيعه عادةً بتوقع 1.5 سم وانحراف معياري 0.04 سم ، أوجد احتمال أن حجم المحمل المأخوذ عشوائيًا يتراوح من 1.4 إلى 1.6 سم. في نموذج الحل وأدناه ، سأستخدم وظيفة لابلاس كخيار أكثر شيوعًا. بالمناسبة ، لاحظ أنه وفقًا للصياغة ، يمكنك هنا تضمين نهايات الفترة الزمنية في الاعتبار. ومع ذلك ، هذا ليس حرجا. وفي هذا المثال بالفعل ، واجهنا حالة خاصة - عندما يكون الفاصل الزمني متماثلًا بالنسبة للتوقع الرياضي. في مثل هذه الحالة ، يمكن كتابتها بالشكل وباستخدام غرابة دالة لابلاس ، يمكنك تبسيط صيغة العمل: حسنًا ، الحل المناسب في سطر واحد :) تبين أن نتيجة هذه المهمة قريبة من الوحدة ، لكنني أرغب في مزيد من الموثوقية - أي معرفة الحدود التي يكون فيها القطر الجميع تقريبارمان. هل هناك أي معيار لهذا؟ موجود! السؤال يجيب عليه ما يسمى ب جوهرها هو أن موثوقة عمليا
هي حقيقة أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي سيأخذ قيمة من الفاصل الزمني في الواقع ، فإن احتمال الانحراف عن التوقع أقل من: من حيث "المحامل" - هذه 9973 قطعة بقطر 1.38 إلى 1.62 سم و 27 نسخة "دون المستوى" فقط. في البحث العملي ، عادة ما يتم تطبيق قاعدة "الثلاث سيجما" في الاتجاه المعاكس: إذا احصائياوجدت أن جميع القيم تقريبًا متغير عشوائي قيد الدراسةتتناسب مع فترة 6 انحرافات معيارية ، إذن هناك أسباب وجيهة للاعتقاد بأن هذه القيمة موزعة وفقًا للقانون العادي. يتم التحقق باستخدام النظرية الفرضيات الإحصائية. نواصل حل المهام السوفييتية الصعبة: مثال 4 يتم توزيع القيمة العشوائية لخطأ الوزن وفقًا للقانون العادي مع توقع صفر رياضي وانحراف معياري قدره 3 جرام. أوجد احتمال تنفيذ الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرامات في القيمة المطلقة. المحلولبسيط جدا. حسب الحالة ، ونلاحظ ذلك على الفور عند الوزن التالي (شيء أو شخص ما)نحصل على النتيجة بنسبة 100٪ تقريبًا بدقة 9 جرام. ولكن في المشكلة يوجد انحراف أضيق وبحسب الصيغة إجابه: تختلف المشكلة التي تم حلها اختلافًا جوهريًا عن المشكلة التي تبدو مشابهة. مثال 3درس حول توزيع موحد. كان هناك خطأ التقريبنتائج القياس ، نحن هنا نتحدث عن الخطأ العشوائي للقياسات نفسها. تنشأ مثل هذه الأخطاء بسبب الخصائص التقنية للجهاز نفسه. (يشار إلى نطاق الأخطاء المسموح بها ، كقاعدة عامة ، في جواز سفره)، وأيضًا من خلال خطأ المجرب - عندما نأخذ ، على سبيل المثال ، "بالعين" قراءات من سهم من نفس المقاييس. من بين أمور أخرى ، هناك أيضا ما يسمى ب منهجيأخطاء القياس. إنه بالفعل غير عشوائيالأخطاء التي تحدث بسبب الإعداد أو التشغيل غير الصحيح للجهاز. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن أن "تضيف" موازين الأرضية غير المنظمة باستمرار كيلوغرامًا ، والبائع يقلل بشكل منهجي من وزن المشترين. أو ليس بشكل منهجي لأنه يمكنك الاختصار. ومع ذلك ، على أي حال ، لن يكون هذا الخطأ عشوائيًا ، وتوقعه يختلف عن الصفر. ... أقوم بتطوير دورة تدريبية في المبيعات بشكل عاجل =) لنحل المشكلة بأنفسنا: مثال 5 قطر الأسطوانة هو متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل عشوائي ، وانحرافه المعياري هو mm. أوجد طول الفترة المتناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي ، حيث سينخفض طول قطر الخرزة مع الاحتمال. البند 5 * تخطيط تصميمللمساعدة. يرجى ملاحظة أن التوقع الرياضي غير معروف هنا ، لكن هذا لا يتعارض على الأقل مع حل المشكلة. ومهمة الامتحان ، والتي أوصي بها بشدة لدمج المادة: مثال 6 يتم إعطاء المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي من خلال معلماته (التوقع الرياضي) و (الانحراف المعياري). مطلوب: أ) اكتب الكثافة الاحتمالية ورسم مخططها البياني ؛ يتم تقديم مثل هذه المشكلات في كل مكان ، وعلى مدار سنوات الممارسة تمكنت من حل المئات والمئات منها. تأكد من ممارسة الرسم اليدوي واستخدام جداول البيانات الورقية ؛) حسنًا ، سأقوم بتحليل مثال على زيادة التعقيد: مثال 7 كثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي لها الشكل المحلول: أولاً ، دعنا ننتبه إلى أن الشرط لا يذكر شيئًا عن طبيعة المتغير العشوائي. لا يعني وجود العارض بحد ذاته شيئًا: فقد يكون ، على سبيل المثال ، إيضاحيأو بشكل عام تعسفي التوزيع المستمر. وبالتالي ، لا تزال "الحالة الطبيعية" للتوزيع بحاجة إلى إثبات: منذ الوظيفة نقدم. لهذا حدد مربعًا كاملاًوتنظيم جزء من ثلاثة طوابق: في هذا الطريق: لنجد الآن قيمة المعلمة. نظرًا لأن مضاعف التوزيع العادي له الشكل ، ثم: دعنا نرسم الكثافة: للمهام 41-50.
لديه الشكل 
.
,
,
,
,
.
. بالتعويض عن قيم الاحتمالات في هذه الصيغة ، نحصل عليها 
,
,
,
,
.
,
. يتم إعطاء المتغيرات العشوائية المستقلة X و Y بالتوزيعات:№
مؤشر قانون التوزيع الطبيعي ملحوظة
تعريف
عادي يسمى
التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر X ، كثافته لها الشكل
حيث m x هو التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ، σ x هو الانحراف المعياري
2
دالة التوزيع
احتمالا
يضرب في الفاصل الزمني (أ ؛ ب)
- دالة لابلاس المتكاملة
احتمالا
أن القيمة المطلقة للانحراف أقل من الرقم الموجب δ
ل م س = 0
مثال على حل مشكلة في موضوع "القانون العادي لتوزيع متغير عشوائي مستمر"
مهمة.
ضروري:
أ) اكتب التعبير عن كثافة التوزيع ؛
ب) أوجد احتمال أن يكون طول الجزء بين 19.7 و 20.3 مم ؛
ج) إيجاد احتمال ألا يتجاوز الانحراف 0.1 مم ؛
د) تحديد النسبة المئوية للأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن القيمة المتوسطة 0.1 مم ؛
هـ) إيجاد كيفية ضبط الانحراف بحيث تزيد النسبة المئوية للأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن المتوسط النسبة المحددة إلى 54٪ ؛
و) أوجد فترة زمنية متناظرة حول متوسط القيمة ، حيث يقع X مع احتمال 0.95.
F ((20.3-20) /0.2) - F ((19.7-20) /0.2) = F (0.3 / 0.2) - F (-0.3 / 0 ، 2) \ u003d 2Ф (0.3 / 0.2) \ u003d 2Ф ( 1.5) = 2 * 0.4332 = 0.8664.
وجدنا القيمة Ф (1.5) = 0.4332 في الملاحق ، في جدول قيم دالة لابلاس المتكاملة Φ (x) ( الجدول 2
)
ص (| X-20 |< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
وجدنا القيمة Ф (0.5) = 0.1915 في الملاحق ، في جدول قيم دالة لابلاس المتكاملة Φ (x) ( الجدول 2
)
الفاصل الزمني المطلوب
: (20 - 0.392 ؛ 20 + 0.392) أو (19.608 ؛ 20.392).
مأخوذة من الطاولة. خاصية غرابة الوظيفة Ф (- X) = - F ( X).
من جدول قيم دالة لابلاس نجد أن د = 4.2. ثم الفاصل هو -4.2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.
ومن بعد 
0,2233.
، بالكامل داخل المقطع [ أ, ب].
أين كثافة الاحتمال 
.
20 دقيقة. ابحث عن احتمال أن أحد الركاب الذي يقترب من المنصة سينتظر القطار الكهربائي التالي لأكثر من 10 دقائق ، بالإضافة إلى متوسط وقت الانتظار.
وهذا هو متوسط وقت انتظار القطار الكهربائي.
عند d = 1 ، s = 0.5 و أ = 0.
في أ= 0 ، ق = 0.5 ، أ = 0.4 ، ب = 0.8.
س ط
بي
0,1
0,2
0,3
0,1
0,3
سي بي X- إجمالي عدد مرات الوصول على الهدف في ظل الظروف المحددة ، قم بعمل سلسلة توزيع وابحث F(x), م(X)، س( X) و د(X). س ط
–2
–1
بي
0,05
0,10
0,15
?
0,15
0,20
0,10
د) احتمال أنه في ثلاث تجارب مستقلة سي بي Xيأخذ القيم التي تنتمي إلى الفترة الزمنية مرتين بالضبط
م(X) و د(X). بناء الرسم البياني F(x).
;
; س ط
–2
–1
بي
0,2
0,2
0,1
0,3
0,2
3) 
4) احتمالية ذلك في ثلاث تجارب مستقلة سي بي Xسيأخذ قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (1 ؛ 4) مرة واحدة بالضبط.
م(X), د(X). بناء الرسم البياني F(x).
;
; س ط
بي
0,3
0,1
0,1
0,4
0,1
س ط
–3
–2
–1
بي
0,1
0,2
0,3
0,2
?
3) ص(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях سي بي Xسيأخذ مرتين بالضبط القيم التي تنتمي إلى الفترة الزمنية (-2.3 ؛ 1.5).
و م(X). بناء الرسم البياني F(x).
;
; س ط
–10
–5
بي
0,1
0,1
0,4
0,1
0,3
س ط
بي
?
0,5
0,2
ذ أنا
بي
0,6
?
سي بي Xيأخذ بالضبط ثلاثة أضعاف القيم التي تنتمي إلى الفترة
م(X) و د(X). بناء الرسم البياني F(x).
;
; س ط
بي
0,2
0,1
0,4
0,2
0,1
ص
X
0,20
0,15
0,10
0,30
0,20
0,05
3) ص(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях سي بي Xيأخذ القيم التي تنتمي إلى الفترة (3 ؛ 9) مرتين بالضبط.
م(X). بناء الرسم البياني F(x). ;
; س ط
–5
–3
–1
بي
0,2
0,2
0,1
0,4
0,1
4) احتمالية ذلك في أربع تجارب مستقلة سي بي Xيأخذ القيم التي تنتمي إلى الفترة (1 ؛ 3) مرتين بالضبط.
م(X) و د(X). بناء الرسم البياني F(x).
;
;
ب) 10 سنوات على الأقل. س ط
بي
0,2
0,1
0,2
0,3
0,2
س ط
بي
0,3
?
0,5
ذ أنا
–2
–1
بي
?
0,4
القانون العادي للتوزيع الاحتمالي
هنا نظرة أساسية وظائف الكثافةالتوزيع الاحتمالي العادي ، وأنا أرحب بكم في هذا الدرس الأكثر إثارة للاهتمام.
والرسم البياني "يتحرك" 3 وحدات إلى اليسار - بالضبط إلى الأصل: 
حصلت الكمية الموزعة بشكل طبيعي مع توقع رياضي صفري على اسم طبيعي تمامًا - تتمحور؛ وظيفة الكثافة 
– حتى في، والرسم البياني متماثل حول المحور ص.
كل شيء في توافق تام مع التحولات الهندسية للرسوم البيانية.
. لقد وجد التوزيع القياسي تطبيقًا واسعًا في الممارسة ، وسرعان ما سنفهم أخيرًا الغرض منه.
- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من المتغير ، والذي "يدير" جميع القيم الحقيقية إلى ما لا نهاية "زائد".
وهو ما يساوي البعض رقممن الفاصل.
من التوزيع القياسي ، تحتوي وظيفة Excel المقابلة بشكل عام على وسيطة واحدة:
يظهر الرسم بوضوح تنفيذ كل شيء خصائص دالة التوزيع، ومن الفروق التقنية هنا يجب الانتباه إلى الخطوط المقاربة الأفقيةونقطة انعطاف.
ولكن في كل مرة قم بطحن قيمة تقريبية 
غير معقول ، وبالتالي فهو أكثر عقلانية للاستخدام صيغة "سهلة":
.
باستخدام خطي بدائل. ثم و:
ومن الاستبدال يتبع الصيغة فقط 
الانتقال من قيم التوزيع العشوائي إلى القيم المقابلة للتوزيع القياسي.
ثم نحلها من خلالها:
يتم تقريب القيم الكسرية تقليديًا إلى 4 منازل عشرية ، كما هو الحال في الجدول القياسي. وللسيطرة البند 5 نسق.
ولتجنب اللبس كن دائما تحت السيطرة، جدول ماذا تعمل أمام عينيك.
يتم استدعاء معلمة دلتا انحرافمن التوقع الرياضي ، ويمكن "تحزيم" المتباينة المزدوجة باستخدام وحدة:
هو احتمال أن تنحرف قيمة المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من.
هو احتمال أن يختلف قطر المحمل المأخوذ عشوائياً عن 1.5 سم بما لا يزيد عن 0.1 سم.ثلاثة حكم سيجما
.
أو 99.73٪
:
- احتمالية تنفيذ الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرامات.
ب) أوجد احتمال أن تأخذ قيمة من الفترة 
;
ج) أوجد احتمال أن لا ينحرف المعامل عن أكثر من ؛
د) بتطبيق قاعدة "الثلاث سيجما" ، أوجد قيم المتغير العشوائي.
. البحث ، التوقع الرياضي ، التباين ، دالة التوزيع ، كثافة المؤامرة ودالات التوزيع ، البحث.
مصمم في أيالقيمة الحقيقية ، ويمكن اختزالها إلى الشكل 
، ثم يتم توزيع المتغير العشوائي وفقًا للقانون العادي.
تأكد من إجراء فحص ، وإعادة المؤشر إلى شكله الأصلي:
وهو ما أردنا رؤيته.
- على حكم القوة"معسر قبالة". وهنا يمكنك تدوين الخصائص العددية الواضحة على الفور: 
، التي نعبر عنها ونستبدلها في وظيفتنا: 
، وبعد ذلك سنراجع السجل بأعيننا مرة أخرى ونتأكد من أن الوظيفة الناتجة لها الشكل 
.
ومؤامرة دالة التوزيع 
:
إذا لم يكن هناك برنامج Excel وحتى آلة حاسبة عادية في متناول اليد ، فسيتم إنشاء المخطط الأخير يدويًا بسهولة! عند هذه النقطة ، تأخذ دالة التوزيع القيمة 
وها هو