مفهوم الصفر حول نظرية الصيغ المثلثية. صيغ حساب المثلثات
هذا هو الدرس الأخير والأهم المطلوب لحل المشكلات B11. نحن نعلم بالفعل كيفية تحويل الزوايا من قياس راديان إلى مقياس درجة (انظر الدرس "راديان وقياس درجة زاوية") ، ونعرف أيضًا كيفية تحديد علامة دالة مثلثية ، مع التركيز على الأرباع المنسقة (انظر الدرس "علامات الدوال المثلثية").
يبقى الأمر صغيرًا: لحساب قيمة الوظيفة نفسها - العدد نفسه المكتوب في الإجابة. هنا تأتي الهوية المثلثية الأساسية للإنقاذ.
الهوية المثلثية الأساسية. بالنسبة لأي زاوية α ، يكون البيان صحيحًا:
الخطيئة 2 α + كوس 2 α = 1.
تتعلق هذه الصيغة بالجيب وجيب التمام لزاوية واحدة. الآن ، بمعرفة الجيب ، يمكننا بسهولة إيجاد جيب التمام - والعكس صحيح. يكفي أن نأخذ الجذر التربيعي:
لاحظ علامة "±" أمام الجذور. الحقيقة هي أنه من خلال المطابقة المثلثية الأساسية ، ليس من الواضح ما هو الجيب الأصلي وجيب التمام: موجب أم سلبي. بعد كل شيء ، التربيع هو وظيفة زوجية "تحرق" جميع السلبيات (إن وجدت).
هذا هو السبب في أنه في جميع مهام B11 الموجودة في الاستخدام في الرياضيات ، توجد بالضرورة شروط إضافية تساعد في التخلص من عدم اليقين باستخدام العلامات. عادةً ما يكون هذا مؤشرًا على ربع الإحداثيات الذي يمكن من خلاله تحديد العلامة.
بالتأكيد سيسأل القارئ اليقظ: "وماذا عن الظل والظل؟" من المستحيل حساب هذه الوظائف مباشرة من الصيغ أعلاه. ومع ذلك ، هناك نتائج طبيعية مهمة من الهوية المثلثية الأساسية التي تحتوي بالفعل على الظل والظل. يسمى:
نتيجة طبيعية مهمة: لأي زاوية α ، يمكن إعادة كتابة الهوية المثلثية الأساسية على النحو التالي:
يمكن استنتاج هذه المعادلات بسهولة من الهوية الأساسية - يكفي قسمة كلا الجانبين على cos 2 α (للحصول على الظل) أو عن طريق sin 2 α (لـ cotangent).
دعونا نلقي نظرة على كل هذا بأمثلة محددة. فيما يلي مشاكل B11 الفعلية المأخوذة من تجارب استخدام الرياضيات لعام 2012.
نحن نعرف جيب التمام ، لكننا لا نعرف جيب التمام. المتطابقة المثلثية الرئيسية (في شكلها "الخالص") تربط هذه الوظائف فقط ، لذلك سنعمل معها. نملك:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ± 1/10 = ± 0.1.
لحل المشكلة ، يبقى العثور على علامة الجيب. نظرًا لأن الزاوية α ∈ (/ 2 ؛ π) ، يتم كتابتها وفقًا للدرجة على النحو التالي: α ∈ (90 درجة ؛ 180 درجة).
لذلك ، تقع الزاوية α في ربع الإحداثيات II - جميع الجيوب هناك موجبة. لذلك فإن الخطيئة α = 0.1.
حسنًا ، نعرف جيب التمام ، لكن علينا إيجاد جيب التمام. كل من هاتين الوظيفتين في الهوية المثلثية الأساسية. نحن نستبدل:
sin 2 α + cos 2 α = 1 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ± 0.5.
يبقى التعامل مع العلامة أمام الكسر. ماذا تختار: زائد أم ناقص؟ حسب الشرط ، تنتمي الزاوية α إلى الفاصل الزمني (π 3π / 2). دعنا نحول الزوايا من قياس راديان إلى قياس درجة - نحصل على: α ∈ (180 درجة ؛ 270 درجة).
من الواضح أن هذا هو ربع الإحداثيات III ، حيث تكون جميع جيب التمام سالبة. لذلك cosα = 0.5.
مهمة. ابحث عن tg α إذا كنت تعرف ما يلي:
المماس وجيب التمام مرتبطان بمعادلة تتبع من الهوية المثلثية الأساسية:
نحصل على: tg α = ± 3. يتم تحديد علامة الظل بواسطة الزاوية α. من المعروف أن α ∈ (3π / 2 ؛ 2π). دعنا نحول الزوايا من قياس الراديان إلى مقياس الدرجة - نحصل على α ∈ (270 درجة ؛ 360 درجة).
من الواضح أن هذا هو ربع الإحداثيات IV ، حيث تكون جميع المماسات سالبة. لذلك ، tgα = −3.
مهمة. ابحث عن cos α إذا كنت تعرف ما يلي:
مرة أخرى ، الجيب معروف وجيب التمام غير معروف. نكتب الهوية المثلثية الرئيسية:
sin 2 α + cos 2 α = 1 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ± 0.6.
يتم تحديد العلامة من خلال الزاوية. لدينا: α ∈ (3π / 2 ؛ 2π). دعنا نحول الزوايا من درجات إلى راديان: α ∈ (270 درجة ؛ 360 درجة) هي ربع إحداثيات IV ، وجيب التمام موجب هناك. لذلك ، cos α = 0.6.
مهمة. ابحث عن sin α إذا كنت تعرف ما يلي:
لنكتب صيغة تتبع من المتطابقة المثلثية الأساسية وتربط مباشرة الجيب وظل التمام:
من هنا نحصل على الخطيئة 2 α = 1/25 ، أي الخطيئة α = ± 1/5 = ± 0.2. من المعروف أن الزاوية α ∈ (0 ؛ π / 2). بالدرجات ، هذا مكتوب على النحو التالي: α ∈ (0 درجة ؛ 90 درجة) - أنا تنسيق الربع.
إذن ، الزاوية في ربع الإحداثي الأول - جميع الدوال المثلثية موجبة هناك ، وبالتالي فإن الخطيئة α \ u003d 0.2.
بيانات مرجعية عن الدوال المثلثية الجيب (sin x) وجيب التمام (cos x). التعريف الهندسي ، الخصائص ، الرسوم البيانية ، الصيغ. جدول الجيب وجيب التمام ، المشتقات ، التكاملات ، توسيعات المتسلسلة ، القاطع ، قاطع التمام. التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة. الاتصال بالوظائف الزائدية.
التعريف الهندسي للجيب وجيب التمام
| BD |- طول قوس الدائرة المتمركزة عند نقطة أ.
α
هي زاوية معبر عنها بالتقدير الدائري.
تعريف
التجويفدالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل | BC | على طول الوتر | AC |.
جيب التمام (كوس α)دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور | AB | على طول الوتر | AC |.
التعيينات المقبولة
;
;
.
;
;
.
رسم بياني لدالة الجيب ، y = sin x
رسم بياني لدالة جيب التمام ، y = cos x
خصائص الجيب وجيب التمام
دورية
وظائف y = الخطيئة xو y = كوس xدورية مع فترة 2 π.
التكافؤ
وظيفة الجيب فردية. دالة جيب التمام زوجية.
مجال التعريف والقيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان
الدالتان الجيب وجيب التمام مستمرتان في مجال تعريفهما ، أي بالنسبة لكل x (انظر دليل الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).
| ص = الخطيئة x | ص = كوس x | |
| النطاق والاستمرارية | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| مدى من القيم | -1 ≤ ص 1 | -1 ≤ ص 1 |
| تصاعدي | ||
| تنازلي | ||
| الحدود القصوى ، ص = 1 | ||
| الصغرى ، ص = - 1 | ||
| الأصفار ، ص = 0 | ||
| نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0 | ص = 0 | ص = 1 |
الصيغ الأساسية
مجموع الجيب وجيب التمام التربيعي
صيغ الجيب وجيب التمام للجمع والفرق
;
;
صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام
صيغ الجمع والفرق
التعبير عن الجيب من خلال جيب التمام
;
;
;
.
التعبير عن جيب التمام من خلال الجيب
;
;
;
.
التعبير من حيث الظل
; .
لدينا:
;
.
في :
;
.
جدول الجيب وجيب التمام والظل والظل
يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لبعض قيم الوسيطة. 
التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة
;
صيغة أويلر
{ -∞ < x < +∞ }
القاطع ، قاطع التمام
وظائف معكوسة
الدوال العكسية للجيب وجيب التمام هي القوسين والجيب القوسي ، على التوالي.
أركسين ، أركسين
Arccosine ، arccos
مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.
الهويات المثلثيةهي مساواة تنشئ علاقة بين الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية واحدة ، مما يسمح لك بالعثور على أي من هذه الوظائف ، بشرط أن يكون أي منها معروفًا.
tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)، \ enspace ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)
tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1
تقول هذه المتطابقة أن مجموع مربع الجيب لزاوية واحدة ومربع جيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا ، مما يجعل من الممكن عمليًا حساب جيب الزاوية عندما يكون جيب التمام معروفًا والعكس صحيح .
عند تحويل التعبيرات المثلثية ، غالبًا ما يتم استخدام هذه الهوية ، مما يسمح لك باستبدال مجموع مربعات جيب التمام وجيب الزاوية بواحد وأيضًا إجراء عملية الاستبدال بترتيب عكسي.
إيجاد الظل والظل من خلال الجيب وجيب التمام
tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)، \ enspace
تتشكل هذه الهويات من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل. بعد كل شيء ، إذا نظرت ، فبالتعريف ، إحداثي y هو الجيب ، والإحداثيات x هي جيب التمام. ثم يكون الظل مساويا للنسبة \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)والنسبة \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- سيكون ظل التمام.
نضيف أنه فقط لمثل هذه الزوايا \ ألفا التي تكون الدوال المثلثية المضمنة فيها منطقية ، ستحدث الهويات ، ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha).
على سبيل المثال: tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)صالح لـ \ زوايا ألفا التي تختلف عن \ frac (\ pi) (2) + \ pi z، أ ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- بالنسبة لزاوية \ ألفا غير \ pi z ، فإن z عدد صحيح.
العلاقة بين الظل والظل
tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1
هذه الهوية صالحة فقط للزوايا \ ألفا التي تختلف عن \ frac (\ pi) (2) z. خلاف ذلك ، لن يتم تحديد ظل التمام أو الظل.
بناءً على النقاط أعلاه ، حصلنا على ذلك tg \ alpha = \ frac (y) (x)، أ ctg \ alpha = \ frac (x) (y). ومن ثم يتبع ذلك tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1. وبالتالي ، فإن الظل وظل التمام لزاوية واحدة يكونان فيهما منطقيين هما رقمان متبادلان.
العلاقات بين الظل وجيب التمام ، ظل التمام والجيب
tg ^ (2) \ alpha + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alpha)- مجموع مربع ظل الزاوية \ alpha و 1 يساوي المربع العكسي لجيب تمام هذه الزاوية. هذه الهوية صالحة لجميع \ alpha بخلاف \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.
1 + ctg ^ (2) \ alpha = \ frac (1) (\ sin ^ (2) \ alpha)- مجموع 1 ومربع ظل التمام للزاوية \ ألفا ، يساوي المربع العكسي لجيب الزاوية المعطاة. هذه الهوية صالحة لأي \ alpha غير \ pi z.
أمثلة مع حلول للمسائل باستخدام المتطابقات المثلثية
مثال 1
ابحث عن \ sin \ alpha و tg \ alpha if \ cos \ alpha = - \ frac12و \ فارك (\ بي) (2)< \alpha < \pi ;
عرض الحل
قرار
الدالتان \ sin \ alpha و \ cos \ alpha مرتبطة بالصيغة \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1. الاستعاضة في هذه الصيغة \ cos \ alpha = - \ frac12، نحن نحصل:
\ sin ^ (2) \ alpha + \ left (- \ frac12 \ right) ^ 2 = 1
هذه المعادلة لها حلين:
\ sin \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)
حسب الشرط \ فارك (\ بي) (2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني ، الجيب موجب ، إذن \ الخطيئة \ ألفا = \ فارك (\ الجذر التربيعي 3) (2).
لإيجاد tg \ alpha ، نستخدم الصيغة tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)
tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3
مثال 2
ابحث عن \ cos \ alpha و ctg \ alpha إذا كان و \ فارك (\ بي) (2)< \alpha < \pi .
عرض الحل
قرار
التعويض في الصيغة \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1رقم شرطي \ الخطيئة \ ألفا = \ فارك (\ sqrt3) (2)، نحن نحصل \ يسار (\ frac (\ sqrt3) (2) \ يمين) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alpha = 1. هذه المعادلة لها حلين \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.
حسب الشرط \ فارك (\ بي) (2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني ، جيب التمام سالب \ cos \ alpha = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.
لإيجاد ctg \ alpha ، نستخدم الصيغة ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha). نحن نعرف القيم المقابلة.
ctg \ alpha = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).
يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل والظل - الصيغ المثلثية. ونظرًا لوجود عدد كبير جدًا من الروابط بين الدوال المثلثية ، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تربط الدوال المثلثية لنفس الزاوية ، والبعض الآخر - وظائف الزاوية المتعددة ، والبعض الآخر - يسمح لك بخفض الدرجة ، والرابع - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية ، إلخ.
في هذه المقالة ، نسرد بالترتيب جميع الصيغ المثلثية الأساسية ، والتي تكفي لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. لسهولة الحفظ والاستخدام ، سنقوم بتجميعها وفقًا للغرض منها ، وندخلها في جداول.
التنقل في الصفحة.
الهويات المثلثية الأساسية
الهويات المثلثية الأساسيةاضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تتبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة من خلال أي دالة أخرى.
للحصول على وصف تفصيلي لهذه الصيغ في علم المثلثات ، وأمثلة على اشتقاقها وتطبيقها ، راجع المقالة.
صيغ الصب
صيغ الصبتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل والظل ، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية ، وخاصية التناظر ، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.
يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ ، وقاعدة ذاكري لحفظها ، وأمثلة على تطبيقها في المقالة.
صيغ الجمع
صيغ الجمع المثلثيةأظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو فرق الزاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.
صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. ركن
صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيف الدوال المثلثية للثنائي ، الثلاثي ، إلخ. يتم التعبير عن الزوايا () من حيث الدوال المثلثية لزاوية واحدة. اشتقاقهم يعتمد على صيغ الجمع.
يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في معادلات المقالات للثنائي أو الثلاثي ، إلخ. زاوية .
صيغ نصف زاوية
صيغ نصف زاويةاظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب التمام لزاوية عدد صحيح. تتبع هذه الصيغ المثلثية من صيغ الزاوية المزدوجة.
يمكن العثور على استنتاجهم وأمثلة التطبيق في المقالة.
صيغ التخفيض
الصيغ المثلثية للدرجات المتناقصةتم تصميمه لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للوظائف المثلثية إلى الجيب وجيب التمام من الدرجة الأولى ، ولكن الزوايا المتعددة. بعبارة أخرى ، تسمح للفرد بتقليل قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.
صيغ مجموع واختلاف الدوال المثلثية
الوجهة الرئيسية معادلات الجمع والفرق للوظائف المثلثيةيتكون من الانتقال إلى منتج الوظائف ، وهو أمر مفيد للغاية عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية ، لأنها تسمح بحساب مجموع واختلاف الجيب وجيب التمام.
الصيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بجيب التمام
يتم الانتقال من ناتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الاختلاف من خلال الصيغ الخاصة بمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام.
حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء
كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.