المعادلات المثلثية المتجانسة: مخطط الحل العام. حل المعادلات المثلثية المتجانسة

نوع الدرس: شرح مادة جديدة. يتم العمل في مجموعات. لكل مجموعة خبير يشرف على عمل الطلاب ويوجهه. يساعد الطلاب الضعفاء على الإيمان بقوتهم في حل هذه المعادلات.

تحميل:

معاينة:

الدرس ذو الصلة

" المعادلات المثلثية المتجانسة "

(الصف العاشر)

استهداف:

1. تقديم مفهوم المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى والثانية ؛
2. صياغة وعمل خوارزمية لحل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى والثانية ؛
3. تعليم الطلاب حل المعادلات المثلثية المتجانسة للدرجتين الأولى والثانية ؛
4. تطوير القدرة على تحديد الأنماط والتعميم ؛
5. تحفيز الاهتمام بالموضوع ، وتنمية الشعور بالتضامن والتنافس الصحي.

نوع الدرس : درس في تكوين المعرفة الجديدة.

نموذج السلوك: العمل في مجموعات.

المعدات: الكمبيوتر ، وتركيب الوسائط المتعددة

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية

في الدرس ، نظام تصنيف لتقييم المعرفة (يشرح المعلم نظام تقييم المعرفة ، وملء ورقة التقييم من قبل خبير مستقل يختاره المعلم من بين الطلاب). الدرس مصحوب بعرض تقديمي. المرفقات 1.

ورقة التقييم رقم.

n \ n	اسم العائلة الاسم الأول	واجب منزلي	النشاط المعرفي	حل المعادلات	مستقل وظيفة	درجة

ثانيًا. تحديث المعارف الأساسية ..

نواصل دراستنا لموضوع "المعادلات المثلثية". سنتعرف عليك اليوم في الدرس بنوع آخر من المعادلات المثلثية وطرق حلها ، وبالتالي سنكرر ما تعلمناه. يتم تقليل جميع أنواع المعادلات المثلثية عند حلها إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. دعونا نتذكر الأنواع الرئيسية لأبسط المعادلات المثلثية. استخدم الأسهم لمطابقة التعبيرات.

ثالثا. الدافع للتعلم.

علينا أن نعمل على حل لغز الكلمات المتقاطعة. بعد حلها ، سنتعلم اسم نوع جديد من المعادلات التي سنتعلم حلها اليوم في الدرس.

يتم عرض الأسئلة على السبورة. يخمن الطلاب ، يقوم خبير مستقل بإدخال النقاط على ورقة النتيجة للطلاب الذين يجيبون.

بعد حل لغز الكلمات المتقاطعة ، سيقرأ الرجال كلمة "متجانسة".

الكلمات المتقاطعة.

إذا أدخلت الكلمات الصحيحة ، فستحصل على اسم أحد أنواع المعادلات المثلثية.

1. قيمة المتغير الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية؟ (جذر)

2. وحدة قياس للزوايا؟ (راديان)

3. المضاعف العددي في المنتج؟ (معامل في الرياضيات او درجة)

4. قسم الرياضيات الذي يدرس الدوال المثلثية؟ (علم المثلثات)

5. ما هو النموذج الرياضي المطلوب لإدخال الدوال المثلثية؟ (دائرة)

6. أي من الدوال المثلثية زوجي؟ (جيب التمام)

7. ما اسم المساواة الحقيقية؟ (هوية)

8- المساواة مع المتغير؟ (المعادلة)

9. المعادلات من نفس الجذور؟ (ما يعادل)

10. مجموعة من جذور المعادلة؟ (المحلول)

رابعا. شرح مادة جديدة.

موضوع الدرس هو "المعادلات المثلثية المتجانسة". (عرض تقديمي)

أمثلة:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 الخطيئة 2 x - 5 sin x cos x - 6 cos 2 س = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x - 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

خامسا - العمل المستقل

الأهداف: اختبار معرفة الطلاب بشكل شامل عند حل جميع أنواع المعادلات المثلثية ، لتشجيع الطلاب على التأمل والتحكم في النفس.
يُطلب من الطلاب إكمال 10 دقائق من العمل الكتابي.
يؤدي الطلاب أداءً على أوراق فارغة للنسخ. بعد مرور الوقت ، يتم جمع قمم العمل المستقل ، وتبقى حلول النسخ مع الطلاب.
فحص العمل المستقل (3 دقائق) يتم عن طريق الفحص المتبادل.
. يتحقق الطلاب من العمل المكتوب لجارهم باستخدام قلم ملون ويكتبون اسم المدقق. ثم سلم الأوراق.

ثم يتم تسليمهم إلى خبير مستقل.

الخيار 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x - 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx = 0

الخيار 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

3) 1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

السادس. تلخيص الدرس

سابعا. واجب منزلي:

الواجب المنزلي - 12 نقطة (3 معادلات 4 × 3 = 12 أعطيت للواجب المنزلي)

نشاط الطالب - إجابة واحدة - نقطة واحدة (4 نقاط كحد أقصى)

حل المعادلات 1 نقطة

العمل المستقل - 4 نقاط

المعادلات غير الخطية في مجهولين

التعريف 1. دعونا يكون بعض مجموعة أزواج من الأرقام (x; ذ). يقال أن المجموعة أ معطاة دالة رقميةض من متغيرين x و y ، إذا تم تحديد قاعدة ، بمساعدة يتم تعيين رقم معين لكل زوج من الأرقام من المجموعة A.

غالبًا ما يكون تحديد دالة عددية z لمتغيرين x و y عينوبالتالي:

أين F (x , ذ) - أي وظيفة أخرى غير الوظيفة

F (x , ذ) = الفأس + ب + ج ,

حيث يتم إعطاء أ ، ب ، ج أرقام.

التعريف 3. حل المعادلة (2)اسم زوج من الأرقام x; ذ) ، حيث تعتبر الصيغة (2) مساواة حقيقية.

مثال 1 . حل المعادلة

نظرًا لأن مربع أي رقم غير سالب ، فإنه يتبع من الصيغة (4) أن المجهولين x و y يفيان بنظام المعادلات

حلها زوج من الأرقام (6 ؛ 3).

الجواب: (6 ؛ 3)

مثال 2. حل المعادلة

إذن ، حل المعادلة (6) هو عدد لا حصر له من أزواج الأرقامعطوف

(1 + ذ ; ذ) ,

حيث y هو أي رقم.

خطي

التعريف 4. حل جملة المعادلات

اسم زوج من الأرقام x; ذ) ، واستبدالها في كل معادلة من معادلات هذا النظام ، نحصل على المساواة الصحيحة.

أنظمة معادلتين ، إحداهما خطية ، لها الشكل

ز(x , ذ)

مثال 4. حل جملة معادلات

المحلول . دعونا نعبر عن المجهول y من المعادلة الأولى للنظام (7) بدلالة المجهول x واستبدال التعبير الناتج في المعادلة الثانية للنظام:

حل المعادلة

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

بالتالي،

ذ 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ذ 2 = 8 - x 2 = - 1 .

أنظمة من معادلتين ، إحداهما متجانسة

أنظمة من معادلتين ، إحداهما متجانسة ، لها الشكل

حيث يتم إعطاء أرقام أ ، ب ، ج ، و ز(x , ذ) هي دالة لمتغيرين x و y.

مثال 6. حل جملة معادلات

المحلول . لنحل المعادلة المتجانسة

3x 2 + 2س ص - ذ 2 = 0 ,

3x 2 + 17س ص + 10ذ 2 = 0 ,

التعامل معها على أنها معادلة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالمجهول س:

.

في حالة متى x = - 5ذ، من المعادلة الثانية للنظام (11) نحصل على المعادلة

5ذ 2 = - 20 ,

التي ليس لها جذور.

في حالة متى

من المعادلة الثانية للنظام (11) نحصل على المعادلة

,

التي جذورها أعداد ذ 1 = 3 , ذ 2 = - 3 . لإيجاد كل من هذه القيم y القيمة المقابلة x ، نحصل على حلين للنظام: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3).

الجواب: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3)

أمثلة على حل أنظمة معادلات من أنواع أخرى

المثال 8. حل نظام المعادلات (MIPT)

المحلول . نقدم مجهولين جديدين u و v ، والتي يتم التعبير عنها بدلالة x و y بالصيغتين:

لإعادة كتابة النظام (12) بدلالة مجاهيل جديدة ، نعبر أولاً عن المجهولين x و y بدلالة u و v. ويترتب على نظام (13) أن

نحل النظام الخطي (14) باستبعاد المتغير x من المعادلة الثانية لهذا النظام. ولهذه الغاية نقوم بإجراء التحولات التالية على النظام (14):

• نترك المعادلة الأولى للنظام دون تغيير ؛
• اطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية واستبدل المعادلة الثانية للنظام بالفرق الناتج.

نتيجة لذلك ، يتحول النظام (14) إلى نظام مكافئ

التي نجد منها

باستخدام الصيغتين (13) و (15) ، نعيد كتابة النظام الأصلي (12) بالشكل

المعادلة الأولى للنظام (16) خطية ، لذا يمكننا التعبير عن المجهول u منها بدلالة المجهول v والتعويض عن هذا التعبير في المعادلة الثانية للنظام.

بمساعدة درس الفيديو هذا ، سيتمكن الطلاب من دراسة موضوع المعادلات المثلثية المتجانسة.

دعونا نعطي تعريفات:

1) تبدو المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى مثل sin x + b cos x = 0 ؛

2) تبدو المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية مثل sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

ضع في اعتبارك المعادلة a sin x + b cos x = 0. إذا كانت a صفرًا ، فستبدو المعادلة مثل b cos x = 0 ؛ إذا كانت b تساوي صفرًا ، فستبدو المعادلة مثل sin x = 0. هذه هي المعادلات التي أطلقنا عليها أبسطها وحلناها سابقًا في الموضوعات السابقة.

فكر الآن في الخيار عندما لا تكون a و b مساوية للصفر. بقسمة أجزاء المعادلة على جيب التمام x وسنقوم بالتحول. نحصل على tg x + b = 0 ، ثم tg x يساوي - b / a.

مما ورد أعلاه ، فإن المعادلة a sin mx + b cos mx = 0 هي معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. لحل معادلة ، قسّم أجزائها على cos mx.

دعنا نحلل المثال 1. حل 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. أولاً ، اقسم أجزاء المعادلة على جيب التمام (x / 2). مع العلم أن الجيب مقسومًا على جيب التمام هو الظل ، نحصل على 7 tg (x / 2) - 5 = 0. وبتحويل التعبير نجد أن قيمة الظل (x / 2) هي 5/7. حل هذه المعادلة هو x = arctan a + n ، في حالتنا x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

ضع في اعتبارك المعادلة a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) مع تساوي الصفر ، ستبدو المعادلة مثل b sin x cos x + c cos 2 x = 0. بالتحول ، نحصل على التعبير cos x (b sin x + c cos x) = 0 وانتقل إلى الحل من معادلتين. بعد قسمة أجزاء المعادلة على جيب التمام x ، نحصل على b tg x + c = 0 ، مما يعني tg x = - c / b. مع العلم أن x \ u003d arctan a + πn ، فإن الحل في هذه الحالة سيكون x \ u003d arctg (- c / b) + n.

2) إذا كان a لا يساوي صفرًا ، فعند قسمة أجزاء المعادلة على مربع جيب التمام ، نحصل على معادلة تحتوي على الظل ، والذي سيكون مربعًا. يمكن حل هذه المعادلة بإدخال متغير جديد.

3) عندما c يساوي صفرًا ، ستأخذ المعادلة الصيغة a sin 2 x + b sin x cos x = 0. يمكن حل هذه المعادلة بإخراج الجيب x من القوس.

1. معرفة ما إذا كان هناك خطيئة 2 x في المعادلة ؛

2. إذا كان المصطلح a sin 2 x موجودًا في المعادلة ، فيمكن حل المعادلة بقسمة كلا الجزأين على مربع جيب التمام ثم إدخال متغير جديد.

3. إذا كانت المعادلة a sin 2 x لا تحتوي ، فيمكن حل المعادلة بإخراج cosx المعقوفين.

تأمل المثال 2. نخرج جيب التمام ونحصل على معادلتين. جذر المعادلة الأولى هو x = / 2 + n. لحل المعادلة الثانية ، نقسم أجزاء هذه المعادلة على جيب التمام x ، عن طريق التحويلات نحصل على x = π / 3 + n. الإجابة: س = π / 2 + n و x = / 3 + n.

لنحل المثال 3 ، معادلة بالصيغة 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ونجد جذورها التي تنتمي إلى المقطع من - π إلى π. لأن نظرًا لأن هذه المعادلة غير متجانسة ، فمن الضروري تقليلها إلى شكل متجانس. باستخدام الصيغة sin 2 x + cos 2 x = 1 ، نحصل على المعادلة sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. بقسمة جميع أجزاء المعادلة على cos 2 x ، نحصل على tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 باستخدام إدخال متغير جديد z = tg 2x ، نحل المعادلة التي يكون جذرها z = 1. ثم tg 2x = 1 ، مما يعني أن x = π / 8 + (πn) / 2. لأن وفقًا لحالة المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد الجذور التي تنتمي إلى المقطع من - π إلى π ، سيبدو الحل - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

تفسير النص:

المعادلات المثلثية المتجانسة

سنقوم اليوم بتحليل كيفية حل "المعادلات المثلثية المتجانسة". هذه معادلات من نوع خاص.

دعنا نتعرف على التعريف.

اكتب المعادلة و sinx +بكوسx = 0 (وجيب س زائد يكون جيب التمام س هو صفر) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى ؛

معادلة الشكل أ الخطيئة 2 س +بالخطيئة xكوسx+ جكوس 2 x= 0 (و sine square x plus be sine x cosine x plus se cosine square x يساوي صفرًا) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية.

إذا أ = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل بكوسx = 0.

إذا ب = 0 ، ثم نحصل والخطيئة س = 0.

هذه المعادلات عبارة عن حساب مثلثي أولي ، وقد نظرنا في حلها في موضوعاتنا السابقة

انصحالحالة عندما يكون كلا المعاملين غير صفري. اقسم طرفي المعادلة لكنالخطيئةx+ بكوسx = 0 مصطلح بمصطلح على كوسx.

يمكننا فعل ذلك ، لأن جيب التمام x لا يساوي صفرًا. بعد كل شيء ، إذا كوسx = 0 ثم المعادلة لكنالخطيئةx+ بكوسx = 0 سوف يأخذ النموذج لكنالخطيئةx = 0 , لكن≠ 0 ، إذن الخطيئةx = 0 . وهو مستحيل ، لأنه وفقًا للهوية المثلثية الأساسية الخطيئة 2x +كوس 2 x=1 .

قسمة طرفي المعادلة لكنالخطيئةx+ بكوسx = 0 مصطلح بمصطلح على كوسx، نحصل على: + = 0

لنقم بالتحولات:

1. منذ = tg x ، إذن =و tg x

2 تقليل بنسبة كوسx، ومن بعد

وهكذا نحصل على التعبير التالي و tg x + b = 0.

لنقم بالتحول:

1. انقل b إلى الجانب الأيمن من التعبير ذي الإشارة المعاكسة

و tg x \ u003d - ب

2. تخلص من المضاعف وقسمة طرفي المعادلة على أ

tg س = -.

الخلاصة: معادلة الشكل والخطيئةمx +بكوسمكس = 0 (وجيب م س زائد جيب التمام م س هو صفر) تسمى أيضًا معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. لحلها ، قسّم كلا الطرفين على كوسمكس.

مثال 1. حل المعادلة 7 sin - 5 cos \ u003d 0 (سبعة جيب س على اثنين ناقص خمسة جيب تمام x على اثنين يساوي صفرًا)

المحلول. نقسم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cos ، نحصل على

1. \ u003d 7 tg (نظرًا لأن نسبة الجيب إلى جيب التمام هي الظل ، فإن سبعة جيب س على اثنين مقسومًا على جيب التمام س على اثنين يساوي 7 مماس س على اثنين)

2. -5 = -5 (عند اختصار cos)

وهكذا حصلنا على المعادلة

7tg - 5 = 0 ، فلنحول التعبير ، ونحرك ناقص خمسة إلى الجانب الأيمن ، ونغير الإشارة.

لقد اختزلنا المعادلة إلى الصورة tg t = a ، حيث t = ، a =. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة لكن وهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg a + πn ، ثم سيبدو حل المعادلة كما يلي:

Arctg + πn ، أوجد x

س \ u003d 2 أركتان + 2 ن.

الجواب: x \ u003d 2 arctg + 2πn.

دعنا ننتقل إلى المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية

لكنsin 2 x + b sin x cos x +منcos2 س = 0.

دعونا ننظر في عدة حالات.

أولا إذا أ = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل بالخطيئةxكوسx+ جكوس 2 x= 0.

عند حل البريدثم نستخدم طريقة التحليل للمعادلات. دعنا نخرج كوسxبين قوسين ونحصل على: كوسx(بالخطيئةx+ جكوسx)= 0 . أين كوسx= 0 أو

ب الخطيئة x +منكوس س = 0.ونحن نعلم بالفعل كيفية حل هذه المعادلات.

نقسم كلا الجزأين من حد المعادلة على حد على cosx نحصل عليه

1 (لأن نسبة الجيب إلى جيب التمام هي الظل).

وهكذا نحصل على المعادلة: ب tg س + ج = 0

لقد اختزلنا المعادلة إلى الصورة tg t = a ، حيث t = x ، a =. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة لكنوهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg a + πn ، فسيكون حل المعادلة:

س \ u003d arctg + πn ،.

ثانيًا. إذا أ ≠ 0، ثم نقسم كلا الجزأين من مصطلح المعادلة على حد إلى كوس 2 x.

(بالمثل ، كما في حالة المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى ، لا يمكن أن يتلاشى جيب التمام x).

ثالثا. إذا ج = 0، ثم تأخذ المعادلة الشكل لكنالخطيئة 2 x+ بالخطيئةxكوسx= 0. يتم حل هذه المعادلة بطريقة العوامل (اخرج الخطيئةxللأقواس).

لذلك ، عند حل المعادلة لكنالخطيئة 2 x+ بالخطيئةxكوسx+ جكوس 2 x= 0 يمكنك اتباع الخوارزمية:

مثال 2. حل المعادلة sinxcosx - cos 2 x = 0 (sinx في جيب التمام x ناقص جذر ثلاثة في جيب التمام x يساوي صفرًا).

المحلول. دعونا نحلل (cosx بين قوسين). احصل على

cos x (sin x - cos x) = 0 ، أي cos x = 0 أو sin x - cos x = 0.

الإجابة: x \ u003d + πn، x \ u003d + n.

مثال 3. حل المعادلة 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (ثلاثة جيوب مربعة لاثنين x ناقص ضعف حاصل ضرب الجيب لاثنين x وجيب التمام لاثنين x زائد ثلاثة جيب التمام لاثنين x) وتجد جذورها تنتمي إلى الفترة (- π ؛ π).

المحلول. هذه المعادلة غير متجانسة ، لذلك سنقوم بتحولات. يتم استبدال الرقم 2 الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة بالمنتج 2 1

منذ ذلك الحين ، وفقًا للهوية المثلثية الأساسية ، الخطيئة 2 x + cos 2 x \ u003d 1 ، إذن

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = فتح الأقواس نحصل على: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

إذن المعادلة 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 ستأخذ الشكل:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0 ،

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

لقد حصلنا على معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية. لنطبق القسمة على كل مصطلح على cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

دعونا نقدم متغير جديد z = tg2x.

لدينا z 2 - 2 z + 1 = 0. هذه معادلة تربيعية. عند ملاحظة صيغة الضرب المختصرة على الجانب الأيسر - مربع الفرق () ، نحصل على (z - 1) 2 = 0 ، أي z = 1. لنعد إلى التبديل العكسي:

لقد قللنا المعادلة إلى النموذج tg t \ u003d a ، حيث t \ u003d 2x ، a \ u003d 1. وبما أن هذه المعادلة لها حل لأي قيمة لكنوهذه الحلول تبدو

x \ u003d arctg x a + πn ، فسيكون حل المعادلة:

2x \ u003d arctg1 + πn ،

x \ u003d + ، (x يساوي مجموع pi في ثمانية و pi en مضروبة في اثنين).

ويبقى علينا إيجاد قيم x الموجودة في الفترة

(- π ؛ π) ، أي تحقق المتباينة المزدوجة - π x π. لأن

س = + ، ثم - π + π. قسّم جميع أجزاء هذه المتباينة على π واضرب في 8 ، نحصل على

انقل الوحدة إلى اليمين واليسار ، وقم بتغيير العلامة إلى ناقص واحد

نقسم على أربعة نحصل على

للراحة ، في الكسور ، نختار أجزاء صحيحة

-

تتحقق هذه المتباينة من خلال العدد الصحيح التالي n: -2 ، -1 ، 0 ، 1

آخر التفاصيل حول كيفية حل المهام C1 من امتحان الرياضيات - حل المعادلات المثلثية المتجانسة.سنخبرك بكيفية حلها في هذا الدرس الأخير.

ما هي هذه المعادلات؟ دعونا نكتبها بعبارات عامة.

$$ a \ sin x + b \ cos x = 0 ، $$

حيث "أ" و "ب" هما بعض الثوابت. تسمى هذه المعادلة بالمعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى.

المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى

لحل مثل هذه المعادلة ، تحتاج إلى تقسيمها على `\ cos x`. ثم سوف يأخذ النموذج

$$ \ أمر جديد (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg))) أ \ tg x + b = 0. $$

تتم كتابة الإجابة على مثل هذه المعادلة بسهولة من حيث قوس الظل.

لاحظ أن `\ cos x ≠ 0`. للتحقق من ذلك ، نعوض بصفر بدلاً من جيب التمام في المعادلة ونحصل على أن الجيب يجب أن يساوي صفرًا أيضًا. ومع ذلك ، لا يمكن أن تكون مساوية للصفر في نفس الوقت ، مما يعني أن جيب التمام ليس صفراً.

تم اختزال بعض مهام الاختبار الحقيقي لهذا العام إلى معادلة مثلثية متجانسة. اتبع الرابط ل. لنأخذ نسخة مبسطة قليلاً من المشكلة.

المثال الأول. حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى

$$ \ sin x + \ cos x = 0. $$

اقسم على `\ cos x`.

$$ \ tg x + 1 = 0 ، $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

أكرر ، كانت هناك مهمة مماثلة في الامتحان :) بالطبع ، ما زلت بحاجة إلى تحديد الجذور ، لكن هذا لا ينبغي أن يسبب أي صعوبات خاصة أيضًا.

دعنا الآن ننتقل إلى النوع التالي من المعادلات.

المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية

بشكل عام ، يبدو كما يلي:

$$ a \ sin ^ 2 x + b \ sin x \ cos x + c \ cos ^ 2 x = 0، $$

حيث "أ ، ب ، ج" هي بعض الثوابت.

يتم حل هذه المعادلات عن طريق القسمة على `\ cos ^ 2 x` (وهو مرة أخرى غير صفري). دعنا نلقي نظرة على مثال على الفور.

المثال الثاني. حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية

$$ \ sin ^ 2 x - 2 \ sin x \، \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = 0. $$

اقسم على `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x - 2 \ tg x -3 = 0. $$

استبدل `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 - 2t -3 = 0 ، $$

$$ t_1 = 3 ، \ t_2 = -1. $$

الاستبدال العكسي

$$ \ tg x = 3 ، \ text (أو) \ tg x = -1 ، $$

$$ x = \ arctan (3) + \ pi k، \ text (or) x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

تم استلام الجواب.

المثال الثالث. حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2. $$

سيكون كل شيء على ما يرام ، لكن هذه المعادلة ليست متجانسة - يعيقنا "-2" في الجانب الأيمن. ما يجب القيام به؟ دعنا نستخدم المتطابقة المثلثية الأساسية ونكتب "-2" معها.

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2 (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x ) ، $$

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x + 2 \ sin ^ 2 x + 2 \ cos ^ 2 x = 0 ، $$

$$ \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - \ cos ^ 2 x = 0. $$

اقسم على `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ tg x - 1 = 0 ، $$

استبدال `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) t - 1 = 0 ، $$

$$ t_1 = \ frac (\ sqrt (3)) (3) ، \ t_2 = - \ sqrt (3). $$

عند إجراء الاستبدال العكسي ، نحصل على:

$$ \ tg x = \ frac (\ sqrt (3)) (3) \ text (or) \ tg x = - \ sqrt (3). $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (3) + \ pi k، \ x = \ frac (\ pi) (6) + \ pi k. $$

هذا هو المثال الأخير في هذا البرنامج التعليمي.

كالعادة ، اسمحوا لي أن أذكركم: التدريب هو كل شيء لدينا. بغض النظر عن مدى ذكاء الشخص ، لن تتطور المهارات بدون تدريب. في الاختبار ، هذا محفوف بالإثارة والأخطاء والوقت الضائع (أكمل هذه القائمة بنفسك). تأكد من أن تكون مشغولا!

مهام التدريب

حل المعادلات:

• "10 ^ (\ sin x) = 2 ^ (\ sin x) \ cdot 5 ^ (- \ cos x)`. هذه مهمة من امتحان الدولة الموحد الحقيقي 2013. لا أحد ألغى المعرفة بخصائص الدرجات ، لكن إذا نسيت ، زقزقة ؛
• `\ sqrt (3) \ sin x + \ sin ^ 2 \ frac (x) (2) = \ cos ^ 2 \ frac (x) (2)`. صيغة مفيدة من الدرس السابع.
• `\ الجذر التربيعي (3) \ الخطيئة 2x + 3 \ cos 2x = 0`.

هذا كل شئ. وكالعادة ، في النهاية: اطرح أسئلة في التعليقات ، وضع الإعجابات ، شاهد مقاطع الفيديو ، تعلم كيفية حل الامتحان.

"عظمة الرجل في قدرته على التفكير."
بليز باسكال.

أهداف الدرس:

1) تعليمي- تعريف الطلاب بالمعادلات المتجانسة ، ومراعاة طرق حلها ، والمساهمة في تكوين المهارات لحل أنواع المعادلات المثلثية التي سبق دراستها.

2) تعليمي- لتطوير النشاط الإبداعي للطلاب ، ونشاطهم المعرفي ، والتفكير المنطقي ، والذاكرة ، والقدرة على العمل في موقف مشكلة ، لتحقيق القدرة على التعبير عن أفكارهم بشكل صحيح ومتسق وعقلاني ، لتوسيع آفاق الطلاب ، لرفع مستوى ثقافتهم الرياضية.

3) تعليمي- لتنمية الرغبة في تحسين الذات ، والعمل الجاد ، لتكوين القدرة على أداء السجلات الرياضية بكفاءة ودقة ، وتنمية النشاط ، وتعزيز الاهتمام بالرياضيات.

نوع الدرس:مشترك.

ادوات:

1. بطاقات مثقبة لستة طلاب.
2. بطاقات للعمل المستقل والفرد للطلاب.
3. يقف "حل المعادلات المثلثية" ، "دائرة الوحدة العددية".
4. جداول مكهربة في حساب المثلثات.
5. عرض الدرس (المرفقات 1).

خلال الفصول

1. المرحلة التنظيمية (دقيقتان)

التحية المتبادلة التحقق من استعداد الطلاب للدرس (مكان العمل ، المظهر) ؛ تنظيم الانتباه.

يخبر المعلم الطلاب بموضوع الدرس (الشريحة 2)ويوضح أن النشرات الموجودة على المكاتب سيتم استخدامها أثناء الدرس.

2. تكرار المادة النظرية (15 دقيقة)

المهام على البطاقات المثقوبة(6 أشخاص) . وقت العمل على البطاقات المثقوبة - 10 دقائق (الملحق 2)

من خلال حل المهام ، سيتعلم الطلاب أين يتم تطبيق الحسابات المثلثية. تم الحصول على الإجابات التالية: التثليث (تقنية تسمح بقياس المسافات إلى النجوم القريبة في علم الفلك) ، الصوتيات ، الموجات فوق الصوتية ، التصوير المقطعي ، الجيوديسيا ، التشفير.

(الشريحة 5)

استطلاع أمامي.

1. ما تسمى المعادلات المثلثية؟
2. ما أنواع المعادلات المثلثية التي تعرفها؟
3. ما هي المعادلات التي تسمى أبسط المعادلات المثلثية؟
4. ما هي المعادلات التي تسمى التربيعية المثلثية؟
5. صياغة تعريف قوس جيب الزاوية ل.
6. صِغ تعريف قوس جيب التمام لـ a.
7. صياغة تعريف قوس الظل من أ.
8. قم بصياغة تعريف معكوس الظل لـ a.

لعبة "احزر كلمة التشفير"

قال بليز باسكال ذات مرة إن الرياضيات علم جاد لدرجة أنه لا ينبغي لأحد أن يفوت فرصة لجعله أكثر إمتاعًا. لذا أقترح عليك اللعب. بعد حل الأمثلة ، حدد تسلسل الأرقام التي تتكون بها الكلمة المشفرة. في اللاتينية ، هذه الكلمة تعني "الجيب". (الشريحة 3)

2) أركتان (-3)

4) tg (كوس القوس (1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

الجواب: "بيند"

لعبة "عالم رياضيات مبعثر»

يتم عرض مهام العمل الشفوي على الشاشة:

تحقق من صحة حل المعادلات.(تظهر الإجابة الصحيحة على الشريحة بعد إجابة الطالب). (الشريحة 4)

	الإجابات مع الأخطاء	الإجابات الصحيحة
	س = ± π / 6+ 2πn	س = ± π / 3+ 2πn
	س = π / 3+ πn	X = (-1) ن / 3+ πn
tg س = / 4	س = 1 + πn	tg x \ u003d 1 ، x \ u003d π / 4 + πn
	س = ± π / 6 + π ن	س = ± π / 6+2πن
	س \ u003d (-1) ن arcsin1 / 3 + 2πn	س \ u003d (-1) ن arcsin1 / 3 + ص
	س = ± π / 6+ 2πn	س = ± 5π / 6+ 2πn
كوس س = π / 3	س = ± 1/2 + 2πn	كوس س = 1/2 ، س = ± π / 3+ 2πn

فحص الواجبات المنزلية.

يثبت المعلم صحة ووعي جميع الطلاب بالواجبات المنزلية ؛ يحدد الفجوات في المعرفة ؛ يحسن معرفة ومهارات وقدرات الطلاب في مجال حل أبسط المعادلات المثلثية.

1 المعادلة. يعلق الطالب على حل المعادلة التي تظهر سطورها على الشريحة بترتيب التعليق). (الشريحة 6)

√3tg2x = 1 ؛

tg2x = 1 / √3;

2х = arctg 1 / √3 + n، n ∈Z.

2x \ u003d π / 6 + πn ، n ∈Z.

س \ u003d π / 12 + π / 2 ن، ن ∈ض.

2 المعادلة. المحلول حمكتوبة للطلاب على السبورة.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. تفعيل المعرفة الجديدة (3 دقائق)

يتذكر الطلاب ، بناءً على طلب المعلم ، طرق حل المعادلات المثلثية. يختارون تلك المعادلات التي يعرفون بالفعل كيفية حلها ، ويسمون طريقة حل المعادلة والنتيجة . تظهر الإجابات على الشريحة. (الشريحة 7) .

إدخال متغير جديد:

رقم 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

دع sinx = t ، ثم:

2 طن 2 - 7 طن + 3 = 0.

التخصيم:

№2. 3sinx cos4x - cos4x = 0 ؛

cos4x (3sinx - 1) = 0 ؛

cos4x = 0 أو 3 sinx - 1 = 0 ؛ ...

رقم 3. 2 sinx - 3 cosx = 0 ،

رقم 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \ u003d 0.

معلم:أنت لا تعرف كيفية حل النوعين الأخيرين من المعادلات حتى الآن. كلاهما من نفس النوع. لا يمكن اختزالها إلى معادلة دالة sinx أو cosx. وتسمى المعادلات المثلثية المتجانسة.لكن الأولى فقط هي معادلة متجانسة من الدرجة الأولى ، والثانية هي معادلة متجانسة من الدرجة الثانية. ستتعرف اليوم في الدرس على مثل هذه المعادلات وتتعلم كيفية حلها.

4. شرح مادة جديدة (25 دقيقة)

يعطي المعلم الطلاب تعريفات المعادلات المثلثية المتجانسة ، ويقدم طرقًا لحلها.

تعريف.معادلة بالصيغة a sinx + b cosx = 0 ، حيث a 0 ، b ≠ 0 تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى.(الشريحة 8)

مثال على هذه المعادلة هو المعادلة رقم 3. دعونا نكتب الصيغة العامة للمعادلة ونحللها.

و sinx + b cosx = 0.

إذا كان cosx = 0 ، فإن sinx = 0.

- هل يمكن أن يحدث مثل هذا الموقف؟

- لا. لقد حصلنا على تناقض مع الهوية المثلثية الأساسية.

ومن ثم ، cosx ≠ 0. لنقم بالقسمة لكل مصطلح على cosx:

أ tgx + ب = 0

tgx = -b / aهي أبسط معادلة مثلثية.

انتاج:يتم حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى بقسمة طرفي المعادلة على cosx (sinx).

علي سبيل المثال: 2 sinx - 3 cosx = 0 ،

لأن cosx ≠ 0 ، إذن

tgx = 3/2 ;

س = arctg (3/2) + n ، n ∈Z.

تعريف.معادلة بالصيغة a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 ، حيث a ≠ 0، b ≠ 0، c ≠ 0 تسمى المعادلة المثلثية من الدرجة الثانية. (الشريحة 8)

مثال على هذه المعادلة هو المعادلة رقم 4. دعونا نكتب الصيغة العامة للمعادلة ونحللها.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

إذا كان cosx = 0 ، فإن sinx = 0.

مرة أخرى حصلنا على تناقض مع المتطابقة المثلثية الأساسية.

ومن ثم ، cosx ≠ 0. لنقم بإجراء قسمة لكل مصطلح على cos 2 x:

و tg 2 x + b tgx + c = 0 هي معادلة تربيعية.

الخلاصة: أوهيتم حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية بقسمة طرفي المعادلة على cos 2 x (sin 2 x).

علي سبيل المثال: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \ u003d 0.

لأن cos 2 x ≠ 0 ثم

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (قم بدعوة الطالب للذهاب إلى السبورة وإكمال المعادلة بمفرده).

الاستبدال: tgx = y. 3y 2-4y + 1 = 0

د = 16-12 = 4

ص 1 = 1 أو ص 2 = 1/3

tgx = 1 أو tgx = 1/3

س = arctg (1/3) + n ، n ∈Z.

س = arctg1 + πn ، ن ∈Z.

س = π / 4 + πn ، ن ∈Z.

5. مرحلة التحقق من فهم الطلاب للمواد الجديدة (دقيقة واحدة).

اختر المعادلة الإضافية:

sinx = 2cosx ؛ 2sinx + cosx = 2 ؛

√3sinx + cosx = 0 ؛ الخطيئة 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \ u003d 0 ؛

4cosx + 5sinx = 0 ؛ √3sinx - cosx = 0.

(الشريحة 9)

6. توحيد المواد الجديدة (24 دقيقة).

يقوم الطلاب ، جنبًا إلى جنب مع أولئك الذين يجيبون على السبورة ، بحل معادلات المواد الجديدة. تتم كتابة المهام على الشريحة في شكل جدول. عند حل المعادلة ، يتم فتح الجزء المقابل من الصورة على الشريحة. نتيجة لتنفيذ 4 معادلات ، تفتح أمام الطلاب صورة لعالم رياضيات كان له تأثير كبير على تطوير علم المثلثات. (سيتعرف الطلاب على صورة فرانسوا فييتا - عالم الرياضيات العظيم الذي قدم مساهمة كبيرة في علم المثلثات ، واكتشف خاصية جذور المعادلة التربيعية المختصرة وشارك في علم التشفير) . (الشريحة 10)

1) √3sinx + cosx = 0 ،

لأن cosx ≠ 0 ، إذن

√3tgx + 1 = 0 ؛

tgx = –1 / √3 ؛

х = arctg (–1 / √3) + n، n ∈Z.

س = – / 6 + n ، ن ∈Z.

2) الخطيئة 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \ u003d 0.

لأن cos 2 x ≠ 0 ثم tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

إستبدال: tgx = ص.

ص 2-10 ص + 21 = 0

ص 1 = 7 أو ص 2 = 3

tgx = 7 أو tgx = 3

س = arctg7 + πn ، n ∈Z

س = arctg3 + πn ، ن ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

لأن cos 2 2x ≠ 0 ، ثم 3tg 2 2x - 6tg2x +5 = 0

إستبدال: tg2x = ص.

3 س 2 - 6 ص + 5 = 0

د = 36-20 = 16

ص 1 = 5 أو ص 2 = 1

tg2x = 5 أو tg2x = 1

2x = arctg5 + n، n ∈Z

س = 1/2 arctg5 + / 2 ن ، ن ∈Z

2x = arctg1 + n، n ∈Z

س = π / 8 + / 2 ن ، ن ∈Z

4) 6in 2 x + 4 sin (-x) cos (2π-x) = 1.

6in 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \ u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \ u003d 0.

لأن cos 2 x ≠ 0 ، ثم 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

إستبدال: tg x = y.

5y 2 + 4y - 1 = 0

د = 16 + 20 = 36

ص 1 = 1/5 أو ص 2 = -1

tgx = 1/5 أو tgx = -1

س = arctg1 / 5 + n ، n ∈Z

س = arctg (–1) + n ، n ∈Z

س = – / 4 + n ، ن ∈Z

الإضافات (على البطاقة):

حل المعادلة ، واختر خيارًا واحدًا من الخيارات الأربعة المقترحة ، خمن اسم عالم الرياضيات الذي اشتق معادلات الاختزال:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

خيارات الإجابة:

х = arctg2 + 2πn، n Z х = – / 2 + πn، n ∈Z - P. Chebyshev

x = arctan 12.5 + 2πn، n Z x = –3π / 4 + πn، n ∈Z - إقليدس

х = arctg 5 + πn، n ∈Z х = – / 3 + πn، n ∈Z - صوفيا كوفاليفسكايا

س = arctg2.5 + πn ، n ∈Z x = – / 4 + n ، n ∈Z - ليونارد أويلر

الإجابة الصحيحة: ليونارد أويلر.

7. عمل مستقل متمايز (8 دقائق)

اقترح عالم الرياضيات والفيلسوف العظيم منذ أكثر من 2500 عام طريقة لتنمية القدرات العقلية. قال "التفكير يبدأ بالدهشة". لقد اقتنعنا مرارًا وتكرارًا بصحة هذه الكلمات اليوم. بعد الانتهاء من العمل المستقل على خيارين ، يمكنك إظهار كيف تعلمت المادة ومعرفة اسم عالم الرياضيات هذا. للعمل المستقل ، استخدم النشرة الموجودة على مكاتبك. يمكنك اختيار إحدى المعادلات الثلاث المقترحة بنفسك. لكن تذكر أنه من خلال حل المعادلة المقابلة للأصفر ، يمكنك فقط الحصول على "3" ، وحل المعادلة المقابلة للأخضر - "4" ، الأحمر - "5". (الملحق 3)

مهما كان مستوى الصعوبة الذي يختاره الطلاب ، بعد الحل الصحيح للمعادلة ، يحصل الخيار الأول على كلمة "ARIST" ، والثاني - "HOTEL". تم الحصول على الكلمة في الشريحة: "ARIST-HOTEL". (الشريحة 11)

يتم تسليم المنشورات ذات العمل المستقل للتحقق منها. (الملحق 4)

8. تسجيل الواجب المنزلي (دقيقة واحدة)

D / z: §7.17. قم بتكوين وحل معادلتين متجانستين من الدرجة الأولى ومعادلة واحدة متجانسة من الدرجة الثانية (باستخدام نظرية فييتا للتجميع). (الشريحة 12)

9. تلخيص الدرس ، وضع الدرجات (دقيقتان)

يلفت المعلم الانتباه مرة أخرى إلى تلك الأنواع من المعادلات وتلك الحقائق النظرية التي تم تذكرها في الدرس ، ويتحدث عن الحاجة إلى تعلمها.

يجيب الطلاب على الأسئلة:

1. ما نوع المعادلات المثلثية التي نعرفها؟
2. كيف تحل هذه المعادلات؟

يلاحظ المعلم العمل الأكثر نجاحًا في الدرس الفردي للطلاب ، ويضع العلامات.