حدد إسقاط المتجه على المحور. إسقاط متجه. تنسيق المحاور. إسقاط نقطة. إحداثيات نقطة لكل محور
إسقاط متجه جبريعلى أي محور يساوي ناتج طول المتجه وجيب الزاوية بين المحور والمتجه:الحق أ ب = | ب | كوس (أ ، ب) أو
عندما يكون a b هو المنتج القياسي للمتجهات ، | a | - معامل المتجه أ.
تعليمات. لإيجاد إسقاط المتجه Пp a b in وضع على شبكة الإنترنتيجب عليك تحديد إحداثيات المتجهين أ و ب. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء المتجه في المستوى (إحداثيتان) وفي الفضاء (ثلاثة إحداثيات). يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word. إذا تم إعطاء المتجهات من خلال إحداثيات النقاط ، فيجب عليك استخدام هذه الآلة الحاسبة.
تصنيف الإسقاط المتجه
أنواع الإسقاطات حسب تعريف الإسقاط المتجه
أنواع الإسقاطات حسب نظام الإحداثيات
خصائص الإسقاط المتجه
- الإسقاط الهندسي للمتجه هو متجه (له اتجاه).
- الإسقاط الجبري للمتجه هو رقم.
نظريات الإسقاط المتجه
نظرية 1. يساوي إسقاط مجموع المتجهات على أي محور إسقاط شروط المتجهات على نفس المحور.
نظرية 2. الإسقاط الجبري للمتجه على أي محور يساوي حاصل ضرب طول المتجه وجيب الزاوية بين المحور والمتجه:
صحيح أ ب = | ب | كوس (أ ، ب)
أنواع إسقاطات المتجهات
- الإسقاط على محور OX.
- الإسقاط على محور OY.
- الإسقاط على متجه.
| الإسقاط على محور OX | الإسقاط على محور OY | الإسقاط على ناقلات |
إذا كان اتجاه المتجه A'B 'يتطابق مع اتجاه محور OX ، فإن إسقاط المتجه A'B' له علامة موجبة.  | إذا كان اتجاه المتجه A'B 'يتطابق مع اتجاه محور OY ، فإن إسقاط المتجه A'B' له علامة موجبة.  | إذا كان اتجاه المتجه A'B 'يتطابق مع اتجاه المتجه NM ، فإن إسقاط المتجه A'B' له علامة إيجابية.  |
إذا كان اتجاه المتجه عكس اتجاه محور OX ، فإن إسقاط المتجه A'B 'له علامة سالبة.  | إذا كان اتجاه المتجه A'B 'عكس اتجاه محور OY ، فإن إسقاط المتجه A'B' له علامة سلبية.  | إذا كان اتجاه المتجه A'B 'عكس اتجاه المتجه NM ، فإن إسقاط المتجه A'B' له علامة سالبة.  |
إذا كان المتجه AB موازيًا للمحور OX ، فإن إسقاط المتجه A'B 'يساوي معامل المتجه AB.   | إذا كان المتجه AB موازيًا لمحور OY ، فإن إسقاط المتجه A'B 'يساوي معامل المتجه AB.   | إذا كان المتجه AB موازيًا للمتجه NM ، فإن إسقاط المتجه A'B 'يساوي معامل المتجه AB.   |
إذا كان المتجه AB عموديًا على المحور OX ، فإن إسقاط A'B 'يساوي صفرًا (متجه صفري).   | إذا كان المتجه AB عموديًا على محور OY ، فإن إسقاط A'B 'يساوي صفرًا (متجه فارغ).   | إذا كان المتجه AB عموديًا على المتجه NM ، فإن إسقاط A'B 'يساوي صفرًا (متجه فارغ).   |
1. سؤال: هل يمكن أن يكون لإسقاط المتجه علامة سلبية؟ الإجابة: نعم ، يمكن أن تكون إسقاطات المتجهات سلبية. في هذه الحالة ، يكون للمتجه الاتجاه المعاكس (انظر كيف يتم توجيه محور OX ومتجه AB)
2. سؤال: هل يمكن أن يتطابق إسقاط المتجه مع معامل المتجه. الجواب: نعم ، يمكن ذلك. في هذه الحالة ، تكون المتجهات متوازية (أو تقع على نفس الخط).
3. سؤال: هل يمكن أن يكون إسقاط المتجه صفرًا (متجه صفري). الجواب: نعم ، يمكن ذلك. في هذه الحالة ، يكون المتجه عموديًا على المحور المقابل (المتجه).
مثال 1 . يشكل المتجه (الشكل 1) زاوية 60 o مع محور OX (يُعطى بواسطة المتجه a). إذا كانت OE وحدة قياس ، إذن | b | = 4 ، إذن 
.
في الواقع ، طول المتجه (الإسقاط الهندسي ب) يساوي 2 ، ويتزامن الاتجاه مع اتجاه محور OX.
مثال 2. يشكل المتجه (الشكل 2) زاوية مع محور OX (مع المتجه أ) (أ ، ب) = 120 س. الطول | ب | المتجه b يساوي 4 ، لذا فإن pr a b = 4 cos120 o = -2. 
في الواقع ، طول المتجه يساوي 2 ، والاتجاه معاكس لاتجاه المحور.
نحن الآن جاهزون لتقديم أهم مفهوم لإسقاط المتجه على المحور. يتم استخدامه باستمرار في حل المشاكل الجسدية.
7.5.1 ما هو إسقاط المتجه على المحور؟
دع المتجه ~ a والمحور X. من المفترض أن يحتوي المحور X على مقياس يسمح لك بقياس أطوال المقاطع وتعيين أبعاد المتجه ~ a.
من بداية ونهاية المتجه ~ أ نسقط عموديًا على المحور X ؛ لنفترض أن A و B هما أساس هذه الخطوط العمودية (الشكل 7.26). تشير إلى طول المقطع AB بواسطة jABj.
أرز. 7.26. إسقاط متجه على محور
تعريف. محور الإسقاط للمتجه ~ a على المحور X يساوي طول المقطع AB ، مأخوذ بعلامة زائد إذا كانت الزاوية "بين المتجه ~ a والمحور X حادة ، ويتم أخذها بعلامة ناقص ، على التوالي ، إذا كان "منفرجة (أو غير مكشوفة). إذا كانت الزاوية صحيحة ، فالفأس = 0.
باختصار ، لدينا الصيغة التالية:
يوضح الشكل 7.27 كل هذه الاحتمالات.
هنا ، كالعادة ، a = j ~ aj هو مقياس المتجه ~ a.
في الواقع ، إذا "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .
إذا كان "\ u003e 90 ، إذن ، التحرك في الجزء الأوسط من الشكل. 7.27 إلى الزاوية المجاورة للزاوية" ، نرى أن الصيغة (7.10) تعطي طول الجزء الأحمر الأوسط بعلامة ناقص (بسبب السلبية من جيب التمام) ، وهو بالضبط ما نحتاج إليه.
أخيرًا ، إذا كان "= 90 ، فإن الصيغة (7.10) تعطي ax = 0 ، منذ جيب التمام زاوية مستقيمةيساوي صفر. هذا هو بالضبط ما ينبغي أن يكون (الجانب الأيمن من الشكل).
افترض الآن أن المحور x قد حصل على أصل إضافي ، بحيث يكون هو المحور الإحداثي المعتاد. ثم لدينا صيغة أخرى لفأس الإسقاط ، والتي تحتوي أيضًا على الحالات الثلاث للشكل 7.27 في شكل "مؤرشف".
نتيجة طبيعية 2. لنفترض أن x1 و x2 هما إحداثيات بداية ونهاية المتجه ~ a ، على التوالي. ثم يتم حساب محور الإسقاط بالصيغة:
الفأس = x2 x1: |
في الواقع ، دعونا نلقي نظرة على الشكل. 7.28. هذه حالة من الإسقاط الإيجابي. يتضح من الشكل أن الفرق x2 x1 يساوي طول المقطع الأحمر ، وهذا الطول بالداخل هذه القضيةفقط فأس الإسقاط.
أرز. 7.28. إسقاط متجه على محور. إلى النتيجة الطبيعية 2
ماذا سيحدث في الحالتين المتبقيتين (ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.
7.5.2 متجه إلى خصائص إسقاط المحور
تتوافق عملية إسقاط متجه على محور بشكل ملحوظ مع عمليات إضافة المتجه وضرب المتجه القياسي. أي ، بغض النظر عن المحور x ، فإن خاصيتي التصميم التاليتين تحملان.
1. إسقاط المتجه ~ a + b على المحور X هو ax + bx.
صياغة لفظية موجزة: إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع توقعاتهم. هذا صحيح بالنسبة لمجموع أي عدد من المتجهات ، وليس اثنين فقط.
أرز. 7.29. ~ ج = ~ أ + ب) ج س = فأس | |||||||||
بادئ ذي بدء ، نوضح هذا البيان في الشكل. لنضع بداية القرن-
من الحلقة b إلى نهاية المتجه ~ a ، والسماح ~ c = ~ a + b (الشكل 7.29).
يوضح هذا الشكل بوضوح أن الإسقاط cx يساوي مجموع أطوال المقطعين الأحمر والأخضر ، أي فقط ax + bx.
صحيح ، تين. تم صنع 7.29 للحالة ax> 0 و bx> 0. لإثبات تأكيدنا للجميع مرة واحدة القيم الممكنةالإسقاطات ax و bx ، سنقوم بتنفيذ الاستدلال العام التالي بناءً على الصيغة (7.11).
لذلك ، دع المتجهين ~ a و b يتم تحديد موقعهما بشكل تعسفي. بداية متوافقة مرة أخرى |
||
من المتجه b مع نهاية المتجه ~ a والدلالة على ~ c = ~ a + b. يترك: |
||
إحداثيات بداية المتجه ~ a وفي نفس الوقت بداية المتجه ~ c ؛ |
||
تنسيق نهاية المتجه ~ أ وفي نفس الوقت بداية المتجه ب ؛ |
||
تنسيق نهاية المتجه ب وفي نفس الوقت نهاية المتجه ~ ج. |
||
هذه التسميات موجودة أيضًا في الشكل. 7.29.
بالصيغة (7.11) لدينا: ax = x2 x1، bx = x3 x2، cx = x3 x1. من السهل الآن رؤية ما يلي:
الفأس + bx = (x2 x1) + (x3 x2) = x3 x1 = cx:
وهكذا تم إثبات خاصية الإسقاط الأولى لدينا.
2. إسقاط المتجه ~ a على المحور X هو a x.
الصياغة اللفظية: إسقاط حاصل ضرب عددي ومتجه يساوي حاصل ضرب عددي وإسقاط متجه.
لنبدأ مرة أخرى مع توضيح. يُظهر الجانب الأيسر من الشكل 7.30 متجهًا ~ أ بفأس إسقاط موجب.
أرز. 7.30. إسقاط المتجه ~ أ يساوي الفأس
إذا قمت بضرب المتجه ~ a في 2 ، فسوف يتضاعف طوله ، كما سيتضاعف إسقاط المتجه (مع الاحتفاظ بالإشارة) ويصبح مساويًا لـ 2ax.
إذا ضربنا المتجه ~ a في 2 ، فإن طوله سيتضاعف مرة أخرى ، لكن الاتجاه سينعكس. سيتغير الإسقاط ويصبح مساويًا لـ 2ax.
وبالتالي ، فإن جوهر الخاصية الثانية واضح ، ويمكننا الآن تقديم دليل صارم.
لذا دعونا ~. نذهب لإثبات أن x x. ب = ~ أ ب = أ
دعونا نستخدم الصيغة (7.10) لهذا الغرض. نحن لدينا:
الفأس = أ كوس "؛ ب س = ب كوس ؛
أين هي الزاوية بين المتجه والمحور ، والزاوية بين المتجه ~ والمحور. يستثني
علاوة على ذلك ، بحكم تعريف ضرب عددي بواسطة ناقل:
في هذا الطريق:
bx = j ja cos:
إذا ، ثم j j ؛ في هذه الحالة ، يتم توجيه المتجه ~ مع المتجه ، وبالتالي.
> 0 = ب ~ أ = "
bx = a cos "= ax:
إذا ، ثم j j ؛ في هذه الحالة ، يكون المتجه ~ معاكسًا في اتجاه المتجه
ru ~ a. من السهل معرفة أن = "(على سبيل المثال ، إذا كان" حادًا ، أي أن المجاور له منفرج والعكس صحيح). ثم لدينا:
bx = () a cos (") = () a (cos") = a cos "= ax:
وبالتالي ، في جميع الحالات ، يتم الحصول على العلاقة المرغوبة ، وبالتالي يتم إثبات الخاصية الثانية للإسقاط تمامًا.
7.5.3 عملية التصميم في الفيزياء
الخصائص التي أثبتت جدواها لعملية التصميم مهمة جدًا بالنسبة لنا. في الميكانيكا ، على سبيل المثال ، سوف نستخدمها في كل منعطف.
وهكذا ، فإن حل العديد من المشاكل في الديناميات يبدأ بكتابة قانون نيوتن الثاني في شكل متجه. خذ ، على سبيل المثال ، بندول كتلة م معلق على خيط. بالنسبة للبندول ، سيكون قانون نيوتن الثاني:
بعد كتابة قانون نيوتن الثاني في شكل متجه ، ننتقل إلى إسقاطه
محاور مناسبة. نأخذ المساواة (7.12) ونعرض على المحور X: | |
ماكس = mgx + Tx + fx: |
عند الانتقال من مساواة المتجه (7.12) إلى المساواة العددية (7.13) ، يتم استخدام كلا خصائص التصميم! على وجه التحديد ، نظرًا للخاصية 1 ، فقد كتبنا إسقاط مجموع المتجهات كمجموع توقعاتهم ؛ تتيح لنا الخاصية 2 كتابة إسقاطات المتجهات m ~ a و m ~ g على أنها max و mgx.
وبالتالي ، تضمن كل من خصائص عملية الإسقاط الانتقال من مساواة المتجهات إلى المساواة العددية ، ويمكن إجراء هذا الانتقال بشكل رسمي وبدون تفكير: نتجاهل الأسهم في تدوين المتجهات ونضع مؤشرات الإسقاط بدلاً من ذلك. هذا هو بالضبط ما يبدو عليه الانتقال من المعادلة (7.12) إلى المعادلة (7.13).
يعتبر وصف المتجه للحركة مفيدًا ، لأنه في رسم واحد يمكنك دائمًا تصوير العديد من المتجهات المختلفة والحصول على "صورة" واضحة للحركة أمام عينيك. ومع ذلك ، فإن استخدام مسطرة ومنقلة لإجراء العمليات باستخدام المتجهات في كل مرة يستغرق وقتًا طويلاً. لذلك ، يتم تقليل هذه الإجراءات إلى إجراءات إيجابية و أرقام سالبة- إسقاطات النواقل.
إسقاط المتجه على المحورقم باستدعاء قيمة عددية مساوية لمنتج الوحدة النمطية للمتجه المسقط وجيب تمام الزاوية بين اتجاهات المتجه ومحور الإحداثيات المحدد.
يُظهر الرسم الأيسر متجه الإزاحة ، طول الوحدة النمطية منه 50 كم ، ويشكل اتجاهه زاوية منفرجة 150 درجة مع اتجاه المحور X. وباستخدام التعريف ، نجد إسقاط الإزاحة على المحور X:
sx = s cos (α) = 50 كم cos (150 درجة) = 43– كم
نظرًا لأن الزاوية بين المحاور 90 درجة ، فمن السهل حساب أن اتجاه الحركة يصنع زاوية حادة تبلغ 60 درجة مع اتجاه المحور ص. باستخدام التعريف ، نجد إسقاط الإزاحة على المحور Y:
sy = s cos (β) = 50 كم cos (60 درجة) = +25 كم
كما ترى ، إذا شكل اتجاه المتجه زاوية حادة مع اتجاه المحور ، يكون الإسقاط موجبًا ؛ إذا شكل اتجاه المتجه زاوية منفرجة مع اتجاه المحور ، يكون الإسقاط سالبًا.
يُظهر الرسم الأيمن متجه السرعة ، ووحدته 5 م / ث ، ويشكل الاتجاه زاوية 30 درجة مع اتجاه المحور X. لنجد الإسقاطات:
υx = υ cos (α) = 5 م / ث كوس (30 درجة) = +4.3 م / ث
υy = υ cos (β) = 5 م / ث كوس (120 درجة) = –2.5 م / ث
من الأسهل بكثير العثور على إسقاطات المتجهات على المحاور إذا كانت المتجهات المسقطة موازية أو متعامدة مع المحاور المحددة. لاحظ أنه في حالة التوازي ، هناك خياران ممكنان: يتم توجيه المتجه بشكل مشترك إلى المحور ويكون المتجه عكس المحور ، وفي حالة العمودي ، يوجد خيار واحد فقط.
دائمًا ما يكون إسقاط المتجه العمودي على المحور صفرًا (انظر sy و ay في الرسم الأيسر و sx و x في الرسم الأيمن). في الواقع ، بالنسبة للمتجه العمودي على المحور ، تكون الزاوية بينه وبين المحور 90 درجة ، لذا فإن جيب التمام يساوي صفرًا ، مما يعني أن الإسقاط يساوي صفرًا.
يكون إسقاط المتجه الموجه مع المحور موجبًا ويساوي معامله ، على سبيل المثال ، sx = + s (انظر الرسم الأيسر). في الواقع ، بالنسبة للمتجه مع المحور ، تكون الزاوية بينه وبين المحور صفرًا ، وجيب التمام هو "+1" ، أي أن الإسقاط يساوي طول المتجه: sx = x - xo = + ق.
يكون إسقاط المتجه المقابل للمحور سالبًا ويساوي معامله ، مأخوذًا بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، sy = –s (انظر الرسم الأيمن). في الواقع ، بالنسبة للمتجه المقابل للمحور ، تكون الزاوية بينه وبين المحور 180 درجة ، وجيب التمام "-1" ، أي أن الإسقاط يساوي طول المتجه ، مأخوذًا بعلامة سالبة: sy = y - yo = –s.
تُظهر الجوانب اليمنى لكلا الرسمين حالات أخرى حيث تكون المتجهات موازية لأحد محوري الإحداثيات ومتعامدة مع الآخر. ندعوك لترى بنفسك أنه في هذه الحالات يتم أيضًا اتباع القواعد التي تمت صياغتها في الفقرات السابقة.
إجابه:
خصائص الإسقاط:
خصائص الإسقاط المتجه
خاصية 1.
يساوي إسقاط مجموع متجهين على المحور مجموع إسقاطات المتجهات على نفس المحور: 
تتيح لك هذه الخاصية استبدال إسقاط مجموع المتجهات بمجموع توقعاتها والعكس صحيح.
خاصية 2.إذا تم ضرب المتجه بالرقم λ ، فسيتم أيضًا ضرب إسقاطه على المحور في هذا الرقم:
الملكية 3.
يساوي إسقاط المتجه على المحور l منتج معامل المتجه وجيب الزاوية بين المتجه والمحور:
المحور الرأسي. تحلل المتجه من حيث متجهات الإحداثيات. إحداثيات المتجهات. خصائص التنسيق
إجابه:
قطع من المحاور.
يتم أيضًا وصف نظام إحداثيات مستطيل (من أي بُعد) من خلال مجموعة من متجهات الوحدة المحاذية لمحاور الإحداثيات. عدد العمليات يساوي أبعاد نظام الإحداثيات ، وكلها متعامدة مع بعضها البعض.
في الحالة ثلاثية الأبعاد ، عادةً ما يتم الإشارة إلى المآخذ
والرموز ذات الأسهم ويمكن استخدامها أيضًا.
علاوة على ذلك ، في حالة نظام الإحداثيات الصحيح ، تكون الصيغ التالية ذات المنتجات المتجهة للمتجهات صالحة:
تحلل المتجه من حيث متجهات الإحداثيات.
يُشار إلى جذر محور الإحداثيات بالمحاور - بالمحاور - بواسطة (الشكل 1)
لأي متجه يقع في مستوى ما ، يحدث التحلل التالي:
إذا كان المتجه 
يقع في الفضاء ، ثم التوسع من حيث متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات له الشكل:
إحداثيات المتجهات:
لحساب إحداثيات متجه ، مع معرفة إحداثيات بدايته (x1 ؛ y1) والإحداثيات (x2 ؛ y2) من نهايته B ، تحتاج إلى طرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية: (x2 - x1 ؛ y2 - y1).
تنسيق الخصائص.
ضع في اعتبارك خط إحداثيات مع الأصل عند النقطة O ومتجه الوحدة i. ثم بالنسبة لأي متجه a على هذا الخط: a = axi.
يسمى فأس الرقم إحداثيات المتجه أ على محور الإحداثيات.
خاصية 1.عند إضافة المتجهات على المحور ، تتم إضافة إحداثياتها.
خاصية 2.عندما يتم ضرب المتجه في رقم ، يتم ضرب إحداثيها بهذا الرقم.
منتج عدديثلاثة أبعاد. الخصائص.
إجابه:
الناتج القياسي لمتجهين غير صفريين هو رقم ،
يساوي حاصل ضرب هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما.
الخصائص:
1. المنتج القياسي له خاصية تبادلية: ab = ba
الناتج العددي لناقلات الإحداثيات. تحديد الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.
إجابه:
المنتج النقطي (×) orts
| (X) | أنا | ي | ك |
| أنا | |||
| ي | |||
| ك |
تحديد الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.
يمكن حساب الناتج القياسي لمتجهين ومعطى بواسطة إحداثياتهما بواسطة الصيغة
حاصل الضرب المتجه لاثنين من المتجهات. خصائص المنتج المتجه.
إجابه:
تشكل ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى ثلاثيًا يمينيًا إذا كان الدوران من المتجه الأول إلى الثاني في عكس اتجاه عقارب الساعة من نهاية المتجه الثالث. إذا كان في اتجاه عقارب الساعة - ثم غادر. ، وإذا لم يكن كذلك ، فعكس ذلك ( أظهر كيف أظهر باستخدام "المقابض")
حاصل ضرب متجه ألكل متجه بيسمى المتجه مع ماذا:
1. عمودي على النواقل أو ب
2. له طول عددي يساوي المنطقةمتوازي الأضلاع يتكون من أو بثلاثة أبعاد
3. النواقل ، أ ، ب، و جتشكل الثلاثية الصحيحة من النواقل
الخصائص:
1. 
3. 
4. 
حاصل الضرب المتجه لنواقل الإحداثيات. تحديد منتج المتجه للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.
إجابه:
حاصل الضرب المتجه لنواقل الإحداثيات.
تحديد منتج المتجه للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.
دع المتجهات a = (x1 ؛ y1 ؛ z1) و b = (x2 ؛ y2 ؛ z2) تُعطى بإحداثياتها في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل O ، i ، j ، k ، والثالث i ، j ، k هو حق.
نقوم بتوسيع أ و ب من حيث نواقل الأساس:
أ = x 1 i + y 1 j + z 1 k، b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.
باستخدام خصائص منتج المتجه ، نحصل عليها
[أ؛ ب] ==
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)
من خلال تعريف المنتج المتجه ، نجد
= 0 ، = ك ، = - ي ،
= - ك ، = 0 ، = أنا ،
= ي = - أنا. = 0.
بالنظر إلى هذه المساواة ، يمكن كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:
[أ؛ ب] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i
[أ؛ ب] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
تعطي الصيغة (2) تعبيرًا عن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطى بإحداثياتهما.
الصيغة الناتجة مرهقة. باستخدام تدوين المحددات ، يمكنك كتابتها بصيغة أخرى أكثر ملاءمة للتذكر:
عادة ما يتم كتابة الصيغة (3) بشكل أقصر:
عديدة كميات فيزيائيةيتم تحديدها بالكامل من خلال تحديد بعض الأرقام. هذه ، على سبيل المثال ، الحجم ، والكتلة ، والكثافة ، ودرجة حرارة الجسم ، وما إلى ذلك. وتسمى هذه الكميات العددية. لهذا السبب ، تسمى الأرقام أحيانًا الحجميات. ولكن هناك أيضًا مثل هذه الكميات التي يتم تحديدها ليس فقط من خلال تحديد رقم ، ولكن أيضًا في اتجاه معين. على سبيل المثال ، عندما يتحرك الجسم ، يجب أن يشير المرء ليس فقط إلى السرعة التي يتحرك بها الجسم ، ولكن أيضًا إلى اتجاه الحركة. بالطريقة نفسها ، عند دراسة عمل أي قوة ، من الضروري الإشارة ليس فقط إلى قيمة هذه القوة ، ولكن أيضًا إلى اتجاه عملها. تسمى هذه الكميات المتجه.لوصفهم ، تم تقديم مفهوم المتجه ، والذي تبين أنه مفيد للرياضيات.
تعريف المتجه
أي زوج مرتب من النقاط A إلى B في الفراغ يحدد جزء موجه، بمعنى آخر. قطعة جنبًا إلى جنب مع الاتجاه المعطى عليه. إذا كانت النقطة A هي الأولى ، فإنها تسمى بداية المقطع الموجه ، والنقطة B تسمى نهايتها. اتجاه المقطع هو الاتجاه من البداية إلى النهاية.
تعريف
المقطع الموجه يسمى المتجه.
سنشير إلى المتجه بالرمز \ (\ overrightarrow (AB) \) ، حيث يعني الحرف الأول بداية المتجه ، والثاني - نهايته.
يسمى المتجه الذي تتشابه بدايته ونهايته صفرويشار إليه بـ \ (\ vec (0) \) أو 0 فقط.
تسمى المسافة بين بداية ونهاية المتجه لها الطولويشار إليها بـ \ (| \ overrightarrow (AB) | \) أو \ (| \ vec (a) | \).
يتم استدعاء المتجهات \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. يمكن توجيه النواقل الخطية بنفس الاتجاه أو العكس.
الآن يمكننا صياغة المفهوم المهم للمساواة بين متجهين.
تعريف
المتجهات \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) تسمى متساوية (\ (\ vec (a) = \ vec (b) \)) إذا كانت متداخلة ، يكون لها نفس الاتجاه ، وأطوالها متساوية.
على التين. الشكل 1 ، نواقل غير متساوية تظهر على اليسار ، ونواقل متساوية \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) تظهر على اليمين. ويترتب على تعريف مساواة المتجهات أنه إذا تم نقل ناقل موازٍ لنفسه ، فسيتم الحصول على متجه يساوي المتجه المعطى. في هذا الصدد ، فإن النواقل في الهندسة التحليليةمسمي مجانا.
إسقاط متجه على محور
دع المحور \ (u \) وبعض المتجهات \ (\ overrightarrow (AB) \) يتم إعطاؤهما في الفضاء. دعنا نرسم من خلال النقطتين A و B في المستوى المتعامد مع المحور \ (u \). دعونا نشير بواسطة A "و B" إلى نقاط تقاطع هذه المستويات مع المحور (انظر الشكل 2).
إسقاط المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) على المحور \ (u \) هو القيمة A "B" للمقطع الموجه A "B" على المحور \ (u \). أذكر ذلك
\ (A "B" = | \ overrightarrow (A "B") | \) ، إذا كان الاتجاه \ (\ overrightarrow (A "B") \) هو نفس اتجاه المحور \ (u \) ،
\ (A "B" = - | \ overrightarrow (A "B") | \) إذا كان اتجاه \ (\ overrightarrow (A "B") \) عكس اتجاه \ (u \) المحور ،
يُشار إلى إسقاط المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) على المحور \ (u \) على النحو التالي: \ (Pr_u \ overrightarrow (AB) \).
نظرية
إسقاط المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) على المحور \ (u \) يساوي طول المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) ضرب جيب تمام الزاوية بين المتجه \ ( \ overrightarrow (AB) \) والمحور \ (u \) ، أي
تعليق
دعنا نعطي \ (\ overrightarrow (A_1B_1) = \ overrightarrow (A_2B_2) \) وبعض المحاور \ (u \). بتطبيق صيغة النظرية على كل من هذه المتجهات نحصل عليها
إسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات
دع نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz والمتجه التعسفي \ (\ overrightarrow (AB) \) يتم إعطاؤهما في الفضاء. دعنا ، كذلك ، \ (X = Pr_u \ overrightarrow (AB) ، \ ؛ \ ؛ Y = Pr_u \ overrightarrow (AB) ، \ ؛ \ ؛ Z = Pr_u \ overrightarrow (AB) \). الإسقاطات X ، Y ، Z للمتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) على محاور الإحداثيات تسميها إحداثيات.في نفس الوقت يكتبون
\ (\ overrightarrow (AB) = (X؛ Y؛ Z) \)
نظرية
مهما كانت النقطتان A (x 1؛ y 1؛ z 1) and B (x 2؛ y 2؛ z 2) ، فإن إحداثيات المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) يتم تحديدها من خلال الصيغ التالية :
X \ u003d x 2 -x 1 ، Y \ u003d y 2 -y 1 ، Z \ u003d z 2 -z 1
تعليق
إذا ترك المتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) الأصل ، أي x 2 = x ، y 2 = y ، z 2 = z ، ثم إحداثيات X ، Y ، Z للمتجه \ (\ overrightarrow (AB) \) تساوي إحداثيات نهايتها:
س = س ، ص = ص ، ع = ض.
جيب التمام الاتجاه المتجه
دع ناقل تعسفي \ (\ vec (a) = (X ؛ Y ؛ Z) \) ؛ نفترض أن \ (\ vec (a) \) يترك الأصل ولا يكمن في أي مستوى إحداثيات. دعونا نرسم مستويات النقطة A عموديًا على المحاور. معا مع تنسيق الطائراتأنها تشكل خط متوازي مستطيل ، قطري منها هو الجزء OA (انظر الشكل).
من المعروف من الهندسة الأولية أن مربع طول قطري خط متوازي مستطيل يساوي مجموع مربعات أطوال أبعاده الثلاثة. بالتالي،
\ (| OA | ^ 2 = | OA_x | ^ 2 + | OA_y | ^ 2 + | OA_z | ^ 2 \)
لكن \ (| OA | = | \ vec (a) | ، \ ؛ \ ؛ | OA_x | = | X | ، \ ؛ \ ؛ | OA_y | = | Y | ، \ ؛ \ ؛ | OA_z | = | Z | \) ؛ هكذا نحصل
\ (| \ vec (أ) | ^ 2 = X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 \)
أو
\ (| \ vec (a) | = \ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2) \)
تعبر هذه الصيغة عن طول المتجه التعسفي من حيث إحداثياته.
قم بالإشارة بواسطة \ (\ alpha، \؛ \ beta، \؛ \ gamma \)، الزوايا بين المتجه \ (\ vec (a) \) ومحاور الإحداثيات. من الصيغ الخاصة بإسقاط المتجه على المحور وطول المتجه نحصل عليها
\ (\ cos \ alpha = \ frac (X) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ beta = \ frac (Y) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ gamma = \ frac (Z) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ alpha، \؛ \؛ \ cos \ beta، \؛ \؛ \ cos \ gamma \) تسمى اتجاه جيب التمام للناقل \ (\ vec (a) \).
بتربيع الجانبين الأيمن والأيسر لكل من المساواة السابقة وتلخيص النتائج ، لدينا
\ (\ cos ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ beta + \ cos ^ 2 \ gamma = 1 \)
أولئك. مجموع جيب التمام التربيعي لأي متجه يساوي واحدًا.
العمليات الخطية على النواقل وخصائصها الرئيسية
العمليات الخطية على المتجهات هي عمليات جمع وطرح المتجهات وضرب المتجهات بالأرقام.إضافة متجهين
دع متجهين \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) يتم إعطاؤهما. المجموع \ (\ vec (a) + \ vec (b) \) هو متجه ينتقل من بداية المتجه \ (\ vec (a) \) إلى نهاية المتجه \ (\ vec (b) \) بشرط أن يتم إرفاق المتجه \ (\ vec (b) \) بنهاية المتجه \ (\ vec (a) \) (انظر الشكل).تعليق
إن إجراء طرح المتجهات هو عكس عمل الإضافة ، أي الفرق \ (\ vec (b) - \ vec (a) \) من المتجهات \ (\ vec (b) \) و \ (\ vec (a) \) هو المتجه الذي ، مع المتجه \ ( \ vec (a)) \) يعطي المتجه \ (\ vec (b) \) (انظر الشكل).
تعليق
بعد تحديد مجموع متجهين ، يمكن للمرء أن يجد مجموع أي عدد من المتجهات المعطاة. لنفترض ، على سبيل المثال ، ثلاثة متجهات \ (\ vec (a) ، \ ؛ \ ؛ \ vec (b) ، \ ؛ \ ؛ \ vec (c) \). بإضافة \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) ، نحصل على المتجه \ (\ vec (a) + \ vec (b) \). الآن بإضافة المتجه \ (\ vec (c) \) إليه ، نحصل على المتجه \ (\ vec (a) + \ vec (b) + \ vec (c) \) 
حاصل ضرب متجه برقم
دع المتجه \ (\ vec (a) \ neq \ vec (0) \) ورقم \ (\ lambda \ neq 0 \). المنتج \ (\ lambda \ vec (a) \) عبارة عن متجه متصل مع المتجه \ (\ vec (a) \) ، بطول يساوي \ (| \ lambda | | \ vec (a) | \) ، والاتجاه هو نفسه المتجه \ (\ vec (a) \) إذا \ (\ lambda> 0 \) ، والعكس إذا \ (\ لامدا (0) \) بالرقم \ (\ لامدا \ neq 0 \) يمكن التعبير عنها على النحو التالي: if \ (| \ lambda |> 1 \) ، ثم عند ضرب المتجه \ (\ vec (a) \) بالرقم \ (\ lambda \) المتجه \ ( \ vec (a) \) "ممتد" بمقدار \ (\ lambda \) مرات ، وإذا \ (| \ lambda | 1 \).إذا كان \ (\ lambda = 0 \) أو \ (\ vec (a) = \ vec (0) \) ، فمن المفترض أن يكون المنتج \ (\ lambda \ vec (a) \) مساويًا للمتجه الصفري.
تعليق
باستخدام تعريف مضاعفة المتجه برقم ، من السهل إثبات أنه إذا كانت المتجهات \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) متداخلة و \ (\ vec (a) \ neq \ vec (0) \) ، إذًا يوجد (واحد فقط) رقم \ (\ lambda \) مثل \ (\ vec (b) = \ lambda \ vec (a) \)
الخصائص الأساسية للعمليات الخطية
1. خاصية التبادلية للإضافة
\ (\ vec (a) + \ vec (b) = \ vec (b) + \ vec (a) \)
2. خاصية الجمع الجمع
\ ((\ vec (a) + \ vec (b)) + \ vec (c) = \ vec (a) + (\ vec (b) + \ vec (c)) \)
3. الخاصية الترابطية للضرب
\ (\ lambda (\ mu \ vec (a)) = (\ lambda \ mu) \ vec (a) \)
4. خاصية التوزيع فيما يتعلق بمجموع الأرقام
\ ((\ lambda + \ mu) \ vec (a) = \ lambda \ vec (a) + \ mu \ vec (a) \)
5. خاصية التوزيع فيما يتعلق بمجموع النواقل
\ (\ lambda (\ vec (a) + \ vec (b)) = \ lambda \ vec (a) + \ lambda \ vec (b) \)
تعليق
هذه الخصائص للعمليات الخطية ذات أهمية أساسية ، لأنها تجعل من الممكن إجراء عمليات جبرية عادية على المتجهات. على سبيل المثال ، بسبب الخواص 4 و 5 ، من الممكن القيام بضرب كثير حدود عددي بواسطة متجه كثير الحدود "مصطلح بمصطلح".
نظريات الإسقاط المتجه
نظرية
يساوي إسقاط مجموع متجهين على المحور مجموع إسقاطاتها على هذا المحور ، أي
\ (Pr_u (\ vec (a) + \ vec (b)) = Pr_u \ vec (a) + Pr_u \ vec (b) \)
يمكن تعميم النظرية على حالة أي عدد من المصطلحات.
نظرية
عند ضرب المتجه \ (\ vec (a) \) بالرقم \ (\ lambda \) ، يتم أيضًا ضرب إسقاطه على المحور بواسطة هذا الرقم ، أي \ (Ex_u \ lambda \ vec (a) = \ lambda Ex_u \ vec (a) \)
عاقبة
إذا \ (\ vec (a) = (x_1؛ y_1؛ z_1) \) و \ (\ vec (b) = (x_2؛ y_2؛ z_2) \) ، إذن
\ (\ vec (a) + \ vec (b) = (x_1 + x_2 ؛ \ ؛ y_1 + y_2 ؛ \ ؛ z_1 + z_2) \)
عاقبة
إذا \ (\ vec (a) = (x؛ y؛ z) \) ، إذن \ (\ lambda \ vec (a) = (\ lambda x؛ \؛ \ lambda y؛ \؛ \ lambda z) \) من أجل اي رقم \ (\ لامدا \)
من السهل الاستنتاج من هنا حالة العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهين في الإحداثيات.
في الواقع ، المساواة \ (\ vec (b) = \ lambda \ vec (a) \) تعادل المساواة \ (x_2 = \ lambda x_1 ، \ ؛ y_2 = \ lambda y_1 ، \ ؛ z_2 = \ lambda z_1 \ ) أو
\ (\ frac (x_2) (x_1) = \ frac (y_2) (y_1) = \ frac (z_2) (z_1) \) أي تكون المتجهات \ (\ vec (a) \) و \ (\ vec (b) \) متداخلة إذا وفقط إذا كانت إحداثياتها متناسبة.
تحلل المتجه من حيث الأساس
اجعل المتجهات \ (\ vec (i) ، \ ؛ \ vec (j) ، \ ؛ \ vec (k) \) هي متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات ، أي \ (| \ vec (i) | = | \ vec (j) | = | \ vec (k) | = 1 \) ، ويتم توجيه كل منهما بالتساوي مع محور الإحداثيات المقابل (انظر الشكل). ثلاثة من المتجهات \ (\ vec (i) ، \ ؛ \ vec (j) ، \ ؛ \ vec (k) \) يسمى أساس.
النظرية التالية صحيحة.
نظرية
يمكن توسيع أي متجه \ (\ vec (a) \) بشكل فريد في الأساس \ (\ vec (i) ، \ ؛ \ vec (j) ، \ ؛ \ vec (k) \ ؛ \) ، أي المقدمة في النموذج
\ (\ vec (a) = \ lambda \ vec (i) + \ mu \ vec (j) + \ nu \ vec (k) \)
حيث \ (\ lambda ، \ ؛ \ ؛ \ mu ، \ ؛ \ ؛ \ nu \) بعض الأرقام. 