تحويل التعبيرات العقلانية: أنواع التحولات ، أمثلة. تحويل الكسور المنطقية (الجبرية) ، أنواع التحولات ، أمثلة تحويل التعبيرات الجبرية المنطقية الكسرية

>> الرياضيات: تحويل التعبيرات المنطقية

تحويل التعبيرات المنطقية

تلخص هذه الفقرة كل ما قلناه منذ الصف السابع حول اللغة الرياضية والرمزية الرياضية والأرقام والمتغيرات والقوى ومتعددة الحدود و الكسور الجبرية. لكن أولاً ، دعنا نلقي نظرة قصيرة على الماضي.

تذكر كيف كانت الأمور عند دراسة الأعداد والتعبيرات العددية في الدرجات الدنيا.

ولنقل ، يمكن ربط تسمية واحدة فقط بكسر - رقم نسبي.

الوضع مشابه للتعبيرات الجبرية: المرحلة الأولى من دراستهم هي الأرقام والمتغيرات والدرجات ("الأرقام") ؛ المرحلة الثانية من دراستهم هي monomials ("الأعداد الطبيعية") ؛ المرحلة الثالثة من دراستهم هي كثيرات الحدود ("الأعداد الصحيحة") ؛ المرحلة الرابعة من دراستهم - الكسور الجبرية
("أرقام نسبية"). علاوة على ذلك ، فإن كل مرحلة تالية ، كما كانت ، تمتص المرحلة السابقة: على سبيل المثال ، الأرقام والمتغيرات والدرجات هي حالات خاصة للمونوميرات ؛ أحادية هي حالات خاصة من كثيرات الحدود ؛ كثيرات الحدود هي حالات خاصة من الكسور الجبرية. بالمناسبة ، تُستخدم المصطلحات التالية أحيانًا في الجبر: كثير الحدود هو عدد صحيح التعبير، الكسر الجبري هو تعبير كسري (هذا يقوي القياس فقط).

دعنا نواصل التشبيه أعلاه. أنت تعلم أن أي تعبير رقمي ، بعد إجراء جميع العمليات الحسابية المضمنة فيه ، يأخذ قيمة عددية محددة - رقم منطقي (بالطبع ، يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا أو عددًا صحيحًا أو كسرًا - إنه ليس كذلك لا يهم). وبالمثل ، أي تعبير جبري يتكون من أرقام ومتغيرات باستخدام العمليات الحسابية والرفع إلى العدد الطبيعي الدرجة العلمية، بعد إجراء التحويلات ، يأخذ شكل كسر جبري ، ومرة ​​أخرى ، على وجه الخصوص ، قد يتحول ليس كسرًا ، ولكنه متعدد الحدود أو حتى أحادي الحد). لمثل هذه التعبيرات في الجبر ، يتم استخدام مصطلح التعبير المنطقي.

مثال.إثبات الهوية

المحلول.
يعني إثبات الهوية إثبات أنه بالنسبة لجميع القيم المقبولة للمتغيرات ، فإن الجزأين الأيسر والأيمن هما تعبيران متساويان. في الجبر ، يتم إثبات الهويات بطرق مختلفة:

1) إجراء تحويلات من الجانب الأيسر والحصول على الجانب الأيمن نتيجة لذلك ؛

2) إجراء تحويلات من الجانب الأيمن والحصول على الجانب الأيسر نتيجة لذلك ؛

3) قم بتحويل الجزأين الأيمن والأيسر بشكل منفصل والحصول على نفس التعبير في الحالتين الأولى والثانية ؛

4) عوض الفرق بين الجزأين الأيمن والأيسر ، وكنتيجة لتحولاته نحصل على صفر.

تعتمد طريقة الاختيار على النوع المحدد المتطابقاتالتي يطلب منك إثباتها. في هذا المثال ، يُنصح باختيار الطريقة الأولى.

لتحويل التعبيرات المنطقية ، يتم اعتماد نفس الإجراء الخاص بتحويل التعبيرات الرقمية. هذا يعني أنه يتم أولاً تنفيذ الإجراءات بين قوسين ، ثم إجراءات المرحلة الثانية (الضرب ، والقسمة ، والأس) ، ثم إجراءات المرحلة الأولى (الجمع ، والطرح).

دعونا نجري تحويلات من خلال الإجراءات ، بناءً على تلك القواعد ، الخوارزمياتالتي تم وضعها في الفقرات السابقة.

كما ترى ، تمكنا من تحويل الجانب الأيسر من الهوية قيد الاختبار إلى شكل الجانب الأيمن. هذا يعني أنه تم إثبات الهوية. ومع ذلك ، نتذكر أن الهوية صالحة فقط للقيم المقبولة للمتغيرات. تلك الموجودة في هذا المثال هي أي قيم أ و ب ، باستثناء تلك التي تحول مقامات الكسور إلى الصفر. هذا يعني أن أي أزواج من الأرقام (أ ؛ ب) مقبولة ، باستثناء تلك التي يتم فيها استيفاء واحدة على الأقل من المساواة:

2 أ - ب = 0 ، 2 أ + ب = 0 ، ب = 0.

مردكوفيتش أ. الجبر. الصف 8: Proc. للتعليم العام المؤسسات - الطبعة الثالثة ، النهائية. - م: Mnemosyne، 2001. - 223 ص: مريض.

قائمة كاملة بالموضوعات حسب الفصل ، وخطة تقويم وفقًا لمنهج المدرسة في الرياضيات عبر الإنترنت ، وتنزيل مواد الفيديو في الرياضيات للصف الثامن

محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة ، واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة ، أسئلة بلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، كاريكاتير ، أمثال ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للعام التوصيات المنهجية لبرنامج المناقشة دروس متكاملة

من دورة الجبر في المناهج المدرسية ، ننتقل إلى التفاصيل. في هذه المقالة سوف ندرس بالتفصيل نوعًا خاصًا من التعبيرات العقلانية - الكسور المنطقية، وكذلك تحليل ما هي السمة المتطابقة تحولات الكسور المنطقيةتجري.

نلاحظ على الفور أن الكسور المنطقية بالمعنى الذي نحدده بها أدناه تسمى الكسور الجبرية في بعض كتب الجبر المدرسية. وهذا يعني أنه في هذه المقالة سوف نفهم نفس الشيء في ظل الكسور المنطقية والجبرية.

كالعادة ، نبدأ بتعريف وأمثلة. بعد ذلك ، لنتحدث عن إحضار كسر كسري إلى مقام جديد وعن تغيير إشارات أعضاء الكسر. بعد ذلك ، سنقوم بتحليل كيفية إجراء اختزال الكسور. أخيرًا ، دعنا نتناول تمثيل الكسر المنطقي كمجموع من عدة كسور. سيتم تزويد جميع المعلومات بأمثلة مع وصف تفصيلي للحلول.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة للكسور المنطقية

تتم دراسة الكسور النسبية في دروس الجبر في الصف الثامن. سوف نستخدم تعريف الكسر المنطقي ، الذي ورد في كتاب الجبر للصف الثامن بواسطة Yu. N. Makarychev وآخرون.

لا يحدد هذا التعريف ما إذا كانت كثيرات الحدود في البسط والمقام لكسر كسري يجب أن تكون متعددة الحدود للصيغة القياسية أم لا. لذلك ، سنفترض أن الكسور النسبية يمكن أن تحتوي على كثيرات حدود قياسية وغير قياسية.

وهنا عدد قليل أمثلة من الكسور المنطقية. لذا ، x / 8 و - كسور عقلانية. والكسور ولا تتناسب مع التعريف المكتوب للكسر الكسري ، لأن البسط في أولهما ليس متعدد الحدود ، وفي الثانية يحتوي كل من البسط والمقام على تعبيرات ليست متعددة الحدود.

تحويل البسط والمقام لكسر كسري

بسط ومقام أي كسر عبارة عن تعبيرات رياضية مكتفية ذاتيًا ، في حالة الكسور المنطقية تكون متعددة الحدود ، وفي حالة معينة تكون أحادية وأرقام. لذلك ، مع البسط والمقام لكسر كسري ، كما هو الحال مع أي تعبير ، يمكن إجراء تحويلات متطابقة. بعبارة أخرى ، يمكن استبدال التعبير الموجود في بسط الكسر الكسري بتعبير مماثل له ، تمامًا مثل المقام.

يمكن إجراء تحويلات متطابقة في بسط ومقام الكسر المنطقي. على سبيل المثال ، في البسط ، يمكنك تجميع المصطلحات المتشابهة وتقليلها ، وفي المقام ، يمكن استبدال حاصل ضرب عدة أرقام بقيمته. ونظرًا لأن البسط والمقام في الكسر المنطقي متعدد الحدود ، فمن الممكن إجراء تحويلات مميزة لكثيرات الحدود معهم ، على سبيل المثال ، الاختزال إلى شكل قياسي أو التمثيل كمنتج.

من أجل الوضوح ، ضع في اعتبارك حلول عدة أمثلة.

مثال.

تحويل الكسر المنطقي بحيث يكون البسط متعدد الحدود للصيغة القياسية ، والمقام هو حاصل ضرب كثيرات الحدود.

المحلول.

يتم استخدام اختزال الكسور النسبية إلى مقام جديد بشكل أساسي عند جمع وطرح الكسور النسبية.

تغيير العلامات أمام الكسر وكذلك في البسط والمقام

يمكن استخدام الخاصية الأساسية للكسر لتغيير إشارات شروط الكسر. في الواقع ، ضرب بسط ومقام كسر كسري في -1 يعادل تغيير إشاراتهما ، والنتيجة هي كسر مماثل للكسر المعطى. يجب استخدام مثل هذا التحويل كثيرًا عند التعامل مع الكسور المنطقية.

وبالتالي ، إذا قمت بتغيير علامتي البسط والمقام في نفس الوقت ، فستحصل على كسر يساوي الكسر الأصلي. هذا البيان يتوافق مع المساواة.

لنأخذ مثالا. يمكن الاستعاضة عن الكسر الكسري بكسر متساوٍ مماثل بإشارات معكوسة لبسط الصورة ومقامها.

باستخدام الكسور ، يمكن إجراء تحويل متماثل واحد ، حيث يتم تغيير العلامة إما في البسط أو في المقام. لنستعرض القاعدة المناسبة. إذا استبدلت علامة الكسر بعلامة البسط أو المقام ، فستحصل على كسر مماثل للكسر الأصلي. البيان المكتوب يتوافق مع المساواة و.

ليس من الصعب إثبات هذه المساواة. يعتمد الإثبات على خصائص ضرب الأعداد. دعنا نثبت أولهم:. بمساعدة تحولات مماثلة ، تم إثبات المساواة أيضًا.

على سبيل المثال ، يمكن استبدال الكسر بتعبير أو.

لاختتام هذا القسم الفرعي ، نقدم مساوتين أكثر فائدة و. بمعنى ، إذا قمت بتغيير علامة البسط فقط أو المقام فقط ، فسيغير الكسر علامته. فمثلا، و .

غالبًا ما تُستخدم التحويلات المدروسة ، التي تسمح بتغيير علامة شروط الكسر ، عند تحويل التعبيرات المنطقية الكسرية.

اختزال الكسور المنطقية

يعتمد التحويل التالي للكسور المنطقية ، والذي يسمى اختزال الكسور النسبية ، على نفس الخاصية الأساسية للكسر. يتوافق هذا التحول مع المساواة ، حيث تكون a و b و c بعض كثيرات الحدود ، و b و c ليست صفرية.

من المساواة المذكورة أعلاه ، يتضح أن تقليل الكسر المنطقي يعني التخلص من العامل المشترك في البسط والمقام.

مثال.

اختصر الكسر المنطقي.

المحلول.

يظهر العامل المشترك 2 على الفور ، فلنقلله (عند الكتابة ، من الملائم حذف العوامل المشتركة التي يتم من خلالها إجراء الاختزال). نملك . بما أن x 2 \ u003d x x و y 7 \ u003d y 3 y 4 (انظر إذا لزم الأمر) ، فمن الواضح أن x عامل مشترك في البسط والمقام للكسر الناتج ، مثل y 3. دعونا نقلل من خلال هذه العوامل: . هذا يكمل التخفيض.

أعلاه ، أجرينا اختزال الكسر المنطقي بالتتابع. وكان من الممكن إجراء الاختزال في خطوة واحدة ، وتقليل الكسر على الفور بمقدار 2 · x · y 3. في هذه الحالة ، سيبدو الحل كما يلي: .

إجابه:

.

عند اختزال الكسور النسبية ، تكمن المشكلة الرئيسية في أن العامل المشترك للبسط والمقام لا يظهر دائمًا. علاوة على ذلك ، فهي غير موجودة دائمًا. لإيجاد عامل مشترك أو التأكد من عدم وجوده ، عليك تحليل بسط ومقام كسر كسري إلى عوامل. إذا لم يكن هناك عامل مشترك ، فلا داعي لتقليل الكسر المنطقي الأصلي ، وإلا فسيتم إجراء التخفيض.

في عملية تقليل الكسور المنطقية ، قد تظهر فروق دقيقة مختلفة. تتم مناقشة التفاصيل الدقيقة الرئيسية مع الأمثلة والتفاصيل في مقالة اختزال الكسور الجبرية.

في ختام الحديث حول اختزال الكسور المنطقية ، نلاحظ أن هذا التحويل متطابق ، والصعوبة الرئيسية في تنفيذه تكمن في تحليل عوامل كثيرة الحدود في البسط والمقام.

تمثيل كسر كسري كمجموع الكسور

محدد تمامًا ، ولكنه مفيد جدًا في بعض الحالات ، هو تحويل الكسر المنطقي ، والذي يتكون من تمثيله كمجموع من عدة كسور ، أو مجموع تعبير صحيح وكسر.

يمكن دائمًا كتابة الكسر الكسري ، الذي يوجد في بسطه كثير الحدود ، وهو مجموع العديد من الكسور الأحادية ، كمجموع الكسور ذات القواسم نفسها ، والتي يكون البسط فيها هو المونومرات المقابلة. فمثلا، . يتم شرح هذا التمثيل من خلال قاعدة الجمع والطرح للكسور الجبرية التي لها نفس القواسم.

بشكل عام ، يمكن تمثيل أي كسر كسري كمجموع الكسور بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الكسر a / b كمجموع لكسرين - كسر عشوائي c / d وكسر يساوي الفرق بين الكسرين a / b و c / d. هذا البيان صحيح ، منذ المساواة . على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الكسر المنطقي كمجموع الكسور بطرق مختلفة: نحن نمثل الكسر الأصلي كمجموع تعبير صحيح وكسر. بعد قسمة البسط على المقام على عمود ، نحصل على المساواة . قيمة التعبير n 3 +4 لأي عدد صحيح n هي عدد صحيح. وتكون قيمة الكسر عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان مقامه 1 أو 1 أو 3 أو −3. تتوافق هذه القيم مع القيم n = 3 و n = 1 و n = 5 و n = −1 على التوالي.

إجابه:

−1 , 1 , 3 , 5 .

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الثالثة عشر ، القس. - م: Mnemosyne، 2009. - 160 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01198-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

التعابير المنطقية والكسور هي حجر الزاوية لمسار الجبر بأكمله. أولئك الذين يتعلمون كيفية العمل مع مثل هذه التعبيرات ، وتبسيطها ومعاملتها ، في الواقع ، سيكونون قادرين على حل أي مشكلة ، لأن تحويل التعبيرات جزء لا يتجزأ من أي معادلة جادة ، وعدم المساواة ، وحتى مشكلة كلامية.

في هذا الفيديو التعليمي ، سنرى كيفية تطبيق صيغ الضرب المختصرة بشكل صحيح لتبسيط المقادير الكسرية والكسور. دعونا نتعلم أن نرى هذه الصيغ حيث ، للوهلة الأولى ، لا يوجد شيء. في الوقت نفسه ، نكرر حيلة بسيطة مثل تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل من خلال المميز.

كما خمنت بالفعل من الصيغ الموجودة خلف ظهري ، سنقوم اليوم بدراسة الصيغ الخاصة بالضرب المختصر ، أو بالأحرى ، ليس الصيغ نفسها ، ولكن تطبيقها لتبسيط وتقليل التعبيرات المنطقية المعقدة. ولكن ، قبل الانتقال إلى حل الأمثلة ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على هذه الصيغ أو نتذكرها:

1. $ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ هو فرق المربعات ؛
2. $ ((\ left (a + b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) $ هو مربع المجموع ؛
3. $ ((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) $ هو الفرق التربيعي ؛
4. $ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ left (a + b \ right) \ left (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ ( 2)) \ right) $ هو مجموع المكعبات.
5. $ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (a-b \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2) ) \ right) $ فرق المكعبات.

أود أيضًا أن أشير إلى أن نظام التعليم المدرسي لدينا مصمم بطريقة تشبه دراسة هذا الموضوع ، أي التعبيرات المنطقية ، وكذلك الجذور ، والوحدات النمطية ، كل الطلاب لديهم نفس المشكلة ، والتي سأشرحها الآن.

الحقيقة هي أنه في بداية دراسة الصيغ الخاصة بالضرب المختصر ، وبالتالي ، الإجراءات لتقليل الكسور (هذا يتعلق بالصف الثامن) ، يقول المعلمون شيئًا كهذا: "إذا كان هناك شيء غير واضح بالنسبة لك ، فلا داعي للقلق سنعود لهذا الموضوع أكثر من مرة بالمدرسة الثانوية بالتأكيد. سنكتشف ذلك لاحقًا ". حسنًا ، في مطلع الصفوف 9-10 ، يشرح نفس المعلمين لنفس الطلاب الذين ما زالوا لا يعرفون كيفية حل الكسور المنطقية ، شيء من هذا القبيل: "أين كنت في العامين الماضيين؟ نفس الشيء تمت دراسته في الجبر في الصف الثامن! ما الذي يمكن أن يكون غير مفهوم هنا؟ من الواضح جدا!"

ومع ذلك ، بالنسبة للطلاب العاديين ، فإن مثل هذه التفسيرات ليست أسهل على الإطلاق: لا يزال لديهم فوضى في رؤوسهم ، لذلك سنقوم الآن بتحليل مثالين بسيطين ، على أساسهما سنرى كيفية إبراز هذه التعبيرات في مشاكل حقيقية ، والتي ستقودنا إلى صيغ الضرب القصيرة وكيفية تطبيقها لاحقًا لتحويل التعبيرات المنطقية المعقدة.

اختزال الكسور المنطقية البسيطة

مهمة 1

\ [\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (9 ((y) ^ (4)) - 16 ((x) ^ (2))) \]

أول شيء نحتاج إلى تعلمه هو التمييز بين المربعات الدقيقة والقوى الأعلى في التعبيرات الأصلية ، والتي على أساسها يمكننا بعد ذلك تطبيق الصيغ. دعونا نرى:

دعنا نعيد كتابة تعبيرنا مع مراعاة هذه الحقائق:

\ [\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (((\ left (3 ((y) ^ (2)) \ right)) ^ (2)) - ((\ left (4x \ right)) ^ (2))) = \ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (\ left (3 (y) ^ (2)) - 4x \ right) \ left (3 ((y) ^ (2)) + 4x \ right)) = \ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) \]

الإجابة: $ \ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) $.

المهمة رقم 2

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

\ [\ frac (8) (((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2))) \]

لا يوجد شيء يمكن تبسيطه هنا ، لأن البسط ثابت ، لكني اقترحت هذه المشكلة على وجه التحديد حتى تتعلم كيفية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل تحتوي على متغيرين. إذا كانت هناك كثيرة حدود مكتوبة أدناه بدلاً من ذلك ، فكيف نحللها؟

\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 = \ يسار (x -... \ يمين) \ يسار (x -... \ يمين) \]

لنحل المعادلة ونجد $ x $ الذي يمكننا وضعه بدلاً من النقاط:

\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 = 0 \]

\ [((x) _ (1)) = \ frac (-5 + 7) (2) = \ frac (2) (2) = 1 \]

\ [((x) _ (2)) = \ frac (-5-7) (2) = \ frac (-12) (2) = - 6 \]

يمكننا إعادة كتابة ثلاثي الحدود على النحو التالي:

\ [((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2)) = \ left (x-1 \ right) \ left (x + 6 \ right) \]

لقد تعلمنا كيفية العمل باستخدام ثلاثي الحدود المربع - ولهذا كان علينا تسجيل درس الفيديو هذا. ولكن ماذا لو كان هناك أيضًا $ y $ بالإضافة إلى $ x $ والثابت؟ دعونا ننظر إليها كعنصر آخر في المعاملات ، أي دعنا نعيد كتابة تعبيرنا على النحو التالي:

\ [((x) ^ (2)) + 5y \ cdot x-6 ((y) ^ (2)) \]

\ [((x) _ (1)) = \ frac (-5y + 7y) (2) = y \]

\ [((x) _ (2)) = \ frac (-5y-7y) (2) = \ frac (-12y) (2) = - 6y \]

نكتب تحلل بناء المربع الخاص بنا:

\ [\ يسار (x-y \ يمين) \ يسار (x + 6y \ يمين) \]

إجمالاً ، إذا عدنا إلى التعبير الأصلي وأعدنا كتابته مع مراعاة التغييرات ، نحصل على ما يلي:

\ [\ frac (8) (\ يسار (x-y \ يمين) \ يسار (x + 6y \ يمين)) \]

ماذا يعطينا هذا السجل؟ لا شيء ، لأنه لا يمكن اختزاله ، لا يضرب ولا يقسم على شيء. ومع ذلك ، بمجرد أن يتضح أن هذا الكسر جزء لا يتجزأ من تعبير أكثر تعقيدًا ، سيكون هذا التمدد مفيدًا. لذلك ، بمجرد أن ترى ثلاثي الحدود المربع (سواء كان مثقلًا بمعلمات إضافية أم لا) ، حاول دائمًا تحليله.

الفروق الدقيقة في الحل

تذكر القواعد الأساسية لتحويل التعبيرات المنطقية:

• يجب تحليل جميع القواسم والبسط إما من خلال صيغ الضرب المختصرة أو من خلال المميز.
• نحتاج إلى العمل وفقًا لهذه الخوارزمية: عندما ننظر ونحاول إبراز صيغة الضرب المختصرة ، إذن ، أولاً وقبل كل شيء ، نحاول ترجمة كل شيء إلى أقصى درجة ممكنة. بعد ذلك ، نخرج الدرجة العامة من الأقواس.
• في كثير من الأحيان سيكون هناك تعبيرات ذات معلمة: ستظهر المتغيرات الأخرى كمعامِلات. نجدها باستخدام صيغة التوسع التربيعي.

وهكذا ، بمجرد أن ترى كسورًا عقلانية ، فإن أول شيء عليك فعله هو تحليل كل من البسط والمقام إلى عوامل (في تعبيرات خطية) ، بينما نستخدم صيغ الضرب المختصرة أو المميز.

دعنا نلقي نظرة على اثنين من هذه التعبيرات المنطقية ونحاول حلها.

حل المزيد من الأمثلة المعقدة

مهمة 1

\ [\ frac (4 ((x) ^ (2)) - 6xy + 9 ((y) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (9 ((y) ^ (2)) - 4 ((x) ^ (2))) (8 ((x) ^ (3)) + 27 ((y) ^ (3))) \]

نعيد كتابة كل مصطلح ونحاول توسيعه:

دعنا نعيد كتابة تعبيرنا العقلاني بالكامل مع وضع هذه الحقائق في الاعتبار:

\ [\ frac (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (((\ left (3y \ right)) ^ (2)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (2))) (((\ left (2x \ right)) ^ (3)) + ((\ left (3y \ right)) ^ (3))) = \]

\ [= \ frac (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (\ left (3y-2x \ right) \ left (3y + 2x \ right)) (\ left (2x + 3y \ right) \ left (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2)) \ right)) = - 1 \]

الجواب: -1 دولار.

المهمة رقم 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

لنلق نظرة على كل الكسور.

\ [((x) ^ (2)) + 4-4x = ((x) ^ (2)) - 4x + 2 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ ( 2)) = ((\ left (x-2 \ right)) ^ (2)) \]

دعنا نعيد كتابة الهيكل بأكمله مع مراعاة التغييرات:

\ [\ frac (3 \ left (1-2x \ right)) (2 \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) \ cdot \ frac ( 2x + 1) (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ left (2-x \ right) \ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \ right)) (\ left (2x-1 \ right) \ left (2x + 1 \ right)) = \]

\ [= \ frac (3 \ cdot \ يسار (-1 \ يمين)) (2 \ cdot \ يسار (x-2 \ يمين) \ cdot \ يسار (-1 \ يمين)) = \ frac (3) (2 \ يسار (× 2 \ يمين)) \]

الإجابة: $ \ frac (3) (2 \ left (x-2 \ right)) $.

الفروق الدقيقة في الحل

إذن ما الذي تعلمناه للتو:

• لا يتم تحليل كل ثلاثية حدود مربعة ، على وجه الخصوص ، ينطبق هذا على المربع غير الكامل للمجموع أو الفرق ، والذي غالبًا ما يتم العثور عليه كأجزاء من مكعبات المجموع أو الفرق.
• الثوابت ، أي يمكن للأرقام العادية التي لا تحتوي على متغيرات معها أن تعمل أيضًا كعناصر نشطة في عملية التحلل. أولاً ، يمكن إخراجها من الأقواس ، وثانيًا ، يمكن تمثيل الثوابت نفسها كقوى.
• في كثير من الأحيان ، بعد تحلل جميع العناصر إلى عوامل ، تنشأ إنشاءات معاكسة. تحتاج إلى تقليل هذه الكسور بعناية شديدة ، لأنه عندما تقوم بشطبها إما من أعلى أو من أسفل ، يظهر عامل إضافي $ -1 $ - وهذا بالضبط نتيجة حقيقة أنهما معاكسان.

حل المشكلات المعقدة

\ [\ frac (27 ((أ) ^ (3)) - 64 ((ب) ^ (3))) (((ب) ^ (2)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

دعنا نفكر في كل مصطلح على حدة.

الكسر الأول:

\ [(\ left (3a \ right)) ^ (3)) - ((\ left (4b \ right)) ^ (3)) = \ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2)) \ right) \]

\ [((ب) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ يسار (ب-2 \ يمين) \ يسار (ب + 2 \ يمين) \]

يمكننا إعادة كتابة البسط الكامل للكسر الثاني على النحو التالي:

\ [(\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2)) \]

الآن دعونا ننظر إلى المقام:

\ [((b) ^ (2)) + 4b + 4 = ((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ left (b + 2 \ right )) ^ (2)) \]

دعنا نعيد كتابة التعبير العقلاني بالكامل مع وضع الحقائق المذكورة أعلاه في الاعتبار:

\ [\ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2 )) \ right)) (\ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right)) \ cdot \ frac (((\ left (b + 2 \ right)) ^ (2))) ( ((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2))) = \]

\ [= \ فارك (\ يسار (3 أ-4 ب \ يمين) \ يسار (ب + 2 \ يمين)) (\ يسار (ب -2 \ يمين)) \]

الإجابة: $ \ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (b + 2 \ right)) (\ left (b-2 \ right)) $.

الفروق الدقيقة في الحل

كما رأينا مرة أخرى ، المربعات غير المكتملة من المجموع أو المربعات غير المكتملة للفرق ، والتي غالبًا ما توجد في التعبيرات العقلانية الحقيقية ، لا تخف منها ، لأنها تلغي دائمًا تقريبًا بعد تحول كل عنصر. بالإضافة إلى ذلك ، لا يجب أن تخاف بأي حال من الأحوال من الإنشاءات الكبيرة في الإجابة النهائية - من المحتمل جدًا أن هذا ليس خطأك (خاصة إذا تم أخذ كل شيء في الاعتبار) ، لكن المؤلف تصور مثل هذه الإجابة.

في الختام ، أود تحليل مثال أكثر تعقيدًا ، والذي لم يعد مرتبطًا بشكل مباشر بالكسور المنطقية ، ولكنه يحتوي على كل ما ينتظرك في الاختبارات والامتحانات الحقيقية ، وهي: التحليل إلى عوامل ، والاختزال إلى قاسم مشترك ، واختزال المصطلحات المماثلة . هذا بالضبط ما سنفعله الآن.

حل مشكلة معقدة تتمثل في تبسيط وتحويل التعبيرات المنطقية

\ [\ يسار (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ فارك (2) (2-س) \ يمين) \]

أولاً ، فكر في القوس الأول وقم بتوسيعه: نرى فيه ثلاثة كسور منفصلة ذات مقامات مختلفة ، لذا فإن أول شيء علينا القيام به هو تقريب الكسور الثلاثة إلى قاسم مشترك ، ولهذا ، يجب تحليل كل منها إلى عوامل:

\ [((x) ^ (2)) + 2x + 4 = ((x) ^ (2)) + 2 \ cdot x + ((2) ^ (2)) \]

\ [((x) ^ (2)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (2)) = \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right) \]

دعنا نعيد كتابة هيكلنا بالكامل على النحو التالي:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x) -2 \ يمين) \ يسار (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ left (x-2 \ right) + ((x) ^ (3)) + 8- \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2 )) \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ left (x-2) \ يمين) \ يسار (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x-4) (\ يسار (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \]

\ [= \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + (( 2) ^ (2)) \ right)) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

هذه نتيجة الحسابات من القوس الأول.

التعامل مع القوس الثاني:

\ [((x) ^ (2)) - 4 = ((x) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ حقا)\]

دعنا نعيد كتابة القوس الثاني ، مع مراعاة التغييرات:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2) (x-2) = \ frac ( ((x) ^ (2)) + 2 \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ يسار (x-2 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين)) \]

الآن دعنا نكتب البناء الأصلي بالكامل:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ يمين) \ يسار (س + 2 \ يمين)) = \ فارك (1) (س + 2) \]

الإجابة: $ \ frac (1) (x + 2) $.

الفروق الدقيقة في الحل

كما ترى ، تبين أن الإجابة عاقلة تمامًا. ومع ذلك ، يرجى ملاحظة: في كثير من الأحيان مع مثل هذه الحسابات واسعة النطاق ، عندما يكون المتغير الوحيد في المقام فقط ، ينسى الطلاب أن هذا هو المقام ويجب أن يكون في أسفل الكسر ويكتب هذا التعبير في البسط - هذا هو خطأ فادح.

بالإضافة إلى ذلك ، أود أن ألفت انتباهكم بشكل خاص إلى كيفية إضفاء الطابع الرسمي على هذه المهام. في أي حسابات معقدة ، يتم تنفيذ جميع الخطوات خطوة بخطوة: أولاً ، نحسب القوس الأول بشكل منفصل ، ثم القوس الثاني بشكل منفصل ، وفي النهاية فقط نجمع كل الأجزاء ونحسب النتيجة. وبالتالي ، فإننا نؤمن أنفسنا ضد الأخطاء الغبية ، ونقوم بتدوين جميع الحسابات بعناية وفي نفس الوقت لا نضيع وقتًا إضافيًا ، كما قد يبدو للوهلة الأولى.

هذا المقال عن تحويل التعبيرات العقلانية، في الغالب منطقيًا جزئيًا ، هو أحد الأسئلة الرئيسية في مقرر الجبر للصف الثامن. أولًا ، نتذكر نوع المقادير التي تسمى عقلانية. بعد ذلك ، سنركز على إجراء تحويلات معيارية بتعبيرات عقلانية ، مثل تجميع المصطلحات ، وإخراج العوامل المشتركة من الأقواس ، وتقليل المصطلحات المماثلة ، وما إلى ذلك. أخيرًا ، سوف نتعلم كيفية تمثيل التعبيرات المنطقية الكسرية ككسور منطقية.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة للتعبيرات المنطقية

التعبيرات العقلانية هي أحد أنواع التعبيرات المدروسة في دروس الجبر في المدرسة. دعونا نعطي تعريف.

تعريف.

تسمى التعبيرات المكونة من أرقام ، ومتغيرات ، وأقواس ، ودرجات بأسس صحيحة ، متصلة باستخدام علامات العمليات الحسابية + ، - ، · و: ، حيث يمكن الإشارة إلى القسمة بشريط كسر ، تعابير عقلانية.

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات المنطقية:.

تبدأ التعبيرات العقلانية في دراسة هادفة في الصف السابع. علاوة على ذلك ، في الصف السابع ، أساسيات العمل مع من يسمى تعابير عقلانية كاملة، أي مع التعبيرات المنطقية التي لا تحتوي على قسمة إلى تعبيرات ذات متغيرات. للقيام بذلك ، تتم دراسة المعادلات الأحادية ومتعددة الحدود باستمرار ، بالإضافة إلى مبادئ تنفيذ الإجراءات معهم. تسمح لك كل هذه المعرفة في النهاية بإجراء تحويل التعبيرات الصحيحة.

في الصف الثامن ، ينتقلون إلى دراسة التعبيرات المنطقية التي تحتوي على قسمة بتعبير ذي متغيرات ، والتي تسمى التعبيرات المنطقية الكسرية. في هذا الصدد ، يتم إيلاء اهتمام خاص لما يسمى ب الكسور المنطقية(أيضا يسمى الكسور الجبرية) ، أي الكسور التي يحتوي بسطها ومقامها على كثيرات الحدود. هذا يجعل من الممكن في النهاية إجراء تحويل الكسور المنطقية.

تتيح لنا المهارات المكتسبة المضي قدمًا في تحويل التعبيرات العقلانية لشكل تعسفي. ويفسر ذلك حقيقة أن أي تعبير عقلاني يمكن اعتباره تعبيرًا يتكون من كسور منطقية وتعبيرات صحيحة مرتبطة بعلامات العمليات الحسابية. ونحن نعلم بالفعل كيفية التعامل مع المقادير الصحيحة والكسور الجبرية.

الأنواع الرئيسية لتحولات التعبيرات العقلانية

باستخدام التعبيرات المنطقية ، يمكنك تنفيذ أي من تحولات الهوية الأساسية ، سواء كانت مجموعة من المصطلحات أو العوامل ، أو جلب مصطلحات متشابهة ، أو إجراء عمليات بأرقام ، إلخ. عادةً ما يكون الغرض من هذه التحولات هو تبسيط التعبير المنطقي.

مثال.

.

المحلول.

من الواضح أن هذا التعبير العقلاني هو اختلاف بين تعبيرين ، وهذان التعبيران متشابهان ، لأنهما لهما نفس الجزء الحرفي. وبالتالي ، يمكننا إجراء تخفيض للمصطلحات المتشابهة:

إجابه:

.

من الواضح أنه عند إجراء تحولات بتعبيرات عقلانية ، كما هو الحال في الواقع ، مع أي تعبيرات أخرى ، يجب على المرء أن يظل في إطار ترتيب الإجراءات المقبول.

مثال.

تحويل التعبير المنطقي.

المحلول.

نحن نعلم أن الإجراءات بين قوسين يتم تنفيذها أولاً. لذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، نقوم بتحويل التعبير بين قوسين: 3 س - س = 2 س.

الآن يمكنك استبدال النتيجة في التعبير المنطقي الأصلي:. لذلك توصلنا إلى تعبير يحتوي على أفعال مرحلة واحدة - الجمع والضرب.

دعنا نتخلص من الأقواس الموجودة في نهاية التعبير بتطبيق خاصية القسمة على منتج:.

أخيرًا ، يمكننا تجميع العوامل الرقمية وعوامل x ، ثم إجراء العمليات المقابلة على الأرقام وتطبيق:.

هذا يكمل تحويل التعبير المنطقي ، ونتيجة لذلك حصلنا على monomial.

إجابه:

مثال.

تحويل التعبير العقلاني .

المحلول.

أولًا نحول البسط والمقام. يُفسَّر ترتيب تحويل الكسور هذا من خلال حقيقة أن ضربة الكسر هي أساسًا تسمية قسمة أخرى ، والتعبير المنطقي الأصلي هو أساسًا شكل معين ، ويتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين أولاً.

لذلك ، في البسط ، نجري عمليات مع كثيرات الحدود ، الضرب الأول ، ثم الطرح ، وفي المقام نجمع العوامل العددية ونحسب حاصل ضربها: .

لنتخيل أيضًا بسط ومقام الكسر الناتج على أنه حاصل ضرب: فجأة أصبح من الممكن تقليل الكسر الجبري. للقيام بذلك ، نستخدم في البسط فرق صيغة المربعات، وفي المقام نخرج الشيطان من الأقواس ، لدينا .

إجابه:

.

لذلك ، يمكن اعتبار التعارف الأولي مع تحول التعبيرات العقلانية مكتملاً. نمرر ، إذا جاز التعبير ، إلى أحلى.

التمثيل ككسر منطقي

الهدف النهائي الأكثر شيوعًا لتحويل التعبيرات هو تبسيط شكلها. في هذا الضوء ، فإن أبسط شكل يمكن تحويل التعبير المنطقي الكسري إليه هو كسر عقلاني (جبري) ، وفي حالة معينة ، كثير حدود أو أحادي أو عدد.

هل يمكن تمثيل أي تعبير منطقي ككسر كسري؟ الجواب نعم. دعونا نشرح سبب ذلك.

كما قلنا سابقًا ، يمكن اعتبار أي تعبير منطقي متعدد الحدود وكسور عقلانية مرتبطة بعلامات موجب وناقص وضرب وقسمة. كل العمليات ذات الصلة على كثيرات الحدود تنتج كثير الحدود أو كسر كسري. في المقابل ، يمكن تحويل أي كثير حدود إلى كسر جبري بكتابته بالمقام 1. بالإضافة إلى ذلك ، ينتج عن الطرح والضرب والقسمة للكسور الكسرية كسور كسرية جديدة. لذلك ، بعد إجراء جميع العمليات مع كثيرات الحدود والكسور النسبية في تعبير كسري ، نحصل على كسر كسري.

مثال.

عبر عن التعبير في صورة كسر نسبي .

المحلول.

التعبير المنطقي الأصلي هو الفرق بين الكسر ومنتج الكسور في الصورة . وفقًا لترتيب العمليات ، يجب علينا أولاً إجراء الضرب ، ثم الجمع فقط.

نبدأ بضرب الكسور الجبرية:

نستبدل النتيجة التي تم الحصول عليها في التعبير المنطقي الأصلي:.

لقد توصلنا إلى طرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة:

لذلك ، بعد أن نفذنا الأفعال باستخدام كسور منطقية تشكل التعبير المنطقي الأصلي ، فقد قدمناها في صورة كسر نسبي.

إجابه:

.

لتوحيد المادة ، سنقوم بتحليل الحل لمثال آخر.

مثال.

اكتب تعبيرًا كسريًا في صورة كسر كسري.