طرق حل أنظمة المعادلات المنطقية. المنطق. وظائف المنطق. حل المعادلات

موضوع الدرس: حل المعادلات المنطقية

تعليمية – دراسة طرق حل المعادلات المنطقية، وتطوير المهارات في حل المعادلات المنطقية وبناء تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة؛

التنموية - تهيئة الظروف لتنمية الاهتمام المعرفي لدى الطلاب، وتعزيز تنمية الذاكرة والانتباه والتفكير المنطقي؛

التعليمية : تعزيز القدرة على الاستماع لآراء الآخرين،تعزيز الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: درس مشترك

معدات: الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، العرض 6.

خلال الفصول الدراسية

تكرار وتحديث المعرفة الأساسية. التحقق من الواجبات المنزلية (10 دقائق)

تعرفنا في الدروس السابقة على القوانين الأساسية للجبر المنطقي وتعلمنا كيفية استخدام هذه القوانين لتبسيط التعبيرات المنطقية.

دعونا نتحقق من واجبنا المنزلي حول تبسيط التعبيرات المنطقية:

1. أي الكلمات التالية تحقق الشرط المنطقي:

(الحرف الأول ساكن → الحرف الثاني ساكن)٨ (حرف العلة الأخير → حرف العلة قبل الأخير)؟ إذا كان هناك العديد من هذه الكلمات، فحدد أصغرها.

1) آنا 2) ماريا 3) أوليغ 4) ستيبان

دعونا نقدم التدوين التالي:

أ- الحرف الأول الساكن

ب – الحرف الثاني الساكن

S - حرف العلة الأخير

د – حرف العلة قبل الأخير

دعونا نجعل التعبير:

لنقم بعمل جدول:

2. حدد التعبير المنطقي الذي يعادل التعبير

دعونا نبسط تسجيل التعبير الأصلي والخيارات المقترحة:

3. بالنظر إلى جزء من جدول الحقيقة للتعبير F:

ما التعبير الذي يطابق F؟

دعونا نحدد قيم هذه التعبيرات لقيم الوسائط المحددة:

مقدمة لموضوع الدرس وعرض مادة جديدة (30 دقيقة)

نواصل دراسة أساسيات المنطق وموضوع درسنا اليوم هو "حل المعادلات المنطقية". بعد دراسة هذا الموضوع ستتعلم الطرق الأساسية لحل المعادلات المنطقية، وتكتسب مهارات حل هذه المعادلات باستخدام لغة الجبر المنطقي والقدرة على تكوين تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة.

1. حل معادلة منطقية

(¬ك م) → (¬L م ن) =0

اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل:

دعونا تحويل التعبير(¬ك  م) → (¬L  م  ن)

يكون التعبير خاطئًا عندما يكون كلا المصطلحين خاطئين. الحد الثاني يساوي 0 إذا كان M = 0، N = 0، L = 1. في الفصل الأول K = 0، حيث أن M = 0، و
.

الجواب: 0100

2. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

الحل: تحويل التعبير

(أ +ب)*(ج +د)=1

أ + ب = 1 و ج + د = 1

الطريقة الثانية: رسم جدول الحقيقة

3 طريقة: بناء SDNF - الشكل الطبيعي المنفصل المثالي لوظيفة - انفصال عن أدوات الاقتران الأولية المنتظمة الكاملة.

دعونا نحول التعبير الأصلي، ونفتح الأقواس للحصول على انفصال أدوات العطف:

(أ+ب)*(ج+د)=أ*ج+ب*ج+أ*د+ب*د=

دعونا نكمل أدوات العطف لإكمال أدوات العطف (منتج جميع الوسائط)، افتح الأقواس:

لنأخذ بعين الاعتبار نفس الاقترانات:

ونتيجة لذلك، حصلنا على SDNF يحتوي على 9 اقترانات. ولذلك، فإن جدول الحقيقة لهذه الوظيفة له القيمة 1 في 9 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

3. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

دعونا نبسط التعبير:

3 طريقة: بناء SDNF

لنأخذ بعين الاعتبار نفس الاقترانات:

ونتيجة لذلك، نحصل على SDNF يحتوي على 5 اقترانات. ولذلك، فإن جدول الحقيقة لهذه الدالة له القيمة 1 على 5 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

بناء تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة:

لكل صف من جدول الحقيقة يحتوي على 1، نقوم بتكوين منتج من الوسائط، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 0 في المنتج مع النفي، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 1 بدون نفي. سيتكون التعبير المطلوب F من مجموع المنتجات الناتجة. ثم، إذا كان ذلك ممكنا، ينبغي تبسيط هذا التعبير.

مثال: يتم إعطاء جدول الحقيقة للتعبير. بناء تعبير منطقي.

حل:

3. الواجب المنزلي (5 دقائق)

حل المعادلة:

كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

باستخدام جدول الحقيقة المحدد، قم ببناء تعبير منطقي و

تبسيطها.

طرق حل أنظمة المعادلات المنطقية

كيرجيزوفا إي.في.، نيمكوفا إيه.إي.

معهد ليسوسيبيرسك التربوي –

فرع جامعة سيبيريا الفيدرالية، روسيا

إن القدرة على التفكير المستمر، والتفكير بشكل مقنع، وبناء الفرضيات، ودحض الاستنتاجات السلبية لا تأتي من تلقاء نفسها؛ فهذه المهارة يطورها علم المنطق. المنطق هو العلم الذي يدرس طرق إثبات صحة أو كذب بعض الأقوال على أساس صحة أو كذب أقوال أخرى.

إن إتقان أساسيات هذا العلم أمر مستحيل دون حل المشكلات المنطقية. يتم اختبار تطوير المهارات اللازمة لتطبيق المعرفة في موقف جديد من خلال النجاح. على وجه الخصوص، هذه هي القدرة على حل المشاكل المنطقية. المهام B15 في امتحان الدولة الموحدة هي مهام ذات تعقيد متزايد، لأنها تحتوي على أنظمة المعادلات المنطقية. هناك طرق مختلفة لحل أنظمة المعادلات المنطقية. هذا هو الاختزال إلى معادلة واحدة، وبناء جدول الحقيقة، والتحليل، والحل المتسلسل للمعادلات، وما إلى ذلك.

مهمة:حل نظام المعادلات المنطقية:

دعونا نفكر طريقة الاختزال إلى معادلة واحدة . تتضمن هذه الطريقة تحويل المعادلات المنطقية بحيث يكون طرفها الأيمن مساويًا لقيمة الحقيقة (أي 1). للقيام بذلك، استخدم عملية النفي المنطقية. ثم، إذا كانت المعادلات تحتوي على عمليات منطقية معقدة، فإننا نستبدلها بعمليات أساسية: "AND"، "OR"، "NOT". الخطوة التالية هي دمج المعادلات في واحدة مكافئة للنظام باستخدام العملية المنطقية "AND". بعد ذلك، يجب عليك تحويل المعادلة الناتجة بناءً على قوانين الجبر المنطقي والحصول على حل محدد للنظام.

الحل 1:قم بتطبيق الانقلاب على طرفي المعادلة الأولى:

دعونا نتخيل المعنى الضمني من خلال العمليتين الأساسيتين "OR" و"NOT":

بما أن الأطراف اليسرى للمعادلتين تساوي 1، يمكننا دمجهما باستخدام العملية "AND" في معادلة واحدة تعادل النظام الأصلي:

نفتح القوس الأول حسب قانون دي مورغان ونحول النتيجة التي تم الحصول عليها:

المعادلة الناتجة لها حل واحد:أ= 0، ب = 0 و ج = 1.

الطريقة التالية هي بناء جداول الحقيقة . نظرًا لأن الكميات المنطقية لها قيمتان فقط، يمكنك ببساطة استعراض جميع الخيارات والعثور من بينها على تلك التي يرضيها نظام معين من المعادلات. أي أننا نبني جدول حقيقة مشتركًا واحدًا لجميع معادلات النظام ونجد خطًا بالقيم المطلوبة.

الحل 2:لنقم بإنشاء جدول الحقيقة للنظام:








0	0	1	1	0	1

يتم تمييز السطر الذي يتم استيفاء شروط المهمة له بالخط العريض. إذن أ = 0، ب = 0، ج = 1.

طريق تقسيم . تتمثل الفكرة في تثبيت قيمة أحد المتغيرات (تسويتها بـ 0 أو 1) وبالتالي تبسيط المعادلات. ومن ثم يمكنك تثبيت قيمة المتغير الثاني، وهكذا.

الحل 3:يترك أ = 0، ثم:

من المعادلة الأولى نحصل عليهاب =0 ومن الثاني - C=1. حل النظام: A = 0، B = 0، C = 1.

يمكنك أيضًا استخدام الطريقة الحل المتسلسل للمعادلات ، في كل خطوة إضافة متغير واحد إلى المجموعة قيد النظر. للقيام بذلك، من الضروري تحويل المعادلات بحيث يتم إدخال المتغيرات بالترتيب الأبجدي. بعد ذلك، نقوم ببناء شجرة قرارات، ونضيف إليها المتغيرات بشكل تسلسلي.

المعادلة الأولى للنظام تعتمد فقط على A وB، والمعادلة الثانية على A وC. يمكن للمتغير A أن يأخذ قيمتين 0 و 1:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك ، لذلك متى A = 0 ونحصل على B = 0، وبالنسبة لـ A = 1 لدينا B = 1. إذن، المعادلة الأولى لها حلان بالنسبة للمتغيرين A وB.

دعونا نصور المعادلة الثانية والتي من خلالها نحدد قيم C لكل خيار. عندما يكون A = 1، لا يمكن أن يكون التضمين خاطئًا، أي أن الفرع الثاني من الشجرة ليس له حل. فيأ= 0 نحصل على الحل الوحيدج= 1 :

وبذلك حصلنا على حل النظام: A = 0، B = 0، C = 1.

في امتحان الدولة الموحدة في علوم الكمبيوتر، غالبا ما يكون من الضروري تحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية، دون العثور على الحلول نفسها، وهناك طرق معينة لذلك؛ الطريقة الرئيسية لإيجاد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هي استبدال المتغيرات. أولاً، تحتاج إلى تبسيط كل من المعادلات قدر الإمكان بناءً على قوانين الجبر المنطقي، ثم استبدال الأجزاء المعقدة من المعادلات بمتغيرات جديدة وتحديد عدد حلول النظام الجديد. بعد ذلك، ارجع إلى الاستبدال وحدد عدد الحلول له.

مهمة:كم عدد حلول المعادلة (أ → ب ) + (ج → د ) = 1؟ حيث A، B، C، D هي متغيرات منطقية.

حل:دعونا نقدم متغيرات جديدة: X = أ → ب و ص = ج → د . وبأخذ المتغيرات الجديدة في الاعتبار سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي:س + ص = 1.

ويصح الانفصال في ثلاث حالات: (1؛0)، (1؛0)، (1؛1)، بينما X وY استدلالاً، أي أنه صادق في ثلاث، وباطل في واحدة. ولذلك، فإن الحالة (0;1) ستتوافق مع ثلاث مجموعات محتملة من المعلمات. الحالة (1؛1) - ستتوافق مع تسع مجموعات محتملة من معلمات المعادلة الأصلية. هذا يعني أن مجموع الحلول الممكنة لهذه المعادلة هو 3+9=15.

الطريقة التالية لتحديد عدد الحلول لنظام من المعادلات المنطقية هي شجرة ثنائية. دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة باستخدام مثال.

مهمة:ما عدد الحلول المختلفة لنظام المعادلات المنطقية:

نظام المعادلات المعطى يعادل المعادلة:

( س 1 → س 2 )*( س 2 → س 3 )*…*( س م -1 → س م) = 1.

دعونا نتظاهر بذلكس 1 - صحيح، فمن المعادلة الأولى نحصل على ذلكس 2 صحيح أيضًا ، من الثاني -س 3 =1 وهكذا حتى س م= 1. إذن المجموعة (1؛ 1؛ …؛ 1) منم الوحدات هي حل النظام دعها الآنس 1 =0 ثم من المعادلة الأولى التي لديناس 2 =0 أو س 2 =1.

متى س 2 صحيح أننا حصلنا على أن المتغيرات المتبقية صحيحة أيضًا، أي أن المجموعة (0; 1; ...; 1) هي حل للنظام. فيس 2 =0 لقد حصلنا على ذلك س 3 =0 أو س 3 =، وهكذا. وبالاستمرار إلى المتغير الأخير نجد أن حلول المعادلة هي مجموعات المتغيرات التالية (م +1 حل، في كل حلم القيم المتغيرة):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

تم توضيح هذا النهج بشكل جيد من خلال بناء شجرة ثنائية. عدد الحلول الممكنة هو عدد الفروع المختلفة للشجرة المبنية. ومن السهل أن نرى أنها متساويةم +1.

المتغيرات	شجرة	عدد الحلول
× 1
× 2
× 3

في حالة وجود صعوبات في التفكير وبناء شجرة القرار، يمكنك البحث عن حل باستخدام جداول الحقيقةلمعادلة واحدة أو معادلتين.

دعنا نعيد كتابة نظام المعادلات بالشكل:

ولنقم بإنشاء جدول الحقيقة بشكل منفصل لمعادلة واحدة:

× 1	× 2	(× 1 → × 2)

لنقم بإنشاء جدول الحقيقة لمعادلتين:

× 1	× 2	× 3	× 1 → × 2	× 2 → × 3	(× 1 → × 2) (× 2 → × 3)*

بعد ذلك، يمكنك أن ترى أن معادلة واحدة صحيحة في الحالات الثلاث التالية: (0؛ 0)، (0؛ 1)، (1؛ 1). نظام من معادلتين يكون صحيحا في أربع حالات (0؛ 0؛ 0)، (0؛ 0؛ 1)، (0؛ 1؛ 1)، (1؛ 1؛ 1). وفي هذه الحالة يتضح على الفور أن هناك حلًا يتكون من أصفار فقط وأكثر مالحلول التي يتم فيها إضافة وحدة واحدة في كل مرة، بدءًا من الموضع الأخير حتى ملء جميع الأماكن الممكنة. يمكن الافتراض أن الحل العام سيكون له نفس الشكل، ولكن لكي يصبح هذا النهج حلاً، يلزم إثبات صحة الافتراض.

لتلخيص كل ما سبق، أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أنه ليست كل الأساليب التي تمت مناقشتها عالمية. عند حل كل نظام من المعادلات المنطقية، ينبغي مراعاة ميزاته، والتي على أساسها يجب اختيار طريقة الحل.

الأدب:

1. مشاكل منطقية / أو.ب. بوجومولوف – الطبعة الثانية. - م: بينوم. مختبر المعرفة، 2006. – 271 صفحة: مريض.

2. بولياكوف ك.يو. نظم المعادلات المنطقية / مجلة تربوية ومنهجية لمعلمي علوم الحاسوب : المعلوماتية العدد 14 ، 2011.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0، حيث J، K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟

حل.

التعبير (N ∨ ¬N) صحيح لأي N، وبالتالي

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة المنطقية ونستخدم قانون دي مورغان ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. نحصل على ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

المجموع المنطقي يساوي 1 إذا كانت إحدى العبارات المكونة له على الأقل تساوي 1. لذلك، يتم استيفاء المعادلة الناتجة بأي مجموعة من المتغيرات المنطقية باستثناء الحالة التي تكون فيها جميع الكميات المضمنة في المعادلة تساوي 0. كل من يمكن أن تكون المتغيرات الأربعة مساوية لـ 1 أو 0، وبالتالي فإن جميع المجموعات الممكنة هي 2·2·2·2 = 16. لذلك، تحتوي المعادلة على 16 −1 = 15 حلًا.

بقي أن نلاحظ أن الحلول الـ 15 التي تم العثور عليها تتوافق مع أي من القيمتين المحتملتين للمتغير المنطقي N، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية لديها 30 حلاً.

الجواب: 30

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

حيث J، K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟

لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة J وK وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

نحن نستخدم الصيغ A → B = ¬A ∨ B و ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الأولى:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الثانية

(ي ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الثالثة

1) M → J = 1،

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L؛

(0 ∨ ك) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

دعونا نجمع:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 وبالتالي 4 حلول.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K؛

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

دعونا نجمع:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L وبالتالي 4 حلول.

ج) م = 0 ي = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

الجواب: 4 + 4 = 8.

الجواب: 8

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

حيث K، L، M، N هي المتغيرات المنطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة K وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

دعونا نعيد كتابة المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات:

((ك + ل) → (ل م ن)) = 0

1) من جدول الحقيقة لعملية "التضمين" (انظر المشكلة الأولى) يترتب على ذلك أن هذه المساواة صحيحة إذا وفقط إذا كانت في نفس الوقت

ك + ل = 1 و ل م ن = 0

2) من المعادلة الأولى يتبع أن واحداً على الأقل من المتغيرين، K أو L، يساوي 1 (أو كليهما معًا)؛ لذلك دعونا ننظر في ثلاث حالات

3) إذا كانت K = 1 وL = 0، فإن المساواة الثانية تتحقق لأي M وN؛ نظرًا لوجود 4 مجموعات من متغيرين منطقيين (00 و01 و10 و11)، فلدينا 4 حلول مختلفة

4) إذا كان K = 1 وL = 1، فإن المساواة الثانية تنطبق على M · N = 0؛ هناك 3 مجموعات من هذا القبيل (00، 01 و10)، لدينا 3 حلول أخرى

5) إذا كان K = 0، فإن L = 1 (من المعادلة الأولى)؛ في هذه الحالة، تتحقق المساواة الثانية عندما يكون M · N = 0؛ هناك 3 مجموعات من هذا القبيل (00، 01 و10)، لدينا 3 حلول أخرى

6) في المجموع نحصل على 4 + 3 + 3 = 10 حلول.

الجواب: 10

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(ك ∧ ل) ∨ (م ∧ ن) = 1

حل.

يكون التعبير صحيحًا في ثلاث حالات، عندما يكون (K ∧ L) و (M ∧ N) يساوي 01، 11، 10 على التوالي.

1) "01" K ∧ L = 0؛ M ∧ N = 1، => M، N يساوي 1، وK وL ليسا سوى 1 في نفس الوقت. وبالتالي، هناك 3 حلول.

2) "11" ك ∧ ل = 1؛ م ∧ ن = 1. => 1 حل.

3) "10" K ∧ L = 1؛ م ∧ ن = 0. => 3 حلول.

الجواب: 7.

الجواب: 7

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(X ∧ Y ∨ Z) ← (Z ∨ P) = 0

حيث X، Y، Z، P هي متغيرات منطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة التي تحملها هذه المساواة. كإجابة، ما عليك سوى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

(X ∧ Y ∨ Z) ← (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0؛

المنطقية OR تكون خاطئة في حالة واحدة فقط: عندما يكون كلا التعبيرين خاطئين.

لذلك،

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0، P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; ص = 1.

ولذلك، هناك حل واحد فقط للمعادلة.

الجواب: 1

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(ك ∨ ل) ∧ (م ∨ ن) = 1

حيث K، L، M، N هي المتغيرات المنطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة K وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، ما عليك سوى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

منطقي ويكون صحيحًا فقط في حالة واحدة: عندما تكون جميع التعبيرات صحيحة.

ك ∨ ل = 1، م ∨ ن = 1.

كل معادلة تعطي 3 حلول.

خذ بعين الاعتبار المعادلة A ∧ B = 1، إذا أخذ كل من A و B قيمًا حقيقية في ثلاث حالات لكل منهما، فإن المعادلة في المجموع لها 9 حلول.

وبالتالي فإن الجواب هو 9.

الجواب: 9

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((أ → ب)∧ ج) ∨ (د ∧ ¬د)= 1,

حيث A، B، C، D هي متغيرات منطقية؟

لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة A، B، C، D التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

يكون "OR" المنطقي صحيحًا عندما تكون إحدى العبارات على الأقل صحيحة.

(D ∧ ¬D)= 0 لأي D.

لذلك،

(أ → ب)∧ ج) = 1 => ج = 1؛ A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1، مما يعطينا 3 حلول محتملة لكل D.

(D ∧ ¬ D)= 0 لأي D، مما يعطينا حلين (لـ D = 1، D = 0).

وبالتالي: مجموع الحلول 2*3 = 6.

مجموع 6 حلول.

الجواب: 6

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

حل.

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة:

(ك ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

منطقي OR صحيح في ثلاث حالات.

الخيار 1.

K ∧ L ∧ M = 1، ثم K، L، M = 1، و¬L ∧ M ∧ N = 0. N عشوائي، أي حلان.

الخيار 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1، ثم N، M = 1؛ L = 0، K أي حلين.

وبالتالي فإن الجواب هو 4.

الجواب: 4

A وB وC هي أعداد صحيحة تكون العبارة صحيحة فيها

¬ (أ = ب) ∧ ((أ > ب)→(ب > ج)) ∧ ((ب > أ)←(ج > ب)).

ما قيمة B إذا كانت A = 45 و C = 43؟

حل.

يرجى ملاحظة أن هذا البيان المعقد يتكون من ثلاثة عبارات بسيطة

1) ¬(أ = ب); (أ > ب)→(ب > ج)؛ (ب > أ)→(ج > ب)؛

2) ترتبط هذه العبارات البسيطة بالعملية ∧ (AND، اقتران)، أي أنه يجب تنفيذها في وقت واحد؛

3) من ¬(A = B)=1 يتبع ذلك مباشرة A B؛

4) لنفترض أن A > B، ثم من الشرط الثاني حصلنا على 1→(B > C)=1؛ يمكن أن يكون هذا التعبير صحيحًا فقط إذا كان B > C = 1؛

5) وبالتالي لدينا A > B > C، فقط الرقم 44 هو الذي يتوافق مع هذا الشرط؛

6) تحسبًا، دعونا أيضًا نتحقق من الخيار A 0 →(B > C)=1;

وهذا التعبير صحيح بالنسبة لأي B؛ انظر الآن إلى الشرط الثالث الذي حصلنا عليه

يمكن أن يكون هذا التعبير صحيحًا إذا وفقط إذا كان C > B، وهنا لدينا تناقض، لأنه لا يوجد رقم B له C > B > A.

الجواب: 44.

الجواب: 44

بناء جدول الحقيقة للدالة المنطقية

X = (أ ↔ ب) ∨ ¬(أ → (ب ∨ ج))

حيث عمود قيم الوسيطة A هو التمثيل الثنائي للرقم 27، وعمود قيم الوسيطة B هو الرقم 77، وعمود قيم الوسيطة C هو الرقم 120. الرقم في العمود مكتوب من الأعلى إلى الأسفل من الأكثر أهمية إلى الأقل أهمية (بما في ذلك المجموعة الصفرية). تحويل التمثيل الثنائي الناتج لقيم الدالة X إلى نظام الأرقام العشري.

حل.

لنكتب المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات:

1) هذا تعبير بثلاثة متغيرات، لذلك سيكون هناك خطوط في جدول الحقيقة؛ لذلك، يجب أن يتكون التمثيل الثنائي للأرقام المستخدمة في إنشاء أعمدة الجدول A وB وC من 8 أرقام

2) تحويل الأرقام 27 و 77 و 120 إلى النظام الثنائي، مع إضافة ما يصل إلى 8 أرقام من الأصفار على الفور في بداية الأرقام

3) من غير المحتمل أن تتمكن من كتابة قيم الدالة X على الفور لكل مجموعة، لذلك من الملائم إضافة أعمدة إضافية إلى الجدول لحساب النتائج المتوسطة (انظر الجدول أدناه)

أ	في	مع
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) املأ أعمدة الجدول:

أ	في	مع					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

القيمة هي 1 فقط في تلك السطور حيث A = B

القيمة هي 1 في تلك السطور حيث إما B أو C = 1

القيمة هي 0 فقط في تلك السطور حيث A = 1 و B + C = 0

القيمة هي عكس العمود السابق (يتم استبدال 0 بـ 1، ويتم استبدال 1 بـ 0)

نتيجة X (العمود الأخير) هي المجموع المنطقي للعمودين و

5) للحصول على الإجابة، اكتب البتات من العمود X من الأعلى إلى الأسفل:

6) تحويل هذا الرقم إلى النظام العشري:

الجواب: 171

ما هو أكبر عدد صحيح X الذي تكون العبارة (10 (X+1)·(X+2)) صحيحة؟

حل.

المعادلة هي عملية ضمنية بين علاقتين:

1) بالطبع، يمكنك هنا تطبيق نفس الطريقة كما في المثال 2208، لكنك ستحتاج إلى حل المعادلات التربيعية (لا أريد ذلك...)؛

2) لاحظ أننا حسب الشرط نحن مهتمون فقط بالأعداد الصحيحة، حتى نتمكن من محاولة تحويل التعبير الأصلي بطريقة أو بأخرى، والحصول على عبارة مكافئة (لسنا مهتمين على الإطلاق بالقيم الدقيقة للجذور!) ؛

3) خذ بعين الاعتبار المتباينة: من الواضح أنها يمكن أن تكون عددًا موجبًا أو سالبًا؛

4) من السهل التحقق من أن العبارة في المجال صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة، وفي المجال - لجميع الأعداد الصحيحة (حتى لا يتم الخلط بينك وبينه، فمن الملائم أكثر استخدام عدم المساواة غير الصارمة، وبدلاً من و )؛

5) لذلك، بالنسبة للأعداد الصحيحة، يمكن استبدالها بتعبير مكافئ

6) مجال حقيقة التعبير هو اتحاد فترتين لا نهائيتين؛

7) الآن فكر في المتباينة الثانية: من الواضح أنها يمكن أن تكون أيضًا عددًا موجبًا أو سالبًا؛

8) في المنطقة، يكون البيان صحيحًا لجميع الأعداد الصحيحة، وفي المنطقة - لجميع الأعداد الصحيحة، لذلك يمكن استبدال الأعداد الصحيحة بتعبير مكافئ

9) مجال صدق التعبير هو فترة مغلقة.

10) التعبير المعطى صحيح في كل مكان، باستثناء المناطق التي فيها و؛

11) يرجى ملاحظة أن القيمة لم تعد مناسبة، لأنه هناك و، أي أن المعنى الضمني يعطي 0؛

12) عند التعويض بـ 2 أو (10 (2+1) · (2+2)) أو 0 → 0 مما يحقق الشرط.

لذا فإن الجواب هو 2.

الجواب: 2

ما هو أكبر عدد صحيح X الذي تكون العبارة صحيحة؟

(50 (X+1)·(X+1))؟

حل.

دعونا نطبق التحويل الضمني ونحول التعبير:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

المنطقية OR تكون صحيحة عندما تكون عبارة منطقية واحدة على الأقل صحيحة. بعد حل كلا المتباينتين ومراعاة أننا نرى أن أكبر عدد صحيح يرضي أحدهما على الأقل هو 7 (في الشكل، يظهر الحل الإيجابي للمتباينة الثانية باللون الأصفر، والأول باللون الأزرق).

الجواب: 7

الإشارة إلى قيم المتغيرات K، L، M، N، التي يوجد عندها التعبير المنطقي

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

خطأ شنيع. اكتب الإجابة على شكل سلسلة مكونة من 4 أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

تكرار المهمة 3584.

الجواب: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

حل.

دعونا نطبق التحول الضمني:

(ك ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

دعونا تحويل:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

لذلك، M = 0، N = 0، فكر الآن في (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

من حقيقة أن M = 0، N = 0، يتبع ذلك M ∧ L = 0، ثم ¬K ∧ L = 1، أي K = 0، L = 1.

الجواب: 0100

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

خطأ شنيع. اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

لنكتب المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات (الشرط "التعبير خاطئ" يعني أنه يساوي الصفر المنطقي):

1) من صياغة الشرط يترتب على أن التعبير يجب أن يكون خطأ لمجموعة واحدة فقط من المتغيرات

2) من جدول الحقيقة لعملية "التضمين" يترتب على ذلك أن هذا التعبير خاطئ إذا وفقط إذا كان في نفس الوقت

3) تتحقق المساواة الأولى (المنتج المنطقي يساوي 1) إذا وفقط إذا و ؛ ويترتب على ذلك (المجموع المنطقي يساوي صفر)، وهو ما يمكن أن يحدث فقط عندما ؛ وهكذا، قمنا بالفعل بتحديد ثلاثة متغيرات

4) من الشرط الثاني نحصل على .

يكرر المهمة

الجواب: 1000

تحديد قيم المتغيرات المنطقية P، Q، S، T، التي يتم عندها التعبير المنطقي

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) خطأ.

اكتب الإجابة على شكل سلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات P، Q، S، T (بهذا الترتيب).

حل.

(1) (ف ∨ ¬Q) = 0

(2) (س → (س ∨ تي)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0، Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 دعونا نطبق التحويل الضمني:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0، T = 0.

الجواب: 0100

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(ك → م) ∨ (ل ∧ ك) ∨ ¬N

حل.

المنطقية OR تكون خاطئة إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين خاطئتين.

(K → M) = 0، (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

دعونا نطبق التحويل الضمني للتعبير الأول:

¬K ∨ M = 0 => K = 1، M = 0.

خذ بعين الاعتبار التعبير الثاني:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (انظر نتيجة التعبير الأول) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

الجواب: 1001.

الجواب: 1001

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

حقيقي. اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

يكون "AND" المنطقي صحيحًا إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين صحيحتين.

1) (K → M) = 1 قم بتطبيق التحويل الضمني: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 قم بتطبيق التحويل الضمني: ¬K ∨ ¬M = 1

ويترتب على ذلك أن ك = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 دعونا نطبق التحويل الضمني: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 من حقيقة أن K = 0 نحصل عليها.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت من أجل بناء جدول الحقيقة للتعبير المنطقي.
جدول الحقيقة – جدول يحتوي على جميع المجموعات الممكنة لمتغيرات الإدخال وقيم المخرجات المقابلة لها.
يحتوي جدول الحقيقة على صفين، حيث n هو عدد متغيرات الإدخال، وn+m عبارة عن أعمدة، حيث m هي متغيرات الإخراج.

تعليمات. عند الدخول من لوحة المفاتيح، استخدم الاصطلاحات التالية:

على سبيل المثال، يجب إدخال التعبير المنطقي abc+ab~c+a~bc على النحو التالي: a*b*c+a*b=c+a=b*c
لإدخال البيانات على شكل رسم تخطيطي منطقي، استخدم هذه الخدمة.

قواعد لإدخال وظيفة منطقية

بدلاً من رمز v (الانفصال، OR)، استخدم علامة +.
ليست هناك حاجة لتحديد تعيين وظيفة قبل وظيفة منطقية. على سبيل المثال، بدلاً من F(x,y)=(x|y)=(x^y) تحتاج ببساطة إلى إدخال (x|y)=(x^y) .
الحد الأقصى لعدد المتغيرات هو 10.

يتم تصميم وتحليل الدوائر المنطقية للكمبيوتر باستخدام فرع خاص من الرياضيات - الجبر المنطقي. في جبر المنطق، يمكن التمييز بين ثلاث وظائف منطقية رئيسية: "NOT" (النفي)، "AND" (الربط)، "OR" (الانفصال).
لإنشاء أي جهاز منطقي، من الضروري تحديد اعتماد كل من متغيرات الإخراج على متغيرات الإدخال الموجودة؛ ويسمى هذا الاعتماد وظيفة التبديل أو وظيفة الجبر المنطقي.
تسمى دالة الجبر المنطقي معرفة كاملة إذا تم إعطاء جميع قيمها 2 n، حيث n هو عدد متغيرات الإخراج.
إذا لم يتم تعريف كافة القيم، تسمى الوظيفة محددة جزئيا.
يُسمى الجهاز منطقيًا إذا تم وصف حالته باستخدام دالة الجبر المنطقي.
يتم استخدام الطرق التالية لتمثيل دالة الجبر المنطقي:
في الصورة الجبرية، يمكنك بناء دائرة لجهاز منطقي باستخدام عناصر منطقية.

الشكل 1 - مخطط الجهاز المنطقي

يتم تعريف كافة عمليات الجبر المنطق جداول الحقيقةقيم. يحدد جدول الحقيقة نتيجة العملية الجميع ممكن x القيم المنطقية للعبارات الأصلية. يعتمد عدد الخيارات التي تعكس نتيجة تطبيق العمليات على عدد العبارات في التعبير المنطقي. إذا كان عدد العبارات في التعبير المنطقي هو N، فسيحتوي جدول الحقيقة على صفين من N، نظرًا لوجود 2 N من مجموعات مختلفة من قيم الوسيطات المحتملة.

العملية NOT - النفي المنطقي (الانعكاس)

لا يتم تطبيق العملية المنطقية على وسيطة واحدة، والتي يمكن أن تكون تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. نتيجة العملية ليست كما يلي:

فإذا كان أصل التعبير صحيحاً كانت نتيجة نفيه كاذبة؛
فإذا كان التعبير الأصلي خطأ كانت نتيجة نفيه صحيحة.

لا يتم قبول الاتفاقيات التالية لعملية النفي:
ليس أ، Ā، وليس أ، ¬А، !أ
لا يتم تحديد نتيجة عملية النفي من خلال جدول الحقيقة التالي:

أ	ليس أ
0	1
1	0

تكون نتيجة عملية النفي صحيحة عندما تكون العبارة الأصلية خاطئة، والعكس صحيح.

عملية OR - إضافة منطقية (انفصال، اتحاد)

تؤدي العملية المنطقية OR وظيفة الجمع بين عبارتين، والتي يمكن أن تكون تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. تسمى البيانات التي تمثل نقطة البداية لعملية منطقية بالوسائط. نتيجة العملية OR هي تعبير سيكون صحيحًا فقط إذا كان أحد التعبيرات الأصلية على الأقل صحيحًا.
التسميات المستخدمة: A أو B، A V B، A أو B، A||B.
يتم تحديد نتيجة العملية OR من خلال جدول الحقيقة التالي:
تكون نتيجة العملية OR صحيحة عندما يكون A صحيحًا، أو B صحيحًا، أو يكون كل من A وB صحيحًا، وخطأ عندما تكون الوسيطتان A وB خطأ.

العملية AND - الضرب المنطقي (الارتباط)

العملية المنطقية AND تؤدي وظيفة تقاطع عبارتين (وسائط)، والتي يمكن أن تكون إما تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. نتيجة العملية AND هي تعبير سيكون صحيحًا فقط إذا كان كلا التعبيرين الأصليين صحيحين.
التسميات المستخدمة: A وB، A Λ B، A & B، A وB.
يتم تحديد نتيجة العملية AND من خلال جدول الحقيقة التالي:

أ	ب	أ و ب
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

تكون نتيجة العملية AND صحيحة إذا وفقط إذا كانت العبارتان A وB صحيحتين وكاذبتين في جميع الحالات الأخرى.

عملية "IF-THEN" - النتيجة المنطقية (ضمنا)

تربط هذه العملية بين تعبيرين منطقيين بسيطين، الأول عبارة عن شرط، والثاني نتيجة لهذا الشرط.
التسميات المستخدمة:
إذا كان أ، ثم ب؛ أ يستلزم ب؛ إذا كان أ ثم ب؛ أ → ب.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ → ب
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

تكون نتيجة عملية التضمين خاطئة فقط إذا كانت الفرضية A صحيحة والاستنتاج B (النتيجة) خاطئًا.

العملية "أ إذا وفقط إذا ب" (التكافؤ، التكافؤ)

التسمية المستخدمة: A ↔ B، A ~ B.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ↔ب
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

عملية "وحدة الإضافة 2" (XOR، الانفصال الحصري أو الصارم)

الترميز المستخدم: A XOR B، A ⊕ B.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ⊕ب
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

تكون نتيجة عملية التكافؤ صحيحة فقط إذا كان A وB صحيحين أو خاطئين في نفس الوقت.

أولوية العمليات المنطقية

الإجراءات بين قوسين
الانقلاب
اِقتِران (&)
الانفصال (V)، الحصري أو (XOR)، مجموع الوحدة 2
التضمين (←)
التكافؤ (↔)

الشكل الطبيعي المنفصل المثالي

الشكل الطبيعي المنفصل المثالي للصيغة(SDNF) هي صيغة مكافئة، وهي عبارة عن انفصال عن أدوات العطف الأولية ولها الخصائص التالية:

يحتوي كل مصطلح منطقي للصيغة على كافة المتغيرات المضمنة في الدالة F(x 1,x 2,...x n).
جميع المصطلحات المنطقية للصيغة مختلفة.
لا يوجد مصطلح منطقي واحد يحتوي على متغير ونفيه.
لا يوجد مصطلح منطقي في صيغة يحتوي على نفس المتغير مرتين.

يمكن الحصول على SDNF إما باستخدام جداول الحقيقة أو باستخدام تحويلات مكافئة.
لكل وظيفة، يتم تعريف SDNF وSCNF بشكل فريد حتى التقليب.

الشكل الطبيعي المقترن المثالي

الصيغة العادية الملتصقة المثالية (SCNF)وهذه صيغة مكافئة لها، وهي عبارة عن اقتران للانفصالات الأولية وتفي بالخصائص:

تحتوي جميع الانفصالات الأولية على جميع المتغيرات المضمنة في الدالة F(x 1 ,x 2 ,...x n).
جميع الانفصالات الأولية مختلفة.
يحتوي كل انفصال أولي على متغير مرة واحدة.
لا يوجد انفصال أولي واحد يحتوي على متغير ونفيه.

كيفية حل بعض المسائل في القسمين (أ) و(ب) من امتحان علوم الحاسوب

الدرس 3. المنطق. وظائف المنطق. حل المعادلات

تم تخصيص عدد كبير من مشكلات امتحان الدولة الموحدة للمنطق الافتراضي. لحل معظمها، يكفي معرفة القوانين الأساسية للمنطق الافتراضي، ومعرفة جداول الحقيقة للوظائف المنطقية لمتغير واحد ومتغيرين. سأقدم القوانين الأساسية للمنطق المقترح.

إبدال الانفصال والوصل:
أ ˅ ب ≡ ب ˅ أ
أ ^ ب ≡ ب ^ أ
قانون التوزيع فيما يتعلق بالانفصال والوصل:
أ˅ (ب^س) ≡ (أ˅ب) ^(أ˅س)
أ ^ (ب˅ج) ≡ (أ ^ ب)˅ (أ ^ ج)
نفي النفي:
¬(¬أ) ≡ أ
تناسق:
أ ^ ¬а ≡ خطأ
الحصري الثالث:
أ ˅ ¬а ≡ صحيح
قوانين دي مورغان:
¬(أ˅ب) ≡¬أ˄¬ب
¬(أ˄ب) ≡¬أ˅¬ب
تبسيط:
أ ˄ أ ≡ أ
أ ˅ أ ≡ أ
أ ˄ صحيح ≡ أ
أ ˄ خطأ ≡ خطأ
استيعاب:
أ˄ (أ˅ب) ≡ أ
أ ˅ (أ ˄ ب) ≡ أ
استبدال التضمين
أ → ب ≡ ¬أ ˅ ب
استبدال الهوية
أ ≡ ب ≡ (أ ˄ ب) ˅ (¬أ ˄ ¬ب)

تمثيل الوظائف المنطقية

يمكن تحديد أي دالة منطقية لمتغيرات n - F(x 1, x 2, ... x n) بواسطة جدول الحقيقة. يحتوي هذا الجدول على مجموعتين من المتغيرات، يتم تحديد قيمة دالة في هذه المجموعة لكل منها. هذه الطريقة جيدة عندما يكون عدد المتغيرات صغيرًا نسبيًا. بالفعل بالنسبة لـ n > 5، يصبح التمثيل ضعيفًا.

هناك طريقة أخرى وهي تحديد الدالة من خلال بعض الصيغ باستخدام وظائف بسيطة معروفة إلى حد ما. يُطلق على نظام الوظائف (f 1، f 2، ... f k) اسم كامل إذا كان من الممكن التعبير عن أي دالة منطقية بصيغة تحتوي على وظائف f i فقط.

نظام الوظائف (¬، ˄، ˅) مكتمل. القانونان 9 و10 هما أمثلة توضح كيفية التعبير عن التضمين والهوية من خلال النفي والاقتران والانفصال.

في الواقع، فإن النظام المكون من وظيفتين – النفي والاقتران أو النفي والانفصال – مكتمل أيضًا. من قوانين دي مورغان تتبع الأفكار التي تجعل من الممكن التعبير عن الارتباط من خلال النفي والانفصال، وبالتالي التعبير عن الانفصال من خلال النفي والربط:

(أ ˅ ب) ≡ ¬ (¬أ ˄ ¬ب)
(أ ˄ ب) ≡ ¬ (¬أ ˅ ¬ب)

ومن المفارقات أن النظام الذي يتكون من وظيفة واحدة فقط قد اكتمل. هناك وظيفتان ثنائيتان - الالتصاق المضاد والانفصال، ويطلق عليهما سهم بيرس وضربة شيفر، التي تمثل نظامًا مجوفًا.

تتضمن الوظائف الأساسية للغات البرمجة عادةً الهوية والنفي والاقتران والانفصال. في مشاكل امتحانات الدولة الموحدة، إلى جانب هذه الوظائف، غالبًا ما يتم العثور على التضمين.

دعونا نلقي نظرة على بعض المسائل البسيطة التي تتضمن وظائف منطقية.

المشكلة 15:

يتم إعطاء جزء من جدول الحقيقة. أي من الوظائف الثلاث المعطاة تتوافق مع هذا الجزء؟

× 1	× 2	× 3	× 4	F
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

(X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
(¬ X 1 ˄ X 2) ˅ (¬ X 3 ˄ X 4)
¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

الوظيفة رقم 3.

لحل المشكلة، تحتاج إلى معرفة جداول الحقيقة للوظائف الأساسية وتذكر أولويات العمليات. اسمحوا لي أن أذكرك أن الاقتران (الضرب المنطقي) له أولوية أعلى ويتم تنفيذه قبل الانفصال (الإضافة المنطقية). أثناء العمليات الحسابية، من السهل ملاحظة أن الوظائف ذات الأرقام 1 و 2 في المجموعة الثالثة لها القيمة 1 ولهذا السبب لا تتوافق مع الجزء.

المشكلة 16:

أي من الأرقام المعطاة يحقق الشرط:

(الأرقام، بدءًا من الرقم الأكثر أهمية، مرتبة تنازليًا) → (رقم - زوجي) ˄ (رقم منخفض - زوجي) ˄ (رقم مرتفع - فردي)

إذا كان هناك العديد من هذه الأرقام، قم بالإشارة إلى الأكبر.

13579
97531
24678
15386

الشرط مستوفي بالرقم 4.

أول رقمين لا يستوفيان الشرط لأن الرقم الأدنى فردي. ويكون ربط الشروط خطأ إذا كان أحد شروط الربط خطأ. بالنسبة للرقم الثالث، لم يتم استيفاء شرط أعلى رقم. بالنسبة للرقم الرابع، يتم استيفاء الشروط المفروضة على الأرقام المنخفضة والمرتفعة للرقم. والحد الأول من الاقتران صحيح أيضاً، إذ يكون الضمن صحيحاً إذا كانت مقدمته خاطئة، وهذا هو الحال هنا.

مسألة 17: شهد شاهدان ما يلي:

الشاهد الأول: إذا كان (أ) مذنباً، فإن (ب) مذنب أكثر، و(ج) بريء.

الشاهد الثاني: اثنان مذنبان. وأحد الباقين مذنب ومذنب بالتأكيد، لكن لا أستطيع أن أقول من هو بالضبط.

ما هي الاستنتاجات حول ذنب "أ" و"ب" و"ج" التي يمكن استخلاصها من الشهادة؟

الجواب: يتبين من الشهادة أن A وB مذنبان، وC بريء.

الحل: بالطبع يمكن الإجابة على المنطق السليم. ولكن دعونا ننظر في كيفية القيام بذلك بشكل صارم ورسمي.

أول شيء يجب فعله هو إضفاء الطابع الرسمي على البيانات. دعونا نقدم ثلاثة متغيرات منطقية - A وB وC، كل منها له القيمة الحقيقية (1) إذا كان المشتبه به المقابل مذنبًا. ثم يتم إعطاء شهادة الشاهد الأول بالصيغة:

أ → (ب ˄ ¬ج)

وشهادة الشاهد الثاني تكون بالصيغة التالية:

أ˄ ((ب˄¬ج)˅ (¬ب˄ج))

يُفترض أن شهادة كلا الشاهدين صحيحة وتمثل ارتباط الصيغ المقابلة.

دعونا نبني جدول الحقيقة لهذه القراءات:

أ	ب	ج	ف 1	ف 2	ف 1˄ ف 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

الأدلة الموجزة صحيحة في حالة واحدة فقط، مما يؤدي إلى إجابة واضحة - A وB مذنبان، وC بريء.

ويترتب على تحليل هذا الجدول أيضًا أن شهادة الشاهد الثاني أكثر إفادة. من حقيقة شهادته، يترتب على ذلك خياران محتملان فقط: A وB مذنبان، وC بريء، أو A وC مذنبان، وB بريء. شهادة الشاهد الأول أقل إفادة - هناك 5 خيارات مختلفة تتوافق مع شهادته. تعطي شهادة كلا الشاهدين معًا إجابة واضحة حول ذنب المشتبه بهم.

المعادلات المنطقية وأنظمة المعادلات

اجعل F(x 1, x 2, …x n) دالة منطقية للمتغيرات n. تبدو المعادلة المنطقية كما يلي:

و(× 1، × 2، … × ن) = ج،

الثابت C له القيمة 1 أو 0.

يمكن أن تحتوي المعادلة المنطقية على حلول مختلفة من 0 إلى 2 n. إذا كانت C تساوي 1، فإن الحلول هي كل مجموعات المتغيرات من جدول الحقيقة التي تأخذ الدالة F لها القيمة true (1). المجموعات المتبقية هي حلول المعادلة مع C يساوي الصفر. يمكنك دائمًا النظر في معادلات النموذج فقط:

و(x 1 , x 2 , …x n) = 1

في الواقع، دعونا نعطي المعادلة:

و(× 1، × 2، … × ن) = 0

وفي هذه الحالة يمكننا الذهاب إلى المعادلة المكافئة:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

خذ بعين الاعتبار نظام المعادلات المنطقية k :

ف 1 (× 1، × 2، … × ن) = 1

ف 2 (س 1، س 2، … س ن) = 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

حل النظام هو مجموعة من المتغيرات التي تتحقق عليها جميع معادلات النظام. فيما يتعلق بالدوال المنطقية، للحصول على حل لنظام المعادلات المنطقية، يجب العثور على مجموعة تكون فيها الدالة المنطقية Ф صحيحة، وتمثل اقتران الوظائف الأصلية F:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F ك

إذا كان عدد المتغيرات صغيرا، على سبيل المثال أقل من 5، فليس من الصعب بناء جدول الحقيقة للدالة Ф، والذي يسمح لنا أن نقول كم عدد الحلول لدى النظام وما هي المجموعات التي تقدم الحلول.

في بعض مشاكل الاستخدام عند إيجاد حلول لنظام المعادلات المنطقية، يصل عدد المتغيرات إلى 10. ثم يصبح إنشاء جدول الحقيقة مهمة شبه مستحيلة. حل المشكلة يتطلب نهجا مختلفا. بالنسبة لنظام المعادلات الاعتباطي، لا توجد طريقة عامة غير التعداد الذي يسمح بحل مثل هذه المشاكل.

في المسائل المقترحة في الامتحان، يعتمد الحل عادة على مراعاة خصوصيات نظام المعادلات. أكرر، بصرف النظر عن تجربة جميع الخيارات لمجموعة من المتغيرات، لا توجد طريقة عامة لحل المشكلة. يجب أن يتم بناء الحل بناءً على تفاصيل النظام. غالبًا ما يكون من المفيد إجراء تبسيط أولي لنظام المعادلات باستخدام قوانين المنطق المعروفة. تقنية أخرى مفيدة لحل هذه المشكلة هي كما يلي. نحن لسنا مهتمين بجميع المجموعات، ولكن فقط تلك التي تكون فيها الدالة Ф القيمة 1. بدلًا من بناء جدول الحقيقة الكامل، سنبني نظيره - شجرة القرار الثنائية. يتوافق كل فرع من هذه الشجرة مع حل واحد ويحدد المجموعة التي تكون فيها الدالة Ф القيمة 1. ويتزامن عدد الفروع في شجرة القرار مع عدد حلول نظام المعادلات.

سأشرح ما هي شجرة القرار الثنائية وكيف يتم بناؤها باستخدام أمثلة لعدة مشاكل.

المشكلة 18

كم عدد مجموعات قيم المتغيرات المنطقية x1، x2، x3، x4، x5، y1، y2، y3، y4، y5 التي تحقق نظام المعادلتين؟

الإجابة: النظام لديه 36 حلاً مختلفًا.

الحل: يتضمن نظام المعادلات معادلتين. لنوجد عدد حلول المعادلة الأولى، اعتماداً على 5 متغيرات - x 1، x 2، ...x 5. يمكن اعتبار المعادلة الأولى بدورها نظامًا من 5 معادلات. كما هو موضح، فإن نظام المعادلات يمثل في الواقع اقتران الدوال المنطقية. والعكس صحيح أيضًا: يمكن اعتبار اقتران الشروط بمثابة نظام من المعادلات.

دعونا نبني شجرة قرار للتضمين (x1→ x2) - الحد الأول من الاقتران، والذي يمكن اعتباره المعادلة الأولى. هذا ما يبدو عليه التمثيل الرسومي لهذه الشجرة:

تتكون الشجرة من مستويين حسب عدد المتغيرات في المعادلة. يصف المستوى الأول المتغير الأول X 1 . يعكس فرعان من هذا المستوى القيم المحتملة لهذا المتغير - 1 و 0. وفي المستوى الثاني، تعكس فروع الشجرة فقط القيم المحتملة للمتغير X 2 التي تكون المعادلة صحيحة فيها. نظرًا لأن المعادلة تحدد تضمينًا، فإن الفرع الذي X 1 له القيمة 1 يتطلب أن يكون على هذا الفرع X 2 القيمة 1. الفرع الذي X 1 له القيمة 0 ينتج فرعين بقيم X 2 يساوي 0 و 1 تحدد الشجرة المبنية ثلاثة حلول، حيث يأخذ التضمين X 1 → X 2 القيمة 1. في كل فرع، يتم كتابة مجموعة مقابلة من القيم المتغيرة، مما يعطي حلاً للمعادلة.

هذه المجموعات هي: ((1، 1)، (0، 1)، (0، 0))

دعونا نواصل بناء شجرة القرار عن طريق إضافة المعادلة التالية، والتضمين التالي X 2 → X 3 . خصوصية نظام المعادلات لدينا هو أن كل معادلة جديدة للنظام تستخدم متغيرًا واحدًا من المعادلة السابقة، مع إضافة متغير جديد واحد. نظرًا لأن المتغير X 2 يحتوي بالفعل على قيم في الشجرة، ففي جميع الفروع حيث يكون للمتغير X 2 قيمة 1، سيكون للمتغير X 3 أيضًا قيمة 1. بالنسبة لهذه الفروع، يتم بناء الشجرة يستمر إلى المستوى التالي، ولكن لا تظهر فروع جديدة. الفرع الوحيد الذي يكون فيه المتغير X 2 له القيمة 0 سوف يتفرع إلى فرعين حيث سيحصل المتغير X 3 على القيمتين 0 و 1. وبالتالي، فإن كل إضافة لمعادلة جديدة، بالنظر إلى خصائصها، تضيف حلاً واحدًا. المعادلة الأولى الأصلية:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
لديه 6 حلول. إليك ما تبدو عليه شجرة القرار الكاملة لهذه المعادلة:

المعادلة الثانية لنظامنا مشابهة للأولى:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

والفرق الوحيد هو أن المعادلة تستخدم متغيرات Y. تحتوي هذه المعادلة أيضًا على 6 حلول. بما أن كل حل للمتغيرات X i يمكن دمجه مع كل حل للمتغيرات Y j فإن العدد الإجمالي للحلول هو 36.

يرجى ملاحظة أن شجرة القرار المنشأة لا تعطي فقط عدد الحلول (حسب عدد الفروع)، ولكن أيضًا الحلول نفسها المكتوبة على كل فرع من فروع الشجرة.

المشكلة 19

كم عدد مجموعات قيم المتغيرات المنطقية x1، x2، x3، x4، x5، y1، y2، y3، y4، y5 الموجودة والتي تستوفي جميع الشروط المذكورة أدناه؟

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(×1 → ص1) = 1

هذه المهمة هي تعديل للمهمة السابقة. والفرق هو أنه يتم إضافة معادلة أخرى تربط بين المتغيرين X وY.

من المعادلة X 1 → Y 1، يترتب على ذلك أنه عندما تكون X 1 لها القيمة 1 (يوجد أحد هذه الحلول)، فإن Y 1 لها أيضًا القيمة 1. وبالتالي، هناك مجموعة واحدة تحتوي على القيم X 1 و Y 1 1. عندما يكون X 1 يساوي 0، يمكن أن يكون لـ Y 1 أي قيمة، سواء 0 أو 1. لذلك، كل مجموعة تحتوي على X 1 تساوي 0، وهناك 5 مجموعات من هذا القبيل، تتوافق مع جميع المجموعات الست التي تحتوي على متغيرات Y. وبالتالي فإن العدد الإجمالي للحلول هو 31 .

المشكلة 20

(¬X 1˅ X 2) ˄ (¬X 2˅ X 3) ˄ (¬X 3˅ X 4) ˄ (¬X 4˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

الحل: تذكر المعادلات الأساسية، نكتب المعادلة على النحو التالي:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

سلسلة التبعات الدورية تعني أن المتغيرات متطابقة، لذا فإن معادلتنا تعادل المعادلة:

× 1 ≡ × 2 ≡ × 3 ≡ × 4 ≡ × 5 = 1

تحتوي هذه المعادلة على حلين عندما يكون كل X i إما 1 أو 0.

المشكلة 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

الحل: كما في المسألة 20، ننتقل من التبعات الدورية إلى المتطابقات، ونعيد كتابة المعادلة في الصورة:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

دعونا نبني شجرة القرار لهذه المعادلة:

المشكلة 22

ما عدد حلول نظام المعادلات التالي؟

((× 1 ≡× 2) ˄ (× 3 ≡× 4))˅(¬(× 1 ≡× 2) ˄ ¬(× 3 ≡× 4)) = 0

((× 3 ≡× 4) ˄ (× 5 ≡× 6))˅(¬(× 3 ≡× 4) ˄ ¬(× 5 ≡× 6)) = 0

((× 5 ≡× 6) ˄ (× 7 ≡× 8))˅(¬(× 5 ≡× 6) ˄ ¬(× 7 ≡× 8)) = 0

((× 7 ≡× 8) ˄ (× 9 ≡× 10))˅(¬(× 7 ≡× 8) ˄ ¬(× 9 ≡× 10)) = 0

الجواب: 64

الحل: دعنا ننتقل من 10 متغيرات إلى 5 متغيرات عن طريق إدخال التغيير التالي للمتغيرات:

ص 1 = (X 1 ≡ X 2)؛ ص 2 = (X 3 ≡ X 4)؛ ص 3 = (س 5 ≡ × 6)؛ ص 4 = (X 7 ≡ X 8)؛ ص 5 = (X 9 ≡ X 10)؛

ثم المعادلة الأولى سوف تأخذ الشكل:

(Y 1˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

ويمكن تبسيط المعادلة بكتابتها على النحو التالي:

(ص 1 ≡ ص 2) = 0

وبالانتقال إلى الشكل التقليدي نكتب النظام بعد التبسيط في الشكل:

¬(ص 1 ≡ ص 2) = 1

¬(ص 2 ≡ ص 3) = 1

¬(ص 3 ≡ ص 4) = 1

¬(ص 4 ≡ ص 5) = 1

شجرة القرار لهذا النظام بسيطة وتتكون من فرعين بقيم متغيرة متناوبة:

وبالعودة إلى متغيرات X الأصلية، لاحظ أنه لكل قيمة في المتغير Y هناك قيمتان في متغيرات X، وبالتالي فإن كل حل في متغيرات Y يولد 2 5 حلول في متغيرات X ويولد الفرعان 2 * 2 5 حلول، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للحلول هو 64.

كما ترون، كل مشكلة في حل نظام المعادلات تتطلب نهجا خاصا بها. الأسلوب الشائع هو إجراء تحويلات مكافئة لتبسيط المعادلات. الأسلوب الشائع هو بناء أشجار القرار. يذكرنا النهج المستخدم جزئيًا ببناء جدول الحقيقة مع خصوصية أنه لا يتم إنشاء جميع مجموعات القيم المحتملة للمتغيرات، ولكن فقط تلك التي تأخذ عليها الدالة القيمة 1 (صحيح). في كثير من الأحيان في المشاكل المقترحة ليست هناك حاجة لبناء شجرة قرار كاملة، لأنه بالفعل في المرحلة الأولية من الممكن تحديد نمط ظهور فروع جديدة في كل مستوى لاحق، كما حدث، على سبيل المثال، في المشكلة 18 .

بشكل عام، تعتبر المشكلات التي تتضمن إيجاد حلول لنظام من المعادلات المنطقية تمارين رياضية جيدة.

إذا كان حل المشكلة صعباً يدوياً، فيمكنك إسناد الحل إلى الكمبيوتر عن طريق كتابة برنامج مناسب لحل المعادلات وأنظمة المعادلات.

ليس من الصعب كتابة مثل هذا البرنامج. سيتعامل مثل هذا البرنامج بسهولة مع جميع المهام المقدمة في امتحان الدولة الموحدة.

ومن الغريب أن مهمة إيجاد حلول لأنظمة المعادلات المنطقية صعبة على الكمبيوتر، وتبين أن الكمبيوتر له حدوده. يمكن للكمبيوتر التعامل بسهولة مع المشكلات التي يكون فيها عدد المتغيرات 20-30، لكنه سيبدأ في التفكير لفترة طويلة في المشكلات ذات الحجم الأكبر. والحقيقة هي أن الدالة 2 n، التي تحدد عدد المجموعات، هي دالة أسية تنمو بسرعة مع زيادة n. بسرعة كبيرة لدرجة أن الكمبيوتر الشخصي العادي لا يمكنه التعامل مع مهمة تحتوي على 40 متغيرًا في اليوم.

برنامج بلغة C# لحل المعادلات المنطقية

تعد كتابة برنامج لحل المعادلات المنطقية مفيدًا لأسباب عديدة، وذلك فقط لأنه يمكنك استخدامه للتحقق من صحة الحل الخاص بك لمسائل اختبار الدولة الموحدة. سبب آخر هو أن مثل هذا البرنامج هو مثال ممتاز لمهمة البرمجة التي تلبي متطلبات مهام الفئة C في امتحان الدولة الموحدة.

فكرة بناء البرنامج بسيطة - فهي تعتمد على البحث الكامل لجميع المجموعات الممكنة من القيم المتغيرة. نظرًا لأن عدد المتغيرات n معروف بالنسبة لمعادلة منطقية معينة أو نظام معادلات، فإن عدد المجموعات معروف أيضًا - 2 n التي يجب فرزها. باستخدام الوظائف الأساسية للغة C# - النفي والانفصال والاقتران والهوية، ليس من الصعب كتابة برنامج يقوم، لمجموعة معينة من المتغيرات، بحساب قيمة الدالة المنطقية المقابلة لمعادلة منطقية أو نظام من المعادلات .

في مثل هذا البرنامج، تحتاج إلى بناء حلقة بناءً على عدد المجموعات، في جسم الحلقة، باستخدام رقم المجموعة، قم بتشكيل المجموعة نفسها، وحساب قيمة الوظيفة في هذه المجموعة، وإذا كان هذا القيمة هي 1، فإن المجموعة تعطي حلاً للمعادلة.

الصعوبة الوحيدة التي تنشأ عند تنفيذ البرنامج تتعلق بمهمة توليد مجموعة القيم المتغيرة نفسها بناءً على الرقم المحدد. جمال هذه المشكلة هو أن هذه المهمة التي تبدو صعبة، تتلخص في الواقع في مشكلة بسيطة نشأت بالفعل عدة مرات. في الواقع، يكفي أن نفهم أن مجموعة القيم المتغيرة المقابلة للرقم i، المكونة من أصفار وواحدات، تمثل التمثيل الثنائي للرقم i. لذا فإن المهمة المعقدة المتمثلة في الحصول على مجموعة من القيم المتغيرة حسب الرقم المحدد يتم تقليلها إلى المهمة المألوفة المتمثلة في تحويل الرقم إلى ثنائي.

هذا هو الشكل الذي تبدو عليه الدالة في C# والتي تحل مشكلتنا:

///

/// برنامج لحساب عدد الحلول

/// المعادلة المنطقية (نظام المعادلات)

///

/// الدالة المنطقية - الطريقة،

/// الذي تم تحديد توقيعه بواسطة مندوب DF

///

/// عدد المتغيرات

/// عدد الحلول

ثابت int SolveEquations(DF fun, int n)

مجموعة منطقية = منطقية جديدة[n];

int m = (int)Math.Pow(2, n); // عدد المجموعات

كثافة العمليات = 0، س = 0، ك = 0؛

// أكمل البحث حسب عدد المجموعات

من أجل (int i = 0؛ i< m; i++)

// تشكيل المجموعة التالية - المجموعة،

// محدد بالتمثيل الثنائي للرقم i

ل(int j = 0; j< n; j++)

ك = (int)Math.Pow(2, j);

// احسب قيمة الوظيفة في المجموعة

ولفهم البرنامج أتمنى أن تكون شروحات فكرة البرنامج والتعليقات الواردة في نصه كافية. سأركز فقط على شرح عنوان الوظيفة المحددة. تحتوي الدالة SolveEquations على معلمتين للإدخال. تحدد المعلمة fun دالة منطقية تتوافق مع المعادلة أو نظام المعادلات التي يتم حلها. تحدد المعلمة n عدد المتغيرات الممتعة. ونتيجة لذلك، تقوم الدالة SolveEquations بإرجاع عدد حلول الدالة المنطقية، أي عدد تلك المجموعات التي يتم تقييم الدالة عليها على أنها صحيحة.

من الشائع بالنسبة لأطفال المدارس أن تحتوي بعض الدالات F(x) على معلمة إدخال x وهي متغير من النوع الحسابي أو السلسلة أو المنطقي. في حالتنا، يتم استخدام تصميم أكثر قوة. تشير الدالة SolveEquations إلى دوال ذات ترتيب أعلى - دوال من النوع F(f)، والتي لا يمكن أن تكون معلماتها متغيرات بسيطة فحسب، بل دوال أيضًا.

يتم تحديد فئة الوظائف التي يمكن تمريرها كمعلمة إلى وظيفة SolveEquations على النحو التالي:

مندوب منطقي DF(bool vars);

تمتلك هذه الفئة جميع الوظائف التي يتم تمريرها كمعلمة لمجموعة من قيم المتغيرات المنطقية المحددة بواسطة صفيف vars. والنتيجة هي قيمة منطقية تمثل قيمة الدالة في هذه المجموعة.

وأخيرا، إليك برنامج يستخدم الدالة SolveEquations لحل عدة أنظمة من المعادلات المنطقية. تعد وظيفة SolveEquations جزءًا من فئة ProgramCommon أدناه:

برنامج الطبقة المشتركة

مندوب منطقي DF(bool vars);

الفراغ الثابت الرئيسي (وسائط السلسلة)

Console.WriteLine("والوظائف -" +

SolveEquations(FunAnd, 2));

Console.WriteLine("الوظيفة بها 51 حلًا -" +

SolveEquations(Fun51, 5));

Console.WriteLine("الوظيفة بها 53 حلًا -" +

SolveEquations(Fun53, 10));

المنطق المنطقي FunAnd(المنطق المنطقي)

إرجاع vars && vars;

المنطق المنطقي Fun51 (فار منطقي)

f = f && (!vars || vars);

المنطق المنطقي Fun53 (فار منطقي)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

إليك ما تبدو عليه نتائج الحل لهذا البرنامج:

10 مهام للعمل المستقل

أي الوظائف الثلاث متكافئة:
1. (X → Y) ˅ ¬Y
2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
3. ¬X˄Y
المعطى هو جزء من جدول الحقيقة:

× 1	× 2	× 3	× 4	F
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

أي من الوظائف الثلاث تتوافق معها هذه القطعة:

(X 1˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
(X 1 ← X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
تتكون لجنة التحكيم من ثلاثة أشخاص. يتم اتخاذ القرار إذا صوت له رئيس لجنة التحكيم، بدعم من واحد على الأقل من أعضاء لجنة التحكيم. وبخلاف ذلك، لا يتم اتخاذ أي قرار. بناء وظيفة منطقية تضفي الطابع الرسمي على عملية اتخاذ القرار.
يفوز X على Y إذا أدت أربع رميات للعملات المعدنية إلى ظهور الرأس ثلاث مرات. حدد دالة منطقية تصف مردود X.
يتم ترقيم الكلمات في الجملة بدءًا من واحد. تعتبر الجملة مبنية بشكل صحيح إذا تم استيفاء القواعد التالية:
1. إذا انتهت الكلمة الزوجية بحرف متحرك، فإن الكلمة التالية، إن وجدت، يجب أن تبدأ بحرف متحرك.
2. إذا انتهت الكلمة الفردية بحرف ساكن، فإن الكلمة التالية، إن وجدت، يجب أن تبدأ بحرف ساكن وتنتهي بحرف متحرك.
  أي الجمل التالية مبنية بشكل صحيح:
3. غسلت أمي ماشا بالصابون.
4. القائد هو دائما نموذج.
5. الحقيقة جيدة، لكن السعادة أفضل.
ما عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة:
(أ ˄ ¬ ب) ˅ (¬أ ˄ ب) → (ج ˄ د) = 1
قائمة جميع الحلول للمعادلة:
(أ → ب) → ج = 0
ما عدد حلول نظام المعادلات التالي:
X 0 → X 1˄ X 1 → X 2 = 1
× 2 → × 3˄ × 3 → × 4 = 1
× 5 → × 6˄ × 6 → × 7 = 1
× 7 → × 8˄ × 8 → × 9 = 1
× 0 → × 5 = 1
ما عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة:
((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

أجوبة للمشاكل:

الدالتان b وc متساويتان.
الجزء يتوافق مع الوظيفة ب.
دع المتغير المنطقي P يأخذ القيمة 1 عندما يصوت رئيس لجنة التحكيم بـ "لصالح" القرار. يمثل المتغيران M 1 و M 2 آراء أعضاء لجنة التحكيم. يمكن كتابة الوظيفة المنطقية التي تحدد اتخاذ قرار إيجابي على النحو التالي:
ف˄ (م 1˅ م 2)
دع المتغير المنطقي P i يأخذ القيمة 1 عندما تهبط العملة i على الرؤوس. يمكن كتابة الدالة المنطقية التي تحدد المردود X على النحو التالي:
¬((¬ص1˄ (¬ص2˅ ¬ص3˅ ¬ص4))˅
(¬ص2˄ (¬ص3˅ ¬ص4))˅
(¬ص3˄¬ص4))
الجملة ب.
للمعادلة 3 حلول: (أ = 1؛ ب = 1؛ ج = 0)؛ (أ = 0؛ ب = 0؛ ج = 0)؛ (أ = 0؛ ب = 1؛ ج = 0)