Tg للزاوية يساوي النسبة. مثلث قائم. دليل مصور كامل (2019)

علم المثلثات هو أحد فروع الرياضيات التي يتعامل معها تلاميذ المدارس مع أكبر الصعوبات. لا عجب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية ، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني ، والقدرة على إيجاد الجيب وجيب التمام والظلال والمظلات باستخدام الصيغ ، وتبسيط التعبيرات ، والقدرة على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن تكون قادرًا على تطبيق علم المثلثات عند إثبات النظريات ، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية مطورة أو القدرة على استنتاج سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية ، ولكن عليك أولاً معرفة ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيًا ، كانت المثلثات القائمة على اليمين هي الهدف الرئيسي للدراسة في هذا القسم من العلوم الرياضية. إن وجود زاوية 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح للشخص بتحديد قيم جميع معلمات الشكل قيد النظر باستخدام جانبين وزاوية واحدة أو زاويتين وجانب واحد. في الماضي ، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني ، والملاحة ، وعلم الفلك ، وحتى الفن.

المرحلة الأولى

في البداية ، تحدث الناس عن علاقة الزوايا والأضلاع حصريًا بمثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف الصيغ الخاصة التي جعلت من الممكن توسيع حدود الاستخدام في الحياة اليومية لهذا القسم من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بمثلثات قائمة الزاوية ، وبعد ذلك يتم استخدام المعرفة المكتسبة من قبل الطلاب في الفيزياء وحل المعادلات المثلثية المجردة ، والتي يبدأ العمل بها في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

في وقت لاحق ، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور ، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل والظل في الهندسة الكروية ، حيث يتم تطبيق قواعد مختلفة ، ومجموع الزوايا في المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. لم يتم دراسة هذا القسم في المدرسة ، ولكن من الضروري معرفة وجوده ، على الأقل لأن سطح الأرض ، وسطح أي كوكب آخر ، محدب ، مما يعني أن أي علامة على السطح ستكون "على شكل قوس" في مساحة ثلاثية الأبعاد.

خذ الكرة الأرضية وخيط. اربط الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. انتبه - لقد اكتسب شكل قوس. بهذه الأشكال تتعامل الهندسة الكروية ، التي تُستخدم في الجيوديسيا ، وعلم الفلك ، وغيرهما من المجالات النظرية والتطبيقية.

مثلث قائم

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات ، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا ، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية 90 درجة. هي الأطول. نتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن قيمتها العددية تساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال ، إذا كان طول ضلعين 3 و 4 سنتيمترات على التوالي ، فسيكون طول الوتر 5 سنتيمترات. بالمناسبة ، عرف المصريون القدماء عن هذا منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

يسمى الجانبان المتبقيان اللذان يشكلان الزاوية اليمنى الأرجل. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث في نظام إحداثيات مستطيل يساوي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا ، بفهم قوي للقاعدة الهندسية ، يمكننا أن ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل (أي الضلع المقابل للزاوية المرغوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.

تذكر أنه لا الجيب ولا جيب التمام يمكن أن يكون أكبر من واحد! لماذا ا؟ لأن الوتر هو الأطول بشكل افتراضي ، وبغض النظر عن طول الساق ، سيكون أقصر من الوتر ، مما يعني أن نسبته ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي ، إذا حصلت على شرط أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1 في إجابة المشكلة ، فابحث عن خطأ في الحسابات أو التفكير. من الواضح أن هذه الإجابة خاطئة.

أخيرًا ، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. نفس النتيجة ستعطي قسمة الجيب على جيب التمام. انظر: وفقًا للصيغة ، نقسم طول الضلع على الوتر ، وبعد ذلك نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وبالتالي ، نحصل على نفس النسبة كما في تعريف الظل.

ظل التمام ، على التوالي ، هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الضلع المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة الوحدة على الظل.

لذا ، فقد درسنا تعريفات ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، ويمكننا التعامل مع الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات ، لا يمكن للمرء الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكن إيجاد الجيب وجيب التمام والظل والظل بدونها؟ وهذا بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشكلات.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس ، لكنها توفر الوقت إذا كنت تريد معرفة قيمة الزاوية ، وليس الضلع.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية ، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حل مشكلات المدرسة: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألقِ نظرة فاحصة: بعد كل شيء ، هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى ، تم تقسيم جانبي الهوية فقط على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية حسابية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، وقواعد التحويل وبعض الصيغ الأساسية ، يمكنك في أي وقت اشتقاق الصيغ الأكثر تعقيدًا المطلوبة بشكل مستقل على ورقة.

صيغ الزاوية المزدوجة وإضافة الوسيطات

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا وفرقها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى ، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في المرتين ، وفي الحالة الثانية ، يُضاف حاصل الضرب الزوجي للجيب وجيب التمام.

هناك أيضًا صيغ مرتبطة بحجج مزدوجة الزاوية. إنها مشتقة تمامًا من سابقاتها - كممارسة ، حاول الحصول عليها بنفسك ، مع أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.

أخيرًا ، لاحظ أنه يمكن تحويل صيغ الزاوية المزدوجة لخفض درجة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسيان هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات ، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على الجيب وجيب التمام والظل ، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب ، إلخ.

تنص نظرية الجيب على أنه نتيجة قسمة طول كل جانب من ضلعي المثلث على قيمة الزاوية المقابلة ، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك ، سيكون هذا الرقم مساويًا لنصف قطر الدائرة المقيدة ، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط المثلث المحدد.

تعمم نظرية جيب التمام نظرية فيثاغورس ، وتسقطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعي الضلعين ، اطرح حاصل ضربهما مضروبًا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة لهما - ستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع الضلع الثالث. وهكذا ، تبين أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء ناتجة عن عدم الانتباه

حتى مع معرفة ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء ، دعنا نتعرف على أكثرها شهرة.

أولاً ، لا يجب تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية حتى يتم الحصول على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة ككسر عادي ، ما لم ينص الشرط على خلاف ذلك. لا يمكن تسمية هذا التحول بالخطأ ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المهمة ، قد تظهر جذور جديدة ، والتي ، وفقًا لفكرة المؤلف ، يجب تقليصها. في هذه الحالة ، سوف تضيع الوقت في عمليات حسابية غير ضرورية. هذا صحيح بشكل خاص لقيم مثل جذر ثلاثة أو اثنين ، لأنها تحدث في المهام في كل خطوة. الأمر نفسه ينطبق على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك ، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث ، لكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح ضعف حاصل ضرب الأضلاع في جيب تمام الزاوية بينهما ، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب ، بل ستظهر أيضًا سوء فهم كامل للموضوع. هذا هو أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا ، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و 60 درجة للجيب وجيب التمام والظل والظل. تذكر هذه القيم ، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60 ، والعكس صحيح. من السهل خلطها ، ونتيجة لذلك ستحصل حتمًا على نتيجة خاطئة.

تطبيق

كثير من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات ، لأنهم لا يفهمون معناها التطبيقي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل للمهندس أو الفلكي؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إلى النجوم البعيدة ، والتنبؤ بسقوط نيزك ، وإرسال مسبار بحث إلى كوكب آخر. بدونها ، من المستحيل بناء مبنى أو تصميم سيارة أو حساب الحمل على السطح أو مسار كائن ما. وهذه ليست سوى الأمثلة الأكثر وضوحًا! بعد كل شيء ، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان ، من الموسيقى إلى الطب.

أخيرا

إذن أنت شرط ، جيب تمام ، ظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل مشاكل المدرسة بنجاح.

يتلخص جوهر علم المثلثات بأكمله في حقيقة أنه يجب حساب المعلمات غير المعروفة من المعلمات المعروفة للمثلث. هناك ستة معامِلات في المجموع: أطوال الأضلاع الثلاثة وقياسات الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الكامل في المهام في حقيقة أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.

كيف تجد الجيب وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر ، كما تعلم الآن. نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة ، والنسبة هي كسر ، فإن الهدف الرئيسي للمسألة المثلثية هو إيجاد جذور معادلة عادية أو نظام معادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.

سيكون الخط y \ u003d f (x) مماسًا للرسم البياني الموضح في الشكل عند النقطة x0 إذا كان يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (x0 ؛ f (x0)) وله ميل f "(x0). ابحث عن مثل هذا المعامل ، مع العلم بخصائص الظل ، فإنه ليس بالأمر الصعب.

سوف تحتاج

• - كتاب مرجعي رياضي.
• - قلم رصاص بسيط
• - دفتر؛
• - منقلة
• - بوصلة؛
• - قلم جاف.

تعليمات

إذا كانت القيمة f ‘(x0) غير موجودة ، فإما أنه لا يوجد ظل أو أنها تمر عموديًا. في ضوء ذلك ، فإن وجود مشتق الوظيفة عند النقطة x0 يرجع إلى وجود ظل غير عمودي على اتصال بالرسم البياني للوظيفة عند النقطة (x0، f (x0)). في هذه الحالة ، يكون ميل المماس مساويًا لـ f "(x0) ، وبذلك يصبح المعنى الهندسي للمشتق واضحًا - حساب ميل المماس.

ارسم الظلال الإضافية التي ستكون على اتصال بالرسم البياني للوظيفة عند النقاط x1 و x2 و x3 ، وقم أيضًا بتمييز الزوايا التي تشكلها هذه الظل مع محور الإحداثي (يتم حساب هذه الزاوية في الاتجاه الإيجابي من المحور إلى خط الظل). على سبيل المثال ، ستكون الزاوية ، أي α1 ، حادة ، والثانية (α2) منفرجة ، والثالثة (α3) صفر ، لأن خط الظل موازٍ لمحور OX. في هذه الحالة ، يكون ظل الزاوية المنفرجة سالبًا ، ويكون ظل الزاوية الحادة موجبًا ، وبالنسبة إلى tg0 تكون النتيجة صفرًا.

ملاحظة

حدد الزاوية التي شكلها الظل بشكل صحيح. للقيام بذلك ، استخدم منقلة.

نصيحة مفيدة

سيكون خطان مائلان متوازيين إذا كانت منحدراتهما متساوية ؛ عمودي إذا كان حاصل ضرب منحدرات هذه الظل هو -1.

مصادر:

• الظل لوظيفة الرسم البياني

يُشار إلى جيب التمام ، مثل الجيب ، بالدوال المثلثية "المباشرة". يضاف الظل (مع ظل التمام) إلى زوج آخر يسمى "المشتقات". هناك العديد من التعريفات لهذه الوظائف ، والتي تجعل من الممكن العثور على ظل جيب التمام المعطى بالقيمة المعروفة لنفس القيمة.

تعليمات

اطرح حاصل القسمة من الوحدة بواسطة جيب التمام للزاوية المعطاة المرفوعة إلى القيمة ، واستخرج الجذر التربيعي من النتيجة - ستكون هذه قيمة الظل من الزاوية ، معبرًا عنها بجيب التمام: tg (α) \ u003d √ (1-1 / (كوس (α)) ²). في الوقت نفسه ، انتبه إلى حقيقة أن جيب التمام في الصيغة يقع في مقام الكسر. استحالة القسمة على الصفر تستثني استخدام هذا التعبير للزوايا التي تساوي 90 درجة ، وكذلك الاختلاف عن هذه القيمة بمضاعفات 180 درجة (270 درجة ، 450 درجة ، -90 درجة ، إلخ).

هناك طريقة بديلة لحساب الظل من قيمة جيب التمام المعروفة. يمكن استخدامه إذا لم يكن هناك قيود على استخدام الآخرين. لتنفيذ هذه الطريقة ، حدد أولاً قيمة الزاوية من القيمة المعروفة لجيب التمام - يمكن القيام بذلك باستخدام دالة قوس الجيب. ثم قم ببساطة بحساب الظل لزاوية القيمة الناتجة. بشكل عام ، يمكن كتابة هذه الخوارزمية على النحو التالي: tg (α) = tg (arccos (cos (α))).

هناك خيار غريب آخر يستخدم تعريف جيب التمام والظل من خلال الزوايا الحادة للمثلث القائم. يتوافق جيب التمام في هذا التعريف مع نسبة طول الساق المجاورة للزاوية المدروسة إلى طول الوتر. بمعرفة قيمة جيب التمام ، يمكنك اختيار أطوال هذين الضلعين المقابلة لها. على سبيل المثال ، إذا كان cos (α) = 0.5 ، فيمكن أخذ المجاور يساوي 10 سم ، والوتر - 20 سم. لا تهم الأرقام المحددة هنا - ستحصل على نفس القيمة وتصحيحها مع أي قيم لها نفس الشيء. ثم ، باستخدام نظرية فيثاغورس ، أوجد طول الضلع المفقود - الضلع المقابل. سيكون مساويًا للجذر التربيعي للفرق بين أطوال الوتر التربيعي والضلع المعروف: √ (20² -10²) = √300. بحكم التعريف ، المماس يتوافق مع نسبة أطوال الأرجل المقابلة والمجاورة (√300 / 10) - احسبها واحصل على قيمة الظل الموجودة باستخدام التعريف الكلاسيكي لجيب التمام.

مصادر:

• جيب التمام من خلال صيغة الظل

إحدى الدوال المثلثية ، غالبًا ما يُشار إليها بالحرفين tg ، على الرغم من وجود التدوين tan أيضًا. أسهل طريقة هي تمثيل الظل على أنه نسبة الجيب ركنلجيب التمام. هذه دالة فردية دورية وليست مستمرة ، كل دورة منها تساوي الرقم Pi ، ونقطة الفاصل تقابل العلامة عند نصف هذا الرقم.

عندما تم النظر في مهام حل مثلث قائم الزاوية ، فقد وعدت بتقديم تقنية لحفظ تعريفات الجيب وجيب التمام. باستخدامه ، ستتذكر دائمًا بسرعة أي رجل تنتمي إلى الوتر (المجاور أو المقابل). قررت عدم تأجيلها إلى أجل غير مسمى ، المواد الضرورية أدناه ، يرجى قراءتها 😉

الحقيقة هي أنني لاحظت مرارًا وتكرارًا كيف يجد الطلاب في الصفوف 10-11 صعوبة في تذكر هذه التعريفات. يتذكرون جيدًا أن الساق تشير إلى الوتر ، لكن أي واحد يشير إلى الوتر- تنسى و مشوش. ثمن الخطأ ، كما تعلم في الامتحان ، هو النتيجة المفقودة.

المعلومات التي سأقدمها مباشرة للرياضيات ليس لها علاقة. يرتبط بالتفكير المجازي ، وبأساليب الاتصال اللفظي-المنطقي. هذا صحيح ، أنا نفسي ، تذكرت مرة واحدة وإلى الأبدبيانات التعريف. إذا كنت لا تزال تنساها ، فمن السهل دائمًا تذكرها بمساعدة التقنيات المقدمة.

دعني أذكرك بتعريف الجيب وجيب التمام في مثلث قائم الزاوية:

جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر:

التجويفالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر:

إذن ، ما هي الارتباطات التي تثيرها كلمة جيب التمام فيك؟

ربما كل شخص لديه ما يخصهتذكر الرابط:

وهكذا ، سيكون لديك على الفور تعبير في ذاكرتك -

«… نسبة الضلع من الضلع إلى الوتر».

تم حل مشكلة تعريف جيب التمام.

إذا كنت بحاجة إلى تذكر تعريف الجيب في مثلث قائم الزاوية ، ثم تذكر تعريف جيب التمام ، يمكنك بسهولة إثبات أن جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر. بعد كل شيء ، هناك ساقان فقط ، إذا كانت الساق المجاورة "مشغولة" بجيب التمام ، فسيبقى الجانب المقابل فقط للجيب.

ماذا عن الظل وظل التمام؟ نفس الارتباك. يعرف الطلاب أن هذه هي نسبة الأرجل ، لكن المشكلة تكمن في تذكر أي واحد يشير إلى أيهما - إما عكس المجاور ، أو العكس.

تعريفات:

الظلالزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية هي نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة:

ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل:

كيف تتذكر؟ هناك طريقتان. يستخدم أحدهما أيضًا اتصالًا منطقيًا لفظيًا ، والآخر - اتصال رياضي.

الطريقة الرياضية

يوجد تعريف كهذا - ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب التمام:

* بتذكر الصيغة ، يمكنك دائمًا تحديد أن ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المقابلة إلى الضلع المجاورة.

بطريقة مماثلة.ظل التمام للزاوية الحادة هو نسبة جيب تمام الزاوية إلى جيبها:

وبالتالي! عند تذكر هذه الصيغ ، يمكنك دائمًا تحديد ما يلي:

- ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة

- ظل التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل.

الطريقة المنطقية اللفظية

حول الظل. تذكر الرابط:

أي ، إذا كنت بحاجة إلى تذكر تعريف الظل ، باستخدام هذا الاتصال المنطقي ، يمكنك بسهولة تذكر ما هو

"... نسبة الساق المقابلة إلى المجاورة"

إذا كان الأمر يتعلق بـ cotangent ، ثم تذكر تعريف الظل ، فيمكنك بسهولة التعبير عن تعريف cotangent -

"... نسبة الرجل المجاورة إلى الأخرى"

هناك تقنية مثيرة للاهتمام لحفظ الظل والظل في الموقع " الترادف الرياضي " ، نظرة.

طريقة عالمية

يمكنك فقط طحن.ولكن كما تبين الممارسة ، وبفضل الروابط المنطقية اللفظية ، يتذكر الشخص المعلومات لفترة طويلة ، وليس المعلومات الرياضية فقط.

آمل أن تكون المادة مفيدة لك.

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

في القرن الخامس قبل الميلاد ، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينو من إيليا أبورياس الشهير ، وأشهرها أبوريا "أخيل والسلحفاة". إليك كيف يبدو الأمر:

لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه بألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ​​، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحاضر ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولاً عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الكل يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. هذا الانتقال يعني تطبيق بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لتطبيق وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو أن الوقت يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قلبنا المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقَ في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكن هذا ليس حلاً كاملاً للمشكلة. إن تصريح أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء مشابه جدًا لما قاله زينو أبوريا "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة يكون السهم الطائر في حالة سكون في نقاط مختلفة في الفضاء ، والتي في الواقع ، هي الحركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، يلزم التقاط صورتين من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن لا يمكن استخدامهما لتحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في نفس الوقت ، لكن لا يمكنك تحديد حقيقة الحركة منها (بالطبع ، ما زلت بحاجة إلى بيانات إضافية لإجراء الحسابات ، سيساعدك علم المثلثات) . ما أريد أن أشير إليه على وجه الخصوص هو أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.

الأربعاء 4 يوليو 2018

جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.

كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.

ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.

بغض النظر عن كيفية إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة" ، هناك حبل سري واحد يربطهم ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن جالسون في مكتب الصرف ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نفسر الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سوف يتذكر عالم الرياضيات الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة لها كميات مختلفة من الأوساخ ، والبنية البلورية وترتيب الذرات لكل عملة فريدة من نوعها ...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر عبارة عن مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا يخرج عالم الرياضيات الشامان شولر الآس الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.

لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج الى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام هي رموز بيانية نكتب بها الأرقام ، وفي لغة الرياضيات ، تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.

دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. وبالتالي ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.

2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.

3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير من 12345 ، لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.

كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو كنت ستحصل على نتائج مختلفة تمامًا عند تحديد مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر.

يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الحقيقة ليست مجرد أرقام.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها ، فإن هذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

وقع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوتش! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس على القمة والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟

أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.

إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،

إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). وأنا لا أعتبر هذه الفتاة حمقاء لا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يرون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

مستوى متوسط

مثلث قائم. دليل مصور كامل (2019)

مثلث قائم. مستوى اول.

في المشاكل ، الزاوية اليمنى ليست ضرورية على الإطلاق - الزاوية اليسرى السفلية ، لذلك تحتاج إلى معرفة كيفية التعرف على المثلث الأيمن في هذا الشكل ،

وفي مثل

وفي مثل

ما هو الجيد في المثلث القائم؟ حسنًا ... أولاً وقبل كل شيء ، هناك أسماء جميلة خاصة لحفلاته.

الانتباه إلى الرسم!

تذكر ولا تخلط: الساقان - اثنان ، والوتر - واحد فقط(الوحيد والفريد والأطول)!

حسنًا ، لقد ناقشنا الأسماء ، والآن أهم شيء: نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس.

هذه النظرية هي مفتاح حل العديد من المسائل التي تتضمن مثلث قائم الزاوية. لقد أثبته فيثاغورس في أزمنة سحيقة تمامًا ، ومنذ ذلك الحين جلب العديد من الفوائد لمن يعرفه. وأفضل شيء عنها أنها بسيطة.

وبالتالي، نظرية فيثاغورس:

هل تتذكر النكتة: "سروال فيثاغورس متساوٍ من جميع الجوانب!"؟

دعونا نرسم هذه السراويل فيثاغورس وننظر إليها.

هل تبدو حقا مثل السراويل القصيرة؟ حسنًا ، على أي جانب وأين يتساوى؟ لماذا ومن أين أتت النكتة؟ وهذه النكتة مرتبطة بدقة بنظرية فيثاغورس ، وبشكل أكثر دقة بالطريقة التي صاغ بها فيثاغورس نفسه نظريته. وصاغها على هذا النحو:

"مجموع مساحة المربعات، بني على الساقين ، يساوي مساحة مربعةمبني على الوتر.

ألا يبدو الأمر مختلفًا بعض الشيء ، أليس كذلك؟ وهكذا ، عندما رسم فيثاغورس بيان نظريته ، ظهرت هذه الصورة تمامًا.

في هذه الصورة ، مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي مساحة المربع الكبير. وحتى يتذكر الأطفال بشكل أفضل أن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر ، اخترع شخص بارع هذه النكتة عن السراويل فيثاغورس.

لماذا نقوم الآن بصياغة نظرية فيثاغورس

هل عانى فيثاغورس وتحدث عن المربعات؟

كما ترى ، في العصور القديمة لم يكن هناك ... الجبر! لم تكن هناك علامات وهكذا. لم تكن هناك نقوش. هل يمكنك أن تتخيل مدى رعب أن يحفظ الطلاب القدامى الفقراء كل شيء بالكلمات ؟؟! ويسعدنا أن لدينا صياغة بسيطة لنظرية فيثاغورس. دعنا نكررها مرة أخرى لنتذكر بشكل أفضل:

الآن يجب أن يكون الأمر سهلاً:

مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين.

حسنًا ، تمت مناقشة أهم نظرية حول المثلث القائم الزاوية. إذا كنت مهتمًا بكيفية إثبات ذلك ، فاقرأ المستويات التالية من النظرية ، والآن دعنا ننتقل ... إلى الغابة المظلمة ... لعلم المثلثات! إلى الكلمات الرهيبة الجيب وجيب التمام والظل والظل.

الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية.

في الواقع ، كل شيء ليس مخيفًا على الإطلاق. بالطبع ، يجب النظر في التعريف "الحقيقي" للجيب وجيب التمام والظل والظل في المقالة. لكنك حقًا لا تريد ذلك ، أليس كذلك؟ يمكننا أن نفرح: لحل المشاكل المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية ، يمكنك ببساطة ملء الأشياء البسيطة التالية:

لماذا كل شيء عن الزاوية؟ اين الزاوية؟ لفهم هذا ، تحتاج إلى معرفة كيفية كتابة العبارات 1 - 4 بالكلمات. انظروا وافهموا وتذكروا!

1.
يبدو في الواقع مثل هذا:

ماذا عن الزاوية؟ هل توجد ساق مقابل الركن أي الساق المقابلة (للركنية)؟ بالطبع! هذا هو قسطرة!

لكن ماذا عن الزاوية؟ انظر بتمعن. أي ساق مجاورة للزاوية؟ بالطبع القط. إذن ، بالنسبة للزاوية ، فإن الساق مجاورة ، و

والآن ، الاهتمام! انظروا الى ما حصلنا عليه:

انظر كم هو رائع:

الآن دعنا ننتقل إلى الظل والظل.

كيف أضعها في كلمات الآن؟ ما هي الساق بالنسبة للزاوية؟ العكس ، بالطبع - انها "تقع" مقابل الزاوية. والقسطرة؟ بجوار الزاوية. وذلك ما لم نحصل؟

انظر كيف يتم عكس البسط والمقام؟

والآن مرة أخرى الزوايا وإجراء التبادل:

ملخص

دعنا نكتب بإيجاز ما تعلمناه.

نظرية فيثاغورس:

نظرية المثلث القائم الزاوية الرئيسية هي نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

بالمناسبة ، هل تتذكر جيدًا ما هي الساقين والوتر؟ إذا لم يكن كذلك ، فقم بإلقاء نظرة على الصورة - قم بتحديث معلوماتك

من المحتمل جدًا أنك استخدمت بالفعل نظرية فيثاغورس عدة مرات ، لكن هل تساءلت يومًا عن سبب صحة هذه النظرية. كيف تثبت ذلك؟ دعونا نفعل مثل الإغريق القدماء. لنرسم مربعًا به جانب.

ترى كيف نقسم بمكر جوانبها إلى مقاطع أطوال و!

الآن دعنا نربط النقاط المحددة

ومع ذلك ، لاحظنا هنا شيئًا آخر ، لكنك تنظر إلى الصورة وتفكر في السبب.

ما هي مساحة المربع الأكبر؟ حق، . ماذا عن المنطقة الأصغر؟ بالتأكيد، . تبقى المساحة الإجمالية للزوايا الأربع. تخيل أننا أخذنا اثنين منهم واتكنا على بعضنا البعض باستخدام الوتر. ماذا حدث؟ مستطيلان. لذا ، فإن مساحة "العقل" متساوية.

دعونا نجمعها جميعًا الآن.

دعنا نتحول:

لذلك قمنا بزيارة فيثاغورس - لقد أثبتنا نظريته بطريقة قديمة.

مثلث قائم الزاوية وعلم المثلثات

بالنسبة للمثلث الأيمن ، فإن العلاقات التالية تصمد:

جيب الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر

جيب تمام الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المجاورة على الوتر.

ظل الزاوية الحادة يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة.

ظل التمام لزاوية حادة يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.

ومرة أخرى ، كل هذا على شكل طبق:

هذا مناسب جدا!

علامات المساواة في مثلثات الحق

أولا على قدمين

ثانيًا. عن طريق الساق والوتر

ثالثا. عن طريق الوتر والزاوية الحادة

رابعا. على طول الساق وزاوية حادة

أ)

ب)

انتباه! من المهم جدًا هنا أن تكون الأرجل "متطابقة". على سبيل المثال ، إذا سارت الأمور على هذا النحو:

وبالتالي فإن المثلثات ليست متساوية، على الرغم من حقيقة أن لديهم زاوية حادة واحدة متطابقة.

بحاجة ل في كلا المثلثين ، كانت الساق متجاورة ، أو في كلاهما - متقابلة.

هل لاحظت كيف تختلف علامات المساواة في المثلثات القائمة عن العلامات المعتادة لتساوي المثلثات؟ انظر إلى موضوع "وانتبه إلى حقيقة أنه من أجل المساواة بين المثلثات" العادية "، تحتاج إلى المساواة بين عناصرها الثلاثة: ضلعان وزاوية بينهما ، وزاويتان وضلع بينهما ، أو ثلاثة جوانب. ولكن من أجل المساواة بين المثلثات القائمة الزاوية ، يكفي عنصران متطابقان فقط. إنه رائع ، أليس كذلك؟

نفس الوضع تقريبًا مع وجود علامات تشابه للمثلثات القائمة.

علامات تشابه المثلثات القائمة على اليمين

أولا ركن حاد

ثانيًا. على قدمين

ثالثا. عن طريق الساق والوتر

الوسيط في مثلث قائم الزاوية

لماذا هو كذلك؟

ضع في اعتبارك مستطيلًا كاملاً بدلاً من مثلث قائم الزاوية.

لنرسم قطريًا ونفكر في نقطة - نقطة تقاطع الأقطار. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟

وماذا يتبع هذا؟

لذلك حدث ذلك

1. - الوسيط:

تذكر هذه الحقيقة! يساعد كثيرا!

الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن العكس صحيح أيضًا.

ما الفائدة التي يمكن جنيها من حقيقة أن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر؟ دعونا نلقي نظرة على الصورة

انظر بتمعن. لدينا: أي أن المسافات من النقطة إلى الرؤوس الثلاثة للمثلث جميعها متساوية. لكن في المثلث توجد نقطة واحدة فقط ، والمسافات التي تتساوى منها رؤوس المثلث الثلاثة تقريبًا ، وهذا هو مركز الدائرة المحدد. اذا ماذا حصل؟

لذلك لنبدأ بهذا "إلى جانب ...".

لنلق نظرة على أنا.

لكن في مثلثات متشابهة كل الزوايا متساوية!

يمكن قول الشيء نفسه عن و

الآن دعنا نرسمها معًا:

ما الفائدة التي يمكن استخلاصها من هذا التشابه "الثلاثي".

حسنًا ، على سبيل المثال - صيغتان لارتفاع المثلث القائم.

نكتب العلاقات بين الأطراف المقابلة:

لإيجاد الارتفاع ، نحل النسبة ونحصل على الصيغة الأولى "الارتفاع في مثلث قائم الزاوية":

لذلك ، دعونا نطبق التشابه:.

ماذا سيحدث الان؟

مرة أخرى نحل النسبة ونحصل على الصيغة الثانية:

يجب تذكر كلتا الصيغتين جيدًا والصيغة الأكثر ملاءمة للتطبيق. دعونا نكتبها مرة أخرى.

نظرية فيثاغورس:

في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل :.

علامات المساواة في مثلثات الحق:

• على قدمين:
• على طول الساق والوتر: أو
• على طول الرجل والزاوية الحادة المجاورة: أو
• على طول الرجل والزاوية الحادة المقابلة: أو
• بالوتر والزاوية الحادة: أو.

علامات تشابه المثلثات القائمة على اليمين:

• زاوية حادة واحدة: أو
• من تناسب الرجلين:
• من تناسب الساق والوتر: أو.

الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية

• جيب الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الساق المقابلة إلى الوتر:
• جيب تمام الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر:
• ظل الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الساق المقابلة إلى المجاورة:
• ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل :.

ارتفاع مثلث قائم الزاوية: أو.

في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر:.

مساحة المثلث القائم:

• من خلال القسطرة: