ضرب الكسور بقواعد مختلفة. ضرب الكسور البسيطة والمختلطة ذات القواسم المختلفة

في مقرر المدرسة الإعدادية والثانوية ، درس الطلاب موضوع "الكسور". ومع ذلك ، فإن هذا المفهوم أوسع بكثير مما ورد في عملية التعلم. اليوم ، يتم العثور على مفهوم الكسر في كثير من الأحيان ، ولا يمكن لأي شخص حساب أي تعبير ، على سبيل المثال ، ضرب الكسور.

ما هو الكسر؟

حدث تاريخيًا أن ظهرت الأعداد الكسرية بسبب الحاجة إلى القياس. كما تظهر الممارسة ، غالبًا ما توجد أمثلة لتحديد طول المقطع ، حجم المستطيل.

في البداية ، يتم تعريف الطلاب بمثل هذا المفهوم كمشاركة. على سبيل المثال ، إذا قسمت بطيخًا إلى 8 أجزاء ، فسيحصل كل منها على ثمن البطيخ. هذا الجزء واحد من ثمانية يسمى حصة.

الحصة التي تساوي ½ من أي قيمة تسمى النصف ؛ ⅓ - الثالث ؛ ¼ - ربع. الإدخالات مثل 5/8 ، 4/5 ، 2/4 تسمى الكسور الشائعة. الكسر العادي ينقسم إلى بسط ومقام. بينهما خط كسري أو خط كسري. يمكن رسم الشريط الكسري كخط أفقي أو مائل. في هذه الحالة ، ترمز إلى علامة القسمة.

يمثل المقام عدد المشاركات المتساوية في القيمة ، ويتم تقسيم الكائن إلى ؛ والبسط هو عدد الأسهم المتساوية التي يتم أخذها. البسط مكتوب فوق شريط الكسر والمقام الذي يقع تحته.

من الأنسب إظهار الكسور العادية على شعاع إحداثيات. إذا قسمت مقطعًا واحدًا إلى 4 أجزاء متساوية ، فقم بتعيين كل جزء بحرف لاتيني ، ونتيجة لذلك يمكنك الحصول على مساعدة بصرية ممتازة. لذا ، فإن النقطة A تُظهر حصة تساوي 1/4 من مقطع الوحدة بأكمله ، والنقطة B تشير إلى 2/8 من هذا المقطع.

أنواع الكسور

الكسور شائعة وعشرية وأعداد كسرية. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تقسيم الكسور إلى صحيحة وغير صحيحة. هذا التصنيف أكثر ملاءمة للكسور العادية.

الكسر المناسب هو رقم بسطه أقل من المقام. وفقًا لذلك ، الكسر غير الفعلي هو رقم بسطه أكبر من المقام. النوع الثاني يكتب عادة في صورة عدد كسري. يتكون هذا التعبير من جزء صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال ، 1½. 1 - جزء عدد صحيح ، ½ - كسري. ومع ذلك ، إذا كنت بحاجة إلى إجراء بعض التلاعبات باستخدام التعبير (قسمة الكسور أو ضربها أو تقليلها أو تحويلها) ، يتم تحويل الرقم المختلط إلى كسر غير فعلي.

دائمًا ما يكون التعبير الكسري الصحيح أقل من واحد ، ويكون التعبير غير الصحيح دائمًا أكبر من أو يساوي 1.

بالنسبة لهذا التعبير ، فهم يفهمون السجل الذي يتم فيه تمثيل أي رقم ، ويمكن التعبير عن مقام التعبير الكسري من خلال واحد به عدة أصفار. إذا كان الكسر صحيحًا ، فسيكون الجزء الصحيح في العلامة العشرية صفرًا.

لكتابة رقم عشري ، يجب عليك أولاً كتابة الجزء الصحيح ، وفصله عن الكسر بفاصلة ، ثم كتابة التعبير الكسري. يجب أن نتذكر أنه بعد الفاصلة ، يجب أن يحتوي البسط على عدد من الأحرف يساوي عدد الأصفار في المقام.

مثال. مثل الكسر 7 21/1000 بالتدوين العشري.

خوارزمية لتحويل كسر غير حقيقي إلى عدد كسري والعكس صحيح

من الخطأ كتابة كسر غير لائق في إجابة المشكلة ، لذا يجب تحويله إلى رقم كسري:

قسّم البسط على المقام الحالي ؛
في مثال محدد ، حاصل القسمة غير الكامل هو عدد صحيح ؛
والباقي هو بسط الجزء الكسري ، مع بقاء المقام دون تغيير.

مثال. تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري: 47/5.

المحلول. 47: 5. حاصل القسمة غير المكتمل هو 9 ، والباقي = 2. وبالتالي ، 47/5 = 9 2/5.

تحتاج أحيانًا إلى تمثيل عدد كسري ككسر غير فعلي. ثم تحتاج إلى استخدام الخوارزمية التالية:

يتم ضرب الجزء الصحيح في مقام التعبير الكسري ؛
الناتج الناتج يضاف إلى البسط ؛
النتيجة مكتوبة في البسط ، ويبقى المقام كما هو.

مثال. عبر عن العدد بصيغة مختلطة في صورة كسر غير فعلي: 9 8/10.

المحلول. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 هو البسط.

إجابه: 98 / 10.

ضرب الكسور العادية

يمكنك إجراء العديد من العمليات الجبرية على الكسور العادية. لضرب رقمين ، تحتاج إلى ضرب البسط في البسط والمقام في المقام. علاوة على ذلك ، فإن ضرب الكسور ذات القواسم المختلفة لا يختلف عن حاصل ضرب الأعداد الكسرية ذات المقامات نفسها.

يحدث أنه بعد العثور على النتيجة ، تحتاج إلى تقليل الكسر. من الضروري تبسيط التعبير الناتج قدر الإمكان. بالطبع ، لا يمكن القول أن الكسر غير الصحيح في الإجابة خطأ ، ولكن من الصعب أيضًا تسميته بالإجابة الصحيحة.

مثال. أوجد حاصل ضرب كسرين عاديين: ½ و 20/18.

كما يتضح من المثال ، بعد العثور على المنتج ، يتم الحصول على تدوين كسري قابل للاختزال. كل من البسط والمقام في هذه الحالة يقبلان القسمة على 4 ، والنتيجة هي الإجابة 5/9.

ضرب الكسور العشرية

حاصل ضرب الكسور العشرية يختلف تمامًا عن حاصل ضرب الكسور العادية في مبدأه. إذن ، يكون ضرب الكسور كما يلي:

يجب كتابة كسرين عشريين تحت بعضهما البعض بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة تحت الأخرى ؛
تحتاج إلى ضرب الأرقام المكتوبة ، على الرغم من الفواصل ، أي كأرقام طبيعية ؛
احسب عدد الأرقام بعد الفاصلة في كل رقم ؛
في النتيجة التي تم الحصول عليها بعد الضرب ، تحتاج إلى حساب العديد من الأحرف الرقمية الموجودة على اليمين كما هو وارد في المجموع في كلا العاملين بعد الفاصلة العشرية ، ووضع علامة فاصلة ؛
إذا كان هناك عدد أقل من الأرقام في المنتج ، فيجب كتابة العديد من الأصفار أمامها لتغطية هذا الرقم ، ووضع فاصلة وتعيين جزء صحيح يساوي الصفر.

مثال. احسب حاصل ضرب عددين عشريين: 2.25 و 3.6.

المحلول.

ضرب الكسور المختلطة

لحساب حاصل ضرب كسرين مختلطين ، عليك استخدام قاعدة ضرب الكسور:

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير صحيحة ؛
أوجد حاصل ضرب البسط.
إيجاد حاصل ضرب القواسم ؛
اكتب النتيجة
تبسيط التعبير قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 4½ و 6 2/5.

ضرب رقم في كسر (الكسور في رقم)

بالإضافة إلى إيجاد حاصل ضرب كسرين ، أعداد كسرية ، هناك مهام تحتاج فيها إلى الضرب في كسر.

لذلك ، للعثور على حاصل ضرب كسر عشري وعدد طبيعي ، تحتاج إلى:

اكتب الرقم تحت الكسر بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة فوق الأخرى ؛
ابحث عن العمل ، على الرغم من الفاصلة ؛
في النتيجة التي تم الحصول عليها ، افصل الجزء الصحيح من الجزء الكسري باستخدام فاصلة ، وعد إلى اليمين عدد الأحرف بعد العلامة العشرية في الكسر.

لضرب كسر عادي في رقم ، يجب أن تجد حاصل ضرب البسط والعامل الطبيعي. إذا كانت الإجابة هي كسر قابل للاختزال ، فيجب تحويله.

مثال. احسب حاصل ضرب 5/8 و 12.

المحلول. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

إجابه: 7 1 / 2.

كما ترى من المثال السابق ، كان من الضروري تقليل النتيجة الناتجة وتحويل التعبير الكسري غير الصحيح إلى رقم مختلط.

أيضًا ، ينطبق ضرب الكسور أيضًا على إيجاد حاصل ضرب عدد في صورة مختلطة وعامل طبيعي. لضرب هذين العددين ، يجب أن تضرب الجزء الصحيح من العامل المختلط في الرقم ، وتضرب البسط في نفس القيمة ، وتترك المقام دون تغيير. إذا لزم الأمر ، فأنت بحاجة إلى تبسيط النتيجة قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 9 5/6 و 9.

المحلول. 9 5/6 × 9 \ u003d 9 × 9 + (5 × 9) / 6 \ u003d 81 + 45/6 \ u003d 81 + 7 3/6 \ u003d 88 1/2.

إجابه: 88 1 / 2.

الضرب بالعوامل 10 أو 100 أو 1000 أو 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001

القاعدة التالية تتبع من الفقرة السابقة. لمضاعفة كسر عشري في 10 و 100 و 1000 و 10000 وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليمين بعدد من الأحرف الرقمية حيث يوجد أصفار في المضاعف بعد الواحد.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 0.065 و 1000.

المحلول. 0.065 × 1000 = 0065 = 65.

إجابه: 65.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 3.9 و 1000.

المحلول. 3.9 × 1000 = 3.900 × 1000 = 3900.

إجابه: 3900.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب عدد طبيعي و 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ؛ 0.0001 ، وما إلى ذلك ، يجب عليك تحريك الفاصلة إلى اليسار في المنتج الناتج بعدد من الأحرف الرقمية مثل الأصفار قبل الواحد. إذا لزم الأمر ، تتم كتابة عدد كافٍ من الأصفار أمام عدد طبيعي.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 56 و 0.01.

المحلول. 56 × 0.01 = 0056 = 0.56.

إجابه: 0,56.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 4 و 0.001.

المحلول. 4 × 0.001 = 0004 = 0.004.

إجابه: 0,004.

لذلك ، لا ينبغي أن يسبب العثور على ناتج الكسور المختلفة صعوبات ، باستثناء ربما حساب النتيجة ؛ في هذه الحالة ، لا يمكنك الاستغناء عن الآلة الحاسبة.

سننظر في ضرب الكسور العادية بعدة طرق ممكنة.

ضرب كسر في كسر

هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب الكسر.

ل اضرب الكسر في الكسر، من الضروري:

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في بسط الكسر الجديد ؛
اضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في مقام الكسر الجديد ؛

تحقق من إمكانية اختزال الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيساعد تقليل الكسور في العمليات الحسابية بشكل كبير على العمليات الحسابية.

ضرب كسر في عدد طبيعي

إلى كسر اضرب في عدد طبيعيتحتاج إلى ضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وترك مقام الكسر كما هو.

إذا كانت نتيجة الضرب كسرًا غير فعلي ، فلا تنس تحويله إلى عدد كسري ، أي حدد الجزء بالكامل.

ضرب الأعداد الكسرية

لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي

في بعض الأحيان يكون من الأنسب في الحسابات استخدام طريقة مختلفة لضرب الكسر العادي برقم.

لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.

كما يتضح من المثال ، فإن هذا الإصدار من القاعدة يكون أكثر ملاءمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة دون الباقي برقم طبيعي.

الأفعال مع الكسور

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

جمع الكسور من نفس القواسم
جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بالكامل فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى جمع البسط ، وترك المقام كما هو ؛
إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن إضافة الكسور لأن لها نفس المقامات.

لكن لا يمكن جمع الكسور دفعة واحدة ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم البحث أولاً عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامرين لكلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم تقسيم NOC على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نقوم بعمل خط مائل صغير فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:

انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

هكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بوصل الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).

يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) بينما تُظهر الصورة الثانية كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا هذا المثال بتفاصيل أكثر من اللازم. ليس من المعتاد في المؤسسات التعليمية أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى الضرب السريع للعوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام. أثناء وجودنا في المدرسة ، يجب أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم الرسم البياني أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4. تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام:

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف ما يصل:

لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك قمنا بنقل المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء الصحيح الخاص به

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:

حصلت على إجابة

طرح كسور من نفس القواسم

هناك نوعان من الكسر:

طرح كسور من نفس القواسم
طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك أن تطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وتترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا كان المثال كاملاً ، فمن المعتاد التخلص من الكسر غير الصحيح. دعنا نتخلص من الكسر الخطأ في الإجابة. للقيام بذلك ، حدد الجزء بالكامل:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

لطرح آخر من كسر واحد ، عليك أن تطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وتترك المقام كما هو ؛

إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. نكتب الثلاثي على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل على النحو التالي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، بينما تُظهر الصورة الثانية كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. اقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أبسط وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر. تذكر أن اختزال الكسر هو قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام.

لتقليل الكسر بشكل صحيح ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 20 و 30.

لا تخلط بين GCD و NOC. الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يرتكبه العديد من المبتدئين. GCD هو القاسم المشترك الأكبر. نجدها لتقليل الكسر.

و LCM هو المضاعف المشترك الأصغر. نجده من أجل تقريب الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

سنجد الآن القاسم المشترك الأكبر (gcd) للعددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

GCD (20 و 30) = 10

الآن نعود إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على 10:

حصلت على إجابة لطيفة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبادل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير حاصل الضرب. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت بيتزا 4 مرات ، فستحصل على نوعين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، يجب تقسيمه على gcd للبسط والمقام. إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

GCD لـ (105 و 150) هي 15

الآن نقسم بسط ومقام إجابتنا على GCD:

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هنا لن يغير الخمسة معناها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقم أ هو الرقم الذي عند ضربه أ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، اضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا إيجاد المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

مقلوب 3 كسر
مقلوب 4 كسر

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).

صيغة ضرب الكسر:

علي سبيل المثال:

قبل الشروع في ضرب البسط والمقام ، من الضروري التحقق من إمكانية تقليل الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر ، فسيكون من الأسهل عليك الاستمرار في إجراء الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تتضمن عددًا طبيعيًا.

إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، نحول عددًا صحيحًا إلى كسر بوحدة في المقام. علي سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
نقوم بتقليل الكسر.
إذا حصلنا على كسر غير فعلي ، فسنحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب كسر في عدد طبيعي.

من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.

ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، من الضروري قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط دون تغيير.

من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون باقي على رقم طبيعي.

كسور متعددة المستويات.

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:

ملحوظة!ترتيب القسمة مهم جدًا عند قسمة الكسور. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.

ملحوظة، علي سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:

نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:

1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع العمليات الحسابية بحذر ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط في الحسابات في رأسك.

2. في المهام ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى نوع الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى يصبح من الممكن تصغيرها.

4. نقوم بإدخال التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.

في القرن الخامس قبل الميلاد ، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينو من إيليا أبورياس الشهير ، وأشهرها أبوريا "أخيل والسلحفاة". إليك كيف يبدو الأمر:

لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه بألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحاضر ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولاً عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الكل يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. هذا الانتقال يعني تطبيق بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لتطبيق وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو أن الوقت يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قلبنا المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقَ في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكن هذا ليس حلاً كاملاً للمشكلة. إن تصريح أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء مشابه جدًا لما قاله زينو أبوريا "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة يكون السهم الطائر في حالة سكون في نقاط مختلفة في الفضاء ، والتي في الواقع ، هي الحركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، يلزم التقاط صورتين من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن لا يمكن استخدامهما لتحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في نفس الوقت ، لكن لا يمكنك تحديد حقيقة الحركة منها (بالطبع ، ما زلت بحاجة إلى بيانات إضافية لإجراء الحسابات ، سيساعدك علم المثلثات) . ما أريد أن أشير إليه على وجه الخصوص هو أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.

الأربعاء 4 يوليو 2018

جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.

كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.

ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.

بغض النظر عن كيفية إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة" ، هناك حبل سري واحد يربطهم ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن جالسون في مكتب الصرف ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نفسر الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سوف يتذكر عالم الرياضيات الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة لها كميات مختلفة من الأوساخ ، والبنية البلورية وترتيب الذرات لكل عملة فريدة من نوعها ...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر عبارة عن مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا يخرج عالم الرياضيات الشامان شولر الآس الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.

لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج الى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام هي رموز بيانية نكتب بها الأرقام ، وفي لغة الرياضيات ، تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.

دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. وبالتالي ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.

2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.

3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير من 12345 ، لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.

كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو كنت ستحصل على نتائج مختلفة تمامًا عند تحديد مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر.

يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الحقيقة ليست مجرد أرقام.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها ، فإن هذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

وقع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوتش! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس على القمة والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟

أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.

إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،

إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). وأنا لا أعتبر هذه الفتاة حمقاء لا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يرون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

محتوى الدرس

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

جمع الكسور من نفس القواسم
جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

مثال 2اجمع الكسور و.

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بالكامل فيه. في حالتنا ، يمكن تمييز الجزء بالكامل بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

مثال 3. اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى جمع البسط ، وترك المقام دون تغيير ؛

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن إضافة الكسور لأن لها نفس المقامات.

يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه تم البحث عن أول (LCM) من مقامات كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

مثال 1. اجمع الكسور و

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:

هكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم التعليمات أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأعداد 2 و 3 و 4

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء بالكامل فيها

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:

حصلت على إجابة

طرح كسور من نفس القواسم

هناك نوعان من الكسر:

طرح كسور من نفس القواسم
طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام دون تغيير:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير ؛
إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. اكتب ثلاثية على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

تُظهر الصورة الأولى كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر.

لتقليل الكسر ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على (gcd) العددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للرقمين 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على GCD الموجود ، أي على 10

حصلت على إجابة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، عليك قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 105 و 450.

إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

نقسم الآن بسط ومقام إجابتنا على GCD التي وجدناها الآن ، أي على 15

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقمأ هو الرقم الذي عند ضربهأ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، دعونا نضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا إيجاد المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

قسمة الكسر على رقم

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعنا نقسمها بالتساوي بين اثنين. كم عدد البيتزا التي سيحصل عليها كل واحد؟

يمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا ، تم الحصول على قطعتين متساويتين ، تشكل كل منهما بيتزا. حتى يحصل الجميع على بيتزا.

قسمة الكسور تتم باستخدام المعاملة بالمثل. تسمح لك المبادلات باستبدال القسمة بالضرب.

لقسمة كسر على رقم ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه.

باستخدام هذه القاعدة ، نكتب قسمة نصف البيتزا إلى قسمين.

لذلك ، تحتاج إلى قسمة الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم كسر والمقسوم عليه 2.

لقسمة كسر على الرقم 2 ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه 2. مقلوب المقسوم عليه 2 هو كسر. لذلك تحتاج إلى الضرب في