Формули за отливане на Arctg. Извеждане на формули за обратни тригонометрични функции

Дадени са дефиниции на обратни тригонометрични функции и техните графики. Както и формули, свързващи обратни тригонометрични функции, формули за суми и разлики.

Дефиниция на обратни тригонометрични функции

Тъй като тригонометричните функции са периодични, обратните им функции не са еднозначни. И така, уравнението y = грях х, за дадено , има безкрайно много корени. Наистина, поради периодичността на синуса, ако х е такъв корен, тогава х + 2n(където n е цяло число) също ще бъде коренът на уравнението. По този начин, обратните тригонометрични функции са многозначни. За да се улесни работата с тях, се въвежда концепцията за техните основни ценности. Помислете например за синуса: y = грях х. Ако ограничим аргумента x до интервала, тогава върху него функцията y = грях хнараства монотонно. Следователно той има обратна функция с една стойност, която се нарича арксинус: x = arcsin y.

Освен ако не е посочено друго, обратните тригонометрични функции означават техните главни стойности, които са определени от следните дефиниции.

арксинус ( y= arcsin x) е обратната функция на синуса ( x= сини

Аркосинус ( y= arccos x) е обратната функция на косинуса ( x= уютен), който има домейн на дефиниция и набор от стойности.

Арктангенс ( y= arctg x) е обратната функция на тангенса ( x= tg y), който има домейн на дефиниция и набор от стойности.

Арктангенс ( y= arcctg x) е обратната функция на котангенса ( x= ctg y), който има домейн на дефиниция и набор от стойности.

Графики на обратни тригонометрични функции

Графиките на обратните тригонометрични функции се получават от графики на тригонометрични функции чрез огледално отражение спрямо правата линия y = x. Вижте разделите Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Основни формули

Тук трябва да се обърне специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.

arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arctg x) = x

Формули, свързващи обратни тригонометрични функции

Формули за сбор и разлика

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Функциите sin, cos, tg и ctg винаги са придружени от аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Едното е следствие от другото и двойките функции са еднакво важни за работа с тригонометрични изрази.

Помислете за чертежа на единична окръжност, която графично показва стойностите на тригонометричните функции.

Ако изчислите дъги OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, тогава всички те ще бъдат равни на стойността на ъгъла α. Формулите по-долу отразяват връзката между основните тригонометрични функции и съответните им дъги.

За да разберете повече за свойствата на арксинуса, е необходимо да разгледате неговата функция. График има формата на асиметрична крива, минаваща през центъра на координатите.

Арксинус свойства:

Ако сравним графиките гряхи дъга грях, две тригонометрични функции могат да намерят общи модели.

Аркосинус

Arccos на числото a е стойността на ъгъла α, чийто косинус е равен на a.

Извивка y = arcos xотразява графиката на arcsin x, с единствената разлика, че минава през точката π/2 на оста OY.

Разгледайте функцията аркосинус по-подробно:

1. Функцията е дефинирана на сегмента [-1; един].
2. ОДЗ за arccos - .
3. Графиката е разположена изцяло в I и II четвърти, а самата функция не е нито четна, нито нечетна.
4. Y = 0 за x = 1.
5. Кривата намалява по цялата си дължина. Някои свойства на арккосинуса са същите като функцията косинус.

Някои свойства на арккосинуса са същите като функцията косинус.

Възможно е такова „подробно“ изследване на „арките“ да изглежда излишно за учениците. Иначе обаче някакъв елементарен тип ИЗПОЛЗВАЙТЕ заданияможе да обърка учениците.

Упражнение 1.Посочете функциите, показани на фигурата.

Отговор:ориз. 1 - 4, фиг. 2 - 1.

AT този примеракцентът е върху малките неща. Обикновено учениците са много невнимателни към изграждането на графики и външния вид на функциите. Наистина, защо да запомните формата на кривата, ако тя винаги може да бъде изградена от изчислени точки. Не забравяйте, че при тестови условия времето, прекарано за рисуване за проста задачанеобходими за по-сложни задачи.

Арктангенс

Arctgчислото a е такава стойност на ъгъла α, че неговият тангенс е равен на a.

Ако разгледаме графиката на аркутангенса, можем да различим следните свойства:

1. Графиката е безкрайна и дефинирана на интервала (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс странна функция, следователно, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 за x = 0.
4. Кривата нараства в цялата област на дефиниция.

Ето накратко сравнителен анализ tg x и arctg x като таблица.

Арктангенс

Arcctg на числото a - приема такава стойност на α от интервала (0; π), че котангенсът му да е равен на a.

Свойства на функцията аркотангенс:

1. Интервалът на дефиниране на функцията е безкраен.
2. Диапазонът на допустимите стойности е интервалът (0; π).
3. F(x) не е нито четно, нито нечетно.
4. По цялата си дължина графиката на функцията намалява.

Сравняването на ctg x и arctg x е много лесно, просто трябва да нарисувате два чертежа и да опишете поведението на кривите.

Задача 2.Свържете графиката и формата на функцията.

Логично графиките показват, че и двете функции нарастват. Следователно и двете фигури показват някаква функция arctg. От свойствата на аркутангенса е известно, че y=0 за x = 0,

Отговор:ориз. 1 - 1, фиг. 2-4.

Тригонометрични идентичности arcsin, arcos, arctg и arcctg

По-рано вече идентифицирахме връзката между арките и основните функции на тригонометрията. Тази зависимост може да бъде изразена чрез редица формули, които позволяват изразяване, например, на синуса на аргумента чрез неговия арксинус, аркосинус или обратно. Познаването на такива идентичности може да бъде полезно при решаването на конкретни примери.

Има също съотношения за arctg и arcctg:

Друга полезна двойка формули задава стойността на сумата от стойностите на arcsin и arcos и arcctg и arcctg на един и същи ъгъл.

Примери за решаване на проблеми

Задачите по тригонометрия могат да се разделят на четири групи: пресм числова стойностконкретен израз, изградете графика на тази функция, намерете нейната област на дефиниция или ODZ и извършете аналитични трансформации за решаване на примера.

При решаването на първия тип проблеми е необходимо да се придържате към следващ пландействия:

Когато работите с функционални графики, основното е познаването на техните свойства и външен видкрив. За решения тригонометрични уравненияи са необходими таблици на идентичности на неравенства. Колкото повече формули помни ученикът, толкова по-лесно намира отговора на задачата.

Да предположим, че на изпита е необходимо да се намери отговор на уравнение от вида:

Ако правилно трансформирате израза и го доведете до желаната форма, тогава решаването му е много просто и бързо. Първо, нека преместим arcsin x в дясната страна на уравнението.

Ако си спомним формулата arcsin (sinα) = α, тогава можем да намалим търсенето на отговори до решаване на система от две уравнения:

Ограничението върху модела x възниква, отново от свойствата на arcsin: ODZ за x [-1; един]. Когато a ≠ 0, част от системата е квадратно уравнениес корени x1 = 1 и x2 = - 1/a. При a = 0, x ще бъде равно на 1.

Представен е метод за извеждане на формули за обратни тригонометрични функции. Получени са формули за отрицателни аргументи, изрази, свързващи арксинуса, аркосинуса, арктангенса и арккотангенса. Посочен е метод за извеждане на формули за сумата от арксинуси, арккосинуси, арктангенси и арккотангенси.

Основни формули

Извеждането на формули за обратни тригонометрични функции е просто, но изисква контрол върху стойностите на аргументите на директните функции. Това се дължи на факта, че тригонометричните функции са периодични и следователно техните обратни функции са многозначни. Освен ако не е посочено друго, обратните тригонометрични функции означават техните главни стойности. За да се определи основната стойност, областта на дефиниране на тригонометричната функция се стеснява до интервала, в който тя е монотонна и непрекъсната. Извеждането на формули за обратни тригонометрични функции се основава на формулите на тригонометричните функции и свойствата на обратните функции като такива. Свойствата на обратните функции могат да бъдат разделени на две групи.

Първата група включва формули, които са валидни в цялата област на обратните функции:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Втората група включва формули, които са валидни само за набор от стойности на обратни функции.
arcsin(sin x) = xпри
arccos(cos x) = xпри
arctg(tg x) = xпри
arcctg(ctg x) = xпри

Ако променливата x не попада в горния интервал, тогава тя трябва да бъде намалена до него с помощта на формулите на тригонометричните функции (по-нататък n е цяло число):
sinx = sin(-x-π); sinx = sin(π-x); sinx = sin(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

Например, ако се знае, че
arcsin(sin x) = arcsin(sin(π - x)) = π - x.

Лесно се вижда, че за π - x попада в необходимия интервал. За да направите това, умножете по -1: и добавете π: или Всичко е правилно.

Обратни функции на отрицателния аргумент

Прилагайки горните формули и свойства на тригонометричните функции, получаваме формули за обратните функции на отрицателен аргумент.

arcsin(-x) = arcsin(- грях дъга грях x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

От тогава, умножавайки по -1, имаме: или
Аргументът синус попада в допустимия диапазон на диапазона на арксинуса. Следователно формулата е правилна.

По същия начин и за други функции.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Изразяване на арксинуса по отношение на аркосинус и на арктангенса по отношение на арккотангенса

Изразяваме арксинуса чрез аркосинус.

Формулата е валидна за Тези неравенства са в сила, защото

За да проверим това, умножаваме неравенствата по -1 : и добавяме π/2 : или Всичко е правилно.

По подобен начин изразяваме арктангенса чрез арккотангенса.

Изразяване на арксинуса през арктангенса, на аркосинуса през арккотангенса и обратно

Процедираме по подобен начин.

Формули за сбор и разлика

По подобен начин получаваме формулата за сумата от арксинуси.

Нека установим границите на приложимост на формулата. За да не се занимаваме с тромави изрази, въвеждаме нотацията: X = arcsin x, Y = arcsin y. Формулата е приложима, когато
. Освен това отбелязваме, че тъй като arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y,след това за различни знаци на x и y, X и Y също различен знаки така неравенствата са в сила. Условието на различните знаци за x и y може да се напише с едно неравенство: . Тоест, когато формулата е валидна.

Сега разгледайте случая x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогава условието за приложимостта на формулата е изпълнението на неравенството: . Тъй като косинусът монотонно намалява за стойности на аргумента в интервала от 0 , до π, тогава вземаме косинуса от лявата и дясната страна на това неравенство и трансформираме израза:
;
;
;
.
Тъй като и ; тогава косинусите, включени тук, не са отрицателни. И двете части на неравенството са положителни. Повдигаме ги на квадрат и преобразуваме косинусите през синусите:
;
.
Заместител sin X = sin дъга sin x = x:
;
;
;
.

Така че получената формула е валидна за или .

Сега разгледайте случая x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Тук аргументът синус приема стойностите: . Тя трябва да бъде намалена до интервала на областта на стойността на арксинуса:

Така,

при i.

Заменяйки x и y с - x и - y, имаме

при i.
Извършваме трансформации:

при i.
Или

при i.

И така, получихме следните изрази за сумата от арксинуси:

при или ;

за и ;

при и .

Урок и презентация по темите: "Арксинус. Арксинусна таблица. Формула y=arcsin(x)"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина "Интеграл" за 10 клас от 1C
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството

Какво ще изучаваме:
1. Какво е арксинус?
2. Обозначаване на арксинуса.
3. Малко история.
4. Определение.

6. Примери.

Какво е арксинус?

Момчета, вече научихме как да решаваме уравнения за косинус, сега нека се научим как да решаваме подобни уравнения за синус. Да разгледаме sin(x)= √3/2. За да решите това уравнение, трябва да построите права линия y= √3/2 и да видите: в кои точки тя пресича числовата окръжност. Вижда се, че правата пресича окръжността в две точки F и G. Тези точки ще бъдат решението на нашето уравнение. Преименувайте F като x1 и G като x2. Вече намерихме решението на това уравнение и получихме: x1= π/3 + 2πk,
и x2= 2π/3 + 2πk.

Решаването на това уравнение е доста просто, но как да решите, например, уравнението
sin(x)=5/6. Очевидно това уравнение също ще има два корена, но какви стойности ще съответстват на решението на числовата окръжност? Нека да разгледаме по-отблизо нашето уравнение sin(x)=5/6.
Решението на нашето уравнение ще бъде две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 ​​​​+ 2πk,
където x1 е дължината на дъгата AF, x2 е дължината на дъгата AG.
Забележка: x2= π - x1, защото AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но какви са тези точки?

Изправени пред подобна ситуация, математиците измислиха нов герой– arcsin(x). Чете се като арксинус.

Тогава решението на нашето уравнение ще бъде записано по следния начин: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решението в общ изглед: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинусът е синусът на ъгъла (дължина на дъгата AF, AG), който е равен на 5/6.

Малко арксинусна история

Историята на произхода на нашия символ е точно същата като тази на arccos. За първи път символът arcsin се появява в трудовете на математика Scherfer и известния френски учен J.L. Лагранж. Малко по-рано понятието арксинус беше разгледано от Д. Бернули, въпреки че той го записа с други символи.

Тези символи стават общоприети едва в края на 18 век. Префиксът "дъга" идва от латинското "arcus" (лък, дъга). Това е напълно в съответствие със значението на понятието: arcsin x е ъгъл (или можете да кажете дъга), чийто синус е равен на x.

Дефиниция на арксинус

Ако |а|≤ 1, то arcsin(a) е такова число от интервала [- π/2; π/2], чийто синус е a.

Ако |a|≤ 1, тогава уравнението sin(x)= a има решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk

Нека пренапишем:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Момчета, разгледайте внимателно нашите две решения. Как мислите: могат ли да бъдат записани в обща формула? Обърнете внимание, че ако има знак плюс преди арксинуса, тогава π се умножава по четно число 2πk, а ако знакът е минус, тогава множителят е нечетен 2k+1.
Имайки това предвид, записваме общата формула за решение на уравнението sin(x)=a:

Има три случая, в които човек предпочита да напише решения по по-прост начин:

sin(x)=0, тогава x= πk,

sin(x)=1, тогава x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, тогава x= -π/2 + 2πk.

За всяко -1 ≤ a ≤ 1 е валидно следното равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Нека напишем таблица с косинусови стойности в обратна посока и да получим таблица за арксинуса.

Примери

1. Изчислете: arcsin(√3/2).
Решение: Нека arcsin(√3/2)= x, тогава sin(x)= √3/2. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: x= π/3, защото sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Отговор: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Изчислете: arcsin(-1/2).
Решение: Нека arcsin(-1/2)= x, тогава sin(x)= -1/2. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: x= -π/6, защото sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Отговор: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Изчислете: arcsin(0).
Решение: Нека arcsin(0)= x, тогава sin(x)= 0. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: това означава x = 0, защото sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Отговор: arcsin(0)=0.

4. Решете уравнението: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Нека да разгледаме стойността в таблицата: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Отговор: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решете уравнението: sin(x) = 0.
Решение: Нека използваме определението, тогава решението ще бъде написано във формата:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Нека да разгледаме стойността в таблицата: arcsin(0)= 0.
Отговор: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решете уравнението: sin(x) = 3/5.
Решение: Нека използваме определението, тогава решението ще бъде написано във формата:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Отговор: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Решете неравенството sin(x) Решение: Синусът е ординатата на точката от числовата окръжност. И така: трябва да намерим такива точки, чиято ордината е по-малка от 0,7. Нека начертаем права линия y=0,7. Тя пресича числовата окръжност в две точки. Неравенство y Тогава решението на неравенството ще бъде: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Задачи по арксинус за самостоятелно решение

1) Изчислете: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Решете уравнението: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
д) sin(x) = -1,2.
3) Решете неравенството: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Какво е арксинус, аркосинус? Какво е арктангенс, арктангенс?

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Към понятията арксинус, аркосинус, арктангенс, арккотангенс студентското население е предпазливо. Той не разбира тези термини и следователно не се доверява на това славно семейство.) Но напразно. Това е много прости концепции. Които, между другото, правят живота много по-лесен. познаващ човекпри решаване на тригонометрични уравнения!

Объркани сте от простотата? Напразно.) Точно тук и сега ще се убедите в това.

Разбира се, за разбиране би било хубаво да знаем какво са синус, косинус, тангенс и котангенс. Да, техните таблични стойности за някои ъгли ... Поне в повечето в общи линии. Тогава и тук няма да има проблеми.

И така, ние сме изненадани, но не забравяйте: арксинус, аркосинус, арктангенс и арктангенс са само някои ъгли.Нито повече, нито по - малко. Има ъгъл, да речем 30°. И има ъгъл arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Има всякакви ъгли.) Можете просто да запишете ъглите различни начини. Можете да запишете ъгъла в градуси или радиани. Или можете - чрез неговите синус, косинус, тангенс и котангенс ...

Какво означава изразът

arcsin 0,4?

Това е ъгълът, чийто синус е 0,4! Да да. Това е значението на арксинуса. Повтарям конкретно: arcsin 0,4 е ъгъл, чийто синус е 0,4.

И това е.

За да запазя тази проста мисъл в главата си за дълго време, дори ще дам разбивка на този ужасен термин - арксинуса:

дъга грях 0,4
ъгъл, чий синус е равно на 0,4

Както се пише, така се и чува.) Почти. Конзола дъгаозначава дъга(дума архзнаете?), защото древните хора са използвали дъги вместо ъгли, но това не променя същността на въпроса. Запомнете това елементарно декодиране на математически термин! Освен това за арккосинус, арктангенс и арктангенс декодирането се различава само в името на функцията.

Какво е arccos 0.8?
Това е ъгъл, чийто косинус е 0,8.

Какво е arctan(-1,3)?
Това е ъгъл, чийто тангенс е -1,3.

Какво е arcctg 12?
Това е ъгъл, чийто котангенс е 12.

Такова елементарно декодиране позволява, между другото, да се избегнат епични грешки.) Например, изразът arccos1,8 изглежда доста солиден. Да започнем декодирането: arccos1,8 е ъгъл, чийто косинус е равен на 1,8... Хоп-хоп!? 1.8!? Косинусът не може да бъде по-голям от едно!

вярно Изразът arccos1,8 няма смисъл. И писането на такъв израз в някакъв отговор ще забавлява много проверяващия.)

Елементарно, както можете да видите.) Всеки ъгъл има свои лични синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс. Следователно, знаейки тригонометричната функция, можете да запишете самия ъгъл. За това са предназначени арксинуси, арккосинуси, арктангенси и арккотангенси. Освен това ще нарека цялото това семейство умалително - арки.да пиша по-малко.)

внимание! Елементарни словесни и в съзнаниедешифрирането на арките ви позволява спокойно и уверено да решавате различни задачи. И в необичайнозадачи, които само тя спестява.

Възможно ли е да се премине от арки към обикновени градуси или радиани?- Чувам предпазлив въпрос.)

Защо не!? Лесно. Можете да отидете до там и обратно. Освен това понякога е необходимо да го направите. Арките са просто нещо, но без тях е някак по-спокойно, нали?)

Например: какво е arcsin 0,5?

Нека да разгледаме декриптирането: arcsin 0,5 е ъгълът, чийто синус е 0,5.Сега включете главата си (или Google)) и си спомнете кой ъгъл има синус от 0,5? Синусът е 0,5 y ъгъл от 30 градуса. Това е всичко: arcsin 0,5 е ъгъл от 30°.Можете спокойно да напишете:

arcsin 0,5 = 30°

Или, по-солидно, по отношение на радиани:

Това е всичко, можете да забравите за арксинуса и да работите с обичайните градуси или радиани.

Ако сте разбрали какво е арксинус, аркосинус ... Какво е арктангенс, арккотангенс ...Тогава лесно можете да се справите например с такова чудовище.)

Един невеж човек ще се отдръпне от ужас, да ...) И знаещ запомнете декриптирането:арксинусът е ъгълът, чийто синус е ... Е, и така нататък. Ако знаещ човек също знае таблицата на синусите ... Таблицата на косинусите. Таблица на тангенсите и котангенсите, тогава изобщо няма проблеми!

Достатъчно е да се има предвид, че:

Ще дешифрирам, т.е. преведете формулата с думи: ъгъл, чийто тангенс е 1 (arctg1)е ъгъл от 45°. Или, което е същото, Пи/4. По същия начин:

и това е всичко... Заменяме всички арки със стойности в радиани, всичко е намалено, остава да изчислим колко ще бъде 1 + 1. Ще бъде 2.) Кой е правилният отговор.

Ето как можете (и трябва) да преминете от аркусинуси, арккосинуси, арктангенси и арктангенси към обикновени градуси и радиани. Това значително опростява страшните примери!

Често, в подобни примери, вътре арките стоят отрицателенстойности. Например arctg(-1.3) или, например, arccos(-0.8)... Това не е проблем. Ето няколко прости формули за преминаване от отрицателно към положително:

Трябва, да речем, да определите стойността на израз:

Можете да решите това с помощта на тригонометричен кръг, но не искате да го начертаете. Ми добре. Тръгвайки от отрицателенстойности вътре в аркосинуса до положителенспоред втората формула:

Вече вътре в аркосинуса отдясно положителензначение. Какво

просто трябва да знаеш. Остава да заменим радианите вместо арккосинуса и да изчислим отговора:

Това е всичко.

Ограничения за арксинус, аркосинус, арктангенс, арккотангенс.

Има ли проблем с примери 7 - 9? Е, да, има някакъв трик.)

Всички тези примери, от 1 до 9, са внимателно подредени по рафтовете в раздел 555. Какво, как и защо. С всички тайни капани и трикове. Плюс начини за драматично опростяване на решението. Между другото, в този раздел има много полезна информацияи практически съветитригонометрия като цяло. И не само в тригонометрията. Помага много.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.