Четно и нечетно функционират като. Четни и нечетни функции. Начини за задаване на функция

. За да направите това, използвайте милиметрова хартия или графичен калкулатор. Изберете произволен брой числови стойности за независимата променлива x (\displaystyle x)и ги включете във функцията за изчисляване на стойностите на зависимата променлива y (\displaystyle y). Поставете намерените координати на точките в координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.

• Заменете положителните числови стойности във функцията x (\displaystyle x)и съответните отрицателни числови стойности. Например, дадена функция f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Заменете следните стойности в него x (\displaystyle x):

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста y.Симетрията се отнася до огледалния образ на графиката спрямо оста y. Ако частта от графиката отдясно на оста y (положителни стойности на независимата променлива) съвпада с частта от графиката отляво на оста y (отрицателни стойности на независимата променлива), графиката е симетрична спрямо оста y. Ако функцията е симетрична спрямо оста y, функцията е четна.

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо началото.Началото е точката с координати (0,0). Симетрия относно произхода означава, че положителна стойност y (\displaystyle y)(с положителна стойност x (\displaystyle x)) съответства на отрицателна стойност y (\displaystyle y)(с отрицателна стойност x (\displaystyle x)), и обратно. Нечетните функции имат симетрия по отношение на произхода.

Проверете дали графиката на функцията има някаква симетрия.Последният тип функция е функция, чиято графика няма симетрия, т.е. няма огледален образ както спрямо оста y, така и спрямо началото. Например, дадена функция.

• Заменете няколко положителни и съответните отрицателни стойности във функцията x (\displaystyle x):
• Според получените резултати няма симетрия. Стойности y (\displaystyle y)за противоположни стойности x (\displaystyle x)не съвпадат и не са противоположни. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
• Моля, имайте предвид, че функцията f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)може да се напише така: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Записана в тази форма, функцията изглежда четна, защото има четен показател. Но този пример доказва, че формата на функция не може да бъде бързо определена, ако независимата променлива е оградена в скоби. В този случай трябва да отворите скобите и да анализирате получените показатели.

Равномерна функция.

ДориИзвиква се функция, чийто знак не се променя при промяна на знака х.

хравенство f(–х) = f(х). Знак хне засяга знака г.

Графиката на четната функция е симетрична спрямо координатната ос (фиг. 1).

Дори примери за функции:

г= cos х

г = х 2

г = –х 2

г = х 4

г = х 6

г = х 2 + х

Обяснение:
Да вземем една функция г = х 2 или г = –х 2 .
За всякаква стойност хфункцията е положителна. Знак хне засяга знака г. Графиката е симетрична спрямо координатната ос. Това е равномерна функция.

странна функция.

странное функция, чийто знак се променя при промяна на знака х.

С други думи, за всяка стойност хравенство f(–х) = –f(х).

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (фиг. 2).

Примери за странна функция:

г= грях х

г = х 3

г = –х 3

Обяснение:

Вземете функцията y = - х 3 .
Всички ценности прище има знак минус. Това е знакът хвлияе върху знака г. Ако независимата променлива е положително число, тогава функцията е положителна; ако независимата променлива е отрицателно число, тогава функцията е отрицателна: f(–х) = –f(х).
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото. Това е странна функция.

Свойства на четни и нечетни функции:

ЗАБЕЛЕЖКА:

Не всички функции са четни или нечетни. Има функции, които не подлежат на такова градиране. Например функцията root при = √хне се отнася нито за четни, нито за нечетни функции (фиг. 3). Когато се изброяват свойствата на такива функции, трябва да се даде подходящо описание: нито четно, нито нечетно.

Периодични функции.

Както знаете, периодичността е повторението на определени процеси през определен интервал. Функциите, описващи тези процеси, се наричат периодични функции. Тоест, това са функции, в чиито графики има елементи, които се повтарят на определени числови интервали.

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани членове на експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете иили веднага след етикета . Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, тогава страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете изпълним модул, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане по-горе в него и поставете изпълнимия модул по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вграждате математически формули във вашите уеб страници.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. По този повод има интересна статия, в която има примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), когато я увеличим, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например, при достатъчно голямо увеличение, част от елипса изглежда като прав сегмент. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която с всяко увеличение ще се повтаря отново и отново.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, в своята статия „Фрактали и изкуство за наука“ пише: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще бъде увеличен до размера на цялото, ще изглежда като цялото, или точно, или може би с лека деформация.

Скриване на шоуто

Начини за задаване на функция

Нека функцията е дадена по формулата: y=2x^(2)-3 . Като присвоите произволна стойност на независимата променлива x, можете да използвате тази формула, за да изчислите съответните стойности на зависимата променлива y. Например, ако x=-0,5 , тогава използвайки формулата, получаваме, че съответната стойност на y е y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Като се има предвид всяка стойност, взета от аргумента x във формулата y=2x^(2)-3 , може да се изчисли само една функционална стойност, която съответства на нея. Функцията може да бъде представена като таблица:

х	−2	−1	0	1	2	3
г	−4	−3	−2	−1	0	1

Използвайки тази таблица, можете да разберете, че за стойността на аргумента -1 ще съответства стойността на функцията -3; и стойността x=2 ще съответства на y=0 и т.н. Също така е важно да знаете, че всяка стойност на аргумент в таблицата отговаря само на една стойност на функцията.

Повече функции могат да бъдат зададени с помощта на графики. С помощта на графиката се установява коя стойност на функцията корелира с определена стойност на x. Най-често това ще бъде приблизителна стойност на функцията.

Четна и нечетна функция

Функцията е дори функция, когато f(-x)=f(x) за всяко x от домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо оста Oy.

Функцията е странна функциякогато f(-x)=-f(x) за всяко x в домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо началото O (0;0) .

Функцията е дори не, нито страннои се обади обща функциякогато няма симетрия спрямо оста или началото.

Разглеждаме следната функция за паритет:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) със симетрична област на дефиниция относно произхода. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Следователно функцията f(x)=3x^(3)-7x^(7) е нечетна.

Периодична функция

Функцията y=f(x), в чиято област f(x+T)=f(x-T)=f(x) е вярна за всяко x, се нарича периодична функцияс период T \neq 0 .

Повторение на графиката на функцията върху всеки сегмент от абсцисната ос, който има дължина T .

Интервали, където функцията е положителна, т.е. f (x) > 0 - сегменти от абсцисната ос, които съответстват на точките от графиката на функцията, които лежат над абсцисната ос.

f(x) > 0 включено (x_(1); x_(2)) \чаша (x_(3); +\infty)

Пропуски, при които функцията е отрицателна, т.е. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \чаша (x_(2); x_(3))

Ограничение на функцията

ограничен отдолуобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число A, за което неравенството f(x) \geq A е валидно за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1+x^(2)), тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за всяко x .

ограничен отгорефункция y=f(x), x \in X се извиква, ако съществува число B, за което неравенството f(x) \neq B е в сила за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за всяко x \in [-1;1] .

Ограниченобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число K > 0, за което неравенството \left | f(x) \right | \neq K за всяко x \in X .

Пример за ограничена функция: y=\sin x е ограничена на цялата числова ос, защото \ляво | \sin x \right | \neq 1.

Нарастваща и намаляваща функция

Прието е да се говори за функция, която нараства на разглеждания интервал като увеличаваща се функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-голяма стойност на функцията y=f(x) . От тук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Извиква се функция, която намалява на разглеждания интервал намаляваща функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-малка стойност на функцията y(x) . От тук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Функционални корениобичайно е да се назовават точките, в които функцията F=y(x) пресича абсцисната ос (те се получават в резултат на решаване на уравнението y(x)=0 ).

а) Ако четна функция расте при x > 0, тогава тя намалява при x< 0

б) Когато четна функция намалява за x > 0, тогава тя нараства за x< 0

в) Когато нечетна функция расте за x > 0, тогава тя също нараства за x< 0

г) Когато нечетна функция намалява за x > 0, тогава тя също ще намалява за x< 0

Функционални крайности

Функционална минимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), а за тях тогава неравенството f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - обозначение на функцията в точката min.

Функционална максимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), и тогава неравенството f(x) ще бъдат доволни за тях< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимо условие

Според теоремата на Ферма: f"(x)=0, тогава когато функцията f(x) , която е диференцируема в точката x_(0) , в тази точка ще се появи екстремум.

Достатъчно условие

1. Когато знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава x_(0) ще бъде минималната точка;
2. x_(0) - ще бъде максимална точка само когато производната промени знака от минус на плюс при преминаване през стационарната точка x_(0) .

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала

Стъпки на изчисление:

1. Търси се производна f"(x) ;
2. Намират се стационарни и критични точки на функцията и се избират принадлежащите към интервала;
3. Стойностите на функцията f(x) се намират в стационарните и критичните точки и краищата на сегмента. Най-малкият от резултатите ще бъде най-малката стойност на функцията, и още - най велик.

функцияе една от най-важните математически концепции. Функция - променлива зависимост приот променлива х, ако всяка стойност хсъответства на една единствена стойност при. променлива хнаречена независима променлива или аргумент. променлива принаречена зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива х) образуват областта на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива приема (променлива г), формират диапазона на функцията.

Функционална графиканаричат ​​множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абсциси са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията, т.е. стойностите на променливите се нанасят по абсцисната ос х, а стойностите на променливата са нанесени по оста y г. За да начертаете функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат разгледани по-долу!

За да начертаете графика на функция, препоръчваме да използвате нашата програма - Graphing Functions Online. Ако имате някакви въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете на нашия форум. Също така във форума ще ви помогнат да решите задачи по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други теми!

Основни свойства на функциите.

1) Функционален обхват и функционален диапазон.

Обхватът на функцията е наборът от всички валидни валидни стойности на аргумента х(променлива х), за която функцията y = f(x)дефинирани.
Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности гче функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.

2) Функционални нули.

Стойности х, при което y=0, е наречен функционални нули. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста x.

3) Интервали на знакопостоянство на функция.

Интервалите на знакопостоянство на функция са такива интервали от стойности х, на които стойностите на функцията гнаричат ​​се или само положителни, или само отрицателни интервали на знакопостоянство на функцията.

4) Монотонност на функцията.

Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция (в някакъв интервал) - функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.

5) Четни (нечетни) функции.

Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко х f(-x) = f(x). Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y.

Нечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всеки хот областта на дефиницията равенството f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Равномерна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична по отношение на точката (0; 0), т.е. ако точката апринадлежи към домейна на дефиницията, тогава точката -асъщо принадлежи към областта на дефиницията.
2) За произволна стойност х f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.

странна функцияима следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за произволна стойност х, което принадлежи към областта на дефиницията, равенството f(-x)=-f(x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).

Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изгледне са нито четни, нито нечетни.

6) Ограничени и неограничени функции.

Една функция се нарича ограничена, ако съществува положително число M, такова че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x . Ако няма такова число, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията.

Функция f(x) е периодична, ако съществува ненулево число T, така че за всяко x от домейна на функцията, f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

функция fсе нарича периодичен, ако съществува число, такова че за всяко хот областта на дефиницията равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tе периодът на функцията.

Всяка периодична функция има безкраен брой периоди. На практика обикновено се взема предвид най-малкият положителен период.

Стойностите на периодичната функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при изчертаване на графики.