успех 

Как да намерите най-малкото кратно на число. Как да намерим най-малкото общо кратно, но за две или повече числа


Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM – най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това помислете за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числата в прости фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM от три или повече числа, а също така ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо множество се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126, b=70. Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа според написаната формула.

Намерете gcd(126, 70) с помощта на алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

Като 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за положителни цели числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата в прости фактори. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разложенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширенията на числата a и b. От своя страна gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числата в прости фактори ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички фактори на тези разложения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички фактори, които присъстват както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (такива фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 в прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека да разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от това произведение всички фактори, които присъстват едновременно и в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата в прости множители може да бъде формулирано малко по-различно. Ако добавим липсващите фактори от разширяването на числото b към факторите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, техните разложения в прости множители са както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към факторите 3, 5 и 5 от разширението на числото 75, добавяме липсващите фактори 2 и 7 от разширението на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към факторите 2 , 2 , 3 и 7 от разширението на числото 84 добавяме липсващите фактори 2 , 3 , 3 и 3 от разширението на числото 648 , получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7 , което е равно на 4 536 . По този начин желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4,536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM от три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Припомнете си съответната теорема, която дава начин за намиране на LCM от три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k от тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Помислете за приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки евклидовия алгоритъм, определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно, gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18, откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 = 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно, gcd(3 780, 250)=10 , откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 = 94 500.

Така най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа удобно се намира с помощта на прости фактори на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите фактори от разлагането на второто число се добавят към всички фактори от разширението на първото число, липсващите фактори от разширението на третото число се добавя към получените фактори и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно с помощта на разлагането на числата на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Първо получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към коефициентите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разширението на второто число 6 . Разширението на числото 6 не съдържа липсващи фактори, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разширението на първото число 84 . Освен факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разлагането на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разширението на числото 143. Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

Най-големият общ делител и най-малкото общо кратно са ключови аритметични понятия, които ви позволяват лесно да работите с обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.

Основни понятия

Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например, делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цялото число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.

За всяка двойка числа можем да намерим общите им делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че при изчисленията се използват най-големият делител на GCD и най-малкото кратно на LCM .

Най-малкият делител няма смисъл, тъй като за всяко число той винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни клони към безкрайност.

Намиране на GCD

Има много методи за намиране на най-големия общ делител, най-известните от които са:

  • последователно изброяване на делителите, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
  • разлагане на числата на неделими множители;
  • алгоритъм на Евклид;
  • двоичен алгоритъм.

Днес в образователните институции най-популярните методи за разлагане на прости фактори и евклидовия алгоритъм. Последното от своя страна се използва при решаването на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разрешаването му в цели числа.

Намиране на NOC

Най-малкото общо кратно също се определя точно чрез изброяване или разлагане на неделими фактори. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y LCM и GCD са свързани чрез следната връзка:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Например, ако gcd(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидната употреба на LCM е да се намери общият знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.

Взаимно прости числа

Ако двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимно проста. GCM за такива двойки винаги е равен на единица и въз основа на връзката на делителите и кратните, GCM за взаимно простите е равен на тяхното произведение. Например числата 25 и 28 са взаимно прости, тъй като нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на тяхното произведение. Всякакви две неделими числа винаги ще бъдат взаимно прости.

Общ делител и множествен калкулатор

С нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачите за изчисляване на общи делители и кратни се намират в аритметиката на 5 и 6 клас, но GCD и LCM са ключовите понятия на математиката и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.

Примери от реалния живот

Общ знаменател на дроби

Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Нека в аритметична задача се изисква да се сумират 5 дроби:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да добавите дроби, изразът трябва да бъде сведен до общ знаменател, което се свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателя в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка фракция, които се определят като отношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Можем лесно да добавим такива дроби и да получим резултата под формата на 159/360. Намаляваме дроба с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.

Решение на линейни диофантови уравнения

Линейните диофантови уравнения са изрази от вида ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения за възможността за целочислено решение. Първо, проверете уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме gcd (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно, уравнението няма цели числа.

Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите gcd(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовият коефициент е равен на коефициента в e .

Заключение

GCD и LCM играят важна роля в теорията на числата, а самите понятия се използват широко в различни области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малките кратни на произволен брой числа.

Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо множество, определение, примери. В тази тема ще разгледаме начините за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека се научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека да разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Пример 1

Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.

Решение

Да вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Намира GCD на числата 70 и 126. За това ни е необходим алгоритъмът на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Отговор: LCM (126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете ноктите на числата 68 и 34.

Решение

GCD в този случай е лесно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата в прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

  • съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
  • изключваме всички основни фактори от получените продукти;
  • произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) . Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай GCD на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно във факторизацията на тези две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички фактори на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим факторите, общи за числата 3 и 5, получаваме произведение от следния вид: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 и 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .

Произведението на всички фактори, участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите фактори. Това число е 7. Изключваме го от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че НОК (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Отговор: LCM (441, 700) = 44 100 .

Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

  • Нека разложим двете числа на прости множители:
  • добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
  • получаваме произведението, което ще бъде желаният LCM от две числа.

Пример 5

Нека се върнем към числата 75 и 210 , за които вече потърсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Към произведението на фактори 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите фактори 2 и 7 числа 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7и 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на факторите 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Отговор: LCM (84, 648) = 4536.

Намиране на LCM от три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: ние постоянно ще намираме LCM от две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК м кот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Сега нека разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Нека представим обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме алгоритъма на Евклид, за да изчислим GCD на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .

Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . Действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по другия път.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действия:

  • разлагам всички числа на прости множители;
  • към произведението на факторите от първото число добавете липсващите фактори от произведението на второто число;
  • добавете липсващите фактори на третото число към произведението, получено на предишния етап и т.н.;
  • полученият продукт ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Необходимо е да се намери LCM на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости фактори. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега да вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и да добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези фактори вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да събираме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на простите множители на което вземаме 2 и 2. След това добавяме прост фактор 7 от четвъртото число и множители 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.

Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо множество отрицателни числа

За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателните числа, тези числа трябва първо да се заменят с числа с противоположен знак и след това изчисленията трябва да се извършат съгласно горните алгоритми.

Пример 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Такива действия са допустими поради факта, че ако е прието, че аи − а- противоположни числа
след това множеството кратни асъвпада с множеството кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателните числа − 145 и − 45 .

Решение

Нека променим числата − 145 и − 45 към техните противоположни числа 145 и 45 . Сега, използвайки алгоритъма, изчисляваме LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като предварително сме определили GCD с помощта на алгоритъма на Евклид.

Получаваме, че LCM на числа − 145 и − 45 се равнява 1 305 .

Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели (за 12 е 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числа. Делител на естествено число ае естественото число, което дели даденото число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два фактора композитен .

Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аи бе числото, на което и двете дадени числа се делят без остатък аи б.

общо кратноняколко числа се нарича числото, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички jcommon кратни винаги има най-малкото, в този случай е 90. Това число се нарича най-малкотообщо кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да бъде по-голямо от най-голямото от числата, за които е определено.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

комутативност:

асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа , тогава:

Най-малко общо кратно на две цели числа ми не делител на всички други общи кратни ми н. Освен това наборът от общи кратни m,nсъвпада с набора от кратни за LCM( m,n).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретико-числови функции.

Така, функция на Чебишев. Както и:

Това следва от определението и свойствата на функцията Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределението на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

NOC( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа в прости множители:

където p 1 ,...,p kса различни прости числа и d 1 ,...,dkи e 1 ,...,ekса неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нула, ако съответното просто число не е в разширението).

След това LCM ( а,б) се изчислява по формулата:

С други думи, LCM декомпозицията съдържа всички прости фактори, които се появяват в поне едно от декомпозиции на числа а, б, като се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

Правило.За да намерите LCM на серия от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение към факторите на желания продукт (продуктът на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете фактори от разширението на други числа, които не се срещат в първото число или са в него по-малък брой пъти;

- полученият продукт от прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всякакви две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат едни и същи множители в разширението, тогава тяхното LCM е равно на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с коефициент 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 бяха допълнени с коефициент 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), на което всички дадени числа са кратни.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че тяхното LCM е равно на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на простите числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, ви трябва:

1) представят всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете мощностите на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разложения на тези числа;

5) умножете тези мощности.

Пример. Намерете LCM на числа: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Изписваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно простиако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.

Най-голям общ делител (GCD)може да се намери без изписване на всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме тези, които не са включени в разширението на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Техният продукт е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Открива се и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, изтрийте тези, които не са включени в разширението на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например, най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като дели всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратни на тези числа в ред. За да направите това, разлагаме 75 и 60 на прости фактори: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Изписваме факторите, включени в разширението на първото от тези числа, и добавяме към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (тоест комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чието произведение е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Намерете също най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на прости множители;
2) напишете коефициентите, включени в разширението на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Имайте предвид, че ако едно от тези числа се дели на всички останали числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например, най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сбора от всички негови делители (без самото число), те наричат ​​перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 перфектни числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото перфектно число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части от редицата те са повече, в други - по-малко. Но колкото повече се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр.н.е.) в книгата си „Началата“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число има четно число по-голямо просто число.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това зачеркна единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това зачеркна през едно всички числа след 2 (числа, които са кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и др.). Първото оставащо число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха зачертани (числа, които са кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). в крайна сметка само простите числа останаха незачертани.