Как да намерите площта на ромба и ъглите. Четири формули за изчисляване на площта на ромб. Свойства на ромб

е успоредник с равни страни.

Ромб с прави ъгли се нарича квадрат и се счита за специален случай на ромб. Можете да намерите площта на ромба по различни начини, като използвате всички негови елементи - страни, диагонали, височина. Класическата формула за площта на ромба е изчисляването на стойността чрез височината.

Пример за изчисляване на площта на ромб с помощта на тази формула е много прост. Просто трябва да включите данните и да изчислите площта.

Площ на ромб по диагонали

Диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл и се разполовяват в точката на пресичане.

Формулата за площта на ромба по отношение на диагоналите е произведението на неговите диагонали, разделено на 2.

Помислете за пример за изчисляване на площта на ромб чрез диагонали. Нека е даден ромб с диагонали
d1 =5 cm и d2 =4. Да намерим района.

Формулата за площта на ромба през страните също предполага използването на други елементи. Ако кръгът е вписан в ромб, тогава площта на фигурата може да се изчисли от страните и нейния радиус:

Пример за изчисляване на площта на ромб през страните също е доста прост. Необходимо е само да се изчисли радиуса на вписаната окръжност. Може да се изведе от Питагоровата теорема и от формулата.

Площи на ромб през страна и ъгъл

Формулата за площта на ромба през страна и ъгъл се използва много често.

Помислете за пример за изчисляване на площта на ромб през страна и ъгъл.

Задача:Даден е ромб, чиито диагонали са d1 =4 см,d2 =6 см. Острият ъгъл е α = 30°. Намерете площта на фигурата, дадена от страната и ъгъла.
Първо, нека намерим страната на ромба. За това използваме Питагоровата теорема. Знаем, че в точката на пресичане диагоналите се разполовяват и образуват прав ъгъл. Следователно:
Заменете стойностите:
Сега знаем страната и ъгъла. Да намерим областта:

В училищния курс по геометрия, сред основните задачи, значително внимание се отделя на примерите изчисляване на площта и периметъра на ромб.Спомнете си, че ромбът принадлежи към отделен клас четириъгълници и се откроява сред тях с равни страни. Ромбът също е специален случай на успоредник, ако последният има всички страни равни на AB=BC=CD=AD. По-долу има снимка, която показва ромб.

Свойства на ромб

Тъй като ромбът заема определена част от паралелограмите, свойствата в тях ще бъдат подобни.

Противоположните ъгли на ромб и успоредник са равни.
Сумата от ъглите на ромб, съседни на едната страна, е 180°.
Диагоналите на ромба се пресичат под ъгъл 90 градуса.
Диагоналите на ромба са същевременно ъглополовящи на неговите ъгли.
Диагоналите на ромба в точката на пресичане са разделени наполовина.

Знаци на ромб

Всички признаци на ромба произтичат от неговите свойства и помагат да се разграничи от четириъгълници, правоъгълници, успоредници.

Успоредник, чиито диагонали се пресичат под прав ъгъл, е ромб.
Успоредник, чиито диагонали са ъглополовящи, е ромб.
Успоредник с равни страни е ромб.
Четириъгълник с равни страни е ромб.
Четириъгълник, чиито диагонали са ъглополовящи и се пресичат под прав ъгъл, е ромб.
Успоредник с равни височини е ромб.

Формулата за периметъра на ромб

По дефиниция периметърът е равен на сбора от всички страни. Тъй като в ромба всички страни са равни, тогава неговият периметър се изчислява по формулата

Периметърът се изчислява в единици дължина.

Радиус на окръжност, вписана в ромб

Един от често срещаните проблеми при изучаването на ромб е намирането на радиуса или диаметъра на вписан кръг. Фигурата по-долу показва някои от често срещаните формули за радиуса на вписана окръжност в ромб.

Първата формула показва, че радиусът на окръжност, вписана в ромб, е равен на произведението на диагоналите, разделено на сумата от всички страни (4а).

Друга формула показва, че радиусът на окръжност, вписана в ромб, е равен на половината от височината на ромба

Втората формула на фигурата е модификация на първата и се използва при изчисляване на радиуса на окръжност, вписана в ромб, когато са известни диагоналите на ромба, тоест неизвестните страни.

Третата формула за радиуса на вписаната окръжност всъщност намира половината от височината на малкия триъгълник, образуван от пресечната точка на диагоналите.

Сред по-малко популярните формули за изчисляване на радиуса на окръжност, вписана в ромб, може да се цитира и следната

тук D е диагоналът на ромба, алфа е ъгълът, който пресича диагонала.

Ако площта (S) на ромба и стойността на острия ъгъл (алфа) са известни, тогава за да изчислите радиуса на вписания кръг, трябва да намерите корен квадратен от една четвърт от произведението на площта и синус на острия ъгъл:

От горните формули можете лесно да намерите радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако има необходимия набор от данни в условията на примера.

Формула за площта на ромба

Формулите за изчисляване на площта са показани на фигурата.

Най-простият се получава като сбор от площите на два триъгълника, на които диагоналът разделя ромба.

Втората формула за площ се прилага за задачи, в които са известни диагоналите на ромб. Тогава площта на ромба е половината от произведението на диагоналите

Той е достатъчно прост за запомняне, а също и за изчисления.

Формулата за третата площ има смисъл, когато ъгълът между страните е известен. Според него площта на ромба е равна на произведението на квадрата на страната и синуса на ъгъла. Няма значение дали е остър или не, тъй като синусът на двата ъгъла приема една и съща стойност.

Геометрична област- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворен контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

Формула за площ на триъгълник за страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
Формулата за площта на триъгълник с три страни и радиуса на описаната окръжност
Формулата за площта на триъгълник с три страни и радиус на вписан кръг
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.

Формули за квадратна площ

Формулата за площта на квадрат, дадена дължината на страната
квадратна площе равно на квадрата на дължината на неговата страна.
Формулата за площта на квадрат с дължината на диагонала
квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
S= 1 2
2

Формула за площ на правоъгълник

Правоъгълна площ

Формули за площта на успоредник

Формула за площ на паралелограма за дължина и височина на страната
Площ на паралелограма
Формулата за площта на успоредник с две страни и ъгъл между тях
Площ на паралелограмае равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.
a b sinα

Формули за площта на ромба

Формула за площ на ромб, дадена дължина и височина на страната
Област на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
Формулата за площта на ромб, дадена дължината на страната и ъгъла
Област на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
Формулата за площта на ромб от дължините на неговите диагонали
Област на ромбе равно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.

Формули за площ на трапец

Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължината на основите на трапеца,
- дължината на страните на трапеца,

Ромбът е специален случай на успоредник. Това е плоска четириъгълна фигура, в която всички страни са равни. Това свойство определя, че ромбовете имат успоредни противоположни страни и равни противоположни ъгли. Диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, точката на тяхното пресичане е в средата на всеки диагонал, а ъглите, от които излизат, са разделени наполовина. Тоест, те са диагоналите на ромба и са ъглополовящи на ъглите. Въз основа на горните определения и изброените свойства на ромбите, тяхната площ може да се определи по различни начини.

1. Ако и двата диагонала на ромба AC и BD са известни, тогава площта на ромба може да се определи като половината от произведението на диагоналите.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

където AC, BD са дължините на диагоналите на ромба.

За да разберете защо това е така, можете мислено да впишете правоъгълник в ромб по такъв начин, че страните на последния да са перпендикулярни на диагоналите на ромба. Става очевидно, че площта на ромба ще бъде равна на половината от площта на правоъгълника, вписан по този начин в ромба, чиято дължина и ширина ще съответстват на размера на диагоналите на ромба.

2. По аналогия с паралелепипед, площта на ромба може да се намери като продукт на неговата страна, от височината на перпендикуляра от противоположната страна, спусната към дадената страна.

S = а ∙ ч

където a е страната на ромба;
h е височината на перпендикуляра, пуснат на дадената страна.

3. Площта на ромба също е равна на квадрата на неговата страна, умножен по синуса на ъгъла α.

S = a2 ∙ грях α

където a е страната на ромба;
α е ъгълът между страните.

4. Също така площта на ромба може да се намери през неговата страна и радиуса на вписания в него кръг.

S=2 ∙ а ∙ r

където a е страната на ромба;
r е радиусът на окръжността, вписана в ромба.

Интересни факти
Думата ромб произлиза от старогръцката rombus, което означава "тамбурин". В онези дни тамбурите наистина имаха форма на диамант, а не кръгли, както сме свикнали да ги виждаме в момента. Оттогава се появи и името на боята на картите "тамбурин". Ромбите от различни видове се използват много широко в хералдиката.

Ромбът (от старогръцки ῥόμβος и от латински rombus „тамбурин“) е успоредник, който се характеризира с наличието на страни с еднаква дължина. В случай, че ъглите са 90 градуса (или прав ъгъл), такава геометрична фигура се нарича квадрат. Ромбът е геометрична фигура, вид четириъгълници. Може да бъде както квадрат, така и успоредник.

Произход на термина

Нека поговорим малко за историята на тази фигура, която ще ви помогне да разкриете малко мистериозните тайни на древния свят. Познатата за нас дума, често срещана в училищната литература, „ромб“, произлиза от старогръцката дума „тамбурин“. В древна Гърция тези музикални инструменти са направени под формата на ромб или квадрат (за разлика от съвременните тела). Със сигурност сте забелязали, че костюмът на картата - тамбурина - има ромбична форма. Формирането на този костюм датира от дните, когато кръглите диаманти не са били използвани в ежедневието. Следователно ромбът е най-старата историческа фигура, която е изобретена от човечеството много преди появата на колелото.

За първи път такава дума като "ромб" е използвана от такива известни личности като Херон и папата на Александрия.

Свойства на ромб

Тъй като страните на ромба са срещуположни една на друга и са по двойки успоредни, ромбът несъмнено е успоредник (AB || CD, AD || BC).
Ромбичните диагонали се пресичат под прав ъгъл (AC ⊥ BD) и следователно са перпендикулярни. Следователно пресечната точка разполовява диагоналите.
Симетралите на ромбичните ъгли са диагоналите на ромба (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т.н.).
От идентичността на паралелограмите следва, че сумата от всички квадрати на диагоналите на ромб е числото на квадрата на страната, който се умножава по 4.

Знаци на ромб

Ромбът в тези случаи е успоредник, когато отговаря на следните условия:

Всички страни на успоредник са равни.
Диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, т.е. те са перпендикулярни един на друг (AC⊥BD). Това доказва правилото на трите страни (страните са равни и са под ъгъл 90 градуса).
Диагоналите на успоредник споделят ъглите еднакво, тъй като страните са равни.

Област на ромб

Площта на ромба е равна на числото, което е половината от произведението на всичките му диагонали.
Тъй като ромбът е вид успоредник, площта на ромба (S) е числото на произведението на страната на успоредника и неговата височина (h).
В допълнение, площта на ромба може да се изчисли с помощта на формулата, която е продуктът на квадратната страна на ромба и синуса на ъгъла. Синусът на ъгъла е алфа - ъгълът между страните на оригиналния ромб.
Формула, която е продукт на удвоения ъгъл алфа и радиуса на вписаната окръжност (r), се счита за напълно приемлива за правилното решение.