крайна аритметична прогресия. Как да намерите разликата на аритметична прогресия: формули и примери за решения

Аритметична прогресиянаименувайте поредица от числа (членове на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средното аритметично на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на прогресията е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Чрез това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също чрез свойството на аритметичната прогресия горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сумиране ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е да се намери сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

По този теоретичен материалзавършва и преминаваме към решаване на общи практически проблеми.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресия

от добре позната формуланамерете четиридесетия член на прогресията

Пример2. Аритметична прогресиясе дава от неговия трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Изваждаме първото уравнение от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първият член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

Без прилагане на сложни изчисления намерихме всички необходими стойности.

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сборът на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Правене на опростявания

и реши квадратно уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата на прогресията

Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член на числовата редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича "нарастваща".

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за вас :)

Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: СООООО!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и веднага ще се заема с работата.

Като начало, няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елемент се различава от предходния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко едно повече от предишното. Във втория случай разликата между съседни числа вече е равна на пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай има корени като цяло. Въпреки това, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, докато $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. в който случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $\sqrt(2)$ (и не се плашете, че това число е ирационално).

И така: всички такива последователности се наричат просто аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в която всяко следващо се различава от предходното с абсолютно същата стойност, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която се различават числата, се нарича прогресивна разлика и най-често се обозначава с буквата $d$.

Нотация: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресия, $d$ е нейната разлика.

И само няколко важни забележки. Първо, разглежда се само прогресията подреденпоследователност от числа: разрешено е да се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате или разменяте числата.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо като (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточието след четирите, така да се каже, подсказва, че доста числа отиват по-далеч. Безкрайно много например. :)

Бих искал също да отбележа, че прогресиите се увеличават и намаляват. Вече видяхме нарастващи - един и същи набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето примери за намаляващи прогресии:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалото, мисля, разбирате. Затова въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметична прогресия се нарича:

нараства, ако всеки следващ елемент е по-голям от предходния;

намаляващ, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените "стационарни" последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие тук всичко зависи само от знака на числото $d$, т.е. разлики в прогресията:

Ако $d \gt 0$, тогава прогресията нараства;
Ако $d \lt 0$, тогава прогресията очевидно намалява;
И накрая, има случай $d=0$ — в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $d$ за трите намаляващи прогресии по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите от числото отдясно числото отляво. Ще изглежда така:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Както можете да видите, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви свойства притежават.

Членове на прогресията и рекурентната формула

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат разменени, те могат да бъдат номерирани:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \точно$\]

Индивидуалните елементи на това множество се наричат членове на прогресията. Те се обозначават по този начин с помощта на число: първият член, вторият член и т.н.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани по формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Дясна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да намерите $n$-тия член на прогресията, трябва да знаете $n-1$-ия член и разликата $d$. Такава формула се нарича повтаряща се, защото с нейна помощ можете да намерите всяко число, като знаете само предишното (и всъщност всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всяко изчисление до първия член и разликата:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Вероятно вече сте срещали тази формула. Обичат да го дават във всякакви справочници и решебници. И във всеки разумен учебник по математика той е един от първите.

Предлагам ви обаче да практикувате малко.

Задача номер 1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. И така, знаем първия член $((a)_(1))=8$ и прогресивната разлика $d=-5$. Нека използваме току-що дадената формула и заместваме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: (8; 3; -2)

Това е всичко! Имайте предвид, че нашата прогресия намалява.

Разбира се, $n=1$ не може да бъде заменено - вече знаем първия член. Въпреки това, като заменихме единицата, ние се уверихме, че дори за първия член нашата формула работи. В други случаи всичко се свеждаше до банална аритметика.

Задача номер 2. Напишете първите три члена на аритметична прогресия, ако седмият член е −40, а седемнадесетият член е −50.

Решение. Пишем условието на проблема с обичайните термини:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \право.\]

Слагам знака на системата, защото тези изисквания трябва да се изпълняват едновременно. И сега отбелязваме, че ако извадим първото уравнение от второто уравнение (имаме право да направим това, защото имаме система), получаваме това:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \край (подравняване)\]

Точно така открихме разликата в прогресията! Остава да замените намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \край (матрица)\]

Сега, знаейки първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \край (подравняване)\]

Готов! Проблема решен.

Отговор: (-34; -35; -36)

Забележете едно любопитно свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $n$-тия и $m$-тия член и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, умножена по числото $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми с прогресията. Ето един отличен пример за това:

Задача номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и трябва да намерим $((a)_(15))$, отбелязваме следното:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \край (подравняване)\]

Но по условие $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, така че $5d=6$, откъдето имаме:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Не беше необходимо да съставяме никакви системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само в няколко реда.

Сега нека разгледаме друг вид проблем - търсенето на отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличава, докато първият й член е отрицателен, тогава рано или късно в нея ще се появят положителни членове. И обратното: условията на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време далеч не винаги е възможно да се намери този момент „на челото“, последователно сортирайки елементите. Често задачите са проектирани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова ще се опитаме да разрешим тези проблеми по по-бърз начин.

Задача номер 4. Колко отрицателни членове в аритметична прогресия -38,5; -35,8; …?

Решение. И така, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, от което веднага намираме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Въпросът е само кога ще стане това.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до какво естествено число $n$) се запазва отрицателността на членовете:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \вдясно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Стрелка надясно ((n)_(\max ))=15. \\ \край (подравняване)\]

Последният ред се нуждае от пояснение. Така че знаем, че $n \lt 15\frac(7)(27)$. От друга страна, само целите стойности на числото ще ни подхождат (още повече: $n\in \mathbb(N)$), така че най-голямото допустимо число е именно $n=15$ и в никакъв случай 16.

Задача номер 5. В аритметична прогресия $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Намерете номера на първия положителен член от тази прогресия.

Това би бил точно същият проблем като предишния, но не знаем $((a)_(1))$. Но съседните термини са известни: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така че можем лесно да намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петия член по отношение на първия и разликата, използвайки стандартната формула:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \край (подравняване)\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Откриваме в кой момент от нашата последователност ще се появят положителни числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Дясна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \край (подравняване)\]

Минималното цяло число решение на това неравенство е числото 56.

Моля, имайте предвид, че в последната задача всичко беше сведено до строго неравенство, така че опцията $n=55$ няма да ни подхожда.

Сега, след като се научихме как да решаваме прости задачи, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека научим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което ще ни спести много време и неравни клетки в бъдеще. :)

Средно аритметично и равни отстъпи

Помислете за няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$. Нека се опитаме да ги отбележим на числова ос:

Членове на аритметичната прогресия на числовата ос

Специално отбелязах произволните членове $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не всеки $((a)_(1)), \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ и т.н. Защото правилото, което сега ще ви кажа, работи по един и същ начин за всякакви „сегменти“.

А правилото е много просто. Нека си припомним рекурсивната формула и я запишем за всички маркирани членове:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \край (подравняване)\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \край (подравняване)\]

Е, какво от това? Но фактът, че термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на същото разстояние от $((a)_(n)) $ . И това разстояние е равно на $d$. Същото може да се каже и за термините $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - те също са премахнати от $((a)_(n) )$ на същото разстояние, равно на $2d$. Можете да продължите безкрайно, но снимката добре илюстрира смисъла

Членовете на прогресията лежат на еднакво разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $((a)_(n))$, ако съседните числа са известни:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Изведехме великолепно твърдение: всеки член на аритметична прогресия е равен на средноаритметичното на съседните членове! Освен това можем да се отклоняваме от нашия $((a)_(n))$ наляво и надясно не с една стъпка, а с $k$ стъпки — и въпреки това формулата ще бъде правилна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тези. можем лесно да намерим някои $((a)_(150))$, ако знаем $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, защото $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са специално "заточени" за използването на средноаритметичното. Погледни:

Задача номер 6. Намерете всички стойности на $x$, така че числата $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ да са последователни членове на аритметична прогресия (в определен ред).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, условието за средно аритметично за тях е изпълнено: централният елемент $x+1$ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \край (подравняване)\]

Резултатът е класическо квадратно уравнение. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ са отговорите.

Отговор: -3; 2.

Задача номер 7. Намерете стойностите на $$, така че числата $-1;4-3;(()^(2))+1$ да образуват аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния член по отношение на средната аритметична стойност на съседните членове:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\вдясно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \край (подравняване)\]

Още едно квадратно уравнение. И отново два корена: $x=6$ и $x=1$.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на задача получите някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има чудесен трик, който ви позволява да проверите: правилно ли решихме проблема?

Да кажем, че в задача 6 имаме отговори -3 и 2. Как можем да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$, които трябва да образуват аритметична прогресия. Заместете $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \край (подравняване)\]

Получихме числата -54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и за $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \край (подравняване)\]

Отново прогресия, но с разлика 27. Така задачата е решена правилно. Желаещите могат сами да проверят втората задача, но веднага ще кажа: и там всичко е правилно.

Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, който също трябва да се помни:

Ако три числа са такива, че второто е средната стойност на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на условието на проблема. Но преди да се заемем с подобна "конструкция", трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече разгледаното.

Групиране и сбор от елементи

Нека се върнем отново към числовата ос. Отбелязваме там няколко члена на прогресията, между които може би. струва много други членове:

6 елемента, отбелязани на числовата ос

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ чрез $((a)_(n))$ и $d$, а „дясната опашка“ чрез $((a)_(k))$ и $ d$. Много е просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \край (подравняване)\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= С; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \край (подравняване)\]

Казано по-просто, ако разгледаме като начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $S$, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно, за да се отдалечим), тогава сумите на елементите, на които ще се натъкнем също ще бъдат равни$S$. Това може да бъде представено най-добре графично:

Еднаквите тирета дават равни суми

Разбирането на този факт ще ни позволи да решаваме проблеми с фундаментално по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например тези:

Задача номер 8. Определете разликата на аритметична прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.

Решение. Нека запишем всичко, което знаем:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \край (подравняване)\]

Така че не знаем разликата на прогресията $d$. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да бъде пренаписан както следва:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \край (подравняване)\]

За тези в резервоара: извадих общия множител 11 от втората скоба. Така желаният продукт е квадратична функция по отношение на променливата $d$. Следователно, разгледайте функцията $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, т.к. ако отворим скобите, получаваме:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Както можете да видите, коефициентът с най-висок член е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с разклонения нагоре:

графика на квадратна функция – парабола
Моля, обърнете внимание: тази парабола приема минималната си стойност в своя връх с абсцисата $((d)_(0))$. Разбира се, можем да изчислим тази абциса по стандартната схема (има формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било много по-разумно да имайте предвид, че желаният връх лежи върху осесиметрията на параболата, така че точката $((d)_(0))$ е на еднакво разстояние от корените на уравнението $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \край (подравняване)\]

Ето защо не бързах да отварям скобите: в оригиналната форма корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичното на числата −66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Какво ни дава откритото число? При него исканият продукт приема най-малката стойност (между другото, ние не сме изчислили $((y)_(\min ))$ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: -36

Задача номер 9. Поставете три числа между числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ така, че заедно с дадените числа да образуват аритметична прогресия.

Решение. Всъщност трябва да направим поредица от пет числа, като първото и последното число вече са известни. Означете липсващите числа с променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Обърнете внимание, че числото $y$ е "средата" на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $x$ и $z$ и от числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1)( 6)$. И ако в момента не можем да получим $y$ от числата $x$ и $z$, то ситуацията е различна с краищата на прогресията. Запомнете средното аритметично:

Сега, знаейки $y$, ще намерим останалите числа. Имайте предвид, че $x$ се намира между $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ току-що намерени. Ето защо

Разсъждавайки по подобен начин, намираме оставащото число:

Готов! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача номер 10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с дадените числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сборът на първото, второто и последното от въведените числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава по същия начин като предходните - чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем точно колко числа да вмъкнем. Затова за категоричност приемаме, че след вмъкването ще има точно $n$ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да се представи като:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Обърнете внимание обаче, че числата $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се получават от числата 2 и 42, стоящи в краищата на една стъпка едно към друго , т.е. към центъра на последователността. И това означава, че

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Но тогава горният израз може да бъде пренаписан така:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \край (подравняване)\]

Познавайки $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, можем лесно да намерим разликата в прогресията:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Дясна стрелка d=5. \\ \край (подравняване)\]

Остава само да намерите останалите членове:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \край (подравняване)\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на редицата - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко относително прости проблема. Ами простичко: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са прочели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като жест. Въпреки това, точно такива задачи се срещат в OGE и USE по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача номер 11. Екипът е произвел 62 части през януари, като през всеки следващ месец са произвели по 14 части повече от предходния. Колко части е произвела бригадата през ноември?

Решение. Очевидно броят на частите, боядисани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача номер 12. През януари книговезката работилница е подвързала 216 книги, като всеки месец е подвързвала с 4 книги повече от предходния месец. Колко книги подвърза работилницата през декември?

Решение. Все същото:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Декември е последният, 12-ти месец на годината, така че търсим $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Това е отговорът – през декември ще бъдат подвързани 260 книги.

Е, ако сте прочели дотук, бързам да ви поздравя: завършихте успешно „курса за млад боец“ по аритметични прогресии. Спокойно можем да преминем към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сумата на прогресията, както и важни и много полезни следствия от нея.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде както произволна, така и да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: Определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) … a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметична прогресия, според дефиницията си е последователност, в която a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Стойността на d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) - a(j-1).

Разпределете:

Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разлика на прогресията и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за тази последователност може да се установи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, така че d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Разликата в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестната стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите му j елемента, използвайте съответната формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Инструкция

Аритметичната прогресия е последователност от формата a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Номер d стъпка прогресии.Очевидно общата сума на произволен n-ти член от аритметиката прогресииима формата: An = A1+(n-1)d. Тогава познаването на един от членовете прогресии, член прогресиии стъпка прогресии, може да бъде , тоест номерът на члена на прогресията. Очевидно тя ще се определя по формулата n = (An-A1+d)/d.

Нека m-тият член е известен сега прогресиии някой друг член прогресии- n-ти, но n , както в предишен случай, но се знае, че n и m не съвпадат.Стъпка прогресииможе да се изчисли по формулата: d = (An-Am)/(n-m). Тогава n = (An-Am+md)/d.

Ако сумата от няколко елемента на една аритметика прогресии, както и неговият първи и последен , тогава може да се определи и броят на тези елементи.Сборът на аритметиката прогресиище бъде равно на: S = ((A1+An)/2)n. Тогава n = 2S/(A1+An) са чденови прогресии. Използвайки факта, че An = A1+(n-1)d, тази формула може да бъде пренаписана като: n = 2S/(2A1+(n-1)d). От това може да се изрази n чрез решаване на квадратно уравнение.

Аритметичната последователност е такъв подреден набор от числа, всеки член на който, с изключение на първия, се различава от предходния с една и съща сума. Тази константа се нарича разлика на прогресията или нейната стъпка и може да се изчисли от известните членове на аритметичната прогресия.

Инструкция

Ако стойностите на първия и втория или всяка друга двойка съседни термини са известни от условията на проблема, за да изчислите разликата (d), просто извадете предишния член от следващия термин. Получената стойност може да бъде положителна или отрицателно число- зависи от това дали прогресията се увеличава. AT обща форманапишете решението за произволна двойка (aᵢ и aᵢ₊₁) от съседни членове на прогресията, както следва: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

За двойка членове на такава прогресия, единият от които е първият (a₁), а другият е всеки друг произволно избран, може също да се направи формула за намиране на разликата (d). В този случай обаче серийният номер (i) на произволно избран член на последователността трябва да бъде известен. За да изчислите разликата, съберете двете числа и разделете резултата на поредния номер на произволен член, намален с единица. AT общ изгледнапишете тази формула по следния начин: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ако в допълнение към произволен член на аритметичната прогресия с пореден номер i е известен друг член с пореден номер u, съответно променете формулата от предишната стъпка. В този случай разликата (d) на прогресията ще бъде сумата от тези два члена, разделена на разликата в техните поредни номера: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формулата за изчисляване на разликата (d) става малко по-сложна, ако стойността на нейния първи член (a₁) и сумата (Sᵢ) на дадено число (i) на първите членове на аритметичната редица са дадени в условията на проблемът. За да получите желаната стойност, разделете сумата на броя членове, които са я съставили, извадете стойността на първото число в редицата и удвоете резултата. Разделете получената стойност на броя членове, съставляващи сумата, намалена с единица. Като цяло, запишете формулата за изчисляване на дискриминанта, както следва: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).