имена 

Критични точки на функция. Как да намерим максималната и минималната точка на функция Как да намерим максималната точка на производната на функция

Функцията и изучаването на нейните характеристики заема една от ключовите глави в съвременната математика. Основният компонент на всяка функция са графики, изобразяващи не само нейните свойства, но и параметрите на производната на тази функция. Нека да разгледаме тази трудна тема. Кой е най-добрият начин да намерим максималните и минималните точки на функция?

Функция: определение

Всяка променлива, която зависи по някакъв начин от стойностите на друго количество, може да се нарече функция. Например функцията f(x 2) е квадратна и определя стойностите за целия набор x. Да кажем, че x = 9, тогава стойността на нашата функция ще бъде равна на 9 2 = 81.

Функциите се предлагат в различни видове: логически, векторни, логаритмични, тригонометрични, числови и други. Такива изключителни умове като Лакроа, Лагранж, Лайбниц и Бернули бяха ангажирани в тяхното изследване. Техните писания служат като опора в съвременните начини за изучаване на функциите. Преди да намерите минималните точки, е много важно да разберете самото значение на функцията и нейната производна.

Производна и нейната роля

Всички функции зависят от своите променливи, което означава, че могат да променят стойността си по всяко време. На графиката това ще бъде изобразено като крива, която или се спуска или издига по оста y (това е целият набор от числа "y" по вертикалата на графиката). И така дефинирането на точка на максимум и минимум на функцията просто е свързано с тези "колебания". Нека обясним каква е тази връзка.

Производната на всяка функция се начертава, за да се изследват нейните основни характеристики и да се изчисли колко бързо се променя функцията (т.е. променя стойността си в зависимост от променливата "x"). В момента, в който функцията нараства, графиката на нейната производна също ще нараства, но във всяка секунда функцията може да започне да намалява и тогава графиката на производната ще намалява. Тези точки, в които производната преминава от минус към плюс, се наричат ​​минимални точки. За да знаете как да намерите минимални точки, трябва да разберете по-добре

Как да изчислим производната?

Дефиницията и функциите предполагат няколко концепции от Като цяло самата дефиниция на производната може да се изрази по следния начин: това е стойността, която показва скоростта на промяна на функцията.

Математическият начин за определянето му за много ученици изглежда сложен, но всъщност всичко е много по-просто. Необходимо е само да следвате стандартния план за намиране на производната на всяка функция. По-долу е описано как можете да намерите минималната точка на функция, без да прилагате правилата за диференциране и без да запаметявате таблицата с производни.

  1. Можете да изчислите производната на функция с помощта на графика. За да направите това, трябва да изобразите самата функция, след това да вземете една точка върху нея (точка А на фигурата), да начертаете права вертикално надолу към абсцисната ос (точка x 0) и да начертаете допирателна към графиката на функция в точка А. Абсцисната ос и тангентата образуват ъгъл a. За да изчислите стойността на това колко бързо нараства функцията, трябва да изчислите тангенса на този ъгъл a.
  2. Оказва се, че тангенсът на ъгъла между допирателната и посоката на оста x е производната на функцията в малка област с точка A. Този метод се счита за геометричен начин за определяне на производната.

Методи за изследване на функция

В училищната програма по математика е възможно да се намери минималната точка на функция по два начина. Вече анализирахме първия метод с помощта на графиката, но как да определим числената стойност на производната? За да направите това, ще трябва да научите няколко формули, които описват свойствата на производната и помагат за преобразуването на променливи като "x" в числа. Следният метод е универсален, така че може да се прилага към почти всички видове функции (както геометрични, така и логаритмични).

  1. Необходимо е функцията да се приравни към производната функция и след това да се опрости изразът, като се използват правилата за диференциране.
  2. В някои случаи, когато е дадена функция, в която променливата "x" е делител, е необходимо да се определи обхватът на приемливите стойности, като се изключи точката "0" от нея (по простата причина, че в математиката вие никога не може да се дели на нула).
  3. След това първоначалната форма на функцията трябва да се преобразува в просто уравнение, приравнявайки целия израз на нула. Например, ако функцията изглеждаше така: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, тогава според правилата за диференциране нейната производна е равна на f "(x) \u003d 3x 2 + 1. След това трансформираме това израз в уравнение със следната форма: 3x 2 +1 \u003d 0 .
  4. След като решите уравнението и намерите точките "x", трябва да ги изобразите върху оста x и да определите дали производната в тези области между маркираните точки е положителна или отрицателна. След обозначението ще стане ясно в кой момент функцията започва да намалява, тоест променя знака от минус на обратния. По този начин можете да намерите както минималните, така и максималните точки.

Правила за диференциране

Най-основният компонент в изучаването на функция и нейната производна е познаването на правилата за диференциране. Само с тяхна помощ е възможно да се трансформират тромави изрази и големи сложни функции. Нека се запознаем с тях, има много от тях, но всички те са много прости поради редовните свойства както на степенните, така и на логаритмичните функции.

  1. Производната на всяка константа е нула (f(x) = 0). Тоест производната f (x) \u003d x 5 + x - 160 ще приеме следната форма: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
  2. Производната на сумата от два члена: (f+w)" = f"w + fw".
  3. Производна на логаритмична функция: (log a d)" = d/ln a*d. Тази формула се прилага за всички видове логаритми.
  4. Производна на степен: (x n)"= n*x n-1. Например (9x 2)" = 9*2x = 18x.
  5. Производна на синусоидалната функция: (sin a)" = cos a. Ако sin на ъгъл a е 0,5, тогава нейната производна е √3/2.

екстремни точки

Вече обсъдихме как да намерим минималните точки, но съществува понятието максимални точки на функция. Ако минимумът означава тези точки, в които функцията преминава от минус към плюс, тогава максималните точки са тези точки на оста x, в които производната на функцията се променя от плюс към обратното - минус.

Можете да го намерите, като използвате описания по-горе метод, само че трябва да се има предвид, че те обозначават тези области, където функцията започва да намалява, т.е. производната ще бъде по-малка от нула.

В математиката е обичайно да се обобщават и двете понятия, като се заменят с фразата „точки на екстремуми“. Когато задачата изисква да се определят тези точки, това означава, че е необходимо да се изчисли производната на тази функция и да се намерят минималната и максималната точка.

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x^3 - 3*x^2. Помислете за някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича също околност на точката x = 0. Както можете да видите на графиката, в тази околност функцията y = x ^3 - 3*x^2 приема най-голямата стойност точно в точката x = 0.

Максимум и минимум на функция

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това, точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията y = x^3 - 3*x^2. Защото има такъв квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички останали стойности от този квартал.

точка максимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x)< f(x0).

точка минимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x) > f(x0) е изпълнено.

В точките на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е равна на нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в максимална или минимална точка.

Например функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 нараства по цялата реална ос.

По този начин минималните и максималните точки винаги ще бъдат сред корена на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на дадена функция е равна на нула, се наричат ​​стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, където производната на функцията изобщо не съществува. Например y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимумът или минимумът на функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f(x) е някаква функция, диференцируема на интервала (a;b). Точката x0 принадлежи на този интервал и f'(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна променят знака от „плюс“ на „минус“, тогава точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от „минус“ на „плюс“, тогава точката x0 е минималната точка на функцията.

Прост алгоритъм за намиране на екстремуми..

  • Намиране на производната на функция
  • Приравнете тази производна на нула
  • Намираме стойностите на променливата на получения израз (стойностите на променливата, при които производната се преобразува в нула)
  • Разделяме координатната линия на интервали с тези стойности (в същото време не трябва да забравяме за точките на прекъсване, които също трябва да бъдат приложени към линията), всички тези точки се наричат ​​​​„подозрителни“ точки за екстремума
  • Изчисляваме на кой от тези интервали производната ще бъде положителна и на кой ще бъде отрицателна. За да направите това, трябва да замените стойността от интервала в производната.

От точките, заподозрени в екстремум, е необходимо да се намери точно . За да направим това, разглеждаме нашите пропуски на координатната линия. Ако при преминаване през някаква точка знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава тази точка ще бъде максимум, и ако от минус към плюс, тогава минимум.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция, трябва да изчислите стойността на функцията в краищата на сегмента и в точките на екстремума. След това изберете най-голямата и най-малката стойност.

Помислете за пример
Намираме производната и я приравняваме на нула:

Прилагаме получените стойности на променливите към координатната линия и изчисляваме знака на производната на всеки от интервалите. Е, например, за първи път-2 , тогава производната ще бъде-0,24 , за втори път0 , тогава производната ще бъде2 , а за третото вземаме2 , тогава производната ще бъде-0,24. Поставяме съответните знаци.

Виждаме, че при преминаване през точка -1, производната променя знака от минус на плюс, тоест ще бъде минимална точка, а при преминаване през 1, съответно от плюс към минус, това е максимална точка.

Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

Необходимото условие за максимум и минимум (екстремум) на функцията е следното: ако функцията f(x ) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да изчезне, да отиде до безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Кое е достатъчното условие за екстремума на функцията (максимум или минимум)?

Първо условие:

е? (х ) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x ) То има максимумпри условие, че функцията f(x ) е непрекъснат тук.

Ако е в достатъчна близост до точката x \u003d a, производнатае? (х ) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x ) То има минимумпри условие, че функцията f(x ) е непрекъснат тук.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условиеекстремум на функцията:

Нека в точката x = и първата производнае? (х ) изчезва; ако втората производнае?? (a) е отрицателна, тогава функцията f (x) има в точката x = a максимум, ако е положителен - минимум.

За случай f?? (a) = 0 можете да намерите в Наръчника по висша математика от M.Ya. Вигодски.

Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите, трябва намерете производнатафункциие? (х ) и приравняването му на нула, реши уравнението е? (х ) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които производната на тази функция не съществува, са критични точки, т.е. стойностите на аргумента, при които може да има екстремум. Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на параболата.

Функция y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50.

Производна на функцията: y? (x) = 6 x + 2

Решаваме уравнението: y? (x) = 0

6x + 2 \u003d 0,6x \u003d -2, x = -2/6 \u003d -1/3

В този случай критичната точка е x 0 = -1/3. Именно за тази стойност на аргумента функцията има екстремум. За да го получи намирам, заместваме намереното число в израза за функцията вместо "x":

y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус" при преминаване през критичната точка x 0, тогава x 0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x 0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x 0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземаме произволна стойност на аргумента вляво от критичната точка: x = -1

Когато x = -1, стойността на производната ще бъде y? (-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (т.е. знакът е "минус").

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

За x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът плюс).

Както можете да видите, при преминаване през критичната точка производната промени знака от минус на плюс. Това означава, че при критичната стойност на x 0 имаме минимална точка.

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала(на сегмента) се намират по същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка вътре в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

на интервали:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Така че производната на функцията е

y? (x) \u003d 3 cos (x) - 0,5

Решаване на уравнение 3 cos (x) - 0,5 \u003d 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2 π *2 = -11.163 (извън диапазона)

x \u003d - arccos (0,16667) - 2 π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2 π * 1 \u003d -4,88

x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 0 \u003d 1,403

x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 1 \u003d 7,687

x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11.163 (не е включено в диапазона)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е y = 5,398.

Намираме стойността на функцията в краищата на интервала:

y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малката стойност е

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим страните на изпъкналост и вдлъбнатост?

За да намерите всички точки на прекъсване на линия y=f(x ), трябва да намерите втората производна, да я приравните на нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които втората производна е нула, безкрайна или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се променя, значи няма инфлексия.

Корените на уравнението f ? (х ) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на функцията на редица интервали. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y=f(x ) е обърнат тук с вдлъбнатина нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремуми на функция на две променливи?

Да се ​​намерят екстремуми на функция f (x, y ), диференцируем в домейна на неговото присвояване, е необходимо:

1) намерете критичните точки и за това решете системата от уравнения

f x ? (x, y) \u003d 0, f y? (x, y) = 0

2) за всяка критична точка Р 0 (а; b ), за да проучи дали знакът на разликата остава непроменен

f (x, y) - f (a, b)

за всички точки (x; y), достатъчно близки до Р 0 . Ако разликата запазва положителен знак, тогава в точката P 0 имаме минимум, ако е отрицателен, тогава максимум. Ако разликата не запазва знака си, то в точка Р 0 няма екстремум.

По същия начин екстремумите на функцията се определят за по-голям брой аргументи.

източници:

  • Вигодски М.Я. Справочник по висша математика
  • Черненко В.Д. Висша математика в примери и задачи. В 3 тома. Том 1