Логаритмично уравнение: основни формули и техники. Решение на логаритмични уравнения. Пълно ръководство (2019)

Инструкция

Запишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако логаритъма има числото e като основа, тогава изразът се записва: ln b е натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да добавите резултатите: (u+v)" = u"+v";

При намиране на производната на произведението на две функции е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"* v+v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията делител, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако е дадена сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки полученото по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и задачи за пресмятане на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Подобни видеа

Полезни съвети

Научете таблицата на елементарните производни. Това ще спести много време.

източници:

постоянна производна

И така, каква е разликата между ирационално уравнение и рационално? Ако неизвестната променлива е под знака за квадратен корен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкция

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът на повдигане на двете части уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първата стъпка е да се отървете от знака. Технически този метод не е труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например уравнението v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Такова уравнение не е трудно за решаване; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заменете единицата в уравнението вместо стойността x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Такава стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

И така, ирационалното уравнение се решава с помощта на метода на повдигане на квадрат на двете му части. И след като се реши уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2x+vx-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Трансферни съединения уравнения, които нямат квадратен корен, надясно и след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vx=y. Съответно ще получите уравнение като 2y2+y-3=0. Това е обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vx=1; vx \u003d -3/2. Второто уравнение няма корени, от първото намираме, че x=1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Разрешаването на самоличности е доста лесно. Това изисква извършване на идентични трансформации до постигане на целта. Така с помощта на най-простите аритметични действия задачата ще бъде решена.

Ще имаш нужда

- хартия;
- химикалка.

Инструкция

Най-простите такива трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). В допълнение, има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи идентичности.

Наистина, квадратът на сумата от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия и втория плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решение

Повторете от учебник по математически анализ или висша математика, който е определен интеграл. Както знаете, решението на определен интеграл е функция, чиято производна ще даде интеграл. Тази функция се нарича антипроизводна. По този принцип се конструират основните интеграли.
Определете по формата на интегранта кой от табличните интеграли е подходящ в този случай. Не винаги е възможно да се определи това веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод на заместване на променливи

Ако интеграндът е тригонометрична функция, чийто аргумент е някакъв полином, тогава опитайте да използвате метода за промяна на променливите. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегранта с нова променлива. Въз основа на съотношението между новата и старата променлива, определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете нов диференциал в . Така ще получите нова форма на стария интеграл, близка или дори съответстваща на всеки табличен.

Решение на интеграли от втори род

Ако интегралът е интеграл от втория вид, векторната форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преминаване от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е съотношението на Остроградски-Гаус. Този закон позволява да се премине от роторния поток на някаква векторна функция към троен интеграл върху дивергенцията на дадено векторно поле.

Подмяна на границите на интеграция

След намиране на антипроизводното е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо, заместете стойността на горната граница в израза за антипроизводното. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получената долна граница на антипроизводното. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава при заместването й в антипроизводната функция е необходимо да отидете до границата и да намерите към какво клони изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите геометричните граници на интегрирането, за да разберете как да изчислите интеграла. Наистина, в случая на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който трябва да бъде интегриран.

Както знаете, когато умножавате изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b * a c = a b + c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8 век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където се изисква да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) "b" според основата му "a" се счита за степен на "c ", до което е необходимо да се повдигне основата "a", така че в крайна сметка да се получи стойността "b". Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления наум, получаваме числото 3! И правилно, защото 2 на степен 3 дава числото 8 в отговора.

Разновидности на логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три различни вида логаритмични изрази:

Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
Десетично a, където основата е 10.
Логаритъмът на всяко число b при основата a>1.

Всеки от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редуциране и последващо редуциране до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и реда на действията в техните решения.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат за аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са верни. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече корен от четна степен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

основата "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, беше дадена задача да се намери отговорът на уравнението 10 x \u003d 100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 \u003d 100.

Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се свеждат до намирането на степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате техническо мислене и познаване на таблицата за умножение. По-големите стойности обаче ще изискват таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които изобщо не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степента c, на която е повдигнато числото a. На пресечната точка в клетките се определят стойностите на числата, които са отговорът (a c = b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числени изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм от 81 при основа 3, което е четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32 записваме като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-долу, веднага след изучаване на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е израз от следния вид: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм от 2 x = √9) предполагат една или повече специфични числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенството и двата обхвата на приемливи стойности и точките, нарушаващи тази функция. Като следствие, отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще се запознаем с примери за уравнения, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.

Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай необходимото условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогава a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (степенни свойства ), и по-нататък по дефиниция: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича "свойство на степента на логаритъма". Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека регистрираме a b \u003d t, оказва се a t \u003d b. Ако повдигнете двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове логаритмични задачи са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част на изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни тестове по математика, трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до обща форма. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека ги опознаем скоро.

Когато решаваме логаритмични уравнения, е необходимо да определим какъв вид логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, в която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на различни видове логаритмични задачи.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

Така че, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

Свойството логаритъм на произведението може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от изпита

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-трудните и обемни задачи). Изпитът предполага точно и перфектно познаване на темата "Натурални логаритми".

Примерите и решенията на задачи са взети от официалните версии на изпита. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2 , по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4 , следователно 2x = 17; х = 8,5.

Всички логаритми е най-добре да се сведат до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, следователно, когато се извади показателят на експонентата на израза, който е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.

Всички сме запознати с уравненията от началните класове. Още там се научихме да решаваме най-простите примери и трябва да се признае, че те намират приложение дори във висшата математика. Всичко е просто с уравненията, включително квадратните. Ако имате проблеми с тази тема, горещо ви препоръчваме да опитате отново.

Логаритми, които вероятно вече сте преминали. Въпреки това смятаме за важно да кажем какво е за тези, които все още не знаят. Логаритъмът се равнява на степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото вдясно от знака на логаритъма. Нека дадем пример, въз основа на който всичко ще ви стане ясно.

Ако повдигнете 3 на четвърта степен, получавате 81. Сега заместете числата по аналогия и най-накрая ще разберете как се решават логаритми. Сега остава само да се комбинират двете разгледани концепции. Първоначално ситуацията изглежда изключително трудна, но при по-внимателно разглеждане тежестта си идва на мястото. Сигурни сме, че след тази кратка статия няма да имате проблеми в тази част от изпита.

Днес има много начини за решаване на такива структури. Ще говорим за най-простите, най-ефективните и най-приложимите в случай на USE задачи. Решаването на логаритмични уравнения трябва да започне с най-простия пример. Най-простите логаритмични уравнения се състоят от функция и една променлива в нея.

Важно е да се отбележи, че x е вътре в аргумента. A и b трябва да са числа. В този случай можете просто да изразите функцията чрез число на степен. Изглежда така.

Разбира се, решаването на логаритмично уравнение по този начин ще ви доведе до верния отговор. Но проблемът на огромното мнозинство от студентите в този случай е, че те не разбират какво и откъде идва. В резултат на това трябва да се примирите с грешки и да не получите желаните точки. Най-обидната грешка ще бъде, ако объркате буквите на места. За да решите уравнението по този начин, трябва да запомните тази стандартна училищна формула, защото е трудно да я разберете.

За да улесните, можете да прибегнете до друг метод - каноничната форма. Идеята е изключително проста. Отново обърнете внимание на задачата. Не забравяйте, че буквата a е число, а не функция или променлива. А не е равно на едно и е по-голямо от нула. Няма ограничения за b. Сега от всички формули си спомняме една. B може да се изрази по следния начин.

От това следва, че всички оригинални уравнения с логаритми могат да бъдат представени като:

Сега можем да отхвърлим логаритмите. Резултатът е проста конструкция, която вече видяхме по-рано.

Удобството на тази формула се състои в това, че може да се използва в различни случаи, а не само за най-простите дизайни.

Не се притеснявайте за OOF!

Много опитни математици ще забележат, че не сме обърнали внимание на областта на дефиницията. Правилото се свежда до факта, че F(x) задължително е по-голямо от 0. Не, не сме пропуснали този момент. Сега говорим за друго сериозно предимство на каноничната форма.

Тук няма да има допълнителни корени. Ако променливата ще се появи само на едно място, тогава обхватът не е необходим. Той работи автоматично. За да потвърдите това решение, помислете за решаване на няколко прости примера.

Как се решават логаритмични уравнения с различни бази

Това вече са сложни логаритмични уравнения и подходът към тяхното решаване трябва да е специален. Тук рядко е възможно да се ограничим до прословутата канонична форма. Нека започнем нашата подробна история. Имаме следната конструкция.

Обърнете внимание на дроба. Съдържа логаритъма. Ако видите това в задачата, струва си да запомните един интересен трик.

Какво означава? Всеки логаритъм може да бъде изразен като частно от два логаритма с удобна основа. И тази формула има специален случай, който е приложим за този пример (имаме предвид, ако c=b).

Точно това виждаме в нашия пример. По този начин.

Всъщност те обърнаха дроба и получиха по-удобен израз. Запомнете този алгоритъм!

Сега трябва логаритмичното уравнение да не съдържа различни бази. Нека представим основата като дроб.

В математиката има правило, въз основа на което можете да извадите степента от основата. Оказва се следната конструкция.

Изглежда, че сега какво ни пречи да превърнем нашия израз в канонична форма и елементарно да го разрешим? Не толкова просто. Не трябва да има дроби преди логаритъма. Нека оправим тази ситуация! Допуска се дроб да бъде изведена като степен.

Съотв.

Ако основите са еднакви, можем да премахнем логаритмите и да приравним самите изрази. Така ситуацията ще стане в пъти по-лесна, отколкото беше. Ще има елементарно уравнение, което всеки от нас е знаел как да реши още в 8-ми или дори 7-ми клас. Можете сами да направите изчисленията.

Получихме единствения истински корен на това логаритмично уравнение. Примерите за решаване на логаритмично уравнение са доста прости, нали? Вече ще можете самостоятелно да се справяте и с най-трудните задачи за подготовка и полагане на изпита.

Какъв е резултатът?

В случай на логаритмични уравнения, ние изхождаме от едно много важно правило. Необходимо е да се действа по такъв начин, че да се доведе изразът до най-простата форма. В този случай ще имате повече шансове не само да решите проблема правилно, но и да го направите по най-простия и най-логичен начин. Така винаги работят математиците.

Силно не ви препоръчваме да търсите трудни пътища, особено в този случай. Запомнете няколко прости правила, които ще ви позволят да трансформирате всеки израз. Например, приведете два или три логаритма към една и съща основа или вземете степен от основата и спечелите от нея.

Също така си струва да запомните, че при решаването на логаритмични уравнения трябва постоянно да тренирате. Постепенно ще преминете към все по-сложни структури и това ще ви доведе до уверено решаване на всички варианти на задачи на изпита. Подгответе се за изпитите си предварително и успех!

Алгебра 11 клас

Тема: "Методи за решаване на логаритмични уравнения"

Цели на урока:

образователен: формирането на знания за различни начини за решаване на логаритмични уравнения, способността да ги прилагате във всяка конкретна ситуация и да избирате всеки метод за решаване;

развитие: развитие на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; формиране на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователен: възпитание на отговорно отношение към учебната работа, внимателно възприемане на материала в урока, точност на воденето на записи.

Тип урок : урок за запознаване с нов материал.

"Изобретяването на логаритмите, като съкрати работата на астронома, удължи живота му."
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

По време на часовете

I. Поставяне на целта на урока

Изучената дефиниция на логаритъма, свойствата на логаритмите и логаритмичната функция ще ни позволят да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на едни и същи алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми днес в урока. Малко са те. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете в тетрадката си темата на урока: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Приканвам всички към сътрудничество.

II. Актуализиране на основни знания

Нека се подготвим да изучаваме темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, може да не пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

а)

б)

в)

д)

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Функционалните графики съвпадат ли?

а) y = x и

б)и

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Изчислете :

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

Изявлението се показва на екрана:

"Уравнението е златният ключ, който отключва всички математически сусам."
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма ).

Обмислинай-простото логаритмично уравнение: дневник а x = b (където a>0, a ≠ 1). Тъй като логаритмичната функция нараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има и освен това само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на числото x при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x ). От дефиницията на логаритъма веднага следва, чеа в е такова решение.

Запишете заглавието:Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъма .

Ето как най-простите уравнения на формата.

Обмисли№ 514(a ): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъма )

Решение . , Следователно 2x - 4 = 4; х = 4.

Отговор: 4.

В тази задача 2x - 4 > 0, тъй като> 0, така че не могат да се появят външни корени ипроверка не е необходима . Условието 2x - 4 > 0 в тази задача не е необходимо да се изписва.

2. Потенциране (преход от логаритъма на дадения израз към самия този израз).

Обмисли№ 519(g): дневник 5 ( х 2 +8)- дневник 5 ( х+1)=3 дневник 5 2

Каква функция забелязахте?(Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни) . Какво може да се направи?(потенцира).

В този случай трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

х 2 +8>0 допълнително неравенство

дневник 5 ( х 2 +8) = дневник 5 2 3 + дневник 5 ( х+1)

дневник 5 ( х 2 +8)= дневник 5 (8 х+8)

Потенцирайте оригиналното уравнение

х 2 +8= 8 х+8

получаваме уравнениетох 2 +8= 8 х+8

Нека го решим:х 2 -8 х=0

х=0, х=8

Отговор: 0; осем

Общо взетопреминаване към еквивалентна система :

Уравнението

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата може да бъде игнорирано).

Въпрос към класа : Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива .

Обмисли№ 520(g) . .

Какво забелязахте? (Това е квадратно уравнение за log3x) Вашите предложения? (Въведете нова променлива)

Решение . ODZ: x > 0.

Позволявам, тогава уравнението ще приеме формата:. Дискриминант D > 0. Корени по теоремата на Виета:.

Обратно към замяната:или.

Решавайки най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

; .

Отговор : 27;

4. Логаритъм от двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение : ODZ: x>0, вземаме логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10:

. Приложете свойството на логаритъма на степента:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Нека lgx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корените съгласно теоремата на Vieta: y1 = -4 и y2 = 1.

Нека се върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; logx = 1,. . Тя е следната: ако една от функциите y = f(x) увеличава и другото y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)=g(x) има най-много един корен на интервала X .

Ако има корен, значи може да се познае. .

Отговор : 2

„Правилното прилагане на методите може да се научи,
само чрез прилагането им към различни примери.
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

аз V. Домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514 (б), № 529 (б), № 520 (б), № 523 (б)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в урока?

В следващите уроци ще разгледаме по-сложни уравнения. За решаването им са полезни изследваните методи.

Показване на последния слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото?
време.
Кое е най-приятното?
Постигни това, което искаш."
Талес

Искам всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.

В този урок ще повторим основните теоретични факти за логаритмите и ще разгледаме решението на най-простите логаритмични уравнения.

Спомнете си централната дефиниция - дефиницията на логаритъма. Свързано е с решението на експоненциалното уравнение. Това уравнение има един корен, нарича се логаритъм от b при основа a:

определение:

Логаритъмът на числото b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото b.

Припомням си основно логаритмично тъждество.

Изразът (израз 1) е коренът на уравнението (израз 2). Заменяме стойността на x от израз 1 вместо x в израз 2 и получаваме основната логаритмична идентичност:

Така че виждаме, че на всяка стойност е присвоена стойност. Означаваме b за x (), c за y и по този начин получаваме логаритмичната функция:

Например:

Припомнете си основните свойства на логаритмичната функция.

Нека отново обърнем внимание тук, защото под логаритъма може да има строго положителен израз, като основа на логаритъма.

Ориз. 1. Графика на логаритмичната функция за различни основи

Графиката на функцията при е показана в черно. Ориз. 1. Ако аргументът нараства от нула до безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност.

Графиката на функцията при е показана в червено. Ориз. един.

Свойства на тази функция:

Домейн: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. При монотонно (строго) нарастване по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията. Когато монотонно (строго) намалява, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията.

Свойствата на логаритмичната функция са ключът към решаването на различни логаритмични уравнения.

Помислете за най-простото логаритмично уравнение; всички други логаритмични уравнения, като правило, се свеждат до тази форма.

Тъй като основите на логаритмите и самите логаритми са равни, функциите под логаритъма също са равни, но не трябва да губим областта на дефиниция. Само положително число може да стои под логаритъма, имаме:

Открихме, че функциите f и g са равни, така че е достатъчно да изберем което и да е неравенство, за да се съобразим с ОДЗ.

Така получаваме смесена система, в която има уравнение и неравенство:

Неравенството, като правило, не е необходимо да се решава, достатъчно е да се реши уравнението и да се заменят намерените корени в неравенството, като по този начин се извърши проверка.

Нека формулираме метод за решаване на най-простите логаритмични уравнения:

Изравняване на основите на логаритмите;

Приравняване на сублогаритмични функции;

Пуснете проверка.

Нека разгледаме конкретни примери.

Пример 1 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни;