Логаритми с еднакви показатели. Натурален логаритъм, функция ln x

Логаритъм от b (b > 0) при основа a (a > 0, a ≠ 1)е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b.

Логаритъмът с основа 10 на b може да бъде записан като дневник (б)и логаритъма при основа e (натурален логаритъм) - ln(b).

Често се използва при решаване на задачи с логаритми:

Свойства на логаритмите

Има четири основни свойства на логаритмите.

Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логаритъм на произведението

Логаритъм на произведениетое равно на сумата от логаритми:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Свойство 2. Логаритъм на частното

Логаритъм на частнотое равно на разликата на логаритмите:

log a (x / y) = log a x – log a y

Свойство 3. Логаритъм на степен

Градусен логаритъме равно на произведението на степента и логаритъма:

Ако основата на логаритъма е в експонентата, тогава се прилага друга формула:

Свойство 4. Логаритъм на корена

Това свойство може да се получи от свойството на логаритъма на степента, тъй като коренът на n-та степен е равен на степента на 1/n:

Формулата за преминаване от логаритъм по една основа към логаритъм по друга основа

Тази формула също често се използва при решаване на различни задачи за логаритми:

Специален случай:

Сравнение на логаритми (неравенства)

Да предположим, че имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми с еднакви основи и между тях има знак за неравенство:

За да ги сравните, първо трябва да погледнете основата на логаритмите a:

Ако a > 0, тогава f(x) > g(x) > 0
Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как да решаваме задачи с логаритми: примери

Задачи с логаритмивключени в USE по математика за 11 клас в задача 5 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Също така задачи с логаритми се намират в банката задачи по математика. Можете да намерите всички примери, като потърсите в сайта.

Какво е логаритъм

Логаритмите винаги са се считали за трудна тема в училищния курс по математика. Има много различни дефиниции на логаритъма, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и неудачни от тях.

Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. Нека създадем таблица за това:

И така, имаме степени на две.

Логаритми - свойства, формули, как се решават

Ако вземете числото от долния ред, тогава можете лесно да намерите степента, до която трябва да вдигнете две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

база a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.

Нотация: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е това, на което е равен логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също така да се регистрира 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число по дадена основа се нарича. Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват неограничено и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Помня: логаритъма е степента, на който трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента. Това е основата, която е повдигната на степен - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Как да броим логаритми

Разбрахме определението - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента чрез рационален показател, до който се свежда определението на логаритъма.
Базата трябва да е различна от единица, тъй като единица на всяка степен е единица. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма) не се налага. Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1 .

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенствата влязат в действие, изискванията на DHS ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега разгледайте общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изразете основата a и аргумента x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
Решете уравнението за променливата b: x = a b ;
Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. По същия начин и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има в пъти по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Нека съставим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Получи отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Нека съставим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Получен отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;
От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;
Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последния пример. Как да се уверим, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложи на прости множители. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.

Задача. Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не е точна степен;

Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

на аргумента x е логаритъм с основа 10, т.е. степента, на която трябва да се повиши 10, за да се получи x. Обозначение: lgx.

Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните числа.

натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има собствена нотация. В известен смисъл той е дори по-важен от десетичния знак. Това е натурален логаритъм.

на аргумента x е логаритъма при основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: lnx.

Мнозина ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459…

Няма да се задълбочаваме какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип натуралният логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.

Вижте също:

Логаритъм. Свойства на логаритъма (степен на логаритъма).

Как да представим число като логаритъм?

Използваме определението за логаритъм.

Логаритъмът е индикатор за степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото под знака на логаритъма.

По този начин, за да представите определено число c като логаритъм при основата a, трябва да поставите степен със същата основа като основата на логаритъма под знака на логаритъма и да запишете това число c в степента:

Под формата на логаритъм можете да представите абсолютно всяко число - положително, отрицателно, цяло число, дробно, рационално, ирационално:

За да не объркате a и c в стресови условия на тест или изпит, можете да използвате следното правило, което трябва да запомните:

това, което е отдолу, отива надолу, това, което е отгоре, се изкачва.

Например искате да представите числото 2 като логаритъм по основа 3.

Имаме две числа - 2 и 3. Тези числа са основата и степента, които ще запишем под знака на логаритъма. Остава да се определи кое от тези числа трябва да се запише надолу, в основата на степента, и кое - нагоре, в степента.

Основата 3 в записа на логаритъма е най-отдолу, което означава, че когато представяме двойката като логаритъм при основа 3, ние също ще запишем 3 надолу при основата.

2 е по-високо от 3. И в нотацията на степента записваме двете над трите, тоест в експонента:

Логаритми. Първо ниво.

Логаритми

логаритъмположително число bпо разум а, където a > 0, a ≠ 1, е степента, до която трябва да се повиши числото. а, Придобивам b.

Дефиниция на логаритъмможе да се напише накратко така:

Това равенство е валидно за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Той обикновено се нарича логаритмично тъждество.
Действието намиране на логаритъм на число се нарича логаритъм.

Свойства на логаритмите:

Логаритъмът на произведението:

Логаритъм на частното от деленето:

Замяна на основата на логаритъма:

Градусен логаритъм:

коренен логаритъм:

Логаритъм със степенна основа:

Десетични и естествени логаритми.

Десетичен логаритъмчисла наричат логаритъм с основа 10 на това число и записват lg b
натурален логаритъмчисла наричат логаритъм на това число спрямо основата д, където де ирационално число, приблизително равно на 2,7. В същото време те пишат ln b.

Други бележки по алгебра и геометрия

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: log a x и log a y. След това те могат да се събират и изваждат и:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще помогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм log a x. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа.

В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повдигне до такава степен, че числото b в тази степен дава числото a? Точно така: това е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

log a a = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log a 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Продължаваме да изучаваме логаритми. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо, ще се занимаваме с изчисляването на логаритми по дефиниция. След това помислете как се намират стойностите на логаритмите, като се използват техните свойства. След това ще се спрем на изчисляването на логаритмите чрез първоначално дадените стойности на други логаритми. И накрая, нека научим как да използваме таблици с логаритми. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.

Навигация в страницата.

Изчисляване на логаритми по дефиниция

В най-простите случаи е възможно бързо и лесно изпълнение намиране на логаритъм по дефиниция. Нека да разгледаме по-подробно как протича този процес.

Същността му е да представи числото b във формата a c , откъдето по дефиницията на логаритъма числото c е стойността на логаритъма. Тоест по дефиниция намирането на логаритъм съответства на следната верига от равенства: log a b=log a a c =c .

И така, изчисляването на логаритъма по дефиниция се свежда до намирането на такова число c, че a c \u003d b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.

Като се има предвид информацията от предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено от някаква степен на основата на логаритъма, тогава можете веднага да посочите на какво е равен логаритъма - той е равен на степента. Да покажем примери.

Пример.

Намерете log 2 2 −3 и също изчислете натурален логаритъм от e 5,3.

Решение.

Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 = −3 . Наистина, числото под знака на логаритъма е равно на основа 2 на степен −3.

По подобен начин намираме втория логаритъм: lne 5,3 =5,3.

Отговор:

log 2 2 −3 = −3 и lne 5,3 =5,3 .

Ако числото b под знака на логаритъма не е дадено като степен на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да обмислите дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Изчислете логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно се вижда, че 25=5 2 , това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Пристъпваме към изчисляването на втория логаритъм. Едно число може да бъде представено като степен на 7: (вижте ако е необходимо). Следователно, .

Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това , откъдето заключаваме, че . Следователно, по дефиницията на логаритъма .

Накратко решението може да се напише по следния начин:

Отговор:

log 5 25=2 , и .

Когато достатъчно голямо естествено число е под знака на логаритъма, тогава не пречи да го разложите на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.

Пример.

Намерете стойността на логаритъма.

Решение.

Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъм от едно и свойството на логаритъм на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . Тоест, когато числото 1 или числото a е под знака на логаритъма, равен на основата на логаритъма, тогава в тези случаи логаритмите са съответно 0 и 1.

Пример.

Какви са логаритмите и lg10?

Решение.

Тъй като , следва от дефиницията на логаритъма .

Във втория пример числото 10 под знака на логаритъма съвпада с неговата основа, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1 .

Отговор:

И lg10=1 .

Имайте предвид, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p, което е едно от свойствата на логаритмите.

На практика, когато числото под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на някакво число, е много удобно да се използва формулата , което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Помислете за пример за намиране на логаритъм, илюстриращ използването на тази формула.

Пример.

Изчислете логаритъма на .

Решение.

Отговор:

Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват в изчислението, но ще говорим за това в следващите параграфи.

Намиране на логаритми по отношение на други известни логаритми

Информацията в този параграф продължава темата за използването на свойствата на логаритмите при тяхното изчисляване. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека вземем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1,584963, тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В горния пример за нас беше достатъчно да използваме свойството логаритъм на произведението. Много по-често обаче трябва да използвате по-широк арсенал от свойства на логаритми, за да изчислите оригиналния логаритъм по отношение на дадените.

Пример.

Изчислете логаритъма от 27 при основа 60, ако е известно, че log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно се вижда, че 27=3 3 и първоначалният логаритъм, поради свойството на логаритъма на степента, може да бъде пренаписан като 3·log 60 3 .

Сега нека видим как log 60 3 може да бъде изразено чрез известни логаритми. Свойството на логаритъм на число, равно на основата, ви позволява да напишете логаритъм на равенство 60 60=1 . От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . По този начин, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Следователно, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Накрая изчисляваме първоначалния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отговор:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отделно си струва да споменем значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата . Тя ви позволява да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, според формулата за преход, те преминават към логаритми в една от базите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които им позволяват да бъдат изчислени с определена степен на точност. В следващия раздел ще покажем как се прави това.

Таблици на логаритми, тяхното използване

За приблизително изчисляване на стойностите на логаритмите можете да използвате логаритмични таблици. Най-често използваните са таблицата с логаритъм с основа 2, таблицата с натурален логаритъм и таблицата с десетичен логаритъм. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми по основа десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.

Представената таблица позволява с точност до една десет хилядна да се намерят стойностите на десетичните логаритми на числа от 1000 до 9999 (с три знака след десетичната запетая). Ще анализираме принципа за намиране на стойността на логаритъма с помощта на таблица с десетични логаритми, използвайки конкретен пример - това е по-ясно. Нека намерим lg1,256.

В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за яснота). Третата цифра на числото 1.256 (номер 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойната линия (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (номер 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойната линия (това число е оградено в зелено). Сега намираме числата в клетките на таблицата с логаритми в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани в оранжево). Сумата от маркираните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм до четвъртия знак след десетичната запетая, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Възможно ли е, като се използва горната таблица, да се намерят стойностите на десетични логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая и също така да надхвърлят границите от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как става това с пример.

Нека изчислим lg102,76332. Първо трябва да пишете номер в стандартна форма: 102,76332=1,0276332 10 2 . След това мантисата трябва да се закръгли до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, т.е. вземаме lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Сега приложете свойствата на логаритъма: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 според таблицата на десетичните логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

В заключение си струва да се отбележи, че с помощта на таблицата с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да отидете до десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.

Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за прехода към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата с десетични логаритми намираме lg3≈0,4771 и lg2≈0,3010. По този начин, .

Библиография.

Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Дадени са основните свойства на натурален логаритъм, графика, дефиниционна област, набор от стойности, основни формули, производна, интеграл, разлагане в степенен ред и представяне на функцията ln x с помощта на комплексни числа.

Определение

натурален логаритъме функцията y = в х, обратна на експонентата, x \u003d e y , и която е логаритъм при основата на числото e: ln x = log e x.

Натуралният логаритъм се използва широко в математиката, тъй като неговата производна има най-простата форма: (ln x)′ = 1/ x.

Въз основа определения, основата на естествения логаритъм е числото д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Графика на функцията y = в х.

Графика на натурален логаритъм (функции y = в х) се получава от графиката на експонентата чрез огледално отражение върху правата линия y = x .

Натуралният логаритъм се определя за положителни стойности на x. Той монотонно нараства в своя домейн на дефиниция.

Като x → 0 границата на естествения логаритъм е минус безкрайност ( - ∞ ).

Когато x → + ∞, границата на естествения логаритъм е плюс безкрайност ( + ∞ ). За голямо x логаритъма нараства доста бавно. Всяка степенна функция x a с положителен показател a нараства по-бързо от логаритъма.

Свойства на естествения логаритъм

Област на дефиниране, набор от стойности, екстремуми, нарастване, намаляване

Натуралният логаритъм е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на натуралния логаритъм са представени в таблицата.

ln x стойности

log 1 = 0

Основни формули за естествени логаритми

Формули, произтичащи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Всеки логаритъм може да бъде изразен чрез естествени логаритми, като се използва формулата за промяна на основата:

Доказателствата на тези формули са представени в раздела "Логаритъм".

Обратна функция

Реципрочната стойност на естествения логаритъм е степента.

Ако , тогава

Ако, тогава.

Производна ln x

Производна на натурален логаритъм:
.
Производна на натурален логаритъм по модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

Интеграл

Интегралът се изчислява чрез интегриране по части:
.
Така,

Изрази чрез комплексни числа

Да разгледаме функция на комплексна променлива z:
.
Нека изразим комплексната променлива zчрез модул rи аргумент φ :
.
Използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или
.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Ако поставим
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни n.

Следователно натуралният логаритъм, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

За разширението се извършва:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.

Логаритмични изрази, решение на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране стойността на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и е изключително важно да се разбере значението му. Що се отнася до USE, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Ето примери за разбиране на самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да помните:

*Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на частното (дробта) е равен на разликата на логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преход към нова база

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на експонентите.

Ние изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както можете да видите, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се, познаването на формулите е задължително. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е формирано, тогава при решаване на прости задачи човек лесно може да направи грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще със сигурност ще покажа как се решават "грозните" логаритми, няма да има такива на изпита, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Един от елементите на алгебрата на примитивното ниво е логаритъмът. Името идва от гръцки език от думата „число” или „степен” и означава степента, до която е необходимо да се повдигне числото в основата, за да се намери крайното число.

Видове логаритми

log a b е логаритъм на числото b при основа a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - десетичен логаритъм (логаритъм с основа 10, a = 10);
ln b - натурален логаритъм (логаритъм с основа e, a = e).

Как се решават логаритми?

Логаритъмът на числото b при основа a е показател, което изисква основата a да бъде повдигната до числото b. Резултатът се произнася по следния начин: „логаритъм от b към основата на a“. Решението на логаритмичните задачи е, че трябва да определите дадената степен по числата по посочените числа. Има някои основни правила за определяне или решаване на логаритъма, както и за трансформиране на самата нотация. С тяхна помощ се решават логаритмични уравнения, намират се производни, решават се интеграли и се извършват много други операции. По принцип решението на самия логаритъм е неговата опростена нотация. По-долу са основните формули и свойства:

За всяко a ; а > 0; a ≠ 1 и за всяко x ; y > 0.

a log a b = b е основната логаритмична идентичност
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - формула за преход към нова база
log a x = 1/log x a

Как се решават логаритми - стъпка по стъпка инструкции за решаване

Първо, запишете необходимото уравнение.

Моля, обърнете внимание: ако основният логаритъм е 10, тогава записът се съкращава, получава се десетичен логаритъм. Ако има естествено число e, тогава записваме, намалявайки до естествен логаритъм. Това означава, че резултатът от всички логаритми е степента, на която се повишава основното число, за да се получи числото b.

Директно решението се крие в изчисляването на тази степен. Преди да решите израз с логаритъм, той трябва да бъде опростен според правилото, тоест с помощта на формули. Можете да намерите основните идентичности, като се върнете малко назад в статията.

Когато събирате и изваждате логаритми с две различни числа, но с една и съща основа, заменете с единичен логаритъм с произведението или деленето съответно на числата b и c. В този случай можете да приложите формулата за преход към друга база (вижте по-горе).

Ако използвате изрази за опростяване на логаритъма, има някои ограничения, които трябва да знаете. А това е: основата на логаритъма а е само положително число, но не е равно на единица. Числото b, подобно на a, трябва да е по-голямо от нула.

Има случаи, когато след като опростите израза, няма да можете да изчислите логаритъма в цифрова форма. Случва се такъв израз да няма смисъл, защото много степени са ирационални числа. При това условие оставете степента на числото като логаритъм.