От просто към сложно. Логаритмични уравнения. Как се решават логаритмични уравнения

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Както знаете, когато умножавате изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b * a c = a b + c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8 век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където се изисква да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) "b" според основата му "a" се счита за степен на "c ", до което е необходимо да се повдигне основата "a", така че в крайна сметка да се получи стойността "b". Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления наум, получаваме числото 3! И правилно, защото 2 на степен 3 дава числото 8 в отговора.

Разновидности на логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три различни вида логаритмични изрази:

Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
Десетично a, където основата е 10.
Логаритъмът на всяко число b при основата a>1.

Всеки от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редуциране и последващо редуциране до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и реда на действията в техните решения.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат за аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са верни. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече корен от четна степен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

основата "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, беше дадена задача да се намери отговорът на уравнението 10 x \u003d 100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 \u003d 100.

Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се свеждат до намирането на степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате техническо мислене и познаване на таблицата за умножение. По-големите стойности обаче ще изискват таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които изобщо не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степента c, на която е повдигнато числото a. На пресечната точка в клетките се определят стойностите на числата, които са отговорът (a c = b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числени изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм от 81 при основа 3, което е четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32 записваме като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-долу, веднага след изучаване на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е израз от следния вид: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм от 2 x = √9) предполагат една или повече специфични числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенството и двата обхвата на приемливи стойности и точките, нарушаващи тази функция. Като следствие, отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще се запознаем с примери за уравнения, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.

Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай необходимото условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогава a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (степенни свойства ), и по-нататък по дефиниция: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича "свойство на степента на логаритъма". Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека регистрираме a b \u003d t, оказва се a t \u003d b. Ако повдигнете двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове логаритмични задачи са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част на изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни тестове по математика, трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до обща форма. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека ги опознаем скоро.

Когато решаваме логаритмични уравнения, е необходимо да определим какъв вид логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, в която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на различни видове логаритмични задачи.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

Така че, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

Свойството логаритъм на произведението може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от изпита

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-трудните и обемни задачи). Изпитът предполага точно и перфектно познаване на темата "Натурални логаритми".

Примерите и решенията на задачи са взети от официалните версии на изпита. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2 , по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4 , следователно 2x = 17; х = 8,5.

Всички логаритми е най-добре да се сведат до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, следователно, когато се извади показателят на експонентата на израза, който е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.

В този урок ще повторим основните теоретични факти за логаритмите и ще разгледаме решението на най-простите логаритмични уравнения.

Спомнете си централната дефиниция - дефиницията на логаритъма. Свързано е с решението на експоненциалното уравнение. Това уравнение има един корен, нарича се логаритъм от b при основа a:

определение:

Логаритъмът на числото b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото b.

Припомням си основно логаритмично тъждество.

Изразът (израз 1) е коренът на уравнението (израз 2). Заменяме стойността на x от израз 1 вместо x в израз 2 и получаваме основната логаритмична идентичност:

Така че виждаме, че на всяка стойност е присвоена стойност. Означаваме b за x (), c за y и по този начин получаваме логаритмичната функция:

Например:

Припомнете си основните свойства на логаритмичната функция.

Нека отново обърнем внимание тук, защото под логаритъма може да има строго положителен израз, като основа на логаритъма.

Ориз. 1. Графика на логаритмичната функция за различни основи

Графиката на функцията при е показана в черно. Ориз. 1. Ако аргументът нараства от нула до безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност.

Графиката на функцията при е показана в червено. Ориз. един.

Свойства на тази функция:

Домейн: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. При монотонно (строго) нарастване по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията. Когато монотонно (строго) намалява, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията.

Свойствата на логаритмичната функция са ключът към решаването на различни логаритмични уравнения.

Помислете за най-простото логаритмично уравнение; всички други логаритмични уравнения, като правило, се свеждат до тази форма.

Тъй като основите на логаритмите и самите логаритми са равни, функциите под логаритъма също са равни, но не трябва да губим областта на дефиниция. Само положително число може да стои под логаритъма, имаме:

Открихме, че функциите f и g са равни, така че е достатъчно да изберем което и да е неравенство, за да се съобразим с ОДЗ.

Така получаваме смесена система, в която има уравнение и неравенство:

Неравенството, като правило, не е необходимо да се решава, достатъчно е да се реши уравнението и да се заменят намерените корени в неравенството, като по този начин се извърши проверка.

Нека формулираме метод за решаване на най-простите логаритмични уравнения:

Изравняване на основите на логаритмите;

Приравняване на сублогаритмични функции;

Пуснете проверка.

Нека разгледаме конкретни примери.

Пример 1 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни;

Пример 2 - решаване на уравнението:

Това уравнение се различава от предишното по това, че основите на логаритмите са по-малки от единица, но това не влияе на решението по никакъв начин:

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Получихме неправилно неравенство, което означава, че намереният корен не удовлетворява ODZ.

Пример 3 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни;

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Очевидно само първият корен удовлетворява ODZ.

С това видео започвам дълга поредица от уроци за логаритмични уравнения. Сега имате три примера наведнъж, въз основа на които ще се научим да решаваме най-простите задачи, които се наричат така - протозои.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нека ви напомня, че най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f(x) = b

Важно е променливата x да присъства само в аргумента, т.е. само във функцията f(x). А числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функции, съдържащи променливата x.

Основни методи за решаване

Има много начини за решаване на такива структури. Например повечето учители в училище предлагат следния начин: Незабавно изразете функцията f ( x ) с помощта на формулата е( x ) = а б . Тоест, когато срещнете най-простата конструкция, можете веднага да преминете към решението без допълнителни действия и конструкции.

Да, разбира се, решението ще се окаже правилно. Проблемът с тази формула обаче е, че повечето студенти не разбирам, откъде идва и защо точно буква а повдигаме на буква б.

В резултат на това често наблюдавам много обидни грешки, когато например тези букви се разменят. Тази формула трябва или да се разбере или да се запомни, а вторият метод води до грешки в най-неподходящите и най-важните моменти: на изпити, тестове и т.н.

Ето защо предлагам на всички мои ученици да изоставят стандартната училищна формула и да използват втория подход за решаване на логаритмични уравнения, който, както вероятно се досещате от името, се нарича канонична форма.

Идеята за каноничната форма е проста. Нека отново погледнем нашата задача: отляво имаме log a , докато буквата a означава точно числото и в никакъв случай функцията, съдържаща променливата x. Следователно тази буква подлежи на всички ограничения, които се налагат върху основата на логаритъма. а именно:

1 ≠ a > 0

От друга страна, от същото уравнение виждаме, че логаритъмът трябва да е равен на числото b и не се налагат ограничения върху тази буква, тъй като тя може да приеме всякаква стойност - както положителна, така и отрицателна. Всичко зависи от това какви стойности приема функцията f(x).

И тук си спомняме нашето прекрасно правило, че всяко число b може да бъде представено като логаритъм при основа a от a на степен b:

b = log a a b

Как да запомните тази формула? Да, много просто. Нека напишем следната конструкция:

b = b 1 = b log a a

Разбира се, в този случай възникват всички ограничения, които записахме в началото. А сега нека използваме основното свойство на логаритъма и въведем коефициента b като степен на а. Получаваме:

b = b 1 = b log a a = log a a b

В резултат на това първоначалното уравнение ще бъде пренаписано в следната форма:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Това е всичко. Новата функция вече не съдържа логаритъм и се решава чрез стандартни алгебрични техники.

Разбира се, сега някой ще възрази: защо изобщо беше необходимо да се измисли някаква канонична формула, защо да се правят две допълнителни ненужни стъпки, ако беше възможно незабавно да се премине от първоначалната конструкция към крайната формула? Да, само защото повечето ученици не разбират откъде идва тази формула и в резултат на това редовно правят грешки, когато я прилагат.

Но такава последователност от действия, състояща се от три стъпки, ви позволява да решите оригиналното логаритмично уравнение, дори ако не разбирате откъде идва тази крайна формула. Между другото, този запис се нарича канонична формула:

log a f(x) = log a a b

Удобството на каноничната форма се крие и във факта, че тя може да се използва за решаване на много широк клас логаритмични уравнения, а не само на най-простите, които разглеждаме днес.

Примери за решения

Сега нека да разгледаме реални примери. Така че нека решим:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Нека го пренапишем така:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Много ученици бързат и се опитват незабавно да повишат числото 0,5 на степен, която ни дойде от първоначалната задача. И наистина, когато вече сте добре обучени да решавате подобни проблеми, можете веднага да извършите тази стъпка.

Ако обаче сега започвате да изучавате тази тема, по-добре е да не бързате никъде, за да не правите обидни грешки. Така че имаме каноничната форма. Ние имаме:

3x - 1 = 0,5 -3

Това вече не е логаритмично уравнение, а линейно по отношение на променливата x. За да го решим, нека първо се справим с числото 0,5 на степен −3. Обърнете внимание, че 0,5 е 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Преобразувайте всички десетични знаци в дроби, когато решавате логаритмично уравнение.

Пренаписваме и получаваме:

3x − 1 = 8
3x=9
х=3

Всичко, което получихме отговора. Първата задача е решена.

Втора задача

Да преминем към втората задача:

Както можете да видите, това уравнение вече не е най-простото. Макар и само защото разликата е отляво, а не един логаритъм в една основа.

Следователно трябва по някакъв начин да се отървете от тази разлика. В този случай всичко е много просто. Нека разгледаме по-отблизо основите: вляво е числото под корена:

Обща препоръка: във всички логаритмични уравнения се опитайте да се отървете от радикалите, т.е. от записи с корени и преминете към степенни функции, просто защото показателите на тези степени лесно се изваждат от знака на логаритъма и в крайна сметка такива нотацията значително опростява и ускорява изчисленията. Нека го напишем така:

Сега си спомняме забележителното свойство на логаритъма: от аргумента, както и от основата, можете да извадите степени. В случай на бази се случва следното:

log a k b = 1/k log b

С други думи, числото, което е стояло в степента на основата, се изнася напред и в същото време се обръща, тоест става реципрочна стойност на числото. В нашия случай имаше степен на база с показател 1/2. Следователно можем да го извадим като 2/1. Получаваме:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Моля, обърнете внимание: в никакъв случай не трябва да се отървете от логаритмите на тази стъпка. Спомнете си математиката от 4-5 клас и реда на операциите: първо се извършва умножение и едва след това събиране и изваждане. В този случай изваждаме един от същите елементи от 10 елемента:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Сега нашето уравнение изглежда както трябва. Това е най-простата конструкция и ние я решаваме с помощта на каноничната форма:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
х=25

Това е всичко. Вторият проблем е решен.

Трети пример

Да преминем към третата задача:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Спомнете си следната формула:

log b = log 10 b

Ако по някаква причина сте объркани, като пишете lg b, тогава, когато правите всички изчисления, можете просто да напишете log 10 b. Можете да работите с десетични логаритми по същия начин, както с други: изваждайте степени, събирайте и представяйте всяко число като lg 10.

Точно тези свойства ще използваме сега, за да решим задачата, тъй като тя не е най-простата, която записахме в самото начало на нашия урок.

Като начало отбележете, че множителят 2 преди lg 5 може да бъде вмъкнат и става степен на основа 5. В допълнение, свободният член 3 може също да бъде представен като логаритъм - това е много лесно да се види от нашата нотация.

Преценете сами: всяко число може да бъде представено като логаритъм по основа 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Нека пренапишем оригиналния проблем, като вземем предвид получените промени:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Пред нас отново е каноничната форма и ние я получихме, заобикаляйки етапа на трансформации, т.е. най-простото логаритмично уравнение не се появи никъде с нас.

Това е, за което говорих в самото начало на урока. Каноничната форма позволява решаването на по-широк клас задачи от стандартната училищна формула, която се дава от повечето училищни учители.

Това е всичко, отърваваме се от знака на десетичния логаритъм и получаваме проста линейна конструкция:

х + 3 = 25 000
х = 24997

Всичко! Проблема решен.

Бележка относно обхвата

Тук бих искал да направя важна забележка относно областта на дефиницията. Със сигурност сега има ученици и учители, които ще кажат: „Когато решаваме изрази с логаритми, е задължително да запомним, че аргументът f (x) трябва да е по-голям от нула!“ В тази връзка възниква логичен въпрос: защо в нито една от разгледаните задачи не сме изискали това неравенство да бъде изпълнено?

Не се безпокой. В тези случаи няма да се появят допълнителни корени. И това е друг страхотен трик, който ви позволява да ускорите решението. Просто знайте, че ако в задачата променливата x се среща само на едно място (по-точно в единствения аргумент на единствения логаритъм) и никъде другаде в нашия случай не се среща променливата x, тогава напишете домейна няма нуждазащото ще работи автоматично.

Преценете сами: в първото уравнение получихме, че 3x - 1, т.е. аргументът трябва да е равен на 8. Това автоматично означава, че 3x - 1 ще бъде по-голямо от нула.

Със същия успех можем да напишем, че във втория случай x трябва да е равно на 5 2, т.е. със сигурност е по-голямо от нула. И в третия случай, където х + 3 = 25 000, т.е. отново очевидно е по-голямо от нула. С други думи, обхватът е автоматичен, но само ако x се среща само в аргумента само на един логаритъм.

Това е всичко, което трябва да знаете, за да решавате прости проблеми. Само това правило, заедно с правилата за трансформация, ще ви позволи да разрешите много широк клас проблеми.

Но нека бъдем честни: за да разберете най-накрая тази техника, за да научите как да прилагате каноничната форма на логаритмичното уравнение, не е достатъчно само да гледате един видео урок. Затова още сега изтеглете опциите за самостоятелно решение, които са приложени към този видео урок и започнете да решавате поне една от тези две независими работи.

Ще ви отнеме само няколко минути. Но ефектът от такова обучение ще бъде много по-висок в сравнение с това, ако току-що сте гледали този видео урок.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да разберете логаритмичните уравнения. Приложете каноничната форма, опростете изразите, като използвате правилата за работа с логаритми - и няма да се страхувате от никакви задачи. И това е всичко, което имам за днес.

Разглеждане на обхвата

Сега нека поговорим за домейна на логаритмичната функция, както и как това влияе върху решението на логаритмичните уравнения. Помислете за конструкция на формата

log a f(x) = b

Такъв израз се нарича най-прост - той има само една функция, а числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функция, която зависи от променливата x. Решава се много просто. Просто трябва да използвате формулата:

b = log a a b

Тази формула е едно от ключовите свойства на логаритъма и при заместване в нашия оригинален израз получаваме следното:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Това вече е позната формула от училищните учебници. Много ученици вероятно ще имат въпрос: тъй като функцията f ( x ) в оригиналния израз е под знака на дневника, върху нея се налагат следните ограничения:

f(x) > 0

Това ограничение е валидно, защото не съществува логаритъм от отрицателни числа. Така че може би поради това ограничение трябва да въведете проверка за отговори? Може би те трябва да бъдат заменени в източника?

Не, в най-простите логаритмични уравнения не е необходима допълнителна проверка. И ето защо. Разгледайте нашата крайна формула:

f(x) = a b

Факт е, че числото a във всеки случай е по-голямо от 0 - това изискване също се налага от логаритъма. Числото a е основата. В този случай не се налагат ограничения върху числото b. Но това няма значение, защото на каквато и степен да повдигнем положително число, пак ще получим положително число на изхода. Така изискването f (x) > 0 се изпълнява автоматично.

Това, което наистина си струва да се провери, е обхватът на функцията под знака на журнала. Може да има доста сложни дизайни и в процеса на решаването им определено трябва да ги следвате. Да видим.

Първа задача:

Първа стъпка: преобразувайте дробта отдясно. Получаваме:

Отърваваме се от знака на логаритъма и получаваме обичайното ирационално уравнение:

От получените корени само първият ни подхожда, тъй като вторият корен е по-малък от нула. Единственият отговор ще бъде числото 9. Това е всичко, проблемът е решен. Не се изискват допълнителни проверки дали изразът под знака логаритъм е по-голям от 0, тъй като не просто е по-голям от 0, но по условието на уравнението е равен на 2. Следователно изискването „по-голямо от нула“ е автоматично удовлетворен.

Да преминем към втората задача:

Тук всичко е същото. Пренаписваме конструкцията, замествайки тройката:

Отърваваме се от знаците на логаритъма и получаваме ирационално уравнение:

Поставяме на квадрат двете части, като вземем предвид ограниченията и получаваме:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Решаваме полученото уравнение чрез дискриминанта:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Но x = −6 не ни устройва, защото ако заместим това число в нашето неравенство, получаваме:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашия случай се изисква то да е по-голямо от 0 или в краен случай равно. Но x = −1 ни подхожда:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственият отговор в нашия случай е x = −1. Това е цялото решение. Да се върнем към самото начало на нашите изчисления.

Основният извод от този урок е, че не е необходимо да се проверяват границите за функция в най-простите логаритмични уравнения. Тъй като в процеса на решаване всички ограничения се изпълняват автоматично.

Това обаче в никакъв случай не означава, че можете напълно да забравите за проверката. В процеса на работа върху логаритмично уравнение, то може да се превърне в ирационално, което ще има свои собствени ограничения и изисквания за дясната страна, които видяхме днес в два различни примера.

Чувствайте се свободни да решавате подобни проблеми и бъдете особено внимателни, ако има корен в спора.

Логаритмични уравнения с различни основи

Продължаваме да изучаваме логаритмични уравнения и анализираме още два доста интересни трика, с които е модерно да се решават по-сложни структури. Но първо, нека си припомним как се решават най-простите задачи:

log a f(x) = b

В тази нотация a и b са просто числа, а във функцията f (x) променливата x трябва да присъства и само там, тоест x трябва да присъства само в аргумента. Ние ще трансформираме такива логаритмични уравнения, като използваме каноничната форма. За това отбелязваме, че

b = log a a b

И a b е просто аргумент. Нека пренапишем този израз, както следва:

log a f(x) = log a a b

Точно това се опитваме да постигнем, така че и отляво, и отдясно да има логаритъм при основа а. В този случай можем, образно казано, да зачеркнем знаците на log, а от гледна точка на математиката можем да кажем, че просто приравняваме аргументите:

f(x) = a b

В резултат на това получаваме нов израз, който ще бъде решен много по-лесно. Нека приложим това правило към нашите задачи днес.

И така, първият дизайн:

Първо, отбелязвам, че вдясно има дроб, чийто знаменател е log. Когато видите израз като този, струва си да си спомните прекрасното свойство на логаритмите:

Преведено на руски, това означава, че всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с произволна основа c. Разбира се, 0< с ≠ 1.

И така: тази формула има един чудесен специален случай, когато променливата c е равна на променливата b. В този случай получаваме конструкция на формата:

Това е тази конструкция, която наблюдаваме от знака вдясно в нашето уравнение. Нека заменим тази конструкция с log a b, получаваме:

С други думи, в сравнение с първоначалната задача сме разменили аргумента и основата на логаритъма. Вместо това трябваше да обърнем дробта.

Припомняме, че всяка степен може да бъде извадена от основата според следното правило:

С други думи, коефициентът k, който е степента на основата, се изважда като обърната дроб. Нека го изведем като обърната дроб:

Дробният фактор не може да бъде оставен отпред, защото в този случай няма да можем да представим този запис като канонична форма (в края на краищата в каноничната форма няма допълнителен фактор пред втория логаритъм). Следователно, нека поставим дробта 1/4 в аргумента като степен:

Сега приравняваме аргументите, чиито основи са еднакви (и наистина имаме еднакви бази) и записваме:

х + 5 = 1

x = −4

Това е всичко. Получихме отговора на първото логаритмично уравнение. Обърнете внимание: в първоначалния проблем променливата x се среща само в един журнал и е в неговия аргумент. Следователно няма нужда да проверяваме домейна и нашето число x = −4 наистина е отговорът.

Сега да преминем към втория израз:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Тук, в допълнение към обичайните логаритми, ще трябва да работим с lg f (x). Как да решим такова уравнение? На неподготвен ученик може да изглежда, че това е някакъв калай, но всъщност всичко е решено елементарно.

Погледнете внимателно термина lg 2 log 2 7. Какво можем да кажем за него? Основите и аргументите на log и lg са еднакви и това би трябвало да даде някои улики. Нека си припомним още веднъж как се изваждат градусите под знака на логаритъма:

log a b n = n log a b

С други думи, степента на числото b в аргумента става фактор пред самия log. Нека приложим тази формула към израза lg 2 log 2 7. Не се страхувайте от lg 2 – това е най-често срещаният израз. Можете да го пренапишете така:

За него са валидни всички правила, които важат за всеки друг логаритъм. По-специално, факторът отпред може да бъде въведен в силата на аргумента. нека напишем:

Много често учениците упорито не виждат това действие, защото не е добре да въвеждате един дневник под знака на друг. Всъщност в това няма нищо престъпно. Освен това получаваме формула, която е лесна за изчисляване, ако запомните важно правило:

Тази формула може да се разглежда както като определение, така и като едно от нейните свойства. Във всеки случай, ако преобразувате логаритмично уравнение, трябва да знаете тази формула по същия начин, както представянето на което и да е число под формата на log.

Връщаме се към нашата задача. Пренаписваме го, като вземем предвид факта, че първият член отдясно на знака за равенство просто ще бъде равен на lg 7. Имаме:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Нека преместим lg 7 наляво, получаваме:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Изваждаме изразите отляво, защото имат една и съща основа:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Сега нека разгледаме по-отблизо уравнението, което имаме. На практика това е каноничната форма, но има коефициент −3 отдясно. Нека го поставим в правилния lg аргумент:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че задраскваме знаците на lg и приравняваме аргументите:

(x + 4) -3 = 8

х + 4 = 0,5

Това е всичко! Решихме второто логаритмично уравнение. В този случай не са необходими допълнителни проверки, тъй като в първоначалния проблем x присъства само в един аргумент.

Позволете ми да обобщя ключовите моменти от този урок.

Основната формула, която се изучава във всички уроци на тази страница, посветени на решаването на логаритмични уравнения, е каноничната форма. И не се отчайвайте от факта, че повечето училищни учебници ви учат как да решавате този вид проблеми по различен начин. Този инструмент работи много ефективно и ви позволява да решавате много по-широк клас проблеми от най-простите, които изучавахме в самото начало на нашия урок.

В допълнение, за решаване на логаритмични уравнения ще бъде полезно да знаете основните свойства. а именно:

Формулата за преместване на една база и специален случай, когато обръщаме дневник (това ни беше много полезно в първата задача);
Формулата за въвеждане и извеждане на степени под знака на логаритъма. Тук много студенти се забиват и не виждат направо, че изведената и вкарана мощност може сама по себе си да съдържа log f (x). Нищо лошо в това. Можем да въведем един дневник според знака на друг и в същото време значително да опростим решението на задачата, което наблюдаваме във втория случай.

В заключение бих искал да добавя, че не е необходимо да проверявате обхвата във всеки от тези случаи, защото навсякъде променливата x присъства само в един знак на log и в същото време е в неговия аргумент. В резултат на това всички изисквания на домейна се изпълняват автоматично.

Проблеми с променлива база

Днес ще разгледаме логаритмични уравнения, които за много ученици изглеждат нестандартни, ако не и напълно неразрешими. Говорим за изрази, които се основават не на числа, а на променливи и дори функции. Ние ще решаваме такива конструкции, използвайки нашата стандартна техника, а именно чрез каноничната форма.

Като начало, нека си припомним как се решават най-простите задачи, които се основават на обикновени числа. И така, най-простата конструкция се нарича

log a f(x) = b

За да разрешим такива проблеми, можем да използваме следната формула:

b = log a a b

Пренаписваме нашия оригинален израз и получаваме:

log a f(x) = log a a b

След това приравняваме аргументите, т.е. пишем:

f(x) = a b

Така се отърваваме от знака на дневника и решаваме обичайния проблем. В този случай корените, получени в решението, ще бъдат корените на първоначалното логаритмично уравнение. В допълнение, записът, когато и лявото, и дясното са на един и същ логаритъм с една и съща основа, се нарича канонична форма. Именно до този запис ще се опитаме да сведем днешните строежи. Така че да тръгваме.

Първа задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменете 1 с log x − 2 (x − 2) 1 . Степента, която наблюдаваме в аргумента, всъщност е числото b, което беше отдясно на знака за равенство. Нека пренапишем нашия израз. Получаваме:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

какво виждаме Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че можем спокойно да приравним аргументите. Получаваме:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Но решението не свършва дотук, защото това уравнение не е еквивалентно на първоначалното. В края на краищата, получената конструкция се състои от функции, които са дефинирани на цялата числова ос, а нашите оригинални логаритми не са дефинирани навсякъде и не винаги.

Следователно трябва да запишем домейна на дефиниция отделно. Нека не бъдем по-мъдри и първо да напишем всички изисквания:

Първо, аргументът на всеки от логаритмите трябва да е по-голям от 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Второ, основата не само трябва да е по-голяма от 0, но и различна от 1:

x − 2 ≠ 1

В резултат на това получаваме системата:

Но не се тревожете: при обработката на логаритмични уравнения такава система може да бъде значително опростена.

Съдете сами: от една страна, от нас се изисква квадратичната функция да е по-голяма от нула, а от друга страна, тази квадратна функция се приравнява на някакъв линеен израз, който също се изисква да бъде по-голям от нула.

В този случай, ако изискваме x − 2 > 0, тогава автоматично ще бъде изпълнено изискването 2x 2 − 13x + 18 > 0. Следователно можем спокойно да зачеркнем неравенството, съдържащо квадратична функция. По този начин броят на изразите, съдържащи се в нашата система, ще бъде намален до три.

Разбира се, бихме могли също така да зачеркнем линейното неравенство, т.е. да зачеркнем x - 2 > 0 и да изискваме 2x 2 - 13x + 18 > 0. Но трябва да признаете, че решаването на най-простото линейно неравенство е много по-бързо и лесно, отколкото квадратна, дори ако в резултат на решаването на цялата тази система получим същите корени.

Като цяло, опитайте се да оптимизирате изчисленията, когато е възможно. А в случай на логаритмични уравнения, задраскайте най-трудните неравенства.

Нека пренапишем нашата система:

Ето такава система от три израза, два от които всъщност вече сме измислили. Нека напишем отделно квадратното уравнение и го решим:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Пред нас е редуциран квадратен тричлен и следователно можем да използваме формулите на Vieta. Получаваме:

(x − 5)(x − 2) = 0

х 1 = 5

х2 = 2

Сега, обратно към нашата система, откриваме, че x = 2 не ни подхожда, защото от нас се изисква x да е строго по-голямо от 2.

Но x \u003d 5 ни подхожда доста добре: числото 5 е по-голямо от 2 и в същото време 5 не е равно на 3. Следователно единственото решение на тази система ще бъде x \u003d 5.

Всичко, задачата е решена, включително като се вземе предвид ODZ. Да преминем към второто уравнение. Тук очакваме още интересни и смислени изчисления:

Първата стъпка: както и последния път, ние привеждаме целия този бизнес в канонична форма. За да направим това, можем да напишем числото 9 по следния начин:

Основата с корена не може да бъде докосната, но е по-добре да трансформирате аргумента. Нека преминем от корена към степента с рационален показател. нека напишем:

Нека не пренаписвам цялото ни голямо логаритмично уравнение, а веднага приравнявам аргументите:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Пред нас е отново редуцираният квадратен трином, ще използваме формулите на Vieta и ще напишем:

(x + 3)(x + 1) = 0

х 1 = -3

х 2 = -1

И така, получихме корените, но никой не ни гарантира, че ще отговарят на първоначалното логаритмично уравнение. В края на краищата регистрационните знаци налагат допълнителни ограничения (тук ще трябва да запишем системата, но поради тромавостта на цялата конструкция реших да изчисля отделно домейна на дефиницията).

Първо, не забравяйте, че аргументите трябва да са по-големи от 0, а именно:

Това са изискванията, наложени от областта на дефиницията.

Веднага отбелязваме, че тъй като приравняваме първите два израза на системата един към друг, можем да зачеркнем всеки от тях. Нека зачеркнем първото, защото изглежда по-заплашително от второто.

Освен това имайте предвид, че решенията на второто и третото неравенство ще бъдат едни и същи множества (кубът на някакво число е по-голям от нула, ако самото това число е по-голямо от нула; подобно е с корена на трета степен - тези неравенства са напълно подобни, така че един от тях можем да го зачеркнем).

Но с третото неравенство това няма да работи. Нека се отървем от знака на радикала вляво, за което повдигаме двете части на куб. Получаваме:

Така че получаваме следните изисквания:

−2 ≠ x > −3

Кой от нашите корени: x 1 = -3 или x 2 = -1 отговаря на тези изисквания? Очевидно само x = −1, тъй като x = −3 не удовлетворява първото неравенство (тъй като нашето неравенство е строго). Общо, връщайки се към нашия проблем, получаваме един корен: x = −1. Това е, проблемът е решен.

Още веднъж ключовите точки на тази задача:

Чувствайте се свободни да прилагате и решавате логаритмични уравнения, като използвате канонична форма. Студентите, които правят такъв запис и не преминават директно от първоначалния проблем към конструкция като log a f ( x ) = b , правят много по-малко грешки от тези, които бързат за някъде, прескачайки междинните стъпки на изчисленията;
Веднага щом в логаритъма се появи променлива основа, проблемът престава да бъде най-простият. Следователно при решаването му е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията: аргументите трябва да са по-големи от нула, а базите не само трябва да са по-големи от 0, но и не трябва да са равни на 1.

Можете да наложите последните изисквания към крайните отговори по различни начини. Например, възможно е да се реши цяла система, съдържаща всички изисквания на домейна. От друга страна, можете първо да решите самата задача и след това да си спомните за областта на дефиницията, да я разработите отделно под формата на система и да я приложите към получените корени.

Кой начин да изберете, когато решавате определено логаритмично уравнение, зависи от вас. Във всеки случай отговорът ще бъде същият.

основни свойства.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

същите основания

log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете стойността на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете стойността на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

4. където .

Пример 2 Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще помогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Формули на логаритми. Логаритмите са примери за решения.

Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повдигне до такава степен, че числото b в тази степен дава числото a? Точно така: това е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът на числото b при основа a означава израза. Да се изчисли логаритъма означава да се намери такава мощност x (), при която равенството е вярно

Основни свойства на логаритъма

Горните свойства трябва да се знаят, тъй като на тяхна основа почти всички задачи и примери се решават въз основа на логаритми. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При изчисляване формулите за сумата и разликата на логаритмите (3.4) се срещат доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или двойка.
Логаритъмът с основа десет обикновено се нарича логаритъм с основа десет и се обозначава просто lg(x).

От протокола се вижда, че в протокола не са записани осн. Например

Натуралният логаритъм е логаритъмът, чиято основа е степента (означена като ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм по основа две е

Производната на логаритъма на функцията е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или първообразният логаритъм се определя от зависимостта

Горният материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да асимилирам материала, ще дам само няколко общи примера от училищната програма и университетите.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. където .

Привидно сложен израз, използващ серия от правила, се опростява до формата

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2 Намерете x if

Решение. За изчислението прилагаме свойства 5 и 13 до последния член

Заместник в записа и скърби

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Вземете логаритъм на променливата, за да запишете логаритъма чрез сумата от членовете

Това е само началото на запознаването с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от придобитите знания за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви за друга също толкова важна тема - логаритмични неравенства ...

Основни свойства на логаритмите

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Преход към нова основа

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Задача. Намерете стойността на израза:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.