Конспект на урока по темата: Еднородни тригонометрични уравнения. Системи с нелинейни уравнения

Нелинейни уравнения с две неизвестни

Определение 1 . Нека А е малко набор от двойки числа (х; г) . Казва се, че множеството A е дадено числова функция z от две променливи x и y , ако е посочено правило, с помощта на което на всяка двойка числа от множеството A се задава определен номер.

Задаването на числова функция z от две променливи x и y е често обозначавамТака:

където f (х , г) - всяка функция, различна от функцията

f (х , г) = брадва+от+c ,

където a, b, c са дадени числа.

Определение 3 . Решение на уравнение (2).назовете двойка числа х; г) , за която формула (2) е вярно равенство.

Пример 1 . реши уравнението

Тъй като квадратът на всяко число е неотрицателен, от формула (4) следва, че неизвестните x и y удовлетворяват системата от уравнения

чието решение е двойка числа (6 ; 3) .

Отговор: (6; 3)

Пример 2 . реши уравнението

Следователно решението на уравнение (6) е безкраен брой двойки числамил

(1 + г ; г) ,

където y е произволно число.

линеен

Определение 4 . Решаване на системата от уравнения

назовете двойка числа х; г) , замествайки ги във всяко от уравненията на тази система, получаваме правилното равенство.

Системи от две уравнения, едното от които е линейно, имат вида

ж(х , г)

Пример 4 . Решете система от уравнения

Решение . Нека изразим неизвестното y от първото уравнение на системата (7) чрез неизвестното x и заместваме получения израз във второто уравнение на системата:

Решаване на уравнението

х 1 = - 1 , х 2 = 9 .

Следователно,

г 1 = 8 - х 1 = 9 ,
г 2 = 8 - х 2 = - 1 .

Системи от две уравнения, едното от които е хомогенно

Системи от две уравнения, едното от които е хомогенно, имат вида

където a , b , c са дадени числа и ж(х , г) е функция на две променливи x и y.

Пример 6 . Решете система от уравнения

Решение . Нека решим еднородното уравнение

3х 2 + 2xy - г 2 = 0 ,

3х 2 + 17xy + 10г 2 = 0 ,

третирайки го като квадратно уравнение по отношение на неизвестното x:

.

В случай, когато х = - 5г, от второто уравнение на системата (11) получаваме уравнението

5г 2 = - 20 ,

който няма корени.

В случай, когато

от второто уравнение на системата (11) получаваме уравнението

,

чиито корени са числа г 1 = 3 , г 2 = - 3 . Намирайки за всяка от тези стойности y съответната стойност x , получаваме две решения на системата: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Отговор: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примери за решаване на системи от уравнения от други видове

Пример 8 . Решете системата от уравнения (MIPT)

Решение . Въвеждаме нови неизвестни u и v , които се изразяват чрез x и y по формулите:

За да пренапишем система (12) по отношение на нови неизвестни, първо изразяваме неизвестните x и y по отношение на u и v. От система (13) следва, че

Решаваме линейната система (14), като изключваме променливата x от второто уравнение на тази система. За тази цел извършваме следните трансформации на система (14):

• оставяме първото уравнение на системата непроменено;
• извадете първото уравнение от второто уравнение и заменете второто уравнение на системата с получената разлика.

В резултат на това системата (14) се трансформира в еквивалентна система

от които намираме

Използвайки формули (13) и (15), пренаписваме оригиналната система (12) като

Първото уравнение на системата (16) е линейно, така че можем да изразим неизвестното u от него чрез неизвестното v и да заместим този израз във второто уравнение на системата.

В тази статия ще разгледаме метод за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

Хомогенните тригонометрични уравнения имат същата структура като хомогенните уравнения от всеки друг вид. Нека ви напомня как се решават хомогенни уравнения от втора степен:

Разгледайте хомогенни уравнения от формата

Отличителни черти на хомогенните уравнения:

а) всички мономи имат еднаква степен,

б) свободният член е равен на нула,

в) уравнението съдържа степени с две различни основи.

Хомогенните уравнения се решават по подобен алгоритъм.

За да решите този тип уравнение, разделете двете страни на уравнението на (може да се раздели на или на )

внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнението на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корените. Следователно е необходимо да се провери дали корените на израза, на който разделяме двете части на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.

Ако е така, тогава изписваме този корен, за да не го забравим по-късно, и след това разделяме на този израз.

Като цяло, първото нещо, което трябва да направите, когато решавате всяко уравнение, чиято дясна страна е нула, е да се опитате да разложите лявата страна на уравнението на множители по произволни достъпен начин. И след това задайте всеки фактор на нула. В този случай определено няма да загубим корените.

И така, внимателно разделете лявата страна на уравнението на израз член по член. Получаваме:

Намалете числителя и знаменателя на втората и третата дроби:

Нека въведем замяна:

Вземете квадратно уравнение:

Решаваме квадратното уравнение, намираме стойностите и след това се връщаме към първоначалното неизвестно.

Когато решавате хомогенни тригонометрични уравнения, трябва да запомните няколко важни неща:

1. Свободният член може да се преобразува в квадрат на синус и косинус, като се използва основната тригонометрична идентичност:

2. Синусът и косинусът на двоен аргумент са мономи от втора степен - синусът на двоен аргумент може лесно да се преобразува в произведението на синус и косинус, а косинусът на двоен аргумент в квадрат на синус или косинус :

Разгледайте няколко примера за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

един . Нека решим уравнението:

Това е класически пример за хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: степента на всеки моном е равна на единица, свободният член е равен на нула.

Преди да разделите двете страни на уравнението на , е необходимо да проверите дали корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение. Проверете: if , then title="(!LANG:sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Разделете двете страни на уравнението на .

Получаваме:

, където

, където

Отговор: , където

2. Нека решим уравнението:

Това е пример за хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Спомняме си, че ако можем да факторизираме лявата страна на уравнението, тогава е желателно да го направим. В това уравнение можем да извадим скобите. Хайде да го направим:

Решение на първото уравнение: , където

Второто уравнение е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решим, разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:

Отговор: къде

3 . Нека решим уравнението:

За да направим това уравнение "стана" хомогенно, ние го трансформираме в продукт и представяме числото 3 като сбор от квадратите на синуса и косинуса:

Преместваме всички членове наляво, отваряме скобите и даваме подобни условия. Получаваме:

Нека разложим на фактори лявата страна и приравним всеки фактор на нула:

Отговор: къде

4 . Нека решим уравнението:

Виждаме какво можем да поставим в скоби. Хайде да го направим:

Задайте всеки фактор равен на нула:

Решение на първото уравнение:

Уравнението от втория набор е класическо хомогенно уравнение от втора степен. Корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение, така че разделяме двете страни на уравнението на:

Решение на първото уравнение:

Решение на второто уравнение.

С помощта на този видео урок учениците ще могат да изучават темата за еднородните тригонометрични уравнения.

Нека дадем определения:

1) хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен изглежда като sin x + b cos x = 0;

2) хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен изглежда като sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Разгледайте уравнението a sin x + b cos x = 0. Ако a е нула, тогава уравнението ще изглежда като b cos x = 0; ако b е нула, тогава уравнението ще изглежда като sin x = 0. Това са уравненията, които нарекохме най-простите и решихме по-рано в предишни теми.

Сега разгледайте опцията, когато a и b не са равни на нула. Като разделим частите на уравнението на косинус x и ще извършим трансформацията. Получаваме a tg x + b = 0, тогава tg x ще бъде равно на - b/a.

От горното следва, че уравнението a sin mx + b cos mx = 0 е хомогенно тригонометрично уравнение I степен. За да решите уравнение, разделете неговите части на cos mx.

Нека анализираме пример 1. Решете 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Първо разделете частите на уравнението по косинус (x / 2). Знаейки, че синусът, разделен на косинуса, е тангенса, получаваме 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Трансформирайки израза, откриваме, че стойността на тангенса (x / 2) е 5/7. Решението на това уравнение е x = arctan a + πn, в нашия случай x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Разгледайте уравнението a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) с a равно на нула, уравнението ще изглежда като b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразувайки, получаваме израза cos x (b sin x + c cos x) = 0 и преминаваме към решението от две уравнения. След като разделим частите на уравнението на косинус x, получаваме b tg x + c = 0, което означава tg x = - c/b. Знаейки, че x \u003d arctg a + πn, тогава решението в този случайще бъде x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) ако a не е равно на нула, тогава, като разделим частите на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме уравнение, съдържащо тангенс, което ще бъде квадратно. Това уравнение може да бъде решено чрез въвеждане на нова променлива.

3) когато c е равно на нула, уравнението ще приеме формата a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Това уравнение може да се реши, като се извади синус от x от скобата.

1. вижте дали има sin 2 x в уравнението;

2. ако терминът a sin 2 x се съдържа в уравнението, тогава уравнението може да бъде решено чрез разделяне на двете части на косинус на квадрат и след това въвеждане на нова променлива.

3. ако уравнението a sin 2 x не съдържа, то уравнението може да се реши, като се извадят скобите cosx.

Да разгледаме пример 2. Изваждаме косинуса и получаваме две уравнения. Коренът на първото уравнение е x = π/2 + πn. За да решим второто уравнение, разделяме частите на това уравнение на косинус x, чрез трансформации получаваме x = π/3 + πn. Отговор: x = π/2 + πn и x = π/3 + πn.

Нека решим пример 3, уравнение от формата 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и да намерим неговите корени, които принадлежат на сегмента от - π до π. защото Тъй като това уравнение е нехомогенно, е необходимо да се редуцира до хомогенна форма. Използвайки формулата sin 2 x + cos 2 x = 1, получаваме уравнението sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделяйки всички части на уравнението на cos 2 x, получаваме tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Използвайки въвеждането на нова променлива z = tg 2x, решаваме уравнението, чийто корен е z = 1. Тогава tg 2x = 1, което означава, че x = π/8 + (πn)/2. защото според условието на проблема, трябва да намерите корените, които принадлежат на сегмента от - π до π, решението ще изглежда като - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Хомогенни тригонометрични уравнения

Днес ще анализираме как се решават „Хомогенните тригонометрични уравнения“. Това са уравнения от специален вид.

Нека се запознаем с определението.

Типово уравнение и sinx+bcosх = 0 (и синус х плюс е косинус х е нула) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен;

уравнение на формата грях 2 x+bгрях хcosх+ccos 2 х= 0 (и синус квадрат x плюс е синус x косинус x плюс se косинус квадрат x е равно на нула) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

Ако а=0, тогава уравнението ще приеме формата bcosх = 0.

Ако b = 0 , тогава получаваме и sin x = 0.

Тези уравнения са елементарни тригонометрични и ние разгледахме тяхното решение в предишните ни теми

Обмислислучаят, когато и двата коефициента са различни от нула. Разделете двете страни на уравнението агряхх+ bcosх = 0 термин по термин на cosх.

Можем да направим това, тъй като косинус х е различен от нула. В крайна сметка, ако cosх = 0 , тогава уравнението агряхх+ bcosх = 0 ще приеме формата агряхх = 0 , а≠ 0, следователно гряхх = 0 . Което е невъзможно, защото според основното тригонометрично тъждество грях 2x+cos 2 х=1 .

Разделяне на двете страни на уравнението агряхх+ bcosх = 0 термин по термин на cosх, получаваме: + =0

Нека направим трансформациите:

1. Тъй като = tg x, тогава =и tg x

2 намали с cosх, тогава

Така получаваме следния израз и tg x + b =0.

Нека направим трансформацията:

1. Преместете b в дясната страна на израза с обратен знак

и tg x \u003d - b

2. Отървете се от множителя и разделяне на двете страни на уравнението на a

tg x= -.

Заключение: Уравнение на формата и гряхмx+bcosmx = 0 (и синус em x плюс косинус em x е нула) се нарича още хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решите, разделете двете страни на cosmx.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението 7 sin - 5 cos \u003d 0 (седем синус x по две минус пет косинус x по две е нула)

Решение. Разделяме двете части на уравнението член по член на cos, получаваме

1. \u003d 7 tg (тъй като съотношението на синус към косинус е тангенс, тогава седем синус x по две, делено на косинус x по две, е равно на 7 тангенс x по две)

2. -5 = -5 (когато е съкратено cos)

Така получихме уравнението

7tg - 5 = 0, Нека трансформираме израза, преместваме минус пет надясно, променяйки знака.

Редуцирахме уравнението до формата tg t = a, където t=, a =. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност а и тези решения изглеждат така

x \u003d arctg a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще изглежда така:

Arctg + πn, намерете x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

Отговор: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Да преминем към хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен

аsin 2 x+b sin x cos x +сcos2 x= 0.

Нека разгледаме няколко случая.

I. Ако а=0, тогава уравнението ще приеме формата bгряххcosх+ccos 2 х= 0.

При решаване на eтогава използваме метода на факторизиране на уравненията. Да извадим cosхскоби и получаваме: cosх(bгряхх+ccosх)= 0 . Където cosх= 0 или

b sin x +сcos x= 0.И вече знаем как да решим тези уравнения.

Разделяме двете части на уравнението член по член на cosx, получаваме

1 (тъй като съотношението на синуса към косинуса е тангенса).

Така получаваме уравнението: b tg x+c=0

Редуцирахме уравнението до формата tg t = a, където t= x, a =. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност аи тези решения изглеждат така

x \u003d arctg a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще бъде:

x \u003d arctg + πn, .

II. Ако a≠0, тогава разделяме двете части на уравнението член по член на cos 2 х.

(По подобен начин, както в случая на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, косинус x не може да се нулира).

III. Ако c=0, тогава уравнението ще приеме формата агрях 2 х+ bгряххcosх= 0. Това уравнение се решава чрез метода на факторизиране (извадете гряххза скоби).

И така, при решаването на уравнението агрях 2 х+ bгряххcosх+ccos 2 х= 0 можете да следвате алгоритъма:

ПРИМЕР 2. Решете уравнението sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус x по косинус x минус корен от три по косинус на квадрат x е равно на нула).

Решение. Нека разложим на множители (скоба cosx). Вземете

cos x(sin x - cos x)= 0, т.е. cos x=0 или sin x - cos x= 0.

Отговор: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

ПРИМЕР 3. Решете уравнението 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат от две x минус два пъти произведението на синус от две x и косинус от две x плюс три косинус квадрат от две x) и намерете неговите корени, принадлежащи на интервала (- π; π).

Решение. Това уравнение не е хомогенно, така че ще извършим трансформации. Числото 2, съдържащо се в дясната страна на уравнението, се заменя с произведението 2 1

Тъй като, според основната тригонометрична идентичност, sin 2 x + cos 2 x \u003d 1, тогава

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = отваряйки скобите получаваме: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Така уравнението 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 ще приеме формата:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

Получихме хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Нека приложим разделянето член по член на cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Нека въведем нова променлива z= tg2x.

Имаме z 2 - 2 z + 1 = 0. Това е квадратно уравнение. Забелязвайки съкратената формула за умножение от лявата страна - квадрат на разликата (), получаваме (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Нека се върнем към обратното заместване:

Редуцирахме уравнението до формата tg t \u003d a, където t \u003d 2x, a \u003d 1. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност аи тези решения изглеждат така

x \u003d arctg x a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще бъде:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (x е равно на сумата от pi по осем и pi en по две).

Остава да намерим такива стойности на x, които се съдържат в интервала

(- π; π), т.е. удовлетворяват двойното неравенство - π x π. защото

x= + , тогава - π + π. Разделете всички части на това неравенство на π и умножете по 8, получаваме

преместете единицата надясно и наляво, като промените знака на минус едно

делим на четири получаваме

за удобство, във фракции, ние избираме цели числа

-

Това неравенство се изпълнява от следното цяло число n: -2, -1, 0, 1

Днес ще се занимаваме с хомогенни тригонометрични уравнения. Първо, нека се справим с терминологията: какво е хомогенно тригонометрично уравнение. Има следните характеристики:

1. трябва да има няколко термина;
2. всички термини трябва да имат еднаква степен;
3. всички функции, включени в хомогенна тригонометрична идентичност, задължително трябва да имат един и същ аргумент.

Алгоритъм за решение

Разделете термините

И ако всичко е ясно с първата точка, тогава си струва да поговорим за втората по-подробно. Какво означава същата степен на термините? Нека разгледаме първата задача:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Първият член в това уравнение е 3cosx 3\cos x. Имайте предвид, че тук има само една тригонометрична функция - cosx\cos x - и тук не присъстват други тригонометрични функции, така че степента на този член е 1. Същото е и с втория - 5sinx 5 \ sin x - тук присъства само синусът, т.е. степента на този член също е равна на единица. И така, имаме пред себе си идентичност, състояща се от два елемента, всеки от които съдържа тригонометрична функция и в същото време само една. Това е уравнение от първа степен.

Да преминем към втория израз:

4грях2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Първият срок на тази конструкция е 4грях2 х 4((\sin )^(2))x.

Сега можем да напишем следното решение:

грях2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

С други думи, първият член съдържа две тригонометрични функции, тоест неговата степен е две. Нека се заемем с втория елемент - sin2x\sin 2x. Спомнете си следната формула - формулата за двоен ъгъл:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

И отново в получената формула имаме две тригонометрични функции – синус и косинус. По този начин стойността на мощността на този елемент от конструкцията също е равна на две.

Обръщаме се към третия елемент - 3. От курса по математика в гимназията помним, че всяко число може да се умножи по 1, затова пишем:

˜ 3=3⋅1

А единицата, използваща основната тригонометрична идентичност, може да бъде записана в следната форма:

1=грях2 x⋅ cos2 х

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Следователно можем да пренапишем 3, както следва:

3=3(грях2 x⋅ cos2 х)=3грях2 х+3 cos2 х

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Така нашият член 3 е разделен на два елемента, всеки от които е еднороден и има втора степен. Синусът в първия член се среща два пъти, косинусът във втория също се среща два пъти. По този начин 3 може да бъде представено и като член с показател две.

Същото с третия израз:

грях3 x+ грях2 xcosx=2 cos3 х

Нека да погледнем. Първият срок - грях3 х((\sin )^(3))x е тригонометрична функция от трета степен. Вторият елемент е грях2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

грях2 ((\sin )^(2)) е връзка със стойност на мощност две, умножена по cosx\cos x е членът на първия. Общо третият член също има степенна стойност три. И накрая, вдясно има друга връзка - 2cos3 х 2((\cos )^(3))x е елемент от трета степен. Така имаме хомогенно тригонометрично уравнение от трета степен.

Имаме записани три самоличности с различна степен. Обърнете внимание отново на втория израз. В първоначалния запис един от членовете има аргумент 2x 2x. Ние сме принудени да се отървем от този аргумент, като го трансформираме според формулата на синуса на двоен ъгъл, тъй като всички функции, включени в нашата идентичност, трябва задължително да имат един и същ аргумент. И това е изискване за хомогенни тригонометрични уравнения.

Използваме формулата на основното тригонометрично тъждество и записваме крайното решение

Разбрахме условията, преминете към решението. Независимо от степенния показател, решаването на равенства от този тип винаги се извършва в две стъпки:

1) докажете това

cosx≠0

\cos x\ne 0. За да направите това, достатъчно е да си припомните формулата за основната тригонометрична идентичност (грях2 x⋅ cos2 х=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) и заместете в тази формула cosx=0\cosx=0. Ще получим следния израз:

грях2 х=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Замествайки получените стойности, т.е cosx\cos x е нула и вместо sinx\sin x - 1 или -1, в оригиналния израз получаваме неправилно числово равенство. Това е обосновката на факта, че

cosx≠0

2) втората стъпка следва логично от първата. Тъй като

cosx≠0

\cos x\ne 0, разделяме двете страни на нашата конструкция на cosнх((\cos )^(n))x, където н n е показателят на степента на хомогенното тригонометрично уравнение. Какво ни дава това:

\[\begin(масив)((35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \край (масив)\]

Поради това нашата тромава първоначална конструкция се свежда до уравнението н n-степен по отношение на тангенса, чието решение се записва лесно с помощта на промяна на променлива. Това е целият алгоритъм. Нека да видим как работи на практика.

Решаваме реални проблеми

Задача №1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Вече разбрахме, че това е хомогенно тригонометрично уравнение с показател на степен, равен на единица. Затова, първо, нека разберем това cosx≠0\cos x\ne 0. Да предположим противното, че

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Заменяме получената стойност в нашия израз, получаваме:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Въз основа на това може да се каже, че cosx≠0\cos x\ne 0. Разделете нашето уравнение на cosx\cos x, защото целият ни израз има стойност на степен единица. Получаваме:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

Това не е таблична стойност, така че отговорът ще включва arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Тъй като arctg arctg arctg е странна функция, можем да извадим „минуса“ от аргумента и да го поставим преди arctg. Получаваме окончателния отговор:

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Задача №2

4грях2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Както си спомняте, преди да продължите с неговото решение, трябва да извършите някои трансформации. Извършваме трансформации:

4грях2 x+2sinxcosx−3 (грях2 x+ cos2 х)=0 4грях2 x+2sinxcosx−3 грях2 x−3 cos2 х=0грях2 x+2sinxcosx−3 cos2 х=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\край (подравняване)

Получихме структура, състояща се от три елемента. В първия срок виждаме грях2 ((\sin )^(2)), т.е. неговата стойност на мощността е две. Във втория мандат виждаме sinx\sin x и cosx\cos x - отново има две функции, те се умножават, така че общата степен отново е две. В третия линк виждаме cos2 х((\cos )^(2))x - подобно на първата стойност.

Нека докажем това cosx=0\cos x=0 не е решение на тази конструкция. За да направите това, приемете обратното:

\[\begin(масив)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\край (масив)\]

Ние сме го доказали cosx=0\cos x=0 не може да бъде решение. Преминаваме към втората стъпка - разделяме цялото си изражение на cos2 х((\cos )^(2))x. Защо на квадрат? Тъй като показателят на това хомогенно уравнение е равен на две:

грях2 хcos2 х+2sinxcosxcos2 х−3=0 T ж2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Може ли този израз да бъде решен с помощта на дискриминанта? Разбира се. Но аз предлагам да си припомним теоремата, обратна на теоремата на Виета, и получаваме, че този полином може да бъде представен като два прости полинома, а именно:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ текст( )\!\!\pi\!\!\текст( )k,k\in Z \\\край (подравняване)

Много студенти питат дали си струва да пишат отделни коефициенти за всяка група решения на тъждества, или да не си правят труда и да пишат един и същ коефициент навсякъде. Лично аз смятам, че е по-добре и по-надеждно да използвате различни букви, така че в случай, че влезете в сериозен технически университет с допълнителни тестове по математика, инспекторите да не намерят грешка в отговора.

Задача №3

грях3 x+ грях2 xcosx=2 cos3 х

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Вече знаем, че това е хомогенно тригонометрично уравнение от трета степен, не са необходими специални формули и всичко, което се изисква от нас, е да прехвърлим термина 2cos3 х 2((\cos )^(3))x наляво. Пренаписване:

грях3 x+ грях2 xcosx−2 cos3 х=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Виждаме, че всеки елемент съдържа три тригонометрични функции, така че това уравнение има стойност на степен три. Ние го решаваме. Преди всичко трябва да докажем това cosx=0\cos x=0 не е корен:

\[\begin(масив)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\край (масив)\]

Заменете тези числа в нашата оригинална конструкция:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\край (подравняване)

Следователно, cosx=0\cos x=0 не е решение. Ние сме го доказали cosx≠0\cos x\ne 0. След като доказахме това, разделяме нашето първоначално уравнение на cos3 х((\cos )^(3))x. Защо в куб? Защото току-що доказахме, че нашето оригинално уравнение има трета степен:

грях3 хcos3 х+грях2 xcosxcos3 х−2=0 T ж3 x+t ж2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\край (подравняване)

Нека въведем нова променлива:

tgx=t

Пренаписване на структурата:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Имаме кубично уравнение. Как да го решим? Първоначално, когато тъкмо компилирах този видео урок, планирах първо да говоря за разлагането на полиноми на множители и други трикове. Но в този случай всичко е много по-просто. Вижте, нашата редуцирана идентичност с члена с най-висока степен е 1. В допълнение, всички коефициенти са цели числа. И това означава, че можем да използваме следствието от теоремата на Безу, която казва, че всички корени са делители на числото -2, тоест свободен член.

Възниква въпросът: какво е разделено на -2. Тъй като 2 е просто число, няма толкова много опции. Това могат да бъдат следните числа: 1; 2; -един; -2. Отрицателните корени веднага изчезват. Защо? Тъй като и двете са по-големи от 0 по абсолютна стойност, следователно, T3 ((t)^(3)) ще бъде по-голямо по модул от T2 ((t)^(2)). И тъй като кубът е нечетна функция, така че числото в куба ще бъде отрицателно и T2 ((t)^(2)) е положителен и цялата тази конструкция, с t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2 няма да бъде по-голямо от 0. Извадете -2 от него и ще получите число, което очевидно е по-малко от 0. Остават само 1 и 2. Нека заместим всяко от тези числа:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\до \текст( )1+1-2=0\до 0=0

Получихме правилното числово равенство. Следователно, t=1 t=1 е коренът.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\до 8+4-2=0\до 10\ne 0

t=2 t=2 не е корен.

Съгласно следствието и същата теорема на Безу, всеки полином, чийто корен е х0 ((x)_(0)), представя се като:

Q(x)=(x= х0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

В нашия случай, като х x е променлива Tт, и в ролята х0 ((x)_(0)) е корен, равен на 1. Получаваме:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Как да намерим полином П (T) P\наляво(t\надясно)? Очевидно трябва да направите следното:

P(t)= T3 +T2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Заменяме:

T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

И така, нашият оригинален полином е разделен без остатък. Така можем да пренапишем нашето оригинално равенство като:

(t−1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. Вече разгледахме първия фактор. Нека да разгледаме втория:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Опитните студенти вероятно вече са разбрали, че тази конструкция няма корени, но нека все пак изчислим дискриминанта.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Дискриминантът е по-малък от 0, така че изразът няма корени. Като цяло огромната конструкция беше сведена до обичайното равенство:

\[\begin(масив)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\текст( )k,k\in Z \\\край (масив)\]

В заключение бих искал да добавя няколко коментара към последната задача:

1. дали условието винаги ще бъде изпълнено cosx≠0\cos x\ne 0 и дали изобщо трябва да се прави тази проверка. Разбира се, не винаги. В случаите, когато cosx=0\cos x=0 е решение на нашето равенство, трябва да го извадим от скобите и тогава едно пълноценно хомогенно уравнение ще остане в скоби.
2. Какво е разделянето на многочлен на многочлен. Наистина, повечето училища не изучават това и когато учениците за първи път видят подобна конструкция, изпитват лек шок. Но всъщност това е проста и красива техника, която значително улеснява решаването на уравнения от по-високи степени. Разбира се, на него ще бъде посветен отделен видео урок, който ще публикувам в близко бъдеще.

Ключови точки

Хомогенните тригонометрични уравнения са любима тема в различни тестове. Те се решават много просто - достатъчно е да практикувате веднъж. За да стане ясно за какво иде реч, въвеждаме нова дефиниция.

Хомогенно тригонометрично уравнение е такова, в което всеки ненулев член се състои от същия брой тригонометрични множители. Това могат да бъдат синуси, косинуси или комбинации от тях - методът на решение винаги е един и същ.

Степента на едно хомогенно тригонометрично уравнение е броят на тригонометричните множители, включени в ненулеви членове. Примери:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 — идентичност от 1-ва степен;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\текст( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2-ра степен;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3-та степен;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - и това уравнение не е хомогенно, тъй като вдясно има единица - ненулев член, в който няма тригонометрични множители;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 също е нехомогенно уравнение. елемент sin2x\sin 2x - втора степен (защото можете да си представите

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2 \ sin x - първият, а членът 3 обикновено е нула, тъй като в него няма синуси или косинуси.

Обща схема на решение

Схемата на решение е винаги една и съща:

Нека се преструваме, че cosx=0\cosx=0. Тогава sinx=±1\sin x=\pm 1 - това следва от основното тъждество. Заместител sinx\sin x и cosx\cos x в оригиналния израз и ако резултатът е безсмислен (например изразът 5=0 5=0), отидете на втора точка;

Разделяме всичко на степента на косинуса: cosx, cos2x, cos3x ... - зависи от стойността на степента на уравнението. Получаваме обичайното равенство с допирателни, което се решава успешно след замяната tgx=t.

tgx=tНамерените корени ще бъдат отговорът на оригиналния израз.

Държавно бюджетно професионално учебно заведение в село Теели, Република Тива

Разработка на урок по математика

Тема на урока:

"Хомогенни тригонометрични уравнения"

Учител: Ооржак

Айлана Михайловна

Тема на урока : "Хомогенни тригонометрични уравнения"(според учебника на А. Г. Мордкович)

Група : магистър по растениевъдство, 1 курс

тип урок: Урок за изучаване на нов материал.

Цели на урока:

2. Развийте логическото мислене, способността да се правят изводи, способността да се оценяват резултатите от извършените действия

3. Да възпитава у учениците точност, чувство за отговорност, възпитание на положителни мотиви за учене

Урочно оборудване: лаптоп, проектор, екран, карти, тригонометрични постери: стойности на тригонометрични функции, основни формули на тригонометрията.

Продължителност на урока: 45 минути.

Структура на урока:

	Структурен елемент на урока	Pd	(мин)	Методически особености, кратки указания за провеждане на етапа на урока	Дейност на учителя	Студентски дейности
	Организиране на времето
	Контрол на присъствието на учениците.	α 0			Учителят проверява готовността за урока	Дежурните докладват отсъстващите от урока.
	Актуализиране на основни знания
	Проверка на домашните	α2		Повторение на основни понятия	Прави обход	3 ученика на дъската записват решението. Останалите проверяват
	Формиране на нови знания
	Мотивационен момент	α2		На екрана примери за тригонометрични уравнения	Питане на въпроси	Отговор
	Обяснение на новата тема	α 1		На екрана слайдове с решението на хомогенни тригонометрични уравнения	Учителят обяснява темата	Учениците слушат и пишат

	Анкериране
	Решение на примери	α2		Слабите ученици работят с учителя. Силните учащи работят самостоятелно.	Работи със слаби ученици на дъската.	Решете примери
	Диференцирана самостоятелна работа	α2		Раздайте карти	Прави обход. Контрол на слабите учащи	Решете примери
	Обобщаване	α 1		Обобщаване на урока. Отчитане на оценките на учениците	Учителят обобщава и отчита оценките	Учащите слушат
	Издаване на домашни	α 1		Дайте на учениците домашна работа	Учителят прави кратък инструктаж за домашната работа	Запишете домашното

По време на часовете.

1. Организационен момент (1 мин.)

Проверете готовността на учениците за урока, изслушайте дежурната група.

2. Актуализиране на основни знания (3 мин.)

2.1. Проверка на домашните.

Трима ученици решават на дъска № 18.8 (c, d); № 18.19. Останалите ученици правят партньорска проверка.

№ 18.8 (c) 5 cos 2 x + 6 sin x - 6 = 0 5 (1 - sin x) + 6 sin x - 6 = 0 5 - 5 sin 2 x + 6 sin x - 6 = 0 5 sin 2 x + 6 sin x - 1 = 0 5 sin 2 x – 6 sin x + 1 = 0 z=sinx, 5z 2 – 6z + 1 = 0 z 1 \u003d 1, sin x \u003d 1, x \u003d +2 π n, n Z z 2 \u003d, sin x \u003d, x \u003d (-1) n arcsin + π n, n Z Отговор: x \u003d +2 π n, x \u003d (-1) n arcsin + π n, n Z	№ 18.8 (ж) 4 sin 3x + cos 2 3x = 4 4 sin 3x + (1-sin 2 3x) - 4 = 0 Sin 2 3x + 4 sin 3x - 3 = 0 sin 2 3x – 4 sin 3x + 3 = 0 z=sin 3x, z 2 – 4 z + 3 = 0 z1 = 3 не отговаря на условието z 2 \u003d 1, sin 3x \u003d 1, 3x \u003d +2 π n, n Z X = + π n , n Z Отговор: x = + π n , n Z
№ 18.19 (c) cos = 2x – = , n Z x 1 = , n Z x 2 = , n Z а) б) 0, , , в) - г) - , 0,

3. Научаване на нов материал (13 мин.)

3.1. Мотивация на учениците.

Учениците са поканени да назоват уравненията, които знаят и могат да решават (слайд номер 1)

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0;

2) cos (x - 1) =;

3) 2 sin 2 x + 3 sin x \u003d 0;

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0;

8) sin 2 x + cos 2 x \u003d 0;

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

Учениците няма да могат да назоват решението на уравнения 7-9.

3.2. Обяснение на новата тема.

Учителят: Уравнения, които не можете да решите, са доста често срещани в практиката. Те се наричат ​​хомогенни тригонометрични уравнения. Запишете темата на урока: „Хомогенни тригонометрични уравнения“. (слайд номер 2)

Дефиниране на еднородни уравнения на екрана на проектора. (слайд номер 3)

Помислете за метод за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения (слайд № 4, 5)

I степен	II степен
a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). Нека разделим двете страни на уравнението член по член на cosx ≠ 0. Получаваме: a tgx + b = 0 Tgx = - - просто тригонометрично уравнение	a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) ако a ≠ 0, разделяме двете части на уравнението член по член на cos²x ≠0 Получаваме: a tg²x + b tgx + c = 0, решаваме чрез въвеждане на нова променлива z= tgx 2) ако a = 0, тогава Получаваме: b sinx cosx + c cos²x =0, решете чрез разлагане на множители
При разделяне на еднородно уравнение a sinx + b cosx = 0 до cos x ≠ 0	При разделяне на хомогенното уравнение a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 на cos 2 x ≠ 0 корените на това уравнение не се губят.

Анализирайте примери за решения

Пример 1 Решете уравнението 2sin x – 3cos x = 0; (слайд номер 6)

Това е еднородно уравнение от първа степен. Разделяме двете страни на уравнението член по член на cos x, получаваме:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn, n Z.

Отговор: x \u003d arctg + π n, n Z.

Пример 2 . Решете уравнението sin 2 x + cos 2 x = 0; (слайд номер 7)

Това е еднородно уравнение от първа степен. Разделяме двете страни на уравнението член по член на cos 2 x, получаваме:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + , n Z.

Отговор: x = - + , n Z.

Пример 3 . Решете уравнението sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0. (слайд № 8)

Всеки член в уравнението има една и съща степен. Това е хомогенно уравнение от втора степен. Разделяме двете страни на уравнението член по член на cos 2 x ≠ 0, получаваме:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Нека въведем нова променлива z = tg x, получаваме

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

така че или tg x = 1, или tg x = 2

тен х = 1 x \u003d arctg 1 + πn, n Z x = + πn, n Z	тен х = 2 x \u003d arctan 2 + πn, n Z
Отговор: x \u003d + πn, x \u003d arctg 2 + πn, n Z

4. Консолидиране на изучения материал (10 мин.)

Учителят анализира подробно примери със слаби ученици на дъската, силните ученици решават самостоятелно в тетрадки.

№ 18.12 (a)	18.24 (а)	18.24 (б)
sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos² x = 0 tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0 z = тен x z 2 + 2 z – 3 = 0 z1 = 3; z 2 \u003d - 1. tg x \u003d 3, x \u003d arctg 3 + πn, nЗ tg x \u003d -1, x \u003d arctg (-1) + πn, nЗ x = + πn, n Z Отговор: x \u003d arctg 3 + πn, X = + πn, n Z	sin 2 x \u003d cos 2 x tg2x = 1 2x = arctg 1 + πn, n Z 2x = + πn, n Z x = + , n Z Отговор: x = + , n Z	Tg 3 x = 1 tg 3 x = 3 x = + πn, n Z x = + , n Z

5. Диференцирана самостоятелна работа (15 мин.)

Учителят издава карти със задачи от три нива: основно (A), средно (B), напреднало (C). Учениците сами избират примерите на кое ниво ще решават.

Ниво А 2 sin x + 2 cos x = 0 cos x + 2 sin x = 0

Ниво Б 2 sin x + 2 cos x = 0 6 sin 2 x - 5 sin x cos x + cos 2 x \u003d 0

Ниво C 5 sin 2 x + 2 sinx cos x - cos 2 x \u003d 1 2 sin x - 5 cos x = 3 1-4 sin 2x + 6 cos 2 x = 0

6. Обобщаване. Рефлексия на учебната дейност в урока (2 мин.)

Отговори на въпросите:

Какви видове тригонометрични уравнения сме изучавали?

Как се решава хомогенно уравнение от първа степен?

Как се решава хомогенно уравнение от втора степен?

Аз разбрах …

Научих …

Отбелязвайте добрата работа в урока на отделните ученици, поставяйте оценки.

7. Домашна работа. (1 минута)

Информирайте учениците за домашната работа, дайте кратък брифинг за нейното изпълнение.

No. 18.12 (c, d), No. 18.24 (c, d), No. 18.27 (a)

Препратки:

слайд 2

"Хомогенни тригонометрични уравнения"

1. Уравнение под формата a sin x + b cos x \u003d 0, където a ≠ 0, b ≠ 0, се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. 2. Уравнение под формата a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0, където a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. определение:

I степен a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). Разделете двете части на уравнението член по член на cosx ≠ 0. Получаваме: a tgx + b = 0 tgx = -b /a най-простото тригонометрично уравнение Когато разделяме хомогенното уравнение a sinx + b cosx = 0 на cos x ≠ 0 , корените на това уравнение не се губят. Метод за решаване на еднородни тригонометрични уравнения

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) ако a ≠ 0, разделете двете части на уравнението член по член на cos ² x ≠0. Получаваме: a tg ² x + b tgx + c = 0, ние решаваме чрез въвеждане на нова променлива z \u003d tgx 2) ако a \u003d 0, тогава Получаваме: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0, решаваме чрез факторизиране / При разделяне на хомогенното уравнение a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 чрез cos 2 x ≠ 0 корените на това уравнение не се губят. II степен

Това е еднородно уравнение от първа степен. Разделяме двете части на уравнението член по член на cos x, получаваме: Пример 1. Решете уравнението 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

Това е еднородно уравнение от първа степен. Разделяме двете части на уравнението член по член на cos 2 x , получаваме: Пример 2 . Решете уравнението sin 2 x + cos 2 x = 0

Всеки член в уравнението има една и съща степен. Това е хомогенно уравнение от втора степен. Нека разделим двете страни на уравнението член по член на с os 2 x ≠ 0, получаваме: Пример 3 . Решете уравнението sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

Отговорете на въпросите: - Какви видове тригонометрични уравнения изучавахме? Как се решава хомогенно уравнение от първа степен? Как се решава хомогенно уравнение от втора степен? Обобщаване

Научих ... - Научих ... Размисъл

No 18.12 (c, d), No 18.24 (c, d), No 18.27 (a) Домашна работа.

Благодаря ти за урока! БРАВО МОЛОГИ!

Преглед:

Самоанализ на урока по математика на учителя Oorzhak A.M.

Група : магистър по растениевъдство, 1 курс.

Тема на урока : Хомогенни тригонометрични уравнения.

Тип урок : Урок за изучаване на нов материал.

Цели на урока:

1. За да формирате уменията на учениците за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения, разгледайте методите за решаване на хомогенни уравнения с основни и напреднали нива на сложност.

2. Развийте логическото мислене, способността да се правят изводи, способността да се оценяват резултатите от извършените действия.

3. Да възпитава у учениците точност, чувство за отговорност, възпитание на положителни мотиви за учене.

Урокът се проведе по тематично планиране. Темата на урока отразява теоретичната и практическата част на урока и е разбираема за учениците. Всички етапи на урока бяха насочени към постигане на тези цели, като се вземат предвид характеристиките на групата.

Структура на урока.

1. Организационният момент включваше предварителната организация на групата, мобилизиращото начало на урока, създаването на психологически комфорт и подготовката на учениците за активно и съзнателно усвояване на нов материал. Подготовката на групата и на всеки ученик беше проверена визуално от мен. Дидактическа задача на етапа: Пположително отношение към урока.

2. Следващият етап е актуализирането на основните знания на учениците. Основната задача на този етап е да възстанови в паметта на учениците знанията, необходими за изучаване на нов материал. Актуализацията се проведе под формата на проверка на домашната работа на дъската.

3. (Основен етап на урока) Формиране на нови знания. На този етап се изпълняват следните дидактически задачи: Осигуряване на възприемане, разбиране и първично запаметяване на знания и методи на действие, връзки и отношения в обекта на обучение.

Това беше улеснено от: създаването на проблемна ситуация, метода на разговори в комбинация с използването на ИКТ. Индикатор за ефективността на усвояването на нови знания от учениците е правилността на отговорите, самостоятелната работа, активното участие на учениците в работата.

4. Следващият етап е първоначалното фиксиране на материала. Целта на което е да се установи обратна връзка за получаване на информация за степента на разбиране на новия материал, пълнотата, правилността на усвояването му и за своевременно коригиране на откритите грешки. За това използвах: решението на прости хомогенни тригонометрични уравнения. Тук са използвани задачи от учебника, които отговарят на необходимите резултати от обучението. Първичното консолидиране на материала беше извършено в атмосфера на добронамереност и сътрудничество. На този етап работих със слаби ученици, останалите решаваха сами, последва самопроверка от дъската.

5. Следващият момент от урока беше първичният контрол на знанията. Дидактическа задача на етапа: Разкриване на качеството и нивото на овладяване на знания и методи на действие, осигуряване на тяхната корекция. Тук приложих диференциран подход към обучението, предложих на децата избор на задачи от три нива: основно (A), средно (B), напреднало (C). Направих обход и маркирах учениците, избрали основно ниво. Тези ученици изпълняват работата под наблюдението на учителя.

6. На следващия етап - обобщаване, бяха решени задачите за анализ и оценка на успеха на постигане на целта. Обобщавайки урока, едновременно извърших отражение на образователните дейности. Учениците се научиха как да решават хомогенни тригонометрични уравнения. Бяха дадени оценки.

7. Последният етап е домашна работа. Дидактическа задача: Осигуряване на разбиране на учениците за съдържанието и методите за изпълнение на домашните работи. Даде кратки указания за домашната работа.

По време на урока имах възможност да реализирам учебни, развиващи и образователни цели. Мисля, че това беше улеснено от факта, че от първите минути на урока момчетата показаха активност. Те бяха готови за възприемане на нова тема. Атмосферата в групата беше психологически благоприятна.