Правила за деление на обикновени дроби с различни знаменатели. дроби. Умножение и деление на дроби
Дробта е една или повече части от цяло, обикновено приемана за единица (1). Както при естествените числа, можете да извършвате всички основни аритметични операции (събиране, изваждане, деление, умножение), за това трябва да знаете характеристиките на работата с дроби и да правите разлика между техните видове. Има няколко вида дроби: десетични и обикновени или прости. Всеки вид дроби има своите специфики, но след като сте разбрали задълбочено как да боравите с тях, ще можете да решавате всякакви примери с дроби, тъй като ще знаете основните принципи на изпълнение аритметични изчисленияс дроби. Нека да разгледаме примери как да разделим дроб на цяло число с помощта на различни видове дроби.
Как да се разделим проста дробНа естествено число?Обикновените или прости дроби са дроби, които са записани под формата на съотношение на числа, в които дивидентът (числителят) е посочен в горната част на дробта, а делителят (знаменателят) на дробта е посочен в долната част. Как да разделим такава дроб на цяло число? Нека да разгледаме един пример! Да кажем, че трябва да разделим 8/12 на 2.
За да направим това, трябва да извършим редица действия:
Така, ако сме изправени пред задачата да разделим дроб на цяло число, диаграмата на решението ще изглежда така: 
По подобен начин можете да разделите всяка обикновена (проста) дроб на цяло число.
Как да разделя десетична запетая на цяло число?
Десетичната дроб е дроб, която се получава чрез разделяне на единица на десет, хиляда и т.н. Аритметични операциис десетични дроби са доста прости.
Нека да разгледаме пример как да разделим дроб на цяло число. Да кажем, че трябва да разделим десетичната дроб 0,925 на естественото число 5.
За да обобщим, нека се спрем на две основни точки, които са важни при извършване на операцията за разделяне десетични знаципо цяло число: - за разделяне на десетична дроб на естествено число се използва дълго деление;
- Запетая се поставя в частното, когато е завършено делението на цялата част от дивидента.
Събиране на дроби с еднакви знаменатели
Съществуват два вида събиране на дроби:
- Събиране на дроби с еднакви знаменатели
- Събиране на дроби с различни знаменатели
Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:
Пример 2.Добавете дроби и .
Отговорът не беше правилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:
Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:
Пример 3. Добавете дроби и .
Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:
Пример 4.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.
Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;
Събиране на дроби с различни знаменатели
Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.
Например дроби могат да се добавят, защото имат същите знаменатели.
Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.
Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.
След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.
Пример 1. Нека съберем дробите и
Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.
Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:
Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.
Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:
Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:
Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Това завършва примера. Оказва се да добавите .
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:
Намаляването на дроби до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).
Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Като добавим тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).
Моля, имайте предвид, че сме описали този примертвърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:
Но също така има задната странамедали. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.
За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:
- Намерете LCM на знаменателите на дробите;
- Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
- Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители;
- Съберете дроби, които имат еднакви знаменатели;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;
Пример 2.Намерете стойността на израз 
.
Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.
Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите
Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4
Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб
Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:
Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители
Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:
Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:
Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.
Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея
Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:
Получихме отговор
Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Има два вида изваждане на дроби:
- Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
- Изваждане на дроби с различни знаменатели
Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.
Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 2.Намерете стойността на израза.
Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 3.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:
Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.
Изваждане на дроби с различни знаменатели
Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.
След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.
Пример 1.Намерете значението на израза:
Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се върнем към дробите и
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:
Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:
Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Получихме отговор
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица
Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:
Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път те ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):
Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.
Пример 2.Намерете стойността на израз 
Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.
Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:
Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.
Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:
Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.
За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.
И така, намираме gcd на числата 20 и 30:
Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10
Получихме отговор
Умножение на дроб по число
За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.
Пример 1. Умножете дроб по числото 1.
Умножете числителя на дробта по числото 1
Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица
От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:
Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на дробта по 4
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици
И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:
Умножение на дроби
За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.
Пример 1.Намерете стойността на израза.
Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:
Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:
Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:
И вземете две от тези три части:
Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:
Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:
С други думи, ние говорим заприблизително същия размер пица. Следователно стойността на израза е
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Пример 3.Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител(GCD) номера 105 и 450.
И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:
Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15
Представяне на цяло число като дроб
Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава „числото пет, разделено на едно“, а това, както знаем, е равно на пет:
Реципрочни числа
Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".
Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.
Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:
Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.
Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:
След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:
Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:
Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.
Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.
Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.
Деление на дроб на число
Да кажем, че имаме половин пица:
Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?
Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.
Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните числа ви позволяват да замените делението с умножение.
За да разделите дроб на число, трябва да умножите дробта по обратното на делителя.
Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.
И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дробта, а делителят е числото 2.
За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дробта. Така че трябва да умножите по
За да решите различни задачи от курсовете по математика и физика, трябва да разделите дроби. Много е лесно да се направи, ако знаете определени правилаизвършете тази математическа операция.
Преди да преминем към формулирането на правилото за деление на дроби, нека си припомним някои математически термини:
- Горната част на дробта се нарича числител, а долната част се нарича знаменател.
- При деление числата се извикват по следния начин: дивидент: делител = частно
Как се делят дроби: прости дроби
За да разделите две прости дроби, умножете дивидента по реципрочната стойност на делителя. Тази дроб се нарича още обърната, защото се получава чрез размяна на числителя и знаменателя. Например:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Как се делят дроби: смесени дроби
Ако трябва да разделим смесени фракции, тогава всичко тук също е доста просто и ясно. Първо преобразуваме смесената дроб в обикновена дроб неправилна дроб. За да направите това, умножете знаменателя на такава дроб с цяло число и добавете числителя към получения продукт. В резултат на това получихме нов числител на смесената дроб, но знаменателят й ще остане непроменен. Освен това разделянето на дроби ще се извърши точно по същия начин като разделянето на прости дроби. Например:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Как да разделим дроб на число
За да се раздели проста дроб на число, последното трябва да се запише като дроб (неправилна). Това е много лесно да се направи: това число е написано на мястото на числителя, а знаменателят на такава дроб е равен на едно. Извършва се допълнително разделяне по обичайния начин. Нека да разгледаме това с пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Как да разделя десетични числа
Често възрастен изпитва трудности при разделянето на цяло число или десетична дроб на десетична дроб без помощта на калкулатор.
И така, за да разделите десетични дроби, просто трябва да задраскате запетаята в делителя и да спрете да обръщате внимание на това. В делителя запетаята трябва да се премести надясно точно на толкова места, колкото е била в дробната част на делителя, като при необходимост се добавят нули. И след това извършват обичайното деление на цяло число. За да стане това по-ясно, разгледайте следния пример.
Умножение и деление на дроби.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:
Например:
Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...
За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:
Например:
Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:
В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:
Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:
Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:
В първия случай (израз вляво):
Във втория (израз вдясно):
Усещате ли разликата? 4 и 1/9!
Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:
след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!
И още една много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:
Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.
Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!
Практически съвети:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Не е общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.
2. В примери със различни видоведроби - отидете на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.
4. Многоетажна дробни изразиредуцирайте до обикновени, като използвате деление през две точки (следете реда на делене!).
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Ето задачите, които определено трябва да решите. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...
Запомнете – верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.
Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.
Изчисли:
Реши ли?
Ние търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...
Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
IN последен пътНаучихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Повечето труден моменттези действия включват привеждане на дроби към общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добри новиние, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека да разгледаме най-простият случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.
За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.
Обозначаване:
От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне (и често възниква) редуцируема дроб - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби
Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс с минус дава минус;
- Две отрицания правят утвърдително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:
- Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.
Задача. Намерете значението на израза:
Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:
Позволете ми да ви напомня още веднъж, че знакът минус, който се появява пред дробта с осветената цяла част, се отнася конкретно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).
Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете значението на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери числата, които са били намалени и това, което е останало от тях, са маркирани в червено.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма други причини за намаляване на дроби, така че правилното решение на предишния проблем изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.