Събиране на числа с еднаква основа. Правила за изваждане и събиране. Какво представляват силовите изрази

Статии по природни науки и математика

Свойства на степени с една и съща основа

Има три свойства на степени с еднакви основи и естествени показатели. то

работа сума
Частнодве степени с една и съща основа е равно на израз, където основата е една и съща, а показателят е еднакъв разликапоказатели на оригиналните множители.
Повишаване на степен на число на степене равно на израз, в който основата е същото число, а показателят е същото работадве степени.

Бъди внимателен! Правила относно събиране и изважданеправомощия с една и съща основа не съществува.

Записваме тези свойства-правила под формата на формули:

а м? a n = a m+n
а м? a n = a m–n
(съм) n = a mn

Сега ги разгледайте на конкретни примери и се опитайте да докажете.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - тук приложихме правилото; а сега си представете как бихме решили този пример, ако не знаехме правилата:

5 2 ? 5 3 = 5? 5? 5? 5? 5 \u003d 5 5 - пет на квадрат е пет по пет, а куб е произведението на три петици. Резултатът е произведение от пет петици, но това е нещо различно от пет на пета степен: 5 5 .

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Нека напишем делението като дроб:

Може да се съкрати:

В резултат на това получаваме:

Така доказахме, че при деление на две степени с еднакви основи трябва да се извадят техните показатели.

При деление обаче е невъзможно делителят да е равен на нула (тъй като не можете да делите на нула). Освен това, тъй като разглеждаме градусите само с естествени показатели, в резултат на изваждането на показателите не можем да получим число, по-малко от 1. Следователно формулата a m ? a n = a m–n се налагат ограничения: a ? 0 и m > n.

Да преминем към третото свойство:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Нека напишем в разширена форма:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Можете да стигнете до това заключение и логически разсъждения. Трябва да умножите две на квадрат четири пъти. Но във всеки квадрат има две двойки, така че ще има общо осем двойки.

scienceland.info

Правила за събиране и изваждане.

1. От промяна на местата на членовете сумата няма да се промени (комутативно свойство на събирането)

13+25=38 може да се запише като: 25+13=38

2. Резултатът от събирането няма да се промени, ако съседните членове се заменят с тяхната сума (асоциативно свойство на събирането).

10+13+3+5=31 може да се запише като: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.н.

3. Единиците се събират с единици, десетките с десетки и т.н.

34+11=45 (3 десетици плюс 1 десетици; 4 единици плюс 1 единица).

4. Единици се изваждат от единици, десетици от десетици и т.н.

53-12=41 (3 единици минус 2 единици; 5 десетици минус 1 десетица)

забележка: 10 единици правят една десетка. Това трябва да се помни при изваждане, защото ако броят на единиците на изваденото е по-голям от този на намаленото, тогава можем да „заемем“ една десетица от намаленото.

41-12 \u003d 29 (За да извадим 2 от 1, първо трябва да "заемем" единицата от десетките, получаваме 11-2 \u003d 9; не забравяйте, че намаленото има 1 по-малко, следователно има са 3 десетици и от него се изважда 1 десетица Отговор 29).

5. Ако един от тях се извади от сумата на два члена, тогава ще се получи вторият член.

Това означава, че добавянето може да се провери чрез изваждане.

За проверка един от членовете се изважда от сумата: 49-7=42 или 49-42=7

Ако в резултат на изваждането не сте получили един от членовете, тогава е направена грешка при добавянето ви.

6. Ако добавите изваждаемото към разликата, ще получите умаляваното.

Това означава, че изваждането може да се провери чрез събиране.

За да проверите, добавете субтрахенда към разликата: 19+50=69.

Ако в резултат на описаната по-горе процедура не сте получили намаление, тогава е направена грешка при изваждането ви.

Събиране и изваждане на рационални числа

Този урок обхваща събиране и изваждане на рационални числа. Темата е класифицирана като комплексна. Тук е необходимо да се използва целият арсенал от предварително придобити знания.

Правилата за събиране и изваждане на цели числа са валидни и за рационални числа. Спомнете си, че рационалните числа са числа, които могат да бъдат представени като дроб, където а -е числителят на дроб bе знаменателят на дробта. И bне трябва да е нула.

В този урок все повече ще говорим за дроби и смесени числа като една обща фраза - рационални числа.

Навигация в урока:

Пример 1Намерете стойността на израз

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за дроби. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малкото от по-големия модул и да поставите знака, чийто модул е по-голям пред отговора. И за да разберете кой модул е по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези дроби, преди да ги изчислите:

Модулът на рационално число е по-голям от модула на рационално число. Следователно извадихме от . Имам отговор. След това, намалявайки тази дроб с 2, получаваме крайния отговор.

Ако желаете, някои примитивни действия, като поставяне на числа в скоби и поставяне на модули, могат да бъдат пропуснати. Този пример може да бъде написан по-кратко:

Пример 2Намерете стойността на израз

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за дробта.

Дробта в този случай е положително рационално число, което има знак плюс, който е невидим. Но ще го запишем за яснота:

Нека заменим изваждането със събиране. Спомнете си, че за това трябва да добавите числото, противоположно на изваденото към умаляваното:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора:

Пример 3Намерете стойността на израз

В този израз дробите имат различни знаменатели. За да ни е по-лесно, нека приведем тези дроби към един (общ) знаменател. Няма да се спираме подробно на това. Ако имате проблеми, не забравяйте да се върнете към урока за дроби и да го повторите.

След привеждане на дробите към общ знаменател изразът ще приеме следната форма:

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия от по-големия модул и поставяме знака пред получения отговор, чийто модул е по-голям:

Пример 4Намерете стойността на израз

Получихме сбора от три члена. Първо намерете стойността на израза, след което добавете към получения отговор

Първо действие:

Второ действие:

Така стойността на израза е равна.

Решението на този пример може да бъде написано по-кратко

Пример 5. Намерете стойността на израз

Оградете всяко число в скоби заедно със знаците му. За да направим това, временно ще разширим смесения брой

Нека изчислим целите части:

В основния израз вместо напишете получената единица:

Нека преобразуваме получения израз. За да направим това, пропускаме скобите и записваме единицата и дробта заедно

Решението за този пример може да бъде написано по-кратко:

Пример 6Намерете стойността на израз

Преобразувайте смесеното число в неправилна дроб. Нека пренапишем останалото, както е:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Да съберем модулите на тези числа и да поставим минус пред получения отговор:

Така стойността на израза е .

Решението за този пример може да бъде написано по-кратко:

Пример 7Намерете стойностен израз

Нека запишем смесеното число в разгъната форма. Нека пренапишем останалото, както е:

Оградете всяко рационално число в скоби заедно със знаците му

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

Нека изчислим целите части:

В основния израз, вместо да напишете полученото число? 7

Изразът е разширена форма на запис на смесено число. Можете веднага да запишете отговора, като напишете заедно числата? 7 и дроб (като скриете минуса на тази дроб)

По този начин стойността на израза е

Решението за този пример може да бъде написано много по-кратко. Ако пропуснете някои подробности, тогава може да се напише, както следва:

Пример 8Намерете стойността на израз

Този израз може да се изчисли по два начина. Нека разгледаме всеки от тях.

Първи начин.Цялата и дробната част на израза се изчисляват отделно.

Първо, нека напишем смесените числа в разширена форма:

Оградете всяко число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

Получихме сумата от няколко члена. Според асоциативния закон за събиране, ако един израз съдържа няколко члена, тогава сборът няма да зависи от реда на операциите. Това ще ни позволи да групираме отделно целите и дробните части:

Нека изчислим целите части:

В основния израз, вместо да напишете полученото число? 3

Нека изчислим дробните части:

В главния израз, вместо да напишете полученото смесено число

За да се оцени полученият израз, смесеното число трябва временно да се разшири, след това да се постави в скоби всяко число и да се замени изваждането със събиране. Това трябва да се направи много внимателно, за да не се объркат знаците на термините.

След трансформирането на израза имаме нов израз, който е лесен за изчисляване. Подобен израз беше в Пример 7. Спомнете си, че добавихме целите части поотделно и оставихме дробната част както е:

Значи стойността на израза е

Решението на този пример може да бъде написано по-кратко

В кратко решение се пропускат стъпките за поставяне на числа в скоби, замяна на изваждане със събиране, поставяне на модули. Ако сте в училище или друга образователна институция, тогава ще трябва да пропуснете тези примитивни дейности, за да спестите време и място. Горното кратко решение може да се напише дори по-кратко. Ще изглежда така:

Ето защо, докато сте в училище или в друга образователна институция, бъдете подготвени за факта, че някои действия ще трябва да се извършват наум.

Вторият начин.Смесените числа от израза се преобразуват в неправилни дроби и се изчисляват като обикновените дроби.

Оградете в скоби всяко рационално число заедно със знаците му

Нека заменим изваждането със събиране:

Сега смесените числа и преведете в неправилни дроби:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Да добавим техните модули и да поставим минус пред получения отговор:

Получих същия отговор като последния път.

Подробното решение за втория начин е както следва:

Пример 9Намерете изразни изрази

Първи начин.Добавете поотделно целите и дробните части.

Този път нека се опитаме да пропуснем някои примитивни действия, като писане на израз в разширена форма, поставяне на числа в скоби, замяна на изваждане със събиране, поставяне на модули:

Имайте предвид, че дробните части са сведени до общ знаменател.

Вторият начин.Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и пресмятайте като обикновени дроби.

Пример 10Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране:

Полученият израз не съдържа отрицателни числа, които са основната причина за грешки. И тъй като няма отрицателни числа, можем да премахнем плюса пред субтрахенда и също да премахнем скобите. Тогава получаваме най-простия израз, който е лесен за изчисляване:

В този пример целите и дробните части са изчислени отделно.

Пример 11.Намерете стойността на израз

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия от по-големия модул и поставяме знака пред полученото число, чийто модул е по-голям:

Пример 12.Намерете стойността на израз

Изразът се състои от няколко параметъра. Според реда на операциите, първо трябва да извършите действията в скоби.

Първо пресмятаме израза , след което добавяме израза Получените отговори се събират.

Първо действие:

Второ действие:

Трето действие:

Отговор:стойност на израза се равнява

Пример 13Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране:

Получава се чрез събиране на рационални числа с различни знаци. Извадете по-малкия модул от по-големия и поставете знака пред отговора, чийто модул е по-голям. Но имаме работа със смесени числа. За да разберете кой модул е по-голям и кой по-малък, трябва да сравните модулите на тези смесени числа. И за да сравните модулите на смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и да ги сравните като обикновени дроби.

Следващата фигура показва всички стъпки за сравняване на модули от смесени числа

Знаейки кой модул е по-голям и кой е по-малък, можем да продължим изчислението на нашия пример:

По този начин стойността на израза се равнява

Помислете за събирането и изваждането на десетични дроби, които също са рационални числа и могат да бъдат както положителни, така и отрицателни.

Пример 14Намерете стойността на израза?3.2 + 4.3

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за десетичната дроб 4.3. Този десетичен знак има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не се записва. Но ще го запишем за яснота:

Модулът на 4,3 е по-голям от модула на 3,2, така че извадихме 3,2 от 4,3. Получих отговор 1.1. Отговорът е да, защото отговорът трябва да съдържа знака на по-големия модул, т.е. модула |+4,3|.

Значи стойността на израза?3,2 + (+4,3) е 1,1

Пример 15Намерете стойността на израза 3,5 + (?8,3)

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия от по-големия модул и поставяме знака пред отговора, чийто модул е по-голям

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Така стойността на израза 3,5 + (?8,3) е равна на?4,8

Този пример може да бъде написан по-кратко:

Пример 16Намерете стойността на израза?7.2 + (?3.11)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Така стойността на израза?7.2 + (?3.11) е?10.31

Този пример може да бъде написан по-кратко:

Пример 17.Намерете стойността на израза?0,48 + (?2,7)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме знак минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Пример 18.Намерете стойността на израза?4,9 ? 5.9

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за десетичната дроб 5.9. Този десетичен знак има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не се записва. Но ще го запишем за яснота:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Добавете техните модули и поставете минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Така стойността на израза 4,9 ? 5,9 е равно на? 10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Пример 19.Намерете стойността на израза 7 ? 9.3

Оградете всяко число в скоби заедно със знаците му

Нека заменим изваждането със събиране

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Извадете по-малкия модул от по-големия и поставете знака пред отговора, чийто модул е по-голям. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Така стойността на израза 7 ? 9,3 е равно? 2,3

Подробното решение на този пример е написано по следния начин:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Кратко решение би изглеждало така:

Пример 20.Намерете стойността на израза? 0,25 ? (?1,2)

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкото от по-голямото и поставяме знака пред отговора, чийто модул е по-голям:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Подробното решение на този пример е написано по следния начин:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Кратко решение би изглеждало така:

Пример 21.Намерете стойността на израза?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Първо ще извършим действията в скоби, след което ще добавим получения отговор с числото? 3.5. Нека пропуснем записа с модулите, за да не претрупваме изразите.

Първо действие:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Второ действие:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Отговор:стойността на израза ?3.5 + (4.1 ? 7.1) е ?6.5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Пример 22.Намерете стойността на израза (3,5 ? 2,9) ? (3,7 x 9,1)

Нека изпълним действията в скоби, след което от числото, което се получи в резултат на изпълнението на първите скоби, извадете числото, което се получи в резултат на изпълнението на вторите скоби. Нека пропуснем записа с модулите, за да не претрупваме изразите.

Първо действие:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Второ действие:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Трето действие

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Отговор:стойността на израза (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) е равно на 6.

Кратко решение на този пример може да бъде написано по следния начин:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Пример 23.Намерете стойността на израза?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Оградете в скоби всяко рационално число заедно със знаците му

Заменете изваждането със събиране, където е възможно

Изразът се състои от няколко термина. Според асоциативния закон за добавяне, ако изразът се състои от няколко члена, тогава сумата няма да зависи от реда на действията. Това означава, че условията могат да се добавят в произволен ред.

Няма да преоткриваме колелото, а добавяме всички термини отляво надясно в реда, в който се появяват:

Първо действие:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Второ действие:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Трето действие:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Отговор:стойност на израза? 3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 е равно на 1.

Кратко решение на този пример може да бъде написано по следния начин:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Кратките решения създават по-малко проблеми и объркване, така че е добре да свикнете с тях.

Пример 24.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме десетичната дроб? 1,8 в смесено число. Ще пренапишем останалото, както е. Ако имате проблеми с преобразуването на десетична запетая в смесено число, не забравяйте да повторите урока за десетичните дроби.

Пример 25.Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране. По пътя ще преведем десетичната дроб (? 4.4) в неправилна дроб

В получения израз няма отрицателни числа. И тъй като няма отрицателни числа, можем да премахнем плюса пред второто число и да пропуснем скобите. Тогава получаваме прост израз за добавяне, който лесно се решава

Пример 26.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме смесеното число в неправилна дроб, а десетичната дроб? 0,85 в обикновена дроб. Получаваме следния израз:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме знак минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

Пример 27.Намерете стойността на израз

Преобразувайте и двете дроби в неправилни дроби. За да преобразувате десетичната запетая 2,05 в неправилна дроб, можете да я преобразувате първо в смесено число и след това в неправилна дроб:

След като преобразуваме и двете дроби в неправилни дроби, получаваме следния израз:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. От по-големия модул изваждаме по-малкия и пред получения отговор поставяме знака, чийто модул е по-голям:

Пример 28.Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране. Нека преобразуваме десетична дроб в обикновена дроб

Пример 29.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме десетичните дроби? 0,25 и? 1,25 в обикновени дроби, оставете останалото както е. Получаваме следния израз:

Можете първо да замените изваждането със събиране, където е възможно, и да добавите рационалните числа едно по едно. Има и втори вариант: първо добавете рационалните числа и и след това извадете рационалното число от полученото число. Ние ще използваме тази опция.

Първо действие:

Второ действие:

Отговор:стойност на израза равно на?2.

Пример 30.Намерете стойността на израз

Преобразувайте десетични дроби в обикновени дроби. Нека оставим останалото както е.

Получихме сумата от няколко члена. Ако сумата се състои от няколко члена, тогава изразът може да бъде оценен в произволен ред. Това следва от асоциативния закон за събиране.

Затова можем да организираме най-удобния за нас вариант. Първо, можете да добавите първия и последния член, а именно рационалните числа и . Тези числа имат еднакви знаменатели, което означава, че това ще ни освободи от необходимостта да ги доведем до него.

Първо действие:

Полученото число може да се добави към втория член, а именно рационалното число. Рационалните числа имат еднакви знаменатели в дробни части, което отново е предимство за нас

Второ действие:

Добре, нека съберем полученото число?7 с последния член, а именно с рационално число. Удобно е, че при изчисляването на този израз седемте ще изчезнат, тоест тяхната сума ще бъде равна на нула, тъй като сумата на противоположните числа е равна на нула

Трето действие:

Отговор:стойността на израза е

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Събиране и изваждане на цели числа

В този урок ще научим събиране и изваждане на цели числа, както и правила за тяхното събиране и изваждане.

Спомнете си, че всички цели числа са положителни и отрицателни числа, както и числото 0. Например, следните числа са цели числа:

Положителните числа могат лесно да се събират и изваждат, умножават и делят. За съжаление това не може да се каже за отрицателните числа, които объркват много начинаещи със своите минуси преди всяка цифра. Както показва практиката, грешките, направени поради отрицателни числа, разстройват най-много учениците.

Примери за събиране и изваждане на цели числа

Първото нещо, което трябва да научите, е да събирате и изваждате цели числа с помощта на координатната линия. Не е необходимо да чертаете координатна линия. Достатъчно е да си го представите в мислите си и да видите къде са разположени отрицателните числа и къде са положителните.

Помислете за най-простия израз: 1 + 3. Стойността на този израз е 4:

Този пример може да бъде разбран с помощта на координатната линия. За да направите това, от точката, където се намира числото 1, трябва да се преместите три стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира числото 4. На фигурата можете да видите как се случва това:

Знакът плюс в израза 1 + 3 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Пример 2Нека намерим стойността на израза 1 ? 3.

Стойността на този израз е?2

Този пример отново може да бъде разбран с помощта на координатната линия. За да направите това, от точката, където се намира числото 1, трябва да се преместите три стъпки наляво. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира отрицателното число?2. Фигурата показва как се случва това:

Знак минус в израз 1 ? 3 ни казва, че трябва да се движим наляво в посока на намаляващи числа.

Като цяло трябва да помним, че ако се извърши добавяне, тогава трябва да се преместим надясно в посока на увеличаване. Ако се извърши изваждане, тогава трябва да се преместите наляво в посока на намаляване.

Пример 3Намерете стойността на израза?2 + 4

Стойността на този израз е 2

Този пример отново може да бъде разбран с помощта на координатната линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число?2, трябва да се преместите четири стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира положителното число 2.

Вижда се, че сме се преместили от точката, където се намира отрицателното число?2, вдясно с четири стъпки и сме стигнали до точката, където се намира положителното число 2.

Знакът плюс в израза?2 + 4 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Пример 4Намерете стойността на израза?1 ? 3

Стойността на този израз е?4

Този пример отново може да бъде решен с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число?1, трябва да се преместите три стъпки наляво. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира отрицателното число? 4

Вижда се, че сме се преместили от точката, в която се намира отрицателното число?1, наляво с три стъпки и сме стигнали до точката, в която се намира отрицателното число?4.

Знакът минус в израза?1 ? 3 ни казва, че трябва да се движим наляво в посока на намаляващи числа.

Пример 5Намерете стойността на израза?2 + 2

Стойността на този израз е 0

Този пример може да бъде решен с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число?2, трябва да се преместите две стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира числото 0

Вижда се, че сме се преместили от точката, където се намира отрицателното число?2, вдясно с две стъпки и сме стигнали до точката, където се намира числото 0.

Знакът плюс в израза?2 + 2 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Правила за събиране и изваждане на цели числа

За да изчислите този или онзи израз, не е необходимо всеки път да си представяте координатната линия, камо ли да я рисувате. По-удобно е да използвате готови правила.

Когато прилагате правилата, трябва да обърнете внимание на знака на операцията и знаците на числата, които трябва да се добавят или изваждат. Това ще определи кое правило да се приложи.

Пример 1Намерете стойността на израза?2 + 5

Тук положително число се добавя към отрицателно число. С други думи, извършва се добавяне на числа с различни знаци. ?2 е отрицателно, а 5 е положително. За такива случаи е предвидено следното правило:

И така, нека да видим кой модул е по-голям:

Модулът на 5 по-голям ли е от модула на числото?2. Правилото изисква изваждане на по-малкия от по-големия модул. Следователно трябва да извадим 2 от 5 и пред получения отговор да поставим знака, чийто модул е по-голям.

Числото 5 има по-голям модул, така че знакът на това число ще бъде в отговора. Тоест отговорът ще бъде положителен:

Обикновено се пише по-кратко? 2 + 5 = 3

Пример 2Намерете стойността на израза 3 + (?2)

Тук, както в предишния пример, се извършва добавяне на числа с различни знаци. 3 е положително число, а ?2 е отрицателно. Обърнете внимание, че числото?2 е оградено в скоби, за да направи израза по-ясен и красив. Този израз е много по-лесен за разбиране от израза 3+?2.

И така, прилагаме правилото за събиране на числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и поставяме знака пред отговора, чийто модул е по-голям:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Модулът на числото 3 е по-голям от модула на числото?2, затова извадихме 2 от 3 и поставихме знака на модула, който е по-голям, пред получения отговор. Числото 3 има по-голям модул, така че знакът на това число се поставя в отговора. Тоест отговорът е да.

Обикновено се записва по-кратко 3 + (? 2) = 1

Пример 3Намерете стойността на израза 3 ? 7

В този израз по-голямото число се изважда от по-малкото число. За такъв случай е предвидено следното правило:

За да извадите по-голямо число от по-малко число, трябва да извадите по-малкото от по-голямото число и да поставите минус пред получения отговор.

Има лек улов в този израз. Спомнете си, че знакът за равенство (=) се поставя между стойностите и изразите, когато те са равни един на друг.

Стойността на израз 3 ? 7 как разбрахме, че е равно?4. Това означава, че всички трансформации, които ще извършим в този израз, трябва да са равни?4

Но виждаме, че вторият етап съдържа израза 7 ? 3, което не е равно на?4.

За да се коригира тази ситуация, изразът 7 ? 3 трябва да се вземе в скоби и да се постави минус пред тази скоба:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

В този случай равенството ще се наблюдава на всеки етап:

След като изразът бъде оценен, скобите могат да бъдат премахнати, което направихме.

За да бъдем по-точни, решението трябва да изглежда така:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Това правило може да бъде написано с помощта на променливи. Ще изглежда така:

а? b=? (б? а)

Голям брой скоби и знаци за операции могат да усложнят решаването на привидно много проста задача, така че е по-целесъобразно да се научите как да пишете такива примери накратко, например 3 ? 7=? четири.

Всъщност събирането и изваждането на цели числа се свежда до просто събиране. Какво означава това? Това означава, че ако искате да извадите числа, тази операция може да бъде заменена със събиране.

И така, нека се запознаем с новото правило:

Да извадите едно число от друго означава да добавите към умаленото число, което ще бъде обратно на изваденото.

Например, разгледайте най-простия израз 5 ? 3. В началните етапи на изучаване на математика просто поставихме знак за равенство и записахме отговора:

Но сега напредваме в обучението, така че трябва да се адаптираме към новите правила. Новото правило казва, че изваждането на едно число от друго означава добавяне към умаляваното число, което ще бъде обратно на изваденото.

Използвайки израза 5?3 като пример, нека се опитаме да разберем това правило. Това, което се намалява в този израз, е 5, а това, което се изважда, е 3. Правилото казва, че за да извадите 3 от 5, трябва да добавите към 5 число, което ще бъде противоположно на 3. Обратното число за числото 3 е? 3. Пишем нов израз:

И ние вече знаем как да намираме стойности за такива изрази. Това е добавянето на числа с различни знаци, които обсъдихме по-горе. За да добавите числа с различни знаци, трябва да извадите по-малкото от по-големия модул и да поставите знака, чийто модул е по-голям пред получения отговор:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Модулът на 5 по-голям ли е от модула на числото?3. Следователно извадихме 3 от 5 и получихме 2. Числото 5 има по-голям модул, така че знакът на това число беше поставен в отговора. Тоест отговорът е положителен.

Отначало не всеки успява бързо да замени изваждането със събиране. Това е така, защото положителните числа се записват без знак плюс.

Например в израза 3 ? Знакът минус 1, указващ изваждане, е знакът на операцията и не се отнася за такава. Единицата в този случай е положително число и има свой знак плюс, но ние не го виждаме, защото традиционно плюс не се пише пред положителни числа.

И така, за по-голяма яснота, този израз може да бъде написан по следния начин:

За удобство числата с техните знаци са оградени в скоби. В този случай заместването на изваждането със събиране е много по-лесно. В този случай се изважда числото (+1), а обратното число (?1). Нека заменим операцията изваждане със събиране и вместо субтрахенда (+1) запишем противоположното число (? 1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

На пръв поглед изглежда какъв е смисълът от тези допълнителни жестове, ако можете да използвате добрия стар метод да поставите знак за равенство и веднага да запишете отговор 2. Всъщност това правило ще ни помогне повече от веднъж.

Нека решим предишния пример 3? 7 с помощта на правилото за изваждане. Първо привеждаме израза в нормална форма, като поставяме всяко число с неговите знаци. Три има знак плюс, защото е положително число. Минусът, показващ изваждане, не се отнася за седемте. Седем има знак плюс, защото е и положително число:

Нека заменим изваждането със събиране:

По-нататъшното изчисление не е трудно:

Пример 7Намерете стойността на израза?4 ? 5

Пред нас отново е операцията изваждане. Тази операция трябва да се замени със събиране. Към намаленото (?4) добавяме числото, противоположно на изваденото (+5). Противоположното число за субтрахенда (+5) е числото (?5).

Стигнахме до ситуация, в която трябва да събираме отрицателни числа. За такива случаи е предвидено следното правило:

За да добавите отрицателни числа, трябва да добавите техните модули и да поставите минус пред получения отговор.

И така, нека да съберем модулите на числата, както изисква правилото, и да поставим минус пред получения отговор:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Записът с модули трябва да се постави в скоби и да се постави минус пред тези скоби. Така че предоставяме минус, който трябва да е преди отговора:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Решението за този пример може да бъде написано по-кратко:

Пример 8Намерете стойността на израза?3 ? 5? 7? 9

Нека приведем израза в ясна форма. Тук всички числа с изключение на числото?3 са положителни, така че ще имат знаци плюс:

Нека заменим операциите изваждане с операциите събиране. Всички минуси (с изключение на минуса, който е пред тройката) ще се променят на плюсове, а всички положителни числа ще се променят на противоположни:

Сега приложете правилото за събиране на отрицателни числа. За да добавите отрицателни числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред получения отговор:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Решението за този пример може да бъде написано по-кратко:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Пример 9Намерете стойността на израза?10 + 6 ? 15 + 11? 7

Нека приведем израза в ясна форма:

Тук има две операции: събиране и изваждане. Оставяме събирането както е и заместваме изваждането с добавяне:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Следвайки реда на действията, ние ще извършим всяко действие на свой ред, въз основа на предварително изучените правила. Записите с модули могат да бъдат пропуснати:

Първо действие:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Второ действие:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Трето действие:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Четвърто действие:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Значи стойността на израза ?10 + 6 ? 15 + 11? 7 е равно?15

Забележка. Не е необходимо изразът да се привежда в ясна форма, като се поставят числа в скоби. Когато свикнете с отрицателни числа, това действие може да се пропусне, тъй като отнема време и може да бъде объркващо.

Така че, за да добавяте и изваждате цели числа, трябва да запомните следните правила:

За да добавите числа с различни знаци, трябва да извадите по-малък модул от по-голям модул и да поставите знака, чийто модул е по-голям пред отговора.

За да извадите по-голямо число от по-малко число, трябва да извадите по-малкото от по-голямото число и да поставите знак минус пред получения отговор.

Да извадите едно число от друго означава да добавите към намаленото число обратното на изваденото.

За да добавите отрицателни числа, трябва да добавите техните модули и да поставите знак минус пред получения отговор.

Хокей без правила VKontakte Играта беше пусната през септември 2012 г. и вече спечели почти 700 000 потребители. Има два режима на игра и много възможности за изграждане на екип. Ходът на мача в Ultimate Hockey VKontakte напомня на ранните игри от серията NHL от Electronic Arts. 3 играчи на […]
Правила на Omaha Holdem Poker Omaha Hi-Lo и Omaha Five Card Omaha Holdem (Omaha Hold "Em) е лека модификация на Texas Hold'em. Ако сте нов в този най-популярен вид покер, проучете правилата на Texas Hold'em на връзката; техните знания са необходими, за да разберат правилата на Омаха. Всички […]
Решаване на проблеми в генетиката с помощта на законите на Мендел 1 и 2 Лекция 8 Юлия Кяхренова 1. - презентация Презентацията е публикувана преди 3 години от Алина Артемьева." […]
Алгебра с правила 5-7 Числова редица, всеки член на която, като се започне от втория, е равен на предходния, добавен със същото число d за тази редица, се нарича аритметична прогресия. Числото d се нарича разлика на аритметична прогресия. В аритметична прогресия, т.е. в […]
Ние определяме ставката на транспортния данък за микробуси и други нетипични превозни средства с категория "B" Ние хващаме необходимата информация от заглавието ) не е необходимо да се взема предвид. В края на краищата категорията „В“ изобщо не означава […]
Рейтинг на застрахователните компании OSAGO OSAGO се отнася до задължителната застраховка, тя е валидна не само в Русия, но и в други страни от близката чужбина. Тези полици се издават от много застрахователни компании, които са получили съответния лиценз за извършване на такава дейност. Въпреки това, […]
Настаняване хотел Уфа Мини-хотел в Уфа 5 Пет стаи Каним гостите на столицата в уютен и комфортен хотел, разположен в центъра на Уфа по улица Комсомолская 159/1. В непосредствена близост до хотела се намират кино комплекс Искра IMAX, цирк, ресторант-клуб A cafe, ресторант Beer Berry, […]
Правила за използване на сегашно просто време на английски Present Simple Tense е граматическо време, което се смята за едно от най-лесните за разбиране, тъй като сегашно просто време съществува във всички езици. В славянските езици това е вярно. Ако четете тази статия, това означава, че сте само […]

Понятието степен по математика се въвежда още в 7 клас в час по алгебра. И в бъдеще, през целия курс на изучаване на математика, това понятие се използва активно в различните му форми. Градусите са доста трудна тема, изискваща запомняне на стойности и способност за правилно и бързо броене. За по-бърза и по-добра работа с математически степени те излязоха със свойствата на степента. Те помагат да се намалят големите изчисления, да се преобразува до известна степен огромен пример в едно число. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Следователно в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

степенни свойства

Ще разгледаме 12 свойства на степен, включително свойства на степени с една и съща основа, и ще дадем пример за всяко свойство. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате по-бързо задачи с градуси, както и ще ви предпази от множество изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство, правят грешки, представяйки число до нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножаване на числа, то не работи със сумата! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени с една и съща основа.

4-ти имот.

Ако числото в знаменателя се повдигне до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби, за да се замени правилно знакът при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, не и при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и обратно. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на отрицателна степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сбор и разлика! При повдигане на сбор или разлика на степен се използват съкратени формули за умножение, а не свойствата на степента.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на едно, формулата ще бъде същата, само степента на корена ще се промени в зависимост от знаменателя на степента.

Освен това това свойство често се използва в обратен ред. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степен едно, разделено на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на числото не е извлечен.

10-ти имот.

Това свойство работи не само с корен квадратен и втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, са еднакви, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да си спестите огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи, може да бъде дадено в чист вид или може да изисква някои трансформации и използване на други формули. Следователно за правилното решение не е достатъчно да знаете само свойствата, трябва да практикувате и да свързвате останалите математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделно, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, както и степените често усложняват уравнения и примери, свързани с други раздели на математиката. Експонентите помагат да се избегнат големи и дълги изчисления, по-лесно е да се намалят и изчислят експонентите. Но за да работите с големи мощности или със степени на големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степента, но и да работите компетентно с основите, да можете да ги разлагате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви за решаване, като елиминира необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степента на число.

Формулите за съкратено умножение са друг пример за използване на степени. Те не могат да използват свойствата на степените, те се разлагат по специални правила, но във всяка формула за съкратено умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преводи в системата SI се извършват с помощта на степени и в бъдеще при решаване на проблеми се прилагат свойствата на степента. В компютърните науки мощностите на две се използват активно за удобство на броенето и опростяване на възприемането на числата. Допълнителни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на проблеми, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на степента.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко можете да намерите използването на свойствата на степен, но самите градуси се използват активно за съкращаване на записа на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми, разстояния.

С помощта на степени, много големи и много малки стойности се записват във всяка област на науката.

експоненциални уравнения и неравенства

Степенните свойства заемат особено място именно в експоненциалните уравнения и неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищния курс, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги е в самата степен, следователно, знаейки всички свойства, няма да е трудно да се реши такова уравнение или неравенство.

Урок на тема: "Правила за умножение и деление на степени с еднакви и различни степени. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство към учебника A.G. Мордкович

Целта на урока: да научите как да извършвате операции със степен на число.

Като начало, нека си припомним понятието "степен на число". Израз като $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да бъде представен като $a^n$.

Обратното също е вярно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Това равенство се нарича "записване на степента като произведение". Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме правомощията.
Помня:
а- основата на степента.
н- експонента.
Ако n=1, което означава числото авзети веднъж и съответно: $a^n= a$.
Ако n=0, тогава $a^0= 1$.

Защо се случва това, можем да разберем, когато се запознаем с правилата за умножение и деление на степени.

правила за умножение

а) Ако степените с еднаква основа се умножат.
Към $a^n * a^m$ записваме степените като произведение: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Фигурата показва, че броят аса взели n+mпъти, тогава $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно да се използва за опростяване на работата при повишаване на число до голяма степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако степените се умножават с различна основа, но същата степен.
Към $a^n * b^n$ записваме степените като произведение: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Така $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

правила за разделяне

а) Основата на степента е една и съща, показателите са различни.
Помислете за разделяне на степен с по-голям показател, като разделите степен с по-малък показател.

Така че е необходимо $\frac(a^n)(a^m)$, където n>m.

Записваме градусите като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

За удобство записваме делението като проста дроб.

Сега нека намалим дробта.

Оказва се: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
означава, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на число на степен нула. Да приемем, че n=m, тогава $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да кажем, че имате нужда от $\frac(a^n)( b^n)$. Записваме степените на числата като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Нека си представим за по-удобно.

Използвайки свойството на дробите, ние разделяме голяма фракция на произведение от малки, получаваме.
$\под скоба(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Съответно: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Пример.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разделение на властите

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Ако не обърнем внимание на осма степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха разменени, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се върнем към примера:

И отново формулата:

цялоназоваваме естествените числа, техните противоположности (т.е. взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги се питаме: защо е така?

Помислете за мощност с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, както беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак получаваш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината за това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест, сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числата, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като миналия път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число на отрицателна степен е обратното на същото число на положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачите за самостоятелно решаване:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте решението им, ако не сте успели да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, "подходящи" като показател.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега си спомнете правилото "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно.

Тоест, коренът на та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за намиране с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

И това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но веднага щом напишем индикатора по различен начин, отново имаме проблеми: (тоест получихме напълно различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

- естествено число;
е цяло число;

Примери:

Степените с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

1. Не забравяйте за обичайните свойства на градусите:

2. . Тук си спомняме, че забравихме да научим таблицата на градусите:

все пак - това или. Решението се намира автоматично: .

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степени с рационален показател, с изключение на

Всъщност по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно числото;

...цяло отрицателно число- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научите да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен в степен:

Сега вижте резултата. Той напомня ли ви за нещо? Спомняме си формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Привеждаме дроби в експоненти в една и съща форма: или десетични, или обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

— основа на степента;
- експонента.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

- естествено число;
е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило непременнотрябва да има същата основа. Следователно ние комбинираме степените с основата, но оставаме отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведения на мощности!

При никакви обстоятелства не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест според дефиницията това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече „извеждане на индикатора в скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:!

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само това, което трябва да бъде индексстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Наистина можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото ще бъде ли положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В края на краищата помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можете да формулирате тези прости правила:

дористепен, - номер положителен.
Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
Положително число на всяка степен е положително число.
Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомняте това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме дефиницията на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бяха обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически са разменили местата си. Този "феномен" се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да се замени със смяна само на един неприятен за нас минус!

Да се върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказаха множители. Тоест, по дефиниция това е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

При изучаване на степени с естествен, целочислен и рационален показател, всеки път съставяхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, така да се каже, число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен индикатор - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, науката често използва степен със сложен експонент, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

Отговори:

Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
Нищо специално, прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател са отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

показател, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степените.

Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
Положително число на всяка степен е положително число.
Нула е равна на всяка степен.
Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви харесва или не.

Разкажете ни за опита си с мощността.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!