Тълкуване на сънища Удилова 

Свойства на триъгълна пирамида. Основите на геометрията: правилната пирамида е

Как можете да построите пирамида? На повърхността Рконструирайте някакъв многоъгълник, например петоъгълника ABCDE. Извън самолета Рвземете точката S. Свързвайки точката S с отсечки с всички точки на многоъгълника, получаваме пирамидата SABCDE (фиг.).

Точка S се нарича връх, а многоъгълникът ABCDE - базатази пирамида. Така пирамида с връх S и основа ABCDE е обединението на всички сегменти, където M ∈ ABCDE.

Триъгълниците SAB, SBC, SCD, SDE, SEA се наричат странични лицапирамиди, общи страни на странични лица SA, SB, SC, SD, SE - странични ребра.

Пирамидите се наричат триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. На фиг. дадени са изображения на триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

Равнината, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата, се нарича диагонал, и полученото напречно сечение - диагонал.На фиг. 186 едно от диагоналните сечения на шестоъгълната пирамида е защриховано.

Отсечката от перпендикуляра, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа, се нарича височина на пирамидата (краищата на тази отсечка са върха на пирамидата и основата на перпендикуляра).

Пирамидата се нарича правилноако основата на пирамидата е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в нейния център.

Всички странични стени на правилна пирамида са еднакви равнобедрени триъгълници. В правилната пирамида всички странични ръбове са еднакви.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотемапирамиди. Всички апотеми на правилната пирамида са еднакви.

Ако обозначим страната на основата като а, и апотема през ч, тогава площта на едната странична повърхност на пирамидата е 1/2 ах

Сумата от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича площ на страничната повърхностпирамиди и се обозначава със страна S.

Тъй като страничната повърхност на правилната пирамида се състои от нтогава конгруентни лица

S страна = 1/2 ан= П ч / 2 ,

където P е периметърът на основата на пирамидата. Следователно,

S страна = П ч / 2

т.е. площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата

S = S ocn. + S страна. .

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа S ocn. до височина H:

V = 1 / 3 S ocn. Н.

Извеждането на тази и някои други формули ще бъде дадено в следваща глава.

Сега нека построим пирамида по различен начин. Нека е даден полиедърен ъгъл, например петстранен, с връх S (фиг.).

Начертайте равнина Ртака че да пресича всички ръбове на даден полиедърен ъгъл в различни точки A, B, C, D, E (фиг.). Тогава пирамидата SABCDE може да се разглежда като пресечна точка на многостенен ъгъл и полупространство с граница Р, който съдържа върха S.

Очевидно броят на всички лица на пирамидата може да бъде произволен, но не по-малко от четири. Когато равнина пресича тристенен ъгъл, се получава триъгълна пирамида, която има четири лица. Всяка триъгълна пирамида понякога се нарича тетраедър, което означава четириъгълник.

пресечена пирамидаможе да се получи, ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата.

На фиг. дадено е изображението на четириъгълна пресечена пирамида.

Нар. пресечени пирамиди триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. От конструкцията на пресечена пирамида следва, че тя има две основи: горна и долна. Основите на пресечена пирамида са два многоъгълника, чиито страни са успоредни по двойки. Страничните стени на пресечена пирамида са трапецовидни.

ВисочинаПресечена пирамида е сегмент от перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на горната основа към равнината на долната.

Правилна пресечена пирамиданаречена част от правилна пирамида, затворена между основата и равнина на сечение, успоредна на основата. Височината на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида (трапец) се нарича апотема.

Може да се докаже, че правилната пресечена пирамида има еднакви странични ръбове, всички странични стени са еднакви и всички апотеми са еднакви.

Ако в правилното съкратено н- въглищна пирамида през аи b nобозначават дължините на страните на горната и долната основа и през ч- дължината на апотемата, тогава площта на всяка странична повърхност на пирамидата е

1 / 2 (а + b n) ч

Сумата от площите на всички странични стени на пирамидата се нарича площ на нейната странична повърхност и се обозначава като S страна. . Очевидно, за редовно съкратено н- въглищна пирамида

S страна = н 1 / 2 (а + b n) ч.

защото па= P и nb n\u003d P 1 - периметрите на основите на пресечената пирамида, след това

S страна \u003d 1 / 2 (P + P 1) ч,

площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида е равна на половината от произведението на сумата от периметрите на нейните основи и апотемата.

Разрез, успореден на основата на пирамидата

Теорема. Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ребра и височината ще бъдат разделени на пропорционални части;

2) в участъка получавате многоъгълник, подобен на основата;

3) площите на сечението и основата се отнасят като квадрати на разстоянията им от върха.

Достатъчно е да докажем теоремата за триъгълна пирамида.

Тъй като успоредните равнини се пресичат от третата равнина по успоредни прави, тогава (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (фиг.).

Успоредните линии нарязват страните на ъгъла на пропорционални части и следователно

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Следователно ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|) $$

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 и

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

По този начин,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Съответните ъгли на триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са еднакви, като ъгли с успоредни и еднакво насочени страни. Ето защо

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Площите на подобни триъгълници се отнасят като квадратите на съответните страни:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\right|) $$

Следователно,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Ако две пирамиди с еднаква височина са разчленени на еднакво разстояние от върха с равнини, успоредни на основите, то площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, bи b 1 - площи на напречно сечение от равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние ч.

Според предишната теорема ще имаме:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: и \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
където
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: или \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Последица.Ако B \u003d B 1, тогава и b = b 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, то сеченията, които са на еднакво разстояние от върха, също са равни.

Други материали

Триъгълна пирамида е пирамида, базирана на триъгълник. Височината на тази пирамида е перпендикулярът, който се спуска от върха на пирамидата към нейните основи.

Намиране на височината на пирамида

Как да намерите височината на пирамида? Много просто! За да намерите височината на всяка триъгълна пирамида, можете да използвате формулата за обем: V = (1/3)Sh, където S е площта на основата, V е обемът на пирамидата, h е нейната височина. От тази формула извлечете формулата за височина: за да намерите височината на триъгълна пирамида, трябва да умножите обема на пирамидата по 3 и след това да разделите получената стойност на основната площ, тя ще бъде: h \u003d (3V ) / С. Тъй като основата на триъгълна пирамида е триъгълник, можете да използвате формулата за изчисляване на площта на триъгълник. Ако знаем: площта на триъгълника S и неговата страна z, тогава според формулата за площ S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, където h е височината на пирамидата, γ е ръбът на триъгълника; ъгълът между страните на триъгълника и самите две страни, след което използвайки следната формула: S = (1/2)γφsinQ, където γ, φ са страните на триъгълника, намираме площта на триъгълника. Стойността на синуса на ъгъла Q трябва да се види в таблицата на синусите, която е в Интернет. След това заместваме стойността на площта във формулата за височина: h = (2S)/γ. Ако задачата изисква изчисляване на височината на триъгълна пирамида, тогава обемът на пирамидата вече е известен.

Правилна триъгълна пирамида

Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, т.е. пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници, като знаете размера на ръба γ. В този случай ръбовете на пирамидата са страни на равностранни триъгълници. Височината на правилна триъгълна пирамида ще бъде: h = γ√(2/3), където γ е ръбът на равностранен триъгълник, h е височината на пирамидата. Ако площта на основата (S) е неизвестна и са дадени само дължината на ръба (γ) и обемът (V) на полиедъра, тогава необходимата променлива във формулата от предишната стъпка трябва да бъде заменена чрез неговия еквивалент, който се изразява като дължина на ръба. Площта на триъгълник (правилен) е равна на 1/4 от произведението на дължината на страната на този триъгълник, повдигнато на квадрат по корен квадратен от 3. Ние заместваме тази формула вместо основната площ в предишната формула , и получаваме следната формула: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Обемът на тетраедър може да се изрази чрез дължината на неговия ръб, тогава всички променливи могат да бъдат премахнати от формулата за изчисляване на височината на фигура и може да се остави само страната на триъгълното лице на фигурата. Обемът на такава пирамида може да се изчисли, като се раздели на 12 от произведението дължината на нейното лице, куб на корен квадратен от 2.

Заместваме този израз в предишната формула, получаваме следната формула за изчисляване: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Освен това правилна триъгълна призма може да бъде вписана в сфера и като знаете само радиуса на сферата (R), можете да намерите самата височина на тетраедъра. Дължината на ръба на тетраедъра е: γ = 4R/√6. Заменяме променливата γ с този израз в предишната формула и получаваме формулата: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Същата формула може да се получи, като се знае радиуса (R) на окръжност, вписана в тетраедър. В този случай дължината на ръба на триъгълника ще бъде равна на 12 съотношения между корен квадратен от 6 и радиуса. Заместваме този израз в предишната формула и имаме: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как да намерите височината на правилна четириъгълна пирамида

За да отговорите на въпроса как да намерите дължината на височината на пирамидата, трябва да знаете какво е правилната пирамида. Четириъгълна пирамида е пирамида, основана на четириъгълник. Ако в условията на проблема имаме: обем (V) и площ на основата (S) на пирамидата, тогава формулата за изчисляване на височината на полиедъра (h) ще бъде както следва - разделете обема, умножен по 3, на площта S: h \u003d (3V) / S. С квадратна основа на пирамида с известни: зададен обем (V) и дължина на страната γ, заменете площта (S) в предишната формула с квадрата на дължината на страната: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Височината на правилната пирамида h = SO минава точно през центъра на окръжността, която е описана близо до основата. Тъй като основата на тази пирамида е квадрат, точката O е пресечната точка на диагоналите AD и BC. Имаме: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Освен това намираме в правоъгълен триъгълник SOC (според Питагоровата теорема): SO = √(SC 2 -OC 2). Сега знаете как да намерите височината на правилна пирамида.

Текстът на творбата е поместен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Файлове за работа" в PDF формат

Въведение

Когато срещнем думата "пирамида", тогава асоциативната памет ни отвежда в Египет. Ако говорим за ранните паметници на архитектурата, тогава може да се твърди, че техният брой е поне няколкостотин. Арабски писател от 13-ти век е казал: „Всичко в света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“. Пирамидите са единственото чудо от седемте чудеса на света, оцеляло до нашето време, до ерата на компютърните технологии. Изследователите обаче все още не са успели да намерят улики за всичките им мистерии. Колкото повече научаваме за пирамидите, толкова повече въпроси имаме. Пирамидите представляват интерес за историци, физици, биолози, лекари, философи и др. Те представляват голям интерес и насърчават по-задълбочено изследване на техните свойства, както от математическа, така и от друга гледна точка (историческа, географска и др.).

Ето защо целНашето изследване беше изследване на свойствата на пирамидата от различни гледни точки. Като междинни цели сме посочили: разглеждане на свойствата на пирамидата от гледна точка на математиката, изследване на хипотези за съществуването на тайни и мистерии на пирамидата, както и възможностите за нейното приложение.

обектизследването в тази статия е пирамида.

Предметизследване: характеристики и свойства на пирамидата.

Задачиизследване:

    Да изучава научно-популярна литература по изследваната тема.

    Разгледайте пирамидата като геометрично тяло.

    Определете свойствата и характеристиките на пирамидата.

    Намерете материал, потвърждаващ приложението на свойствата на пирамидата в различни области на науката и технологиите.

Методиизследване: анализ, синтез, аналогия, мислено моделиране.

Очакван резултат от работататрябва да има структурирана информация за пирамидата, нейните свойства и приложения.

Етапи на подготовка на проекта:

    Определяне на темата на проекта, цели и задачи.

    Проучване и събиране на материал.

    Изготвяне на проектен план.

    Формулиране на очаквания резултат от дейността по проекта, включително усвояването на нов материал, формирането на знания, умения и способности в предметната дейност.

    Формулиране на резултатите от изследването.

    Отражение

    Пирамидата като геометрично тяло

Помислете за произхода на думата и термина " пирамида". Веднага си струва да се отбележи, че "пирамидата" или " пирамида"(Английски), " пирамида"(френски, испански и славянски езици), пирамида(немски) е западен термин с произход от древна Гърция. На старогръцки πύραμίς („П ирамис"и много други. ч. Πύραμίδες « пирамиди"") има няколко значения. Древните гърци са наричали пирамида» пшенична торта, която наподобяваше формата на египетски структури. По-късно думата започва да означава „монументална структура с квадратна площ в основата и с наклонени страни, срещащи се на върха. Етимологичният речник показва, че гръцкото "пирамида" идва от египетския " пимар".Първото писмено тълкуване на думата "пирамида"открит в Европа през 1555 г. и означава: "един от видовете древни сгради на царе". След откриването на пирамидите в Мексико и с развитието на науката през 18 век пирамидата се превръща не само в древен паметник на архитектурата, но и в правилна геометрична фигура с четири симетрични страни (1716 г.). Началото на геометрията на пирамидата е положено в древен Египет и Вавилон, но активно се развива в древна Гърция. Първият, който установява на какво е равен обемът на пирамидата е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва.

Първото определение принадлежи на древногръцкия математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнали до нас, Евклид. В XII том на своите "Начала" той определя пирамидата като телесна фигура, ограничена от равнини, които от една равнина (основа) се събират в една точка (върх). Но това определение е било критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник“.

Съществува дефиниция на френския математик Адриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своя труд „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е телесна фигура, образувана от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа."

Съвременните речници тълкуват термина "пирамида", както следва:

Многостен, чиято основа е многоъгълник, а другите лица са триъгълници, които имат общ връх

Обяснителен речник на руския език, изд. Д. Н. Ушакова

Тяло, ограничено от равни триъгълници, съставено от върхове в една точка и образуващи квадрат с основите си

Обяснителен речник на V.I.Dal

Многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх

Тълковен речник, изд. С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведова

Многостен, чиято основа е многоъгълник и чиито странични лица са триъгълници, които имат общ връх

Т. Ф. Ефремов. Нов тълковен и деривационен речник на руския език.

Многостен, едното лице на който е многоъгълник, а другите лица са триъгълници с общ връх

Речник на чуждите думи

Геометрично тяло, чиято основа е многоъгълник и чиито страни са толкова триъгълници, колкото основата има страни, чиито върхове се събират в една точка.

Речник на чуждите думи на руския език

Многостен, едно лице на който е някакъв вид плосък многоъгълник, а всички други лица са триъгълници, чиито основи са страните на основата на триъгълника, а върховете се събират в една точка

Е. Brockhaus, I.A. Ефрон. енциклопедичен речник

Полиедър, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх

Съвременен тълковен речник

Многостен, едно от лицата на което е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх

Математически енциклопедичен речник

Анализирайки дефинициите на пирамидата, можем да заключим, че всички източници имат подобни формулировки:

Пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх. Според броя на ъглите на основата пирамидите биват триъгълни, четириъгълни и др.

Многоъгълникът A 1 A 2 A 3 ... An е основата на пирамидата, а триъгълниците RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 са страничните стени на пирамидата, P е върхът на пирамидата, сегментите RA 1, RA 2, ..., PAn - странични ребра.

Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича чпирамиди.

В допълнение към произволна пирамида има правилна пирамида, в основата на която има правилен многоъгълник и пресечена пирамида.

■ площОбщата повърхност на пирамида е сумата от площите на всички нейни лица. Sпълна = S страна + S основна, където S страна е сумата от площите на страничните повърхности.

Сила на звукапирамида се намира по формулата: V=1/3S main.h, където S main. - площ на основата, h - височина.

Да се свойства на пирамидатаотнасям се:

Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава е лесно да се опише кръг близо до основата на пирамидата, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг; страничните ребра образуват същите ъгли с основната равнина; освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато кръг може да бъде описан близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат еднакъв размер.

Когато страничните стени имат ъгъл на наклон към равнината на основата със същата стойност, тогава е лесно да се опише кръг близо до основата на пирамидата, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг ; височините на страничните лица са с еднаква дължина; площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник, а върхът е проектиран в центъра на основата. Страничните стени на правилната пирамида са равни, равнобедрени триъгълници (фиг. 2а). осПравилна пирамида се нарича права линия, съдържаща нейната височина. апотема -височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх.

Квадратстранично лице на правилна пирамида се изразява по следния начин: Sстрана. \u003d 1 / 2P h, където P е периметърът на основата, h е височината на страничната повърхност (апотемата на правилната пирамида). Ако пирамидата е пресечена от равнина A'B'C'D', успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височината се разделят от тази равнина на пропорционални части; в разрез се получава многоъгълник A'B'C'D', подобен на основата; площите на сечението и основата са свързани като квадрати на техните разстояния от върха.

Пресечена пирамидасе получава чрез отрязване на горната й част от пирамидата с равнина, успоредна на основата (фиг. 2b). Основите на пресечената пирамида са подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните стени са трапеци. Височината на пресечена пирамида е разстоянието между основите. Обемът на пресечена пирамида се намира по формулата: V=1/3 h (S + + S'), където S и S' са площите на основите ABCD и A'B'C'D', h е височината.

Основите на правилната пресечена n-ъгълна пирамида са правилни n-ъгълници. Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява, както следва: Sстрана. \u003d ½ (P + P ') h, където P и P' са периметрите на основите, h е височината на страничната повърхност (апотемата на правилна пресечена пирамида)

Сеченията на пирамидата с равнини, минаващи през върха й, са триъгълници. Сечение, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамида, се нарича диагонално сечение. Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава тази страна ще бъде неговата следа върху равнината на основата на пирамидата. Сечение, минаващо през точка, лежаща на лицето на пирамидата и дадена следа от сечението върху равнината на основата, тогава конструкцията трябва да се извърши по следния начин: намерете пресечната точка на равнината на даденото лице и очертайте сечението на пирамидата и го обозначете; построяват права линия, минаваща през дадена точка и получената пресечна точка; Повторете тези стъпки за следващите лица.

Правоъгълна пирамида -това е пирамида, в която един от страничните ръбове е перпендикулярен на основата. В този случай този ръб ще бъде височината на пирамидата (фиг. 2в).

Правилна триъгълна пирамида- Това е пирамида, чиято основа е правилен триъгълник, а върхът е проектиран в центъра на основата. Частен случай на правилната триъгълна пирамида е тетраедър. (фиг. 2а)

Нека разгледаме теоремите, свързващи пирамидата с други геометрични тела.

Сфера

Сфера може да бъде описана в близост до пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи многоъгълник, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема следва, че една сфера може да бъде описана както за всяка триъгълна, така и за всяка правилна пирамида; Сфера може да бъде вписана в пирамида, когато симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Конус

Конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата му е вписана в основата на пирамидата. Освен това е възможно да се впише конус в пирамида само когато апотемите на пирамидата са равни една на друга (необходимо и достатъчно условие); Конус се нарича вписан близо до пирамидата, когато върховете им съвпадат и основата му е вписана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише конус в близост до пирамидата само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг (необходимо и достатъчно условие); Височините на такива конуси и пирамиди са равни една на друга.

Цилиндър

Цилиндърът се нарича вписан в пирамида, ако едната му основа съвпада с окръжност, вписана в сечението на пирамидата от равнина, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата. Цилиндърът се нарича вписан близо до пирамидата, ако върхът на пирамидата принадлежи към една от нейните основи, а другата му основа е вписана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамидата само когато в основата на пирамидата има вписан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидата с пропорциите на златното сечение. Ще разгледаме как съотношенията на златното сечение са били използвани при изграждането на пирамидите в следващия параграф, а тук ще се спрем на дефиницията на златното сечение.

Математическият енциклопедичен речник дава следното определение златно сечение- това е разделянето на отсечката AB на две части по такъв начин, че по-голямата част от нейната AC е средното пропорционално между цялата отсечка AB и по-малката му част CB.

Алгебричното намиране на златното сечение на сегмента AB = a се свежда до решаване на уравнението a: x = x: (a-x), откъдето x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да се изрази като дроби n/n+1= 0,618, където n е числото на Фибоначи, номерирано с n.

Златното сечение често се използва в произведения на изкуството, архитектурата и се среща в природата. Ярки примери са скулптурата на Аполон Белведере, Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например, подвързиите на много книги също имат съотношение ширина към дължина, близко до 0,618.

Така, след като проучихме научно-популярната литература по изследователския проблем, стигнахме до извода, че пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Разгледахме елементите и свойствата на пирамидата, нейните видове и съответствие с пропорциите на Златното сечение.

2. Характеристики на пирамидата

Така че в Големия енциклопедичен речник е написано, че пирамидата е монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога стъпаловидна или кулообразна). Гробниците на древните египетски фараони от 3-то - 2-ро хилядолетие пр. н. е. са били наричани пирамиди. д., както и пиедесталите на храмове в Централна и Южна Америка, свързани с космологични култове. Сред грандиозните пирамиди на Египет Голямата пирамида на фараона Хеопс заема специално място. Преди да преминем към анализа на формата и размера на пирамидата на Хеопс, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните са имали три единици за дължина: "лакът" (466 mm), равен на седем "длани" (66,5 mm), което от своя страна е равно на четири "пръста" (16,6 mm).

Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, например GF, е L = 233,16 м. Тази стойност съответства почти точно на 500 "лакти". Пълното съответствие с 500 "лакътя" ще бъде, ако дължината на "лакът" се счита за равна на 0,4663 m.

Височината на пирамидата (H) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички съотношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценката на височината на пирамидата? Факт е, че пирамидата на Хеопс е ​​пресечена. Горната й площадка днес е с размери приблизително 10х10 м, а преди век е била 6х6 м. Очевидно е, че върхът на пирамидата е демонтиран и не отговаря на оригиналния. Оценявайки височината на пирамидата, е необходимо да се вземе предвид такъв физически фактор като утаяването на структурата. Дълго време, под въздействието на колосално налягане (достигащо 500 тона на 1 m 2 от долната повърхност), височината на пирамидата намалява в сравнение с първоначалната си височина. Оригиналната височина на пирамидата може да бъде пресъздадена, ако намерите основната геометрична идея.

През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен на a = 51 ° 51 ". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгълът съответства на тангентата (tg a), равна на 1, 27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата AC към половината от нейната основа CB, тоест AC / CB = H / (L / 2) = 2H / Л.

И тук изследователите бяха за голяма изненада! Факт е, че ако вземем корен квадратен от златното сечение, тогава получаваме следния резултат = 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността tg a = 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъла a \u003d 51 ° 50 ", тоест го намалим само с една дъгова минута, тогава стойността на a ще стане равна на 1,272, тоест ще съвпадне със стойността. Трябва да се отбележи, че през 1840 г. G. Wise повтори измерванията си и изясни, че стойността на ъгъла a \u003d 51 ° 50 ".

Тези измервания доведоха изследователите до следната интересна хипотеза: триъгълникът ASV на пирамидата на Хеопс се основава на съотношението AC / CB = 1,272.

Помислете сега за правоъгълен триъгълник ABC, в който отношението на катетите AC / CB = . Ако сега обозначим дължините на страните на правоъгълника ABC като x, y, z и също така вземем предвид, че съотношението y / x \u003d, тогава в съответствие с теоремата на Питагор, дължината z може да бъде изчислена чрез формула:

Ако приемем x = 1, y = , тогава:

Правоъгълен триъгълник, в който страните са свързани като t::1, се нарича "златен" правоъгълен триъгълник.

Тогава, ако вземем за основа хипотезата, че основната „геометрична идея“ на Хеопсовата пирамида е „златният“ правоъгълен триъгълник, тогава оттук е лесно да се изчисли „проектната“ височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 m.

Нека сега изведем някои други отношения за пирамидата на Хеопс, които следват от "златната" хипотеза. По-специално, намираме съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направим това, ние приемаме дължината на крака CB като единица, тоест: CB = 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата е GF = 2, а основната площ EFGH ще бъде равна на S EFGH = 4.

Нека сега изчислим площта на страничната стена на Хеопсовата пирамида S D . Тъй като височината AB на триъгълник AEF е равна на t, тогава площта на страничната повърхност ще бъде равна на S D = t. Тогава общата площ на всичките четири странични лица на пирамидата ще бъде равна на 4t, и съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение. Това е основната геометрична тайна на Хеопсовата пирамида.

И също така, по време на изграждането на египетските пирамиди беше установено, че квадратът, построен на височината на пирамидата, е точно равен на площта на всеки от страничните триъгълници. Това се потвърждава от последните измервания.

Знаем, че съотношението между обиколката на кръга и неговия диаметър е постоянна стойност, добре позната на съвременните математици, ученици - това е числото "Пи" = 3,1416 ... Но ако добавим четирите страни на основата на Хеопсовата пирамида, получаваме 931,22 м. Разделяйки това число на удвоената височина на пирамидата (2x148,208), получаваме 3,1416 ..., тоест числото "Пи". Следователно пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който е материално въплъщение на числото "Пи", което играе важна роля в математиката.

По този начин присъствието в размера на пирамидата на златното сечение - отношението на удвоената страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π.Това, разбира се, също е функция. Въпреки че много автори смятат, че това съвпадение е случайно, тъй като дробта 14/11 е „добро приближение за корен квадратен от съотношението на златното сечение и за съотношението на площите на квадрат и кръг, вписани в него. "

Погрешно е обаче да се говори тук само за египетските пирамиди. Има не само египетски пирамиди, на Земята има цяла мрежа от пирамиди. Основните паметници (египетските и мексиканските пирамиди, Великденският остров и комплексът Стоунхендж в Англия) на пръв поглед са произволно разпръснати из нашата планета. Но ако изследването включва комплекса от тибетски пирамиди, тогава се появява строга математическа система за тяхното местоположение на повърхността на Земята. На фона на Хималайския хребет ясно се разграничава пирамидална формация - връх Кайлаш. Местоположението на град Кайлаш, египетските и мексиканските пирамиди е много интересно, а именно, ако свържете град Кайлаш с мексиканските пирамиди, то линията, която ги свързва, отива към Великденския остров. Ако свържете град Кайлаш с египетските пирамиди, тогава линията на връзката им отново минава към Великденския остров. Очертана е точно една четвърт от земното кълбо. Ако свържем мексиканските пирамиди с египетските, тогава ще видим два еднакви триъгълника. Ако намерите тяхната площ, тогава сумата им е равна на една четвърт от площта на земното кълбо.

Разкрита е безспорна връзка между комплекса тибетски пирамиди с други структуриантичността – египетските и мексиканските пирамиди, колосите на Великденския остров и комплексът Стоунхендж в Англия. Височината на главната пирамида на Тибет - планината Кайлаш - е 6714 метра. Разстоянието от Кайлаш до Северния полюс е 6714 километра, разстоянието от Кайлаш до Стоунхендж е 6714 километри. Ако оставите настрана върху земното кълбо от Северния полюс тези 6714 километра, след което ще стигнем до така наречената Дяволска кула, която прилича на пресечена пирамида. И накрая точно 6714 километра от Стоунхендж до Бермудския триъгълник.

В резултат на тези изследвания може да се заключи, че на Земята съществува пирамидално-географска система.

По този начин характеристиките са съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение;присъствието в размера на пирамидата на златното сечение - отношението на двойната страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π, т.е. пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който е материално въплъщение на числото "Пи"; съществуването на пирамидално-географска система.

3. Други свойства и приложения на пирамидата.

Помислете за практическото приложение на тази геометрична фигура. Например, холограма.Първо, нека да разгледаме какво е холография. Холография -набор от технологии за точно записване, възпроизвеждане и преоформяне на вълновите полета на оптичното електромагнитно излъчване, специален фотографски метод, при който с помощта на лазер се записват изображения на триизмерни обекти и след това се възстановяват до най-висока степен, подобни на реалните. Холограмата е продукт на холографията, триизмерно изображение, създадено от лазер, което възпроизвежда изображение на триизмерен обект. С помощта на правилна пресечена тетраедрична пирамида можете да пресъздадете изображение - холограма. Създаден е фотофайл и правилна пресечена тетраедрична пирамида от полупрозрачен материал. Прави се малък отстъп от най-долния пиксел и средния пиксел по отношение на оста y. Тази точка ще бъде средата на страната на квадрата, образуван от сечението. Снимката се мултиплицира, като нейните копия са разположени по същия начин спрямо останалите три страни. На квадрата се поставя пирамида със сечение надолу, така че да съвпада с квадрата. Мониторът генерира светлинна вълна, всяка от четирите еднакви снимки, намирайки се в равнина, която е проекция на лицето на пирамидата, пада върху самото лице. В резултат на всяко от четирите лица имаме едни и същи изображения и тъй като материалът, от който е направена пирамидата, има свойството прозрачност, вълните сякаш се пречупват, срещайки се в центъра. В резултат на това получаваме същата интерференционна картина на стояща вълна, чиято централна ос или оста на въртене е височината на правилна пресечена пирамида. Този метод работи и с видео изображението, тъй като принципът на работа остава непроменен.

Като се имат предвид конкретни случаи, може да се види, че пирамидата се използва широко в ежедневието, дори в домакинството. Пирамидалната форма често се среща предимно в природата: растения, кристали, молекулата на метана има формата на правилна триъгълна пирамида - тетраедър,единичната клетка на диамантен кристал също е тетраедър, в центъра и четирите върха на който са въглеродни атоми. Вкъщи се намират пирамиди, детски играчки. Бутоните, компютърните клавиатури често са подобни на четириъгълна пресечена пирамида. Те могат да се видят под формата на строителни елементи или самите архитектурни конструкции, като полупрозрачни покривни конструкции.

Помислете за още няколко примера за използването на термина "пирамида"

Екологични пирамиди- това са графични модели (обикновено под формата на триъгълници), които отразяват броя на индивидите (пирамида на числата), количеството на тяхната биомаса (пирамида на биомаса) или енергията, съдържаща се в тях (енергийна пирамида) на всяко трофично ниво и показват намаляване на всички показатели с повишаване на трофичното ниво

Информационна пирамида.Той отразява йерархията на различните видове информация. Предоставянето на информация е изградено съгласно следната пирамидална схема: на върха - основните индикатори, чрез които можете недвусмислено да проследите темпото на движение на предприятието към избраната цел. Ако нещо не е наред, тогава можете да отидете на средното ниво на пирамидата - обобщени данни. Те изясняват картината за всеки показател поотделно или във връзка един с друг. От тези данни можете да определите възможното местоположение на повредата или проблема. За по-пълна информация трябва да се обърнете към основата на пирамидата - подробно описание на състоянието на всички процеси в цифрова форма. Тези данни помагат да се идентифицира причината за проблема, така че той да може да бъде коригиран и избегнат в бъдеще.

Таксономия на Блум.Таксономията на Блум предлага класификация на задачите под формата на пирамида, поставена от преподавателите на учениците, и съответно целите на обучението. Тя разделя образователните цели на три области: когнитивна, афективна и психомоторна. В рамките на всяка отделна сфера, за да се премине към по-високо ниво, е необходим опит от предишни нива, обособени в тази сфера.

Финансова пирамида- специфичен феномен на икономическото развитие. Името "пирамида" ясно илюстрира ситуацията, когато хората "в дъното" на пирамидата дават пари на малък връх. В същото време всеки нов участник плаща, за да увеличи възможността за издигане до върха на пирамидата.

Пирамида на потребноститеМаслоу отразява една от най-популярните и известни теории за мотивацията - теорията за йерархията. потребности. Маслоу разпределя нуждите във възходящ ред, обяснявайки тази конструкция с факта, че човек не може да изпитва нужди от високо ниво, докато се нуждае от по-примитивни неща. Тъй като по-ниските нужди са удовлетворени, нуждите от по-високо ниво стават все по-неотложни, но това изобщо не означава, че мястото на предишната потребност се заема от нова само когато първата е напълно удовлетворена.

Друг пример за използването на термина "пирамида" е хранителна пирамида -схематично представяне на принципите на здравословното хранене, разработени от диетолози. Храните в дъното на пирамидата трябва да се консумират възможно най-често, докато храните в горната част на пирамидата трябва да се избягват или да се консумират в ограничени количества.

По този начин всичко по-горе показва разнообразието от приложения на пирамидата в живота ни. Може би пирамидата има много по-висока цел и е предназначена за нещо повече от практическите употреби, които сега са открити.

Заключение

Постоянно срещаме пирамиди в живота си – това са древноегипетски пирамиди и играчки, с които си играят децата; обекти на архитектурата и дизайна, естествени кристали; вируси, които могат да се видят само с електронен микроскоп. През многото хилядолетия на своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, който олицетворява желанието на човека да достигне върха на знанието.

В хода на изследването установихме, че пирамидите са доста често срещано явление по целия свят.

Проучихме научно-популярната литература по темата на изследването, разгледахме различни интерпретации на термина "пирамида", установихме, че в геометричен смисъл пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Изследвахме видовете пирамиди (правилна, пресечена, правоъгълна), елементи (апотема, странични стени, странични ръбове, връх, височина, основа, диагонално сечение) и свойствата на геометричните пирамиди с еднакви странични ръбове и когато страничните стени са наклонени към основната равнина под един ъгъл. Разглеждат теоремите, свързващи пирамидата с други геометрични тела (сфера, конус, цилиндър).

Характеристиките на пирамидата са:

    съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение;

    присъствието в размера на пирамидата на златното сечение - отношението на двойната страна на пирамидата към нейната височина - е число, много близко по стойност до числото π, т.е. пирамидата на Хеопс е ​​единствен по рода си паметник, който е материално въплъщение на числото "Пи";

    съществуването на пирамидално-географска система.

Проучихме съвременното приложение на тази геометрична фигура. Разгледахме как са свързани пирамидата и холограмата, обърнахме внимание на факта, че пирамидалната форма най-често се среща в природата (растения, кристали, молекули метан, структурата на диамантената решетка и др.). По време на проучването се срещнахме с материали, потвърждаващи използването на свойствата на пирамидата в различни области на науката и технологиите, в ежедневието на хората, в анализа на информацията, в икономиката и в много други области. И те стигнаха до заключението, че може би пирамидите имат много по-висока цел и са предназначени за нещо повече от практическите им приложения, които сега са открити.

Библиография.

    Ван дер Ваерден, Бартел Леендърт. Пробуждане на науката. Математиката на Древен Египет, Вавилон и Гърция. [Текст] / Б. Л. Ван дер Ваерден - КомКнига, 2007

    Волошинов А. В. Математика и изкуство. [Текст] / А. В. Волошинов - Москва: "Просвещение", 2000 г.

    Световна история (енциклопедия за деца). [Текст] / - М .: “Аванта +”, 1993.

    холограма . [Електронен ресурс] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - статия в Интернет

    Геометрия [Текст]: учеб. 10 - 11 клетки. за учебни заведения Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. - 22-ро издание. - М.: Просвещение, 2013

    Копенс Ф. Нова ера на пирамидите. [Текст] / Ф. Копенс - Смоленск: Русич, 2010

    Математически енциклопедичен речник. [Текст] / А. М. Прохоров и др. - М .: Съветска енциклопедия, 1988.

    Мулдашев Е. Р. Световната система от пирамиди и паметници на древността ни спаси от края на света, но ... [Текст] / Е. Р. Мулдашев - М .: "AiF-Print"; М.: "ОЛМА-ПРЕС"; Санкт Петербург: Издателство Нева; 2003 г.

    Перелман Я. И. Занимателна аритметика. [Текст] / Я. И. Перелман- М .: Центрполиграф, 2017

    Райхард Г. Пирамиди. [Текст] / Ханс Райхард - М .: Слово, 1978

    Тера Лексикон. Илюстрован енциклопедичен речник. [Текст] / - М.: ТЕРРА, 1998.

    Томпкинс П. Тайните на Великата пирамида на Хеопс. [Текст]/ Питър Томпкинс. - М.: "Центрополиграф", 2008 г

    Уваров В. Магическите свойства на пирамидите. [Текст] / В. Уваров - Лениздат, 2006.

    Шаригин И. Ф. Геометрия 10-11 клас. [Текст] / I.F. Шаригин:. - М: "Просвещение", 2000 г

    Яковенко М. Ключът към разбирането на пирамидата [Електронен ресурс] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - статия в Интернет

Видео урок 2: Пирамидно предизвикателство. Обем на пирамидата

Видео урок 3: Пирамидно предизвикателство. Правилна пирамида

Лекция: Пирамида, нейната основа, странични ръбове, височина, странична повърхност; триъгълна пирамида; дясна пирамида

Пирамида, нейните свойства

Пирамида- Това е триизмерно тяло, което има многоъгълник в основата си, а всичките му лица се състоят от триъгълници.

Специален случай на пирамида е конус, в основата на който лежи кръг.


Помислете за основните елементи на пирамидата:


апотемае сегмент, който свързва върха на пирамидата със средата на долния ръб на страничната повърхност. С други думи, това е височината на лицето на пирамидата.


На фигурата можете да видите триъгълниците ADS, ABS, BCS, CDS. Ако погледнете внимателно имената, можете да видите, че всеки триъгълник има една обща буква в името си - S. Това означава, че всички странични лица (триъгълници) се събират в една точка, която се нарича върха на пирамидата.


Отсечката OS, която свързва върха с пресечната точка на диагоналите на основата (при триъгълниците с пресечната точка на височините), се нарича височина на пирамидата.


Диагонално сечение е равнина, която минава през върха на пирамидата, както и един от диагоналите на основата.


Тъй като страничната повърхност на пирамидата се състои от триъгълници, за да намерите общата площ на страничната повърхност, е необходимо да намерите областите на всяко лице и да ги добавите. Броят и формата на лицата зависи от формата и размера на страните на многоъгълника, който лежи в основата.


Единствената равнина в пирамидата, която няма връх, се нарича базапирамиди.

На фигурата виждаме, че основата е успоредник, но може да има произволен многоъгълник.

Имоти:


Разгледайте първия случай на пирамида, в която има ръбове с еднаква дължина:

  • Около основата на такава пирамида може да се опише кръг. Ако проектирате върха на такава пирамида, тогава нейната проекция ще бъде разположена в центъра на кръга.
  • Ъглите в основата на пирамидата са еднакви за всяко лице.
  • В същото време, достатъчно условие за това, че около основата на пирамидата може да се опише окръжност, както и че всички ръбове са с различна дължина, могат да се считат за еднакви ъгли между основата и всеки ръб на лицата .

Ако попаднете на пирамида, в която ъглите между страничните стени и основата са равни, тогава следните свойства са верни:

  • Ще можете да опишете кръг около основата на пирамидата, чийто връх е проектиран точно в центъра.
  • Ако начертаете всяка странична повърхност на височината към основата, тогава те ще бъдат с еднаква дължина.
  • За да намерите страничната повърхност на такава пирамида, достатъчно е да намерите периметъра на основата и да го умножите по половината от дължината на височината.
  • Sbp \u003d 0,5P oc H.
  • Видове пирамиди.
  • В зависимост от това кой многоъгълник лежи в основата на пирамидата, те могат да бъдат триъгълни, четириъгълни и т.н. Ако в основата на пирамидата лежи правилен многоъгълник (с равни страни), тогава такава пирамида ще се нарича правилна.

Правилна триъгълна пирамида