Наръчник по теория на вероятностите. Министерството на образованието на Руската федерация Казанският държавен технически университет на името на V.I. А. Н. Туполева Теория на вероятностите (урок). Задачи за самостоятелно решаване Вероятността за спортиста ще се подобри

, Наказателно-процесуален кодекс на Руската федерация от 18.1.rtf , Основи на законодателството на Руската федерация за защита на здравето , ЕСПЧ. Правен механизъм за подаване на индивидуална жалба и правен .

Урок 4. Теорема за събиране на вероятности.

14.1. Кратка теоретична част

Вероятността за сбора от две събития се определя по формулата

P( А+IN) = P( А)+P( Б) - R( АБ),

което се обобщава до сбора от произволен брой събития

За несъвместими събития вероятността за сбора от събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е.

24.2. Тест

В какъв случай събития А и Б се наричат несъвместими или несъвместими?

а) Когато вероятността за възникване на едно от тях не зависи от вероятността за настъпване на второто

б) Когато поне едно от тези събития се случи по време на теста

в) Когато съвместното протичане на тези събития е невъзможно

г) Когато и двете събития се случат в хода на експеримента

Посочете събития, които са съвместими.

а) Загуба на "герб" и цифри при хвърляне на монета

б) Присъствие на един и същ студент по едно и също време на лекция в класната стая и в киното

в) Настъпване на пролетта по календар и снеговалеж

г) Появата на изпуснатата страна на всеки от двата зара от три точки и равенството на сбора от точки на изпуснатите лица на двата зара на нечетно число

д) Показване на футболен мач по един телевизионен канал и съобщение за новини по друг

Теоремата за добавяне за вероятностите за несъвместими събития се формулира, както следва:

а) Вероятността за настъпване на едно от двете несъвместими събития е равна на вероятността за настъпване на второто събитие

б) Вероятността за настъпване на едно от двете несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития

в) Вероятността за настъпване на едно от двете несъвместими събития е равна на разликата между вероятностите за настъпване на тези събития

Теоремата за добавяне за вероятностите за съвместно събитие се формулира, както следва:

а) Вероятността за настъпване на поне едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития

б) Вероятността за настъпване на поне едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за съвместното им настъпване

в) Вероятността за настъпване на поне едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития и вероятността за съвместното им настъпване

Теоремата за добавяне на вероятността се обобщава до сумата от произволен брой събития, а вероятността за сбора от събития като цяло се изчислява по формулата:

но)

Ако събитията са несъвместими, тогава вероятността за сбора на тези събития е равна на:

но)

б)
в)

34.3. Решаване на типични задачи

Пример 4.1. Определете вероятността партида от сто продукта, включително пет дефектни, да бъде приета при тестване на случаен принцип на избрана половина от цялата партида, ако условията за приемане позволяват не повече от един от петдесет дефектни продукта.
Решение.

ОТ, състояща се в това, че партида от сто продукта, сред които пет са дефектни, ще бъде приета при тестване на случаен принцип на избрана половина от цялата партида.

Означете с НОсъбитие, състоящо се във факта, че не са получени дефектни продукти по време на теста и след това IN- събитие, състоящо се в това, че е получен само един дефектен артикул.

Тъй като С=А+В, тогава желаната вероятност P(C) = Р( НО+Б).

Развития НОИ INнесъвместими. Следователно P(C) = P( НО)+ P( Б).

От 100 продукта 50 могат да бъдат избрани по начини. От 95 недефектни продукта, 50 могат да бъдат избрани по начини.

Следователно R( А)=.

По същия начин R( Б)= .

P(C) = P( НО)+ P( Б)=+==0,181.
Пример 4.2. Електрическа верига между точките МИ нсъставен по схемата, показана на фиг. пет.

Провал във времето тразлични елементи от веригата - независими събития със следните вероятности (Таблица 1).

маса 1

елемент К 1 К 2 Л 1 Л 2 Л 3 Вероятност0,60,50,40,70,9 Определете вероятността за прекъсване на веригата в определен интервал от време.
Решение.
Нека разгледаме събитието ОТ, състояща се в това, че за посочения период от време ще има прекъсване на веригата.

Означете с А j (j= 1,2) събитие, състоящо се в отказ на елемент ДА СЕ j, през НО- повреда на поне един елемент ДА СЕ j, и през IN- отказ и на трите елемента НО и (и=1, 2, 3).

След това желаната вероятност

R( ОТ) = P( А + IN) = P( А) + P( IN) - R( А)R( Б).

R( А) = P( А 1 ) + P( А 2 ) - R( А 1 )R( А 2 ) = 0,8,

R( IN) = P( Л 1 )R( Л 2 ) R( Л 3 ) = 0,252,

тогава.
Пример 4.3. Урната съдържа нбяло, мчерни и лчервени топки, които се изтеглят на случаен принцип една по една:

а) няма връщане

б) с връщане след всяко извличане.

Определете и в двата случая вероятностите бялата топка да бъде изтеглена преди черната.
Решение.

Нека бъде Р 1 е вероятността бялата топка да бъде изтеглена преди черната, и Р 11 е вероятността черната топка да бъде изтеглена преди бялата.

Вероятност Р 1 е сумата от вероятностите за изтегляне на бяла топка веднага след изтегляне на една червена, две червени и т.н. Така може да се пише в случай, когато топките не се върнат,

и когато топките се върнат

За да получите вероятности Р 11 в предишните формули трябва да замените нна м, но мна н. От това следва, че и в двата случая Р 1 :Р 11 = н:м. Тъй като освен това, Р 1 +Р 11 = 1, тогава желаната вероятност при теглене на топки без замяна също е равна.
Пример 4.4. Някой пише нписма, запечатал ги в пликове и след това произволно написал различен адрес на всяко от тях. Определете вероятността поне един от пликовете да има правилния адрес.
Решение.

Нека събитието А ктова включено ли е к-тият плик съдържа правилния адрес ( к=l, 2,..., н).

Желаната вероятност.

Развития А кстава; за всякакви различни к, j, и, ... важат равенства:

Използване на формулата за вероятността на сумата нсъбития, получаваме

На свобода н.

44.4. Задачи за самостоятелна работа

4.1. Всяко от четирите несъвместими събития може да се случи с вероятности съответно 0,012, 0,010, 0,006 и 0,002. Определете вероятността поне едно от тези събития да се случи в резултат на експеримента.

(Отговор: p = 0,03)
4.2. Стрелецът прави един изстрел по мишена, състояща се от централен кръг и два концентрични пръстена. Вероятностите за удряне на кръга и пръстена са съответно 0,20, 0,15 и 0,10. Определете вероятността да попаднете в целта.

(Отговор: p = 0,55)
4.3. Две еднакви монети с радиус rразположен вътре в кръг с радиус Р, в която точка се хвърля на случаен принцип. Определете вероятността тази точка да падне върху една от монетите, ако монетите не се припокриват.

(Отговор: п =)
4.4. Каква е вероятността да изтеглите фигура от всяка боя или карта с пика от тесте от 52 карти (една фигура се нарича вале, дама или поп)?

(Отговор: п =)
4.5. Кутията съдържа 10 монети по 20 копейки, 5 монети по 15 копейки. и 2 монети по 10 копейки. Шест монети се изтеглят на случаен принцип. Каква е вероятността те да съберат най-много една рубла?

(Отговор: п =)
4.6. Две урни съдържат топки, които се различават само по цвят, като в първата урна има 5 бели топки, 11 черни и 8 червени, а във втората съответно 10, 8 и 6. От двете урни се изтегля на случаен принцип по една топка. Каква е вероятността двете топки да са от един и същи цвят?

(Отговор: p = 0,323)
4.7. игра между АИ Бсе провежда при следните условия: в резултат на първия ход, който винаги прави НО, той може да спечели с вероятност 0,3; ако първият ход Ане спечели, тогава ходът е направен INи може да спечели с вероятност 0,5; ако в резултат на този ход INне печели тогава Аправи втори ход, който може да доведе до неговата печалба с вероятност 0,4. Определете вероятностите за печалба за НОи за IN.

(Отговор: = 0,44, = 0,35)
4.8. Вероятността даден атлет да подобри предишния си резултат с един опит е Р. Определете вероятността спортист да подобри представянето си в състезание, ако са разрешени два опита.

(Отговор: p(A) =)
4.9. От урна, съдържаща нтопки номерирани от 1 до н, две топки се изтеглят последователно, като първата топка се връща, ако нейният брой не е равен на единица. Определете вероятността топката с номер 2 да бъде изтеглена при второто теглене.

(Отговор: п =)
4.10. Играч НОредуващо се играе с играчите INИ ОТ, с вероятност за победа във всяка игра от 0,25 и спира играта след първата загуба или след две изиграни игри с всеки играч. Определете вероятността за победа INИ ОТ.

(Отговор: )
4.11. Двама души се редуват да хвърлят монета. Този с герба първи печели. Определете вероятността за победа за всеки от играчите.

(Отговор: )
4.12. Вероятността да получите точка без загуба на сервис, когато играете два еквивалентни волейболни отбора, е наполовина. Определете вероятността да получите една точка за обслужващия отбор.

(Отговор: п =)
4.13. Двама стрелци последователно стрелят по целта до първия удар. Вероятността за попадение за първия стрелец е 0,2, а за втория стрелец е 0,3. Намерете вероятността първият стрелец да изстреля повече изстрели от втория.

(Отговор: p = 0,455)
4.14. Двама играят за победа, а за това е необходимо първият да спечели тпартии, а вторият Ппартии. Вероятността да спечели всяка игра от първия играч е равна на Р, а вторият q=1-Р. Определете вероятността да спечелите цялата игра от първия играч.

(Отговор: p(A) =)

1. Първата кутия съдържа 2 бели и 10 черни топки; Втората кутия съдържа 8 бели и 4 черни топки. От всяка кутия беше взета топка. Каква е вероятността и двете топки да са бели?

2. Първата кутия съдържа 2 бели и 10 черни топки; Втората кутия съдържа 8 бели и 4 черни топки. От всяка кутия беше взета топка. Каква е вероятността едната топка да е бяла, а другата черна?

3. В кутия има 6 бели и 8 черни топки. От кутията се изваждат две топки (без да се връща извадената топка в кутията). Намерете вероятността и двете топки да са бели.

4. Трима стрелци стрелят независимо по целта. Вероятността за уцелване на целта за първия стрелец е 0,75, за втория - 0,8, за третия - 0,9. Определете вероятността и трите стрели да уцелят целта едновременно; поне един стрелец ще уцели целта.

5. В урната има 9 бели и 1 черна топки. Извадиха се наведнъж три топки. Каква е вероятността всички топки да са бели?

6. Изстреляйте три изстрела в една мишена. Вероятността за уцелване на всеки изстрел е 0,5. Намерете вероятността да се получи само едно попадение в резултат на тези изстрели.

7. Двама стрелци, за които вероятността да уцелят целта са съответно 0,7 и 0,8, правят по един изстрел. Определете вероятността за поне едно попадение в целта.

8. Вероятността част, изработена на първата машина, да бъде първокласна е 0,7 Ако същата част е изработена на втората машина, тази вероятност е 0,8. На първата машина се изработват две части, на втората три. Намерете вероятността всички части да са първокласни.

9. Работата на устройството спря поради повреда на една лампа от пет . Търсенето на тази лампа се извършва чрез замяна на всяка лампа с нова на свой ред. Определете вероятността, която трябва да проверите 2 лампи, ако вероятността от повреда на всяка лампа е p = 0,2 .

10. На сайта АБИма 12 препятствия за състезателен мотоциклетист, вероятността да спре на всяко от тях е 0,1. Вероятността от т INдо крайната дестинация ОТмотоциклетистът ще премине без спиране, е равно на 0,7. Определете вероятността, че площта ACняма да има спиране.

11. По пътя на колата има 4 светофара. Вероятността да спрете при първите две е 0,3, а следващите две са 0,4. Каква е вероятността да преминете светофари без спиране?

12. По пътя на колата има 3 светофара. Вероятността да спрете при първите две е 0,4, а при третия 0,5. Каква е вероятността да преминете светофара с едно спиране?

13. Два мрежови сървъра в Интернет са изложени на риск от вирусна атака на ден с вероятност 0,3. Каква е вероятността да няма нито една атака срещу тях за 2 дни?

14. Вероятността да се уцели целта с един изстрел за даден стрелец е 2/3. Ако при първия изстрел е записано попадение, тогава стрелецът получава право на втория. Ако при втория удари отново, тогава стреля трети път. Каква е вероятността да ударим с три изстрела?

15. Игра между НОИ INсе играе при следните условия: в резултат на първия ход, който винаги прави НО,той може да спечели с вероятност 0,3; ако първият ход НОне спечели, тогава ходът е направен INи може да спечели с вероятност 0,5; ако в резултат на този ход INне печели тогава НОправи втори ход, който може да доведе до неговата печалба с вероятност 0,4. Определете вероятностите за печалба за НОи за IN

16. Вероятността даден атлет да подобри предишния си резултат с един опит е 0,2 . Определете вероятността спортист да подобри представянето си в състезание, ако са разрешени два опита.

17. Играч НОпоследователно играе две игри с играчите INИ ОТ.Вероятностите за победа в първата игра за INИ ОТса равни съответно на 0,1 и 0,2; вероятността за победа във втората игра за INе 0,3, за ОТе равно на 0,4. Определете вероятността: а) B да спечели първи; б) да спечели първи ОТ.

18. От урна, съдържаща Птопки номерирани от 1 до н, две топки се изтеглят последователно, като първата се връща, ако нейният брой не е равен на една. Определете вероятността топката с номер 2 да бъде изтеглена при второто теглене.

19. Играч НОиграе последователно с играчи B и C, с вероятност за победа във всеки сет от 0,25 и спира играта след първата победа или след две загуби от всеки от играчите. Определете вероятностите за спечелване на B и C.

20. Двама души се редуват да хвърлят монета. Този, който печели. на който първо ще се появи гербът. Определете вероятността за победа за всеки от играчите.

21. В една урна има 8 бели и 6 черни топки. Двама играчи изтеглят една топка последователно, като всеки път връщат изтеглената топка. Играта продължава, докато един от тях не получи бяла топка. Определете вероятността играчът, който започва играта, да изтегли бяла топка първи.

22. Изпратен е куриер за документи в 4 архива. Вероятността за наличие на необходимите документи в I-ти архив е 0,9; във II - 0,95; в III-ем - 0,8; в IV - ома - 0,6. Намерете вероятността P за отсъствие на документ само в един архив.

23. Намерете вероятността два от трите независимо работещи елемента на изчислителното устройство да се повредят, ако вероятността за отказ на първия, втория и третия елемент съответно е 0,3, 0,5, 0,4.

24. В клетка има 8 бели и 4 сиви мишки. Три мишки са избрани на случаен принцип за лабораторно изследване и не се връщат. Намерете вероятността и трите мишки да са бели.

25. В клетка има 8 морски свинчета. Трима от тях страдат от нарушение на обмена на минерални соли. Три животни се вземат последователно без връщане. Каква е вероятността да са здрави?

26. Езерото съдържа 12 караси, 18 платики и 10 шарана. Улови три риби. Намерете вероятността два шарана и карася да бъдат уловени последователно.

27. В стадото има 12 крави, 4 от тях са от породата Симентал, останалите са от породата Халщайн-Фрист. За селекционна работа бяха избрани три животни. Намерете вероятността и трите да са сименталски породи.

28. На хиподрума има 10 заливи, 3 сиви и 7 бели. 2 коня бяха избрани на случаен принцип за състезанието. Каква е вероятността сред тях да няма бял кон?

29. В развъдника има 9 кучета, 3 от тях са коли, 2 са боксьори, останалите са кучета. Три кучета са избрани на случаен принцип. Каква е вероятността сред тях да има поне един боксьор?

30. Средното поколение на животните е 4. Появата на женски и мъжки индивиди е еднакво вероятна. Намерете вероятността да има двама мъжки в потомството.

31. Опаковката съдържа семена, чиято кълняемост е 0,85. Вероятността растението да цъфти е 0,9. Каква е вероятността растение, отгледано от произволно избрано семе, да цъфти?

32. Опаковката съдържа семена от боб, чиято кълняемост е 0,9. Вероятността цветята на боба да са червени е 0,3. Каква е вероятността растението от произволно избрано семе да има червени цветя?

33. Вероятността случайно избрано лице да бъде хоспитализирано през следващия месец е 0,01. Каква е вероятността от трима души, избрани на случаен принцип на улицата, точно един да бъде приет в болницата през следващия месец?

34. Дойка обслужва 4 крави. Вероятността да получите мастит през месеца за първата крава е 0,1, за втората - 0,2, за третата - 0,2, за четвъртата - 0,15. Намерете вероятността поне една крава да получи мастит в рамките на един месец.

35. Четирима ловци се съгласиха да стрелят по дивеча на свой ред. Следващият ловец стреля само ако предишният пропусне. Вероятностите за уцелване на целта от всеки от ловците са еднакви и са равни на 0,8. Намерете вероятността да бъдат направени три изстрела.

36. Студент изучава химия, математика и биология. Той изчислява, че вероятността за получаване на "отличен" в тези курсове е съответно 0,5, 0,3 и 0,4. Ако приемем, че оценките в тези курсове са независими, намерете вероятността той да не получи никакви "отлични" оценки.

37. Ученикът знае 20 от 25-те въпроса на програмата. Каква е вероятността той да знае и трите въпроса от програмата, дадена му от проверяващия?

38. Двама ловци стрелят по вълк и всеки прави по един изстрел. Вероятността за уцелване на целта от първия и втория ловец е съответно 0,7 и 0,8. Каква е вероятността да уцелите вълк с поне един изстрел?

39. Вероятността да уцели целта с три изстрела поне веднъж за някой стрелец е 0,875. Намерете вероятността да ударите с един изстрел.

40. Високопродуктивните крави се подбират от стадото. Вероятността произволно избрано животно да бъде високо продуктивно е 0,2. Намерете вероятността само две от три избрани крави да бъдат високопродуктивни.

41. В първата клетка има 3 бели и 4 сиви заека, във втората клетка има 7 бели и 5 черни заека. По един заек беше взет на случаен принцип от всяка клетка. Каква е вероятността и двата заека да са бели?

42. Ефикасността на две ваксини е изследвана в група животни. И двете ваксини могат да причинят алергия при животни с еднаква вероятност от 0,2. Намерете вероятността ваксините да не предизвикат алергия.

43. В семейството има три деца. Ако приемем, че събитията, състоящи се в раждането на момче и момиче, са еднакво вероятни, намерете вероятността всички деца в семейството да са от един и същи пол.

44. Вероятността за установяване на стабилна снежна покривка в даден район от октомври е 0,1. Определете вероятността през следващите три години в тази област поне веднъж от октомври да се установи стабилна снежна покривка.

45. Определете вероятността произволно избран продукт да е първокласен, ако е известно, че 4% от всички продукти са дефектни, а 75% от недефектните продукти отговарят на изискванията за първи клас.

46. Двама стрелци, за които вероятността да уцелят целта са съответно 0,7 и 0,8, правят по един изстрел. Определете вероятността за поне едно попадение в целта.

47. Вероятността да се случи събитие във всеки експеримент е една и съща и е равна на 0,2. Експериментите се извършват последователно, докато настъпи събитието. Определете вероятността да се проведе четвърти експеримент.

48. Вероятността частта, изработена на първата машина, да бъде първокласна е 0,7. При производството на същата част на втората машина тази вероятност е 0,8. На първата машина се изработват две части, на втората три. Намерете вероятността всички части да са първокласни.

49. Прекъсване на електрическата верига може да възникне при повреда на елемент или два елемента и които се отказват съответно един от друг с вероятности 0,3; 0,2 и 0,2. Определете вероятността от прекъсване на електрическата верига.

50. Работата на устройството спря поради повреда на една лампа от 10. Търсенето на тази лампа се извършва чрез замяна на всяка лампа с нова на свой ред. Определете вероятността 7 лампи да трябва да бъдат проверени, ако вероятността за повреда на всяка лампа е 0,1.

51. Вероятността напрежението в електрическата верига да надвиши номиналната стойност е 0,3. При повишено напрежение вероятността от авария на устройството - консуматор на електрически ток е 0,8. Определете вероятността от повреда на устройството поради повишаване на напрежението.

52. Вероятността за уцелване на първата цел за даден стрелец е 2/3. Ако попадението бъде записано по време на първия изстрел, тогава стрелецът получава право да стреля по друга цел. Вероятността да се поразят и двете мишени с два изстрела е 0,5. Определете вероятността да уцелите втората цел.

53. С помощта на шест карти, на които е изписана една буква, е съставена думата “карета”. Картите се разбъркват и след това се теглят на случаен принцип една по една. Каква е вероятността думата "ракета" да се образува в реда на буквите?

54. Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер и затова го набира произволно. Определете вероятността той да се обади на най-много три места.

55. Всяко от четирите несъвместими събития може да се случи, съответно, с вероятности от 0,012; 0,010; 0,006 и 0,002. Определете вероятността поне едно от тези събития да се случи в резултат на експеримента.

56. Каква е вероятността да изтеглите фигура от всяка боя или карта пика от тесте от 52 карти (фината се нарича вале, дама или поп)?

57. В кутия има 10 монети по 20 копейки, 5 монети по 15 копейки всяка. и 2 монети по 10 копейки. 6 монети се вземат на случаен принцип. Каква е вероятността те да съберат най-много една рубла?

58. Две урни съдържат топки: първата урна съдържа 5 бели, 11 черни и 8 червени топки, а втората урна съдържа съответно 10, 8 и 6. По една топка се изтегля на случаен принцип от двете урни. Каква е вероятността двете топки да са от един и същи цвят?

59. Вероятността даден атлет да подобри предишния си резултат с един опит е 0,4. Определете вероятността спортист да подобри представянето си в състезание, ако са разрешени два опита.

(Отговор: p = 0,03)

4.2. Стрелецът прави един изстрел по мишена, състояща се от централен кръг и два концентрични пръстена. Вероятностите за удряне на кръга и пръстена са съответно 0,20, 0,15 и 0,10. Определете вероятността да попаднете в целта.

(Отговор: p = 0,55)

4.3. Две еднакви монети с радиус r се поставят в кръг с радиус R, в който произволно се хвърля точка. Определете вероятността тази точка да падне върху една от монетите, ако монетите не се припокриват.

(Отговор: p = )

4.4. Каква е вероятността да изтеглите фигура от всяка боя или карта с пика от тесте от 52 карти (една фигура се нарича вале, дама или поп)?

(Отговор: p = )

4.5. Кутията съдържа 10 монети по 20 копейки, 5 монети по 15 копейки. и 2 монети по 10 копейки. Шест монети се изтеглят на случаен принцип. Каква е вероятността те да съберат най-много една рубла?

(Отговор: p = )

4.6. Две урни съдържат топки, които се различават само по цвят, като в първата урна има 5 бели топки, 11 черни и 8 червени, а във втората съответно 10, 8 и 6. От двете урни се изтегля на случаен принцип по една топка. Каква е вероятността двете топки да са от един и същи цвят?

(Отговор: p = 0,323)

4.7. Играта между А и Б се играе при следните условия: в резултат на първия ход, който А винаги прави, той може да спечели с вероятност 0,3; ако A не спечели при първия ход, тогава B прави хода и може да спечели с вероятност 0,5; ако в резултат на този ход B не спечели, тогава A прави втори ход, който може да доведе до неговата печалба с вероятност 0,4. Определете вероятностите за победа за A и B.

(Отговор: = 0,44, = 0,35)

4.8. Вероятността даден атлет да подобри предишния си резултат с един опит е равна на p. Определете вероятността спортист да подобри представянето си в състезание, ако са разрешени два опита.

(Отговор: p(A) = )

4.9. От урна, съдържаща n топки, номерирани от 1 до n, две топки се изтеглят последователно, като първата топка се връща, ако нейният брой не е равен на едно. Определете вероятността топката с номер 2 да бъде изтеглена при второто теглене.

(Отговор: p = )

4.10. Играч A се редува с играчи B и C, с вероятност да спечели всеки сет от 0,25 и спира играта след първата загуба или след две изиграни игри с всеки играч. Определете вероятностите за спечелване на B и C.

4.11. Двама души се редуват да хвърлят монета. Този с герба първи печели. Определете вероятността за победа за всеки от играчите.

(Отговор: )

4.12. Вероятността да получите точка без загуба на сервис, когато играете два еквивалентни волейболни отбора, е наполовина. Определете вероятността да получите една точка за обслужващия отбор.

(Отговор: p = )

4.13. Двама стрелци последователно стрелят по целта до първия удар. Вероятността за попадение за първия стрелец е 0,2, а за втория стрелец е 0,3. Намерете вероятността първият стрелец да изстреля повече изстрели от втория.

(Отговор: p = 0,455)

4.14. Двама играят до победа, като за това е необходимо първият да спечели m игри, а вторият - n игри. Вероятността първият играч да спечели всяка игра е p, а вторият е q=1-p. Определете вероятността да спечелите цялата игра от първия играч.

Вариант 9

1. На всяка от 6 еднакви карти е отпечатана една от следните букви: o, g, o, p, o, d. Картите се смесват старателно. Намерете вероятността, като ги поставите в редица, ще бъде възможно да се прочете думата "градина".

2. Вероятността даден атлет да подобри предишния си резултат от 1 опит е 0,6. Определете вероятността в състезание спортист да подобри резултата си, ако са разрешени 2 опита.

3. Първата кутия съдържа 20 части, 15 от които са стандартни; във втория - 30 части, от които 24 стандартни; в третия - 10 части, от които 6 стандартни. Намерете вероятността произволно избрана част от произволно взета кутия да е стандартна.

4. Решете задачи с помощта на формулата на Бернули и теоремата на Моавр-Лаплас: а) при предаване на съобщение вероятността за изкривяване на 1 знак е 0,24. Определете вероятността съобщение от 10 знака да съдържа не повече от 3 изкривявания;

б) Засадени са 400 дървета. Вероятността отделно дърво да оцелее е 0,8. Намерете вероятността броят на оцелели дървета: 1) да е равен на 300; 2) повече от 310, но по-малко от 330.

5. Използвайки таблични данни, изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива X и също така определете вероятността случайната променлива да приеме стойност, по-голяма от очакваната.

Х i
P i

6. Непрекъсната случайна променлива X е дадена от функцията на разпределение

Намерете: а) параметър k ; б) математическо очакване; в) дисперсия.

7. Социологическата организация провежда анкета на служителите на предприятието, за да изясни тяхното отношение към структурната реорганизация, извършена от ръководството на предприятието. Ако приемем, че делът на хората, доволни от структурните трансформации, се описва с нормален закон за разпределение с параметри a = 53,1% и σ = 3,9%, намерете вероятността делът на хората, доволни от трансформациите, да бъде под 50%.

8. Извадка е извлечена от генералната съвкупност, която е представена под формата на интервална серия от вариации (виж таблицата): а) като се приеме, че генералната съвкупност има нормално разпределение, построете доверителен интервал за математическото очакване с увереност вероятност γ = 0,95; б) изчисляване на коефициентите на асиметрия и ексцес, като се използва опростен метод и се правят подходящи предположения за формата на функцията за разпределение на населението; в) използвайки теста на Пиърсън, тествайте хипотезата за нормално разпределение на общата популация при ниво на значимост α = 0,05.


29-32
32-35
35-38
38-41
41-44
44-47
47-50

9. Дадена е корелационна таблица на стойностите на X и Y: а) изчислете коефициента на корелация r xy, направете изводи за връзката между X и Y; б) намерете уравненията на линейната регресия X върху Y и Y върху X и начертайте техните графики.


	5.24-5.35	5.35-5.46	5.46-5.47	5.47-5.68	5.68-5.79	5.79-5.90	5.90-6.01	6.01-6.12	6.12-6.23
21.3-22.0
22.0-22.7
22.7-23.4
23.4-24.1
24.1-24.8
24.8-25.5
25.5-26.2
26.2-26.9