Уравнение с модул върху квадратно-ромбова равнина. Ромб като геометрична фигура. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Свойства на ромб

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Знаци на ромб

И отново обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, че не, въпреки че неговите диагонали и са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъгли u. Но ... диагоналите не се разделят, пресечната точка наполовина, следователно - НЕ е успоредник и следователно НЕ е ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовящата на ъгъл А, която е равна на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! Думите " свойства на успоредник» означава, че ако имате задача имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека да видим защо това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Тъй като е успоредник, тогава:

• като лежане на кръст
• като легнал напречно.

Следователно (на основание II: и - общо.)

Е, веднъж, тогава - това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), това е, именно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според знака II (ъгълът и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Характеристики на успоредник

Спомнете си, че знакът на успоредник отговаря на въпроса "как да разберете?" Че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, това е още по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

Исъщо е лесно. Но… различно!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно при секуща!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава те са вътрешни едностранни при секуща! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. Така че нека докажем това

И така, на два крака (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест вярно е следното твърдение

Да видим защо?

И така, (което означава ъглите на успоредника). Но още веднъж, запомнете това - успоредник, и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях В крайна сметка в количеството, което трябва да дадат!

Тук доказахме, че ако успоредникизведнъж (!) ще бъдат равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (Запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на ромб

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите и се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Ромбови знаци.

Защо така? И виж

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да "стане" успоредник и след това вече да демонстрира характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовяща на ъгъла, който е равен на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете Питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Противоположните ъгли са: , .
3. Ъглите при едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълник са: .
2. Правоъгълникът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за правоъгълник).

Свойства на ромб:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за ромб).

Квадратни свойства:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрата са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. Както и.

резюме на други презентации

"Задачи за признаци на подобие на триъгълници" - Подобие на триъгълници. Определяне на височината на обект с помощта на огледало. Определяне височината на предмет от локва. Решение на практически задачи. Сянката на пръчката. Определяне на височината на обект. Измерване на височина на големи обекти. Мото на урока. Решение на задачи по готови чертежи. Самостоятелна работа. Гимнастика за очите. Метод на Талес. Индивидуална карта. Определяне на височината на пирамидата. Назовете подобни триъгълници.

„Свойства на четириъгълниците“ – Имена на четириъгълниците. Всички ъгли са прави. Свойства на четириъгълниците. Трапец. Квадратът е правоъгълник, в който всички страни са равни. Елементи на успоредник. Диагоналите разполовяват ъглите. Четириъгълник. Диктовка. Диагонал. противоположни ъгли. Помогнете на Dunno да поправи двойката. Историческа информация. Четириъгълници и техните свойства. Диагонали. Ромб. противоположни страни. Партита.

"Ромб" - Знаци. Периметър. Появата на ромба. Историята на ромба. Ромб. Ромб с диагонали. Какво е ромб. Формула за площ. Интересни факти. Свойства на ромб. Ромб в живота.

"Решението на Питагоровата теорема" - Доказателство чрез разлагане. Квадратна площ. Най-простото доказателство. Доказателство за Perigal. Питагорейци. Диагонал. Доказателство от 9 век последователи. Височина. Диаметър. Пълно доказателство. Мотив. Шестоъгълници. Доказателство чрез изваждане. Квадрат. Правоъгълник. Възможности за приложение на теоремата. Доказателството на Гутайл. Приложение на теоремата. Проблем с лотоса. История на теоремата.

"Площ на правоъгълник" клас 8 "- Площта на квадрата е равна на квадрата на неговата страна. Квадрат. Намерете лицето и периметъра на квадрата. Площни единици. Многоъгълникът се състои от няколко многоъгълника. Намерете площта на триъгълник. Страните на всеки от правоъгълниците. Единици. Намерете площта на квадрата. ABCD и DSMK са квадрати. Площта на ромба е половината от произведението на неговите диагонали. Върху страната AB е начертан успоредник. Намерете площта на шестоъгълника.

„Трапец“ 8 клас „- Трапецовидните мускули от двете страни на гърба заедно имат формата на трапец. Задачи за устна работа. Четириъгълниците са трапец. Свойства на равнобедрен трапец. Признаци на равнобедрен трапец. Видове трапец. Площта на трапеца. Трапецови елементи. Определение. Средната линия на трапеца. Трапец. Геометричната фигура е наречена така заради приликата си с малка маса.

с равни страни. Ромб с прави ъгли е квадрат .

Ромбът се разглежда като вид успоредник, с две съседни равни страни, или с взаимно перпендикулярни диагонали, или с диагонали, разделящи ъгъла на 2 равни части.

Свойства на ромб.

1. Ромбе успоредник, така че противоположните страни са с еднаква дължина и са успоредни по двойки, AB || CD, AD || слънце

2. Ъгъл на пресичане на диагоналиромбът е прав (AC⊥ BD)и пресечната точка са разделени на две еднакви части. Тоест диагоналите разделят ромба на 4 триъгълника - правоъгълни.

3. Диагонали на ромбса ъглополовящи на неговите ъгли (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ CBDи т.н. ).

4. Сбор от квадратите на диагоналитее равно на квадрата на страната, умножен по четири (получава се от идентичността на успоредника).

Ромбови знаци.

Успоредник ABCDще се нарича ромб само ако е изпълнено поне едно от следните условия:

1. 2 от съседните му страни са с еднаква дължина (т.е. всички страни на ромба са равни, AB=BC=CD=AD).

2. Ъгълът на пресичане на диагоналите на правата линия ( AC⊥ BD).

3. 1-на диагонали разполовява ъглите, които го съдържат.

Да предположим, че не знаем предварително, че четириъгълникът се оказва успоредник, но е известно, че всичките му страни са равни. Така че този четириъгълник е ромб.

Ромбова симетрия.

Ромбът е симетриченспрямо всичките си диагонали, често се използва в орнаменти и паркети.

Периметър на ромб.

Периметър на геометрична фигура- общата дължина на границите на плоска геометрична фигура. Периметърът има същия размер като дължината.

Ромбе една от най-простите геометрични фигури. Толкова често се срещаме с ромб в геометрични задачи, че думите "фантастичен" и "ромб" ни се струват несъвместими понятия. Междувременно невероятното, както се казва, е наблизо ... във Великобритания. Но първо, нека си спомним какво е "ромб", неговите знаци и свойства.

Терминът "ромб" в превод от старогръцки означава "тамбурин". И това не е случайно. И тук е работата. Тамбурина поне веднъж в живота, но всеки го видя. И всеки знае, че е кръгла. Но преди много време тамбурините се правеха само във формата на квадрат или ромб. Освен това името на диамантения костюм също е свързано с този факт.

От геометрията си представяме как изглежда ромбът. Това е четириъгълник, който е изобразен като наклонен квадрат. Но в никакъв случай не трябва да бъркате ромб и квадрат. По-правилно е да се каже, че ромбът е частен случай на успоредник. Единствената разлика е, че всички страни на ромба са равни. За бързо и правилно решаване на задачи по геометрия, трябва да запомните свойствата на ромба. Между другото, ромбът има всички свойства на успоредник. Така:

Свойства на ромб:

1. противоположните страни са равни;
2. противоположните ъгли са равни;
3. диагоналите на ромба се пресичат под правата линия и се разделят наполовина в точката на пресичане;
4. сумата от ъглите, прилежащи към едната страна, е 180°;
5. сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на всички страни;
6. диагоналите са ъглополовящи на неговите ъгли.

Знаци на ромб:

1. ако диагоналите на успоредник са перпендикулярни, тогава успоредникът е ромб;
2. ако диагоналът на успоредник е ъглополовяща на неговия ъгъл, тогава успоредникът е ромб.

И още един важен момент, без знанието на който не е възможно успешното решаване на проблема - формули. По-долу са дадени формулите за намиране на площта на всеки ромб, които се използват в зависимост от известните данни: височина, диагонал, страна, радиус на вписания кръг. В следните формули се използват символи: a - страна на ромба, h a - височина, начертана към страна a, а- ъгълът между страните, d 1 d 2 - диагоналите на ромба.

Основни формули:

S = a 2 sin а

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r2 / грях а

Има и друга формула, която не се използва толкова често, но е полезна:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 или сумата от квадратите на диагоналите е равна на квадрата на страната по 4.

И сега е време да се върнем в самото начало. Какво е толкова невероятно може би в тази фигурка? Оказва се, че през 19 век по време на археологически разкопки е открит ромб. Да, не проста, а златна, и то в истинския смисъл на думата! Тази находка от британската могила Баш е намерена в района на Уилсфорд, недалеч от известния Стоунхендж. Мистериозният ромб е полирана плоча, върху която са гравирани необичайни шарки. Размерът му е 15,2 х 17,8 см (ромб само с малка уговорка). В допълнение към кантовете, плочата има още три по-малки шарки във формата на диамант, които се предполага, че са вложени един в друг. В същото време в центъра на последния е гравирана ромбична мрежа. По краищата на ромба има шарка на шеврон - девет знака от всяка страна на ромба. Има общо тридесет и шест такива триъгълника.

Разбира се, този продукт е много скъп, но също така е очевидно, че създаването на такъв ромб е преследвало конкретна цел. Точно това, учените не можаха да разберат дълго време.

Една от по-правдоподобните и приети версии се отнася пряко до Стоунхендж. Известно е, че конструкциите на Стоунхендж са издигнати постепенно, в продължение на няколко века. Смята се, че строителството е започнало около 3000 г. пр.н.е. Трябва да се отбележи, че златото във Великобритания става известно още от 2800 г. пр.н.е. От това може да се предположи, че златният ромб може да е бил инструмент на свещеник. В частност везирът. Подобна хипотеза беше представена на вниманието на съвременните учени от професор А. Том, известен изследовател на Стоунхендж, през последната четвърт на 20 век.

Не всеки може да си представи, че древните строители са можели точно да определят ъглите на земята. Въпреки това английският изследовател Д. Фърлонг предложи метод, който според него древните египтяни биха могли да използват. Фърлонг вярваше, че нашите предци са използвали предварително избрани пропорции в правоъгълни триъгълници. В крайна сметка отдавна е известно, че египтяните широко използват триъгълник със страни от три, четири и пет мерни единици. Очевидно древните жители на Британските острови също са знаели много такива трикове.

Е, дори и да си представите, че хората, които са построили Стоунхендж, са били отлични геодезисти, как може един златен диамант да им помогне в това? Едва ли някой съвременен геодезист ще може да отговори на този въпрос. Най-вероятно фактът, че Фърлонг беше геодезист по професия, му даде възможност да разреши тази загадка. След внимателно проучване изследователят стигна до извода, че полираният златен ромб с маркировки е отличен за използване като отражател на слънчева светлина, с други думи, специално огледало с размери.

Доказано е, че за бързо определяне на азимута на земята с доста малки грешки е необходимо да се използват две подобни огледала. Схемата беше следната: единият свещеник например стоеше на върха на един хълм, а другият в съседната долина. Също така беше необходимо предварително да се определи разстоянието между свещениците. Това може да стане само с няколко стъпки. Въпреки че обикновено използваха измервателна пръчка, тъй като резултатите бяха по-надеждни. Две метални огледала с форма на диамант осигуряват прав ъгъл. И тогава е лесно да измерите почти всички необходими ъгли. Д. Фърлонг дори даде таблица с такива двойки цели числа, която ви позволява да зададете всеки ъгъл с грешка от един градус. Най-вероятно жреците от ерата на Стоунхендж са използвали този метод. Разбира се, за да се потвърди тази хипотеза, ще е необходимо да се намери втори, сдвоен златен ромб, но очевидно това не си струва. В крайна сметка доказателствата са съвсем ясни. В допълнение към изчисляването на азимутите на земята, беше открита друга способност на удивителен златен ромб. Това невероятно малко нещо позволява да се изчислят моментите на зимното и лятното слънцестоене, пролетното и есенното равноденствие. Това е било незаменимо качество за живота на древните египтяни, които тогава са се покланяли предимно на Слънцето.

Вероятно впечатляващият външен вид на ромба е бил не само незаменим инструмент за свещениците, но и ефектна украса за собственика му. Най-общо казано, по-голямата част от откритите на пръв поглед бижута, скъпи днес, са, както се оказва по-късно, измервателни уреди.

Така че хората винаги са били привлечени от неизвестното. И, съдейки по факта, че толкова много остава загадъчно и недоказано в нашия свят, човек ще се опитва да намери уликите към древността още дълго време. И е много яко! В крайна сметка можем да научим много от нашите предци. За да направите това, трябва да знаете много, да можете да учите и да учите. Но е невъзможно да станете толкова висококвалифициран специалист без основни познания. В крайна сметка, в края на краищата, всеки велик археолог, откривател някога е ходил на училище!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

AB \успоредно CD,\;BC \успоредно AD

AB=CD,\;BC=AD

2. Диагоналите на ромба са перпендикулярни.

AC\perp BD

Доказателство

Тъй като ромбът е успоредник, неговите диагонали са разполовени.

Така че \триъгълник BOC = \триъгълник DOC от три страни (BO = OD, OC е съединение, BC = CD). Получаваме, че \angle BOC = \angle COD и те са съседни.

\Rightarrow \angle BOC = 90^(\circ)и \ъгъл COD = 90^(\circ) .

3. Пресечната точка на диагоналите ги разполовява.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли.

\ъгъл1 = \ъгъл2; \; \ъгъл 5 = \ъгъл 6;

\ъгъл 3 = \ъгъл 4; \; \ъгъл 7 = \ъгъл 8.

Доказателство

Поради факта, че диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина и всички страни на ромба са равни една на друга, цялата фигура е разделена от диагоналите на 4 равни триъгълника:

\триъгълник BOC, \; \триъгълник BOA, \; \триъгълник AOD, \; \триъгълник COD.

Това означава, че BD , AC са ъглополовящи.

5. Диагоналите образуват 4 правоъгълни триъгълника от ромб.

6. Всеки ромб може да съдържа кръг с център в точката на пресичане на неговите диагонали.

7. Сборът от квадратите на диагоналите е равен на квадрата на една от страните на ромба, умножен по четири

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Знаци на ромб

1. Успоредник с перпендикулярни диагонали е ромб.

\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- успоредник, \Rightarrow ABCD - ромб.

Доказателство

ABCD е успоредник \Rightarrow AO = CO ; BO=OD. Посочва се също, че AC \perp BD \Rightarrow \триъгълник AOB = \триъгълник BOC = \триъгълник COD = \триъгълник AOD- на 2 крака.

Оказва се, че AB = BC = CD = AD.

Доказано!

2. Когато в успоредник поне един от диагоналите разделя двата ъгъла (през които минава) наполовина, тогава тази фигура ще бъде ромб.

Доказателство

Забележка:не всяка фигура (четириъгълник) с перпендикулярни диагонали ще бъде ромб.

Например:

Това вече не е ромб, въпреки перпендикулярността на диагоналите.

За да го разграничите, си струва да запомните, че първо четириъгълникът трябва да бъде успоредник и да има