еге уравнения. Ирационални уравнения. Изчерпателно ръководство. Приложение на формули за съкратено умножение

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

УРАВНЕНИЯ В ИЗПОЛЗВАНЕТО В МАТЕМАТИКАТА ПРИМЕРИ И РЕШЕНИЯ Кравченко Н.А. Учител по математика GBOU средно училище № 891 Москва Образователна презентация за подготовка за изпита

СЪДЪРЖАНИЕ Анотация на задачата Пример 1 (ирационално уравнение) Пример 2 (показателно уравнение) Пример 3 (ирационално уравнение) Пример 4 (дробно-рационално уравнение) Пример 5 (логаритмично уравнение) Пример 6 (логаритмично уравнение) Пример 7 (тригонометрично уравнение) Пример 8 (експоненциално уравнение) Пример 9 (ирационално уравнение) Пример 10 (логаритмично уравнение)

ВИД ЗАДАЧА: Уравнение. ХАРАКТЕРИСТИКА НА ЗАДАЧАТА: Просто показателно, логаритмично, тригонометрично или ирационално уравнение. КОМЕНТАР: Уравнението се свежда в една стъпка до линейно или квадратно (в този случай в отговора трябва да се посочи само един от корените - по-голям или по-малък). Неправилните отговори са свързани основно с аритметични грешки.

Решете уравнението. ПРИМЕР 1 Решение. Нека повдигнем на квадрат: След това получаваме от къде Отговор: -2

ПРИМЕР 2 Решете уравнението. Решение. Нека да преминем към една основа на степента: От равенство на основите се стига до равенство на степени: Откъдето Отговор: 3

ПРИМЕР 3 Решете уравнението. Решение. Нека повдигнем двете страни на уравнението на трета степен: След елементарни трансформации получаваме: Отговор: 23

ПРИМЕР 4 Решете уравнението. Ако уравнението има повече от един корен, посочете по-малкия в отговора си. Решение. Допустим диапазон: x≠10. На тази площ умножаваме по знаменателя: И двата корена лежат в ODZ. По-малкото е −3. Отговор: -3

ПРИМЕР 5 Решете уравнението. Решение. Използвайки формулата получаваме: Отговор: 6

ПРИМЕР 6 Решете уравнението. Решение. Логаритмите на два израза са равни, ако самите изрази са равни и в същото време положителни: Откъде получаваме отговора: 6

ПРИМЕР 7 Решете уравнението. Дайте на отговора си най-малкия положителен корен. Решение. Нека решим уравнението:

Стойностите съответстват на големи положителни корени. Ако k=1, тогава x 1 =6,5 и x 2 =8,5. Ако k=0, тогава x 3 =0,5 и x 4 =2,5. Стойностите съответстват на по-малки стойности на корените. Най-малкото положително решение е 0,5. Отговор: 0,5

ПРИМЕР 8 Решете уравнението. Решение. Привеждайки лявата и дясната страна на уравнението на степени на 6, получаваме: Къде означава, Отговор: 2

ПРИМЕР 9 Решете уравнението. Решение. Поставяйки на квадрат двете страни на уравнението, получаваме: Очевидно откъде Отговор: 5

ПРИМЕР 10 Решете уравнението. Решение. Нека пренапишем уравнението така, че да има логаритъм с основа 4 от двете страни: Освен това е очевидно откъде идва Отговорът: -11

Използваният материал е взет от сайта: http://reshuege.ru pd-1&p=3&text= equations%20images& noreask =1&pos=100&rpt= simage&lr =213&img_url=http%3A%2F%2Fwww.presentermedia.com%2Ffiles%2Fclipart %2F00003000%2F3804%2Fdrawing_math_equation_pc_md_wm.jpg

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Проектна работа Методика за подготовка на учениците за решаване на задачи по темите "Задачи за движение" и "Задачи за смеси и сплави", включени в изпита по математика.

Доминиращата идея на федералния компонент на държавния образователен стандарт по математика е интензивното развитие на логическото мислене, пространственото въображение, алге...

ПРЕДМЕТНО-ОРИЕНТИРАНИ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗПОЛЗВАНЕ по математика.

Разработването и подборът на задачи за формиране на знания, умения и способности е много важна задача. За постигането на тази цел се използват два вида задачи – чисто математически и практически ориентирани. дни...

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешното полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Днес ще тренираме умението за решаване на задача 5 от USE - намерете корена на уравнението. Нека потърсим корена на уравнението. Помислете за примери за решаване на такива задачи. Но първо, нека си припомним - какво означава - да намериш корена на уравнението?

Това означава да намерим число, криптирано под x, което ще заместим с x и нашето уравнение ще бъде истинско равенство.

Например 3x=9 е уравнение и 3 . 3=9 вече е истинско равенство. Тоест, в този случай заместихме числото 3 вместо x - получихме правилния израз или равенство, което означава, че сме решили уравнението, тоест намерихме даденото число x=3, което превръща уравнението в истинско равенство.

Ето какво ще направим - ще намерим корена на уравнението.

Задача 1 - намерете корена на уравнение 2 1-4x =32

Това е експоненциално уравнение. Решава се по следния начин - необходимо е и отляво, и отдясно на знака за равенство да има степен с еднаква основа.

Отляво имаме основа от степен 2, а отдясно изобщо няма степен. Но знаем, че 32 е 2 на пета степен. Тоест 32=2 5

Така нашето уравнение ще изглежда така: 2 1-4x \u003d 2 5

Отляво и отдясно основите на степента ни са еднакви, което означава, че за да имаме равенство, трябва да са равни и показателите:

Получаваме обикновено уравнение. Решаваме по обичайния начин - оставяме всички неизвестни отляво и прехвърляме известните отдясно, получаваме:

Проверка: 2 1-4(-1) =32

Намерихме корена на уравнението. Отговор: x=-1.

Намерете сами корена на уравнението в следните задачи:

б) 2 1-3x \u003d 128

Задача 2 - намерете корена на уравнението

Решаваме уравнението по подобен начин - като приведем лявата и дясната страна на уравнението към една и съща основа на степента. В нашия случай до основата на степен 2.

Използваме следното свойство на степента:

Чрез това свойство получаваме за дясната страна на нашето уравнение:

Ако основите на експонентата са равни, то степенните степени са равни:

Отговор: x=9.

Нека направим проверка - заместваме намерената стойност на x в оригиналното уравнение - ако получим правилното равенство, значи сме решили уравнението правилно.

Намерихме правилно корена на уравнението.

Задача 3 - намерете корена на уравнението

Забележете, че имаме 1/8 отдясно и 1/8 е

Тогава нашето уравнение ще бъде написано като:

Ако основите на степента са равни, тогава експонентите са равни, получаваме просто уравнение:

Отговор: x=5. Направете проверката сами.

Задача 4 - намерете корена на уравнението log 3 (15's) = log 3 2

Това уравнение се решава по същия начин като експоненциалното. Искаме основите на логаритмите отляво и отдясно на знака за равенство да са еднакви. Сега те са еднакви, така че приравняваме тези изрази, които са под знака на логаритмите:

Отговор: x=13

Задача 5 - намерете корена на уравнението log 3 (3-x)=3

Числото 3 е log 3 27. За да стане ясно по-долу, индексът под знака за логаритъм е числото, което е повдигнато на степен, в нашия случай 3, знакът за логаритъм е числото, което се е получило, когато е повдигнато на степен 27, а самият логаритъм е степенна степен, към която трябва да повдигнете 3, за да получите 27.

Погледни снимката:

Така всяко число може да бъде записано като логаритъм. В този случай е много удобно да напишем числото 3 като логаритъм с основа 3. Получаваме:

log 3 (3-x)=log 3 27

Основите на логаритмите са равни, което означава, че числата под знака на логаритъма също са равни:

Да проверим:

log 3 (3-(-24))=log 3 27

log 3 (3+24)= log 3 27

log 3 27=log 3 27

Отговор: x=-24.

Намерете корена на уравнението. Задача 6.

log 2 (x+3)=log 2 (3x-15)

Проверка: log 2 (9+3)=log 2 (27-15)

log 2 12=log 2 12

Отговор: x=9.

Намерете корена на уравнението. Задача 7.

log 2 (14-2x)=2log 2 3

log 2 (14-2x)=log 2 3 2

Проверка: log 2 (14-5)=2log 2 3

log29=2log23

log 2 3 2 =2 log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Отговор: x=2,5

Подгответе се за изпита и за OGE - вижте предишните теми и.

Уравнения, част $C$

Равенство, съдържащо неизвестно число, означено с буква, се нарича уравнение. Изразът отляво на знака за равенство се нарича лява страна на уравнението, а изразът отдясно се нарича дясна страна на уравнението.

Схема за решаване на сложни уравнения:

Преди да решите уравнението, е необходимо да запишете областта на допустимите стойности (ODV) за него.
Решете уравнението.
Изберете от получените корени на уравнението тези, които удовлетворяват ОДЗ.

ODZ на различни изрази (под израза ще разбираме буквено-цифров запис):

1. Изразът в знаменателя не трябва да е равен на нула.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Основният израз не трябва да е отрицателен.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Коренът на израза в знаменателя трябва да е положителен.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. За логаритъма: сублогаритмичният израз трябва да е положителен; основата трябва да е положителна; основата не може да бъде равна на единица.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Логаритмични уравнения

Логаритмичните уравнения са уравнения от вида $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, където $a$ е положително число, различно от $1$, и уравнения, които се редуцират до този вид.

За да решавате логаритмични уравнения, трябва да знаете свойствата на логаритмите: ще разгледаме всички свойства на логаритмите за $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - всяко реално число.

1. За всякакви реални числа $m$ и $n$ равенствата са верни:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите в една и съща основа от всеки фактор.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Логаритъмът на частното е равен на разликата между логаритмите на числителя и знаменателя в една и съща основа

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Когато умножавате два логаритма, можете да размените основите им

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$ ако $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, където $a, b, c > 0, a≠1$

6. Формула за преминаване към ново дъно

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. По-специално, ако е необходимо да се разменят основата и сублогаритмичният израз

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Има няколко основни вида логаритмични уравнения:

Най-простите логаритмични уравнения: $log_(a)x=b$. Решаването на този тип уравнения следва от дефиницията на логаритъма, т.е. $x=a^b$ и $x > 0$

Нека представим двете страни на уравнението под формата на логаритъм с основа $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Ако логаритмите са равни в една и съща основа, тогава сублогаритмичните изрази също са равни.

Отговор: $x = $8

Уравнения от вида: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. защото основите са еднакви, тогава приравняваме сублогаритмичните изрази и вземаме предвид ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

защото основите са еднакви, тогава приравняваме сублогаритмичните изрази

Прехвърляме всички членове в лявата страна на уравнението и даваме подобни членове

Нека проверим намерените корени според условията $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

При заместване във второто неравенство коренът $x=4$ не отговаря на условието, следователно е страничен корен

Отговор: $x=-3$

Метод на променлива замяна.

При този метод се нуждаете от:

Напишете уравнението на ODZ.
Съгласно свойствата на логаритмите, уверете се, че в уравнението се получават същите логаритми.
Заменете $log_(a)f(x)$ с произволна променлива.
Решете уравнението за новата променлива.
Върнете се към стъпка 3, заменете стойност вместо променлива и получете най-простото уравнение от формата: $log_(a)x=b$
Решете най-простото уравнение.
След намиране на корените на логаритмичното уравнение е необходимо да ги поставите в т. 1 и да проверите условието ODZ.

Решете уравнението $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Нека напишем ODZ уравненията:

$\table\(\ x>0,\text"защото е под знака на корена и логаритъма";\ √x≠1→x≠1;$

2. Нека направим логаритми към основата $2$, за това ще използваме правилото за преход към нова основа във втория член:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Получаваме дробно-рационално уравнение спрямо променливата t

Нека сведем всички членове до общ знаменател $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Една дроб е нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Решаваме полученото квадратно уравнение, използвайки теоремата на Vieta:

6. Да се върнем към стъпка 3, да направим обратното заместване и да получим две прости логаритмични уравнения:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Взимаме логаритъм на десните части на уравненията

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Приравняване на сублогаритмични изрази

$√x=2$, $√x=4$

За да се отървем от корена, повдигаме на квадрат двете страни на уравнението

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Нека заместим корените на логаритмичното уравнение в т. 1 и проверим състоянието на ОДЗ.

$\(\таблица\ 4 >0; \4≠1;$

Първият корен удовлетворява ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Вторият корен също удовлетворява DDE.

Отговор: $4; 16$

Уравнения във формата $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Такива уравнения се решават чрез въвеждане на нова променлива и преминаване към обичайното квадратно уравнение. След като се намерят корените на уравнението, е необходимо да ги изберете, като вземете предвид ODZ.

Дробно рационални уравнения

Ако дробта е нула, тогава числителят е нула, а знаменателят не е нула.
Ако поне една част от рационално уравнение съдържа дроб, тогава уравнението се нарича дробно рационално.

За да решите частично рационално уравнение, трябва:

Намерете стойностите на променливата, за която уравнението няма смисъл (ODV)
Намерете общия знаменател на дробите, включени в уравнението;
Умножете двете страни на уравнението с общ знаменател;
Решете полученото цяло уравнение;
Изключете от неговите корени тези, които не отговарят на условието ODZ.

Ако в уравнението участват две дроби и числителите са техните равни изрази, тогава знаменателите могат да бъдат приравнени един към друг и полученото уравнение може да бъде решено, без да се обръща внимание на числителите. НО предвид ODZ на цялото оригинално уравнение.

експоненциални уравнения

Експоненциалното уравнение е уравнение, в което неизвестното се съдържа в степента.

При решаването на експоненциални уравнения се използват свойствата на мощностите, нека си припомним някои от тях:

1. При умножение на степени с еднакви основи, основата остава същата, а показателите се събират.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. При деление на градуси с еднакви основи основата остава същата, а показателите се изваждат

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. При повишаване на степен на степен, основата остава същата, а степените се умножават

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. При повдигане на продукт на степен всеки фактор се повдига на тази степен

$(a b)^n=a^n b^n$

5. При повишаване на дроб на степен, числителят и знаменателят се повдигат на тази степен

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. При повдигане на която и да е основа до степен нула резултатът е равен на единица

7. Основата във всеки отрицателен показател може да бъде представена като основа в същия положителен показател чрез промяна на позицията на основата спрямо линията на дробта

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Коренът (коренът) може да се представи като степен с дробен показател

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Видове експоненциални уравнения:

1. Прости експоненциални уравнения:

a) Формата $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a >0, a≠1, x$ е неизвестен. За решаване на такива уравнения използваме свойството на степените: степени с една и съща основа ($a >0, a≠1$) са равни само когато техните показатели са равни.

b) Уравнение от вида $a^(f(x))=b, b>0$

За да се решат такива уравнения, е необходимо да се вземат двете части на логаритъма в основата $a$, оказва се

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Метод за корекция на основата.

3. Метод на факторизация и промяна на променлива.

За този метод, в цялото уравнение, според свойството на степените, е необходимо степените да се трансформират в една форма $a^(f(x))$.
Променете променливата $a^(f(x))=t, t > 0$.
Получаваме рационално уравнение, което трябва да се реши чрез разлагане на израза.
Правим обратни замествания, като вземем предвид, че $t >

Решете уравнението $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Чрез свойството на степените трансформираме израза така, че да се получи степента 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Нека променим променливата $2^x=t; t>0$

Получаваме кубично уравнение от вида

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Умножете цялото уравнение по $2$, за да се отървете от знаменателите

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Нека разширим лявата страна на уравнението чрез метода на групиране

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Изваждаме общия множител $2$ от първата скоба, $7t$ от втората скоба

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Освен това в първата скоба виждаме формулата за разликата на кубчетата

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Нека решим първото уравнение

Решаваме второто уравнение чрез дискриминанта

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Отговор: $-1; 0; 1$

4. Метод за преобразуване в квадратно уравнение

Имаме уравнение от вида $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, където $A, B$ и $C$ са коефициенти.
Правим промяната $a^(f(x))=t, t > 0$.
Получава се квадратно уравнение от вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаваме полученото уравнение.
Правим обратното заместване, като вземем предвид, че $t > 0$. Получаваме най-простото експоненциално уравнение $a^(f(x))=t$, решаваме го и записваме резултата в отговор.

Методи за факторизиране:

Изваждане на общия множител извън скоби.

За да факторизирате полином чрез изваждане на общия множител извън скоби, трябва:

Определете общия множител.
Разделете дадения полином на него.
Запишете произведението на общия множител и полученото частно (заграждайки това частно в скоби).

Факторизирайте полинома: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Общият множител за този полином е $2a$, тъй като всички членове се делят на $2$ и "a". След това намираме коефициента на разделяне на оригиналния полином на "2a", получаваме:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Това е крайният резултат от факторизацията.

Приложение на формули за съкратено умножение

1. Квадратът на сумата се разлага на квадрата на първото число плюс два пъти произведението на първото число по второто число и плюс квадрата на второто число.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Квадратът на разликата се разлага на квадрата на първото число минус два пъти произведението на първото число по второто и плюс квадрата на второто число.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Разликата на квадратите се разлага на произведението на разликата на числата и тяхната сума.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Кубът на сбора е равен на куба на първото число плюс три пъти квадрата на първото и второто число плюс три пъти произведението на първото и квадрата на второто число плюс куба на второто число .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Кубът на разликата е равен на куба на първото число минус три пъти произведението на квадрата на първото и второто число, плюс три пъти произведението на първото и квадрата на второто число и минус кубът на второто число.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Сборът на кубовете е равен на произведението на сбора на числата и непълния квадрат на разликата.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Разликата на кубовете е равна на произведението на разликата на числата по непълния квадрат на сбора.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Метод на групиране

Методът на групиране е удобен за използване, когато е необходимо да се факторизира полином с четен брой членове. При този метод е необходимо да се съберат термините в групи и да се извади общият фактор от скобата от всяка група. Няколко групи, след като бъдат поставени в скоби, трябва да получат едни и същи изрази, след което вземаме тази скоба напред като общ множител и я умножаваме по скобата на полученото частно.

Факторизирайте полинома $2a^3-a^2+4a-2$

За да разширим този полином, използваме метода за групиране на сумата, за това групираме първите два и последните два члена, докато е важно правилно да поставим знака пред второто групиране, поставяме знака + и следователно пишем термини със знаците им в скоби.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

След като извадим общите множители, получихме двойка еднакви скоби. Сега изваждаме тази скоба като общ множител.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведението на тези скоби е крайният резултат от факторизацията.

Използване на формулата на квадратен тричлен.

Ако има квадратен трином от формата $ax^2+bx+c$, тогава той може да бъде разширен по формулата

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, където $x_1$ и $x_2$ са корените на квадратен тричлен