Уравнения с параметър за манекени. „Подготовка за Единния държавен изпит: Проблеми с параметри.“ Проблем за самостоятелно решаване

Доклад за ГМО на учител по математика в МБОУ СОУ No9

Молчанова Елена Владимировна

„Подготовка за Единния държавен изпит по математика: проблеми с параметри.“

Тъй като в училищни учебнициНяма дефиниция на параметъра, предлагам да вземем следната най-проста версия като основа.

Определение . Параметърът е независима променлива, чиято стойност в задачата се счита за дадено фиксирано или произволно реално число или число, принадлежащо към предварително определен набор.

Какво означава „решаване на проблем с параметър“?

Естествено, това зависи от въпроса в задачата. Ако, например, е необходимо да се реши уравнение, неравенство, система или набор от тях, тогава това означава представяне на аргументиран отговор или за произволна стойност на параметър, или за стойност на параметър, принадлежащ на предварително определен набор .

Ако трябва да намерите стойности на параметри, за които наборът от решения на уравнение, неравенство и т.н. отговаря на декларираното условие, тогава, очевидно, решението на проблема се състои в намирането на зададените стойности на параметъра.

Читателят ще развие по-прозрачно разбиране за това какво означава да се реши проблем с параметър, след като прочете примерите за решаване на проблем на следващите страници.

Кои са основните типове проблеми с параметри?

Тип 1. Уравнения, неравенства, техните системи и набори, които трябва да бъдат решени или за всяка стойност на параметъра (параметри), или за стойности на параметри, принадлежащи към предварително определен набор.

Този тип задачи са базови при усвояването на темата „Задачи с параметри“, тъй като вложеният труд предопределя успеха при решаването на задачи от всички други основни типове.

Тип 2. Уравнения, неравенства, техните системи и множества, за които е необходимо да се определи броят на решенията в зависимост от стойността на параметъра (параметрите).

Обръщам внимание, че при решаване на задачи от този типне е необходимо нито да се решават дадени уравнения, неравенства, техни системи и комбинации и т.н., нито да се предоставят тези решения; В повечето случаи такава ненужна работа е тактическа грешка, която води до ненужна загуба на време. Това обаче не трябва да се абсолютизира, тъй като понякога директното решение в съответствие с тип 1 е единственият разумен начин за получаване на отговор при решаване на проблем от тип 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, техните системи и колекции, за които се изисква да се намерят всички онези стойности на параметрите, за които посочените уравнения, неравенства, техните системи и колекции имат даден брой решения (по-специално, те нямат или имат безкраен брой решения).

Лесно е да се види, че проблемите от тип 3 са в известен смисъл обратни на проблемите от тип 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, техните системи и набори, за които за необходимите стойности на параметъра наборът от решения удовлетворява дадени условияв областта на дефиницията.

Например, намерете стойности на параметри, при които:

1) уравнението е изпълнено за всяка стойност на променливата от даден интервал;
2) множеството от решения на първото уравнение е подмножество от множеството от решения на второто уравнение и т.н.

Коментар. Разнообразието от задачи с параметър обхваща целия курс на училищната математика (както алгебра, така и геометрия), но преобладаващата част от тях на финалните и приемните изпити принадлежат към един от четирите изброени типа, които поради тази причина се наричат ​​основни.

Най-разпространеният клас задачи с параметър са задачите с едно неизвестно и един параметър. Следващият параграф показва основните начини за решаване на проблеми от този конкретен клас.

Какви са основните начини (методи) за решаване на задачи с параметър?

Метод I (аналитичен). Това е метод на така нареченото директно решение, повтарящ стандартни процедури за намиране на отговор в задачи без параметър. Понякога казват, че това е метод на сила, в в добър смисъл"нагло" решение.

Коментар. Аналитичният метод за решаване на задачи с параметър е най-трудният метод, изискващ висока грамотности най-големите усилия за овладяването му.

Метод II (графика). В зависимост от задачата (с променлива x и параметъра ) се разглеждат графики или в координатна равнина(x; y), или в координатната равнина (x;а ).

Коментар. Изключителната яснота и красота на графичния метод за решаване на проблеми с параметър завладява учениците от темата „Задачи с параметър“ толкова много, че те започват да пренебрегват други методи за решаване, забравяйки добре известния факт: за всеки клас задачи , техните автори могат да формулират такъв, който е брилянтно решен по този начин и с колосални трудности по други начини. Следователно на начална фазаОпасно е да започнете да изучавате с графични техники за решаване на задачи с параметър.

Метод III (решение относно параметъра). При решаване по този начин променливите x и a се приемат за равни и се избира променливата, по отношение на която аналитичното решение се счита за по-просто. След естествени опростявания се връщаме към първоначалното значение на променливите x и a и завършваме решението.

Сега ще премина към демонстриране на тези методи за решаване на проблеми с параметър, тъй като това е любимият ми метод за решаване на проблеми от този тип.

След като анализирах всички задачи с параметри, решени графично, започвам запознаването си с параметрите със задачите на Единния държавен изпит B7 2002:

При каква е целочислената стойност за уравнението 45x – 3x 2 - Х 3 + 3k = 0 има точно два корена?

Тези задачи позволяват, първо, да си спомнят как да конструират графики, използвайки производната, и второ, да обяснят значението на правата линия y = k.

В следващите класове използвам селекция от леки и средни състезателни задачи с параметри за подготовка за Единния държавен изпит, уравнения с модул. Тези задачи могат да бъдат препоръчани на учителите по математика като начален набор от упражнения за усвояване на работата с параметъра, ограден под знака на модула. Повечето от числата са решени графично и предоставени на учителя готов планурок (или два урока) със силен ученик. Първоначално обучениеза Единния държавен изпит по математика, използвайки упражнения, близки по сложност до реалните числа C5. Много от предложените задачи са взети от материали за подготовка за Единния държавен изпит 2009 г., а някои са от интернет от опита на колеги.

1) Посочете всички стойности на параметритестр , за което уравнението има 4 корена?
Отговор:

2) При какви стойности на параметъраА уравнението няма решения?
Отговор:

3) Намерете всички стойности на a, за всяка от които уравнението има точно 3 корена?
Отговор: a=2

4) При какви стойности на параметъраb уравнението То има единствено решение? Отговор:

5) Намерете всички стойностим , за което уравнението няма решения.
Отговор:

6) Намерете всички стойности на a, за които уравнението има точно 3 различни корена. (Ако има повече от една стойност на a, тогава запишете тяхната сума в отговора си.)

Отговор: 3

7) При какви стойностиb уравнението има точно 2 решения?
Отговор:

8) Посочете тези параметрик , за което уравнението има поне две решения.
Отговор:

9) При какви стойности на параметърастр уравнението има само едно решение?
Отговор:

10) Намерете всички стойности на a, за всяка от които уравнението (x + 1)има точно 2 корена? Ако има няколко стойности на a, тогава запишете тяхната сума в отговор.

Отговор: - 3

11) Намерете всички стойности на a, за които уравнението има точно 3 корена? (Ако има повече от една стойност на a, тогава запишете тяхната сума в отговор).

Отговор: 4

12) На какъв минимум природна стойностпараметър уравнение – = 11 има само положителни корени?

Отговор: 19

13) Намерете всички стойности на a, за всяка от които уравнението = 1 има точно 3 корена? (Ако има повече от една стойност на a, тогава запишете тяхната сума в отговора си).

Отговор: - 3

14) Посочете следните стойности на параметритеT , за което уравнението има 4 различни решения. Отговор:

15) Намерете тези параметрим , за което уравнението има две различни решения. Отговор:

16) При какви стойности на параметърастр уравнението има точно 3 крайности? Отговор:

17) Посочете всички възможни параметри n, за които функцията има точно една минимална точка. Отговор:

Публикуваният набор редовно се използва от мен за работа със способен, но не най-силен ученик, който въпреки това се стреми към висок резултат от Единния държавен изпит чрез решаване на номер C5. Учителят подготвя такъв ученик на няколко етапа, като подчертава за обучение индивидуални умения, необходими за търсене и прилагане дълги решения, отделни уроци. Тази селекция е подходяща за етапа на формиране на идеи за плаващи модели, в зависимост от параметъра. Номера 16 и 17 са базирани на модела на реално уравнение с параметър на Единния държавен изпит 2011 г. Задачите са подредени по нарастваща трудност.

Задача С5 по математика Единен държавен изпит 2012г

Тук имаме традиционен параметърен проблем, който изисква умерено владеене на материала и прилагане на няколко свойства и теореми. Тази задача е една от най трудни задачиедин държавен изпитматематика. Предназначен е предимно за тези, които възнамеряват да продължат образованието си в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. За успешно решениезадача е важно свободно да оперирате с изучените определения, свойства, теореми и да ги прилагате в различни ситуации, анализирайте състоянието и намерете възможни начинирешения.

На сайта за подготовка за Единния държавен изпит на Александър Ларин от 11 май 2012 г. опции за обучение№ 1 – 22 със задачи от ниво „C“, C5 от някои от тях бяха подобни на задачите, които бяха на реалния изпит. Например, намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които графиките на функциитеf(x) = Иж(x) = a(x + 5) + 2 нямат общи точки?

Да разгледаме решението на задача C5 от изпита 2012г.

Задача C5 от Единния държавен изпит 2012 г

За какви стойности на параметъра a прави уравнението има поне два корена.

Нека решим тази задача графично. Нека начертаем лявата страна на уравнението: и графиката от дясната страна:и формулирайте проблемния въпрос, както следва: при какви стойности на параметъра a са графиките на функциите Иимат две или повече общи точки.

Няма параметър от лявата страна на оригиналното уравнение, така че можем да начертаем функцията.

Ще изградим тази графика, използвайки функции:

1. Преместете графиката на функцията3 единици надолу по оста OY, получаваме графиката на функцията:

2. Нека начертаем функцията . За да направите това, част от графиката на функцията , разположен под оста OX, ще се покаже симетрично спрямо тази ос:

И така, графиката на функциятаима формата:

Графика на функция

По някаква причина в напоследъкпроблемите с параметрите предизвикват почти свещен ужас у учениците, понякога тихо, а понякога и не толкова. Проблемът явно пак е, че така ги учат. Като цяло, горките деца... Научете наизуст куп задачи с един, два или повече параметъра, решавайте ги безброй пъти без видима причина и на същия прословут Единен държавен изпит вземете условията на такава задача с параметър което никога не сте виждали преди и изпадате в ступор от невъзможността дори да започнете да го решавате, да разберете в коя посока да се движите. Е, как да не ти е жал за абитуриентите!

Защото много обичам да описвам моите ученически години, моето обучение (което, между другото, вероятно вече сте забелязали))), тогава ще напиша как беше при нас. Внимание, няма да повярвате: никой никога не ни е учил да решаваме задачи с параметри! Е, написах още една бунт))) Просто бяхме научени да решаваме проблеми, това е всичко. Нямаше отделен клас/тип/група задачи, които да се наричат ​​проблеми с параметри. И в същото време подобни задачи не изненадаха никого и не накараха никого да трепери. Всички те бяха просто решени, както всички други проблеми. Като този.

И нямаше разни уроци, които да казват какво да правиш, когато видиш параметрите, кой път да преместиш и къде да замениш... Просто за всеки проблем трябваше да разбереш как да стигнеш до неговото решение, какво, защо и защо, в каква последователност да направите, за да получите отговор. И основното беше разбирането защо и защо. Няма нищо сложно в тези задачи, повярвайте ми, моля! Нищо специално специални техникиНяма и решения. Да, можете да покажете някои методи, които при пълна липса на разбиране какво се случва (защо и защо) ще помогнат да се справите с десет, петнадесет, сто идентични проблеми, но ще има сто и един, които не могат да бъдат решени използвайки този метод!

Какво следва от това? Това е което. Ако по някаква причина се страхувате от проблеми с параметри, ако коленете ви започват да треперят, когато се споменават, трябва да вземете задачи без параметри по същата тема, която смятате, че можете да решите, и да се опитате да разберете какво е какво, характер по характер, разбиране какво, защо, защо и как се прави. Ако разберете това подробно и задълбочено и започнете ясно да разбирате какво се случва, няма да имате нужда от специални учебни помагала, които предоставят такива „полезни“ методи за решаване, и преподаватели, много от които се обучават с помощта на същите ръководства. И като бонус ще можете без страх или трепет да започнете да решавате всеки проблем, в който има такива привидно ужасни параметри, но всъщност - само букви, зад които могат да стоят само обикновени числа и нищо повече!

За съжаление не мога да обещая, че всичко ще бъде лесно. Освен това, ако никога не сте се опитвали да си зададете тези коварни въпроси: защо? За какво? откъде дойде това и какво следва от това? Въпреки това, ако искате да научите как да решавате проблеми, искате да разберете, трябва да го направите. Да, трудно е да се мисли, но не можете без него! Опитайте и ще видите колко по-интересен е станал животът!

1. Задача.
При какви стойности на параметрите ауравнението ( а - 1)х 2 + 2х + а- 1 = 0 има ли точно един корен?

1. Решение.
При а= 1 уравнението е 2 х= 0 и очевидно има един корен х= 0. Ако а№ 1, тогава това уравнение е квадратично и има един корен за тези стойности на параметрите, при които дискриминантът на квадратичния трином е равен на нула. Приравнявайки дискриминанта на нула, получаваме уравнение за параметъра а 4а 2 - 8а= 0, откъдето а= 0 или а = 2.

1. Отговор:уравнението има един корен при аО (0; 1; 2).

2. Задача.
Намерете всички стойности на параметрите а, за което уравнението има два различни корена х 2 +4брадва+8а+3 = 0.
2. Разтвор.
Уравнението х 2 +4брадва+8а+3 = 0 има два различни корена тогава и само ако д = 16а 2 -4(8а+3) > 0. Получаваме (след намаляване с общ множител 4) 4 а 2 -8а-3 > 0, откъдето

2. Отговор:

а O (-Ґ ; 1 –

Ts 7 2

) И (1 +

Ts 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно е, че
f 2 (х) = 6х-х 2 -6.
а) Начертайте графика на функцията f 1 (х) при а = 1.
б) На каква стойност афункционални графики f 1 (х) И f 2 (х) имат една обща точка?

3. Разтвор.
3.а.Да се ​​трансформираме f 1 (х) по следния начин
Графиката на тази функция при а= 1 е показано на фигурата вдясно.
3.б.Нека веднага да отбележим, че графиките на функциите г = kx+bИ г = брадва 2 +bx+° С (а№ 0) се пресичат в една точка тогава и само ако квадратно уравнение kx+b = брадва 2 +bx+° Сима един корен. Използване на View f 1 от 3.а, нека приравним дискриминанта на уравнението а = 6х-х 2-6 на нула. От уравнение 36-24-4 а= 0 получаваме а= 3. Направете същото с уравнение 2 х-а = 6х-х 2 -6 ще намерим а= 2. Лесно е да се провери дали тези стойности на параметрите отговарят на условията на проблема. Отговор: а= 2 или а = 3.

4. Задача.
Намерете всички стойности а, за които множеството от решения на неравенството х 2 -2брадва-3а i 0 съдържа сегмента.

4. Разтвор.
Първа координата на върха на параболата f(х) = х 2 -2брадва-3аравна на х 0 = а. От свойствата на квадратична функция условието f(х) і 0 на сегмента е еквивалентен на набор от три системи
има точно две решения?

5. Разтвор.
Нека пренапишем това уравнение във формата х 2 + (2а-2)х - 3а+7 = 0. Това е квадратно уравнение; то има точно две решения, ако неговият дискриминант е строго по-голям от нула. Изчислявайки дискриминанта, установяваме, че условието за наличието на точно два корена е изпълнението на неравенството а 2 +а-6 > 0. Решавайки неравенството, намираме а < -3 или а> 2. Първото от неравенствата очевидно е решения в естествени числаняма, а най-малкото естествено решение на второто е числото 3.

5. Отговор: 3.

6. Проблем (10 ключа)
Намерете всички стойности а, за която графиката на функцията или, след очевидни трансформации, а-2 = | 2-а| . Последното уравнение е еквивалентно на неравенството ааз 2.

6. Отговор: аОТНОСНО )