Изваждане на дроби с различни примери. Изваждане на дроби с различни знаменатели. Събиране и изваждане на обикновени дроби

Дробните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето хора имат затруднения с. Когато изучава темата "събиране на дроби с цели числа", детето изпада в ступор, затруднявайки се да реши задачата. В много примери трябва да се извършат поредица от изчисления, преди да може да се извърши дадено действие. Например преобразувайте дроби или не превеждайте правилна дробкъм правилния.

Обяснете на детето ясно. Вземете три ябълки, две от които ще бъдат цели, а третата ще бъде нарязана на 4 части. Отделете едно парче от нарязаната ябълка, а останалите три сложете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълки от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме три цели ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, тоест да премахнем още един резен, получаваме 2 2/4 ябълки.

Нека разгледаме по-подробно действията с дроби, които включват цели числа:

Първо, нека си припомним правилото за изчисляване на дробни изрази с общ знаменател:

На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.

Как да намерим стойността на израз, където знаменателите са различни

В някои задачи е необходимо да се намери стойността на израз, в който знаменателите са различни. Разгледайте конкретен случай:
3 2/7+6 1/3

Намерете стойността на този израз, за това намираме общ знаменател за две дроби.

За числата 7 и 3 това е 21. Оставяме целите части същите и намаляваме дробните части до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21+7/21, не забравяйте, че цели части не подлежат на преобразуване. В резултат на това получаваме две дроби с един знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ами ако резултатът от събирането е неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
AT този случайСъбирайки целите части и дробните части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е едно, така че 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С намирането на сумата всичко е ясно, нека анализираме изваждането:

От всичко казано следва правилото за операции със смесени числа, което звучи така:

Ако е необходимо да се извади цяло число от дробен израз, не е необходимо второто число да се представя като дроб, достатъчно е да се оперира само с цели части.

Нека се опитаме сами да изчислим стойността на изразите:

Нека разгледаме по-отблизо примера под буквата "m":

4 5/11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втория. За да направим това, вземаме едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11+11/11=3 цяло 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16/11-2 8/11=1 цяло 8/11

Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неправилните дроби в смесени, като подчертавате цялата част. За да направите това, е необходимо да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава случилото се заема мястото на цялата част, остатъкът ще бъде числителят, например:

19/4=4 ¾, проверка: 4*4+3=19, в знаменателя 4 остава непроменено.

Обобщете:

Преди да продължите със задачата, свързана с дроби, е необходимо да анализирате какъв вид израз е, какви трансформации трябва да се извършат върху дробта, за да бъде решението правилно. Търсете по-рационални решения. Не тръгвайте по трудния път. Планирайте всички действия, решете първо в чернова версия, след това прехвърлете в училищна тетрадка.

За да избегнете объркване при решаването на дробни изрази, е необходимо да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.

Действия с дроби.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Нека да се заемем с основния въпрос.

Какво можете да правите с дроби?Да, всичко е както при обикновените номера. Събиране, изваждане, умножение, деление.

Всички тези действия с десетичен знакоперациите с дроби не се различават от операциите с цели числа. Всъщност те са добри за това, десетични. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.

смесени числа, както казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.

А ето и действията с обикновени дробище бъде по-умен. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и така нататък и така нататък не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.

Събиране и изваждане на дроби.

Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека ви напомня, че съм напълно забравителен: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:

Накратко, в общ изглед:

Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дробта (тук отново ни беше полезно!), Правим знаменателите еднакви! Например:

Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. Единствено с цел знаменателите да са еднакви. Отбелязвам за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 ни е неудобно, а 4/10 дори нищо.

Между другото, това е същността на решаването на всякакви задачи по математика. Когато сме навън неудобноизразите правят същото, но по-удобно за решаване.

Друг пример:

Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножение по 3. Всичко е ясно. Но тук се натъкваме на нещо като:

Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича "привеждане до общ знаменател":

Как! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели едновременно на 7 и 9. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим някое число по 7, например, тогава резултатът със сигурност ще бъде разделен на 7!

Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите знаменателя, който е общ за всички дроби, и да приведете всяка дроб към същия знаменател. Например:

И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се изчисли, че числото 16 се дели напълно на 2, 4 и 8. Следователно е лесно да се получи 16 от тези числа. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.

Между другото, ако вземем 1024 за общ знаменател, също всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Само че не всеки ще стигне до този край, поради изчисленията ...

Решете примера сами. Не е логаритъм... Трябва да е 29/16.

Така че, със събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратен вариант, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за онези, които са работили честно по-ниски оценки... И не забрави нищо.

И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Тук ще бъдат намерени нови рейкове, да ...

Така че трябва да добавим две дробни изрази:

Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! И така, основното свойство на дробта гласи. Следователно не мога да добавя единица към х в първата дроб в знаменателя. (Но това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате ли, всичко ще расте заедно! Така че записваме реда на дробта, оставяме празно място отгоре, след това го добавяме и записваме произведението на знаменателите отдолу, за да не забравим:

И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скоби! И сега, като гледаме общия знаменател на дясната страна, мислим: за да получим знаменателя x (x + 1) в първата дроб, трябва да умножим числителя и знаменателя на тази дроб по (x + 1) . А във втората дроб - х. Получавате това:

Забележка! Скобите са тук! Това е греблото, върху което мнозина стъпват. Не скоби, разбира се, а тяхното отсъствие. Появяват се скоби, защото умножаваме цялоточислител и цялотознаменател! А не отделните им парчета...

В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, всичко е както в дроби, след това отворете скобите в числителя от дясната страна, т.е. умножете всичко и дайте като. Не е нужно да отваряте скобите в знаменателите, не е нужно да умножавате нещо! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:

Тук получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. Решете примери, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили дробите за определеното време, правят всички тези операции с една ръка, на машината!

И още една забележка. Много известни хора се занимават с дроби, но се придържат към примери цялочисла. Тип: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепите двойка? Няма нужда да се закрепвате никъде, трябва да направите дроб от двойка. Не е лесно, много е просто! 2=2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 и т.н. И тогава работим с тези дроби според всички правила.

Ами на събиране - изваждане на дроби се опресниха знанията. Трансформации на дроби от един вид в друг – многократно. Можете също да проверите. Да се успокоим малко?)

Изчисли:

Отговори (в безпорядък):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение / деление на дроби - в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

вашето дете донесе домашна работаот училище и не знаете как да го решите? Тогава този мини урок е за вас!

Как да добавя десетични знаци

По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона. За извършване на добавяне десетични дробитрябва да следвате едно просто правило:

Цифрата трябва да е под цифрата, запетаята под запетаята.

Както можете да видите в примера, цели единици са една под друга, десети и стотни са една под друга. Сега събираме числата, като игнорираме запетаята. Какво да правим със запетая? Запетаята се прехвърля на мястото, където е стояла в изписването на цели числа.

Събиране на дроби с равни знаменатели

За да извършите събиране с общ знаменател, трябва да запазите знаменателя непроменен, да намерите сбора на числителите и да получите дроб, която ще бъде общата сума.

Събиране на дроби с различни знаменатели чрез намиране на общо кратно

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание, са знаменателите. Знаменателите са различни, дали едното се дели на другото, дали са прости числа. Първо трябва да доведете до един общ знаменател, има няколко начина да направите това:

1/3 + 3/4 = 13/12, за да решим този пример, трябва да намерим най-малкото общо кратно (LCM), което ще се дели на 2 знаменателя. За означаване на най-малкото кратно на a и b - LCM (a; b). AT този пример LCM (3;4)=12. Проверка: 12:3=4; 12:4=3.
Умножаваме факторите и извършваме добавяне на получените числа, получаваме 13/12 - неправилна дроб.

За да превърнем неправилна дроб в правилна, разделяме числителя на знаменателя, получаваме цяло число 1, остатъкът 1 е числителят, а 12 е знаменателят.

Събиране на дроби чрез кръстосано умножение

За събиране на дроби с различни знаменателиима и друг начин по формулата "кръст до кръст". Това е гарантиран начин за изравняване на знаменателите, за това трябва да умножите числителите със знаменателя на една дроб и обратно. Ако сте само на начална фазаизучаване на дроби, тогава този метод е най-лесният и точен, как да получите правилния резултат при събиране на дроби с различни знаменатели.

Забележка!Преди да напишете окончателен отговор, вижте дали можете да намалите дробта, която сте получили.

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели примери:

Изваждане на правилна дроб от едно.

Ако е необходимо да се извади от единицата правилна дроб, единицата се преобразува във формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на извадената дроб.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменателят на дробта, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единицата във формата неправилна дроб 7/7 и извадете по правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Изваждане на правилна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

Превеждаме дадените дроби, които съдържат цяла част, в неправилни. Получаваме нормални членове (няма значение дали имат различни знаменатели), които разглеждаме по правилата, дадени по-горе;
След това изчисляваме разликата на дробите, които сме получили. В резултат на това почти ще намерим отговора;
Извършваме обратното преобразуване, тоест премахваме неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.

Извадете правилна дроб от цяло число: представяме естествено число като смесено число. Тези. вземаме единица в естествено число и я превеждаме под формата на неправилна дроб, знаменателят е същият като този на извадената дроб.

Пример за изваждане на дроб:

В примера сменихме единицата с неправилна дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дроб от дробната част.

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.

Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да извадите дроби с различни знаменатели, е необходимо първо да доведете тези дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) и едва след това да извадите както при дроби с еднакви знаменатели.

Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменатели на дадените дроби.

внимание!Ако в крайната дроб числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта трябва да се намали. Неправилната дроб е най-добре представена като смесена дроб. Оставянето на резултата от изваждането без намаляване на дробта, където е възможно, е незавършено решение на примера!

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

намерете LCM за всички знаменатели;
поставете допълнителни множители за всички дроби;
умножете всички числители с допълнителен коефициент;
записваме получените продукти в числителя, подписвайки общ знаменател под всички дроби;
извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин се извършва събиране и изваждане на дроби при наличие на букви в числителя.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени дроби.

При изваждане смесени фракции(цифри)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.

Първият вариант е да извадите смесени дроби.

Ако дробните части същотознаменатели и числител на дробната част на умаляваното (изваждаме от него) ≥ числителя на дробната част на умаляваното (изваждаме го).

Например:

Вторият вариант е да извадите смесени дроби.

Когато дробните части различнизнаменатели. Като начало свеждаме дробните части към общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялото число и дробната от дробната.

Например:

Третият вариант е да извадите смесени дроби.

Дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изваждаемото.

Пример:

защото дробните части имат различни знаменатели, което означава, както във втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.

Числителят на дробната част на умаляваното е по-малък от числителя на дробната част на субтрахенда.3 < 14. И така, вземаме единицата от целочислената част и редуцираме тази единица до формата на неправилна дроб с същия знаменатели числител = 18.

В числителя от дясната страна записваме сбора на числителите, след което отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряме скоби в знаменателя. Прието е продуктът да се оставя в знаменателите. Получаваме:

Забележка!Преди да напишете окончателен отговор, вижте дали можете да намалите дробта, която сте получили.

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели примери:

Изваждане на правилна дроб от едно.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменателят на дробта, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единицата като неправилна дроб 7/7 и изваждаме по правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Изваждане на правилна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

Превеждаме дадените дроби, които съдържат цяла част, в неправилни. Получаваме нормални членове (няма значение дали имат различни знаменатели), които разглеждаме по правилата, дадени по-горе;
След това изчисляваме разликата на дробите, които сме получили. В резултат на това почти ще намерим отговора;
Извършваме обратното преобразуване, тоест премахваме неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.

Пример за изваждане на дроб:

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

намерете LCM за всички знаменатели;
поставете допълнителни множители за всички дроби;
умножете всички числители с допълнителен коефициент;
записваме получените продукти в числителя, подписвайки общ знаменател под всички дроби;
извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин се извършва събиране и изваждане на дроби при наличие на букви в числителя.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени дроби.

При изваждане на смесени дроби (числа)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.

Първият вариант е да извадите смесени дроби.

Например:

Вторият вариант е да извадите смесени дроби.

Например:

Третият вариант е да извадите смесени дроби.

Дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изваждаемото.

Пример:

Числителят на дробната част на умаляваното е по-малък от числителя на дробната част на субтрахенда.3 < 14. И така, вземаме единица от целочислената част и привеждаме тази единица под формата на неправилна дроб с еднакви знаменател и числител = 18.