Чему равна половина длины окружности. Составление системы уравнений

Если в задаче известны такие величины, как длина окружности, ее радиус или площадь круга, который ограничен данной окружностью, то вычисление диаметра будет несложным. Существует несколько способов, которыми можно высчитать диаметр окружности. Они довольно просты и вовсе не вызывают никаких трудностей, как многим кажется на первый взгляд.

Как найти диаметр окружности – 1 способ

Когда дано значение радиуса окружности, то можно считать задачу наполовину решенной, поскольку радиус представляет собой расстояние от точки, которая лежит в любом месте на окружности, до центра этой самой окружности. Все, что нужно сделать для нахождения диаметра в этом случае, это умножить данную величину радиуса на 2. Такой способ вычисления объясняется тем, что радиус является половиной диаметра. Поэтому, если известно, чему равен радиус, то и значение половины искомой величины диаметра уже фактически найдено.

Как найти диаметр окружности – 2 способ

Если в задаче дано только значение длины окружности, то для нахождения величины диаметра нужно просто поделить ее на число, известное как π, приблизительное значение которого равно 3,14. То есть, если значение длины равняется 31,4, то разделив его на 3,14, получаем значение диаметра, которое равняется 10.

Как найти диаметр окружности – 3 способ

Если в исходных данных приведено значение площади круга, то диаметр найти тоже просто. Все, что нужно сделать, это извлечь квадратный корень из данной величины и поделить полученный результат на число π. Это значит, что если значение площади равно 64, то при извлечении корня остается число 8. Если разделить полученную 8 на 3,14, то получим величину диаметра, которая равна примерно 2,5.

Как найти диаметр окружности – 4 способ

Внутри окружности нужно начертить при помощи линейки или угольника прямую горизонтальную линию от одной точки до другой. Пересечения этой прямой с линией окружностью пометьте буквами, например, А и В. Не имеет никакого значения, в какой из частей круга будет расположена эта прямая.

После этого нужно начертить еще две окружности. Но таким образом, чтобы точки А и В стали их центрами. Вновь образованные фигуры будут пересекаться в двух точках. Через них нужно провести еще одну прямую линию. После этого измеряем ее длину с помощью линейки. Значение измерения и будет равно длине диаметра, потому что последняя начерченная линия и есть сам диаметр.

Интересно, что еще очень далеко в прошлом для плетения корзин определенного размера прутики брали примерно в 3 раза длиннее. Ученые объяснили и доказали экспериментальным путем, что если длину любой окружности разделить на диаметр, то в результате получается почти одно и то же число.

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.

Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность .

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.

(·)O — называется центром окружности.
Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности . Радиус окружности обозначается буквой «R ». На рисунке выше — это отрезок «OA ».
Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр, называется диаметром окружности .
Диаметр окружности обозначается буквой «D ». На рисунке выше — это отрезок «BC ».
На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому справедливо выражение «D = 2R ».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Запомните!

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).
π ≈ 3,14…

Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам для наших вычислений достаточно использовать значение π ,
округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π , мы можем записать формулу длины окружности.

Запомните!

Длина окружности — это произведение числа π и диаметра окружности. Длина окружности обозначается буквой «С » (читается как «Це»).
C = π D
C = 2π R , так как D = 2R

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Виленкин 6 класс. Номер 831

Условие задачи:

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.

Виленкин 6 класс. Номер 835

Условие задачи:

Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. (π ≈ 3,14 ).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

C = π D
D = С / π
D = 56,52 / 3,14 = 18 дм

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A » и «B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой . Это синяя дуга «AB » и черная дуга «AB ». Точки «A » и «B » называют концами дуг .