Find cosinus af vinklen mellem to linjer online. Vinkel mellem to linjer. Sådan finder du afstanden mellem to parallelle linjer

Opgave 1

Find cosinus for vinklen mellem linjerne $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ og $\venstre\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.

Lad to linjer være givet i rummet: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ og $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Vi vælger et vilkårligt punkt i rummet og tegner to hjælpelinjer gennem det, parallelt med dataene. Vinklen mellem de givne linjer er en af de to tilstødende vinkler dannet af hjælpelinjerne. Cosinus for en af vinklerne mellem linjerne kan findes ved hjælp af den velkendte formel $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Hvis værdien $\cos \phi >0$, opnås en spids vinkel mellem linjerne, hvis $\cos \phi

Kanoniske ligninger for den første linje: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

De kanoniske ligninger for den anden rette linje kan fås fra de parametriske:

\ \ \

Således er de kanoniske ligninger for denne linje: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Vi beregner:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\venstre(-3\højre)\cdot \venstre(-1\højre)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ venstre(-3\højre)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\venstre(-1\højre)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \ca. 0,9449.\]

Opgave 2

Den første linje går gennem de givne punkter $A\left(2,-4,-1\right)$ og $B\left(-3,5,6\right)$, den anden linje går gennem de givne punkter $ C\venstre (1,-2,8\højre)$ og $D\venstre(6,7,-2\højre)$. Find afstanden mellem disse linjer.

Lad en linje være vinkelret på linjerne $AB$ og $CD$ og skær dem i punkterne $M$ og $N$, henholdsvis. Under disse forhold er længden af segmentet $MN$ lig med afstanden mellem linjerne $AB$ og $CD$.

Vi bygger vektoren $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\venstre(-3-2\højre)\cdot \bar(i)+\venstre(5-\venstre(-4\højre)\højre)\cdot \bar(j)+ \venstre(6-\venstre(-1\højre)\højre)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]

Lad stykket, der repræsenterer afstanden mellem linjerne, passere gennem punktet $M\venstre(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ på linjen $AB$.

Vi bygger $\overline(AM)$ vektoren:

\[\overline(AM)=\venstre(x_(M) -2\højre)\cdot \bar(i)+\venstre(y_(M) -\venstre(-4\højre)\højre)\cdot \ bar(j)+\venstre(z_(M) -\venstre(-1\højre)\højre)\cdot \bar(k)=\] \[=\venstre(x_(M) -2\højre)\ cdot \bar(i)+\venstre(y_(M) +4\højre)\cdot \bar(j)+\venstre(z_(M) +1\højre)\cdot \bar(k).\]

Vektorerne $\overline(AB)$ og $\overline(AM)$ er de samme, derfor er de collineære.

Det er kendt, at hvis vektorerne $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ og $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ er collineære, derefter deres koordinater er proportionale, så er $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)))(\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )(\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, hvor $m $ er resultatet af divisionen.

Herfra får vi: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Til sidst får vi udtryk for koordinaterne for punktet $M$:

Vi bygger $\overline(CD)$ vektoren:

\[\overline(CD)=\venstre(6-1\højre)\cdot \bar(i)+\venstre(7-\venstre(-2\højre)\højre)\cdot \bar(j)+\ venstre(-2-8\højre)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Lad stykket, der repræsenterer afstanden mellem linjerne, passere gennem punktet $N\venstre(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ på linjen $CD$.

Vi konstruerer vektoren $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\venstre(x_(N) -1\højre)\cdot \bar(i)+\venstre(y_(N) -\venstre(-2\højre)\højre)\cdot \ bar(j)+\venstre(z_(N) -8\højre)\cdot \bar(k)=\] \[=\venstre(x_(N) -1\højre)\cdot \bar(i)+ \venstre(y_(N) +2\højre)\cdot \bar(j)+\venstre(z_(N) -8\højre)\cdot \bar(k).\]

Vektorerne $\overline(CD)$ og $\overline(CN)$ er de samme, derfor er de collineære. Vi anvender betingelsen for kollineære vektorer:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ hvor $n $ er resultatet af opdelingen.

Herfra får vi: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Til sidst får vi udtryk for koordinaterne for punktet $N$:

Vi bygger $\overline(MN)$ vektoren:

\[\overline(MN)=\venstre(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\venstre(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\venstre(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

Vi erstatter udtrykkene for koordinaterne for punkterne $M$ og $N$:

\[\overline(MN)=\venstre(1+5\cdot n-\venstre(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\venstre(- 2+9\cdot n-\venstre(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\venstre(-1+7\cdot m\right)\right)\cdot \bar(k).\]

Efter at have gennemført trinene får vi:

\[\overline(MN)=\venstre(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\venstre(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Da linjerne $AB$ og $MN$ er vinkelrette, er skalarproduktet af de tilsvarende vektorer lig med nul, dvs. $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ venstre(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

Efter at have gennemført trinene, får vi den første ligning til at bestemme $m$ og $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Da linjerne $CD$ og $MN$ er vinkelrette, er skalarproduktet af de tilsvarende vektorer lig med nul, dvs. $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\\[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Efter at have gennemført trinene får vi den anden ligning til bestemmelse af $m$ og $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Find $m$ og $n$ ved at løse ligningssystemet $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(array)\right.$.

Vi anvender Cramer-metoden:

\[\Delta =\venstre|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\venstre|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\venstre|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\

Find koordinaterne for punkterne $M$ og $N$:

\ \

Endelig:

Til sidst skriver vi vektoren $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\venstre (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ eller $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Afstanden mellem linjerne $AB$ og $CD$ er længden af vektoren $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ ca. 3.8565$ lin. enheder

Definition

En geometrisk figur, der består af alle punkter i et plan indesluttet mellem to stråler, der udgår fra et punkt, kaldes fladt hjørne.

Definition

Vinkel mellem to krydsende direkte kaldet værdien af den mindste flade vinkel i skæringspunktet mellem disse linjer. Hvis to linjer er parallelle, antages vinklen mellem dem at være nul.

Vinklen mellem to skærende linjer (hvis målt i radianer) kan tage værdier fra nul til $\dfrac(\pi)(2)$.

Definition

Vinkel mellem to skærende linjer kaldes værdien lig med vinklen mellem to skærende lige linjer parallelt med de skæve. Vinklen mellem linjerne $a$ og $b$ er angivet med $\angle (a, b)$.

Rigtigheden af den introducerede definition følger af følgende sætning.

Planvinkelsætning med parallelle sider

Værdierne af to konvekse plane vinkler med tilsvarende parallelle og lige rettede sider er ens.

Bevis

Hvis vinklerne er lige, så er de begge lig med $\pi$. Hvis de ikke udvikles, så sætter vi lige store segmenter $ON=O_1ON_1$ og $OM=O_1M_1$ til side på de tilsvarende sider af vinklerne $\vinkel AOB$ og $\vinkel A_1O_1B_1$.

Firkanten $O_1N_1NO$ er et parallelogram, fordi dens modsatte sider $ON$ og $O_1N_1$ er lige store og parallelle. På samme måde er firkanten $O_1M_1MO$ et parallelogram. Derfor $NN_1 = OO_1 = MM_1$ og $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, derfor $NN_1=MM_1$ og $NN_1 \parallel MM_1$ ved transitivitet. Firkanten $N_1M_1MN$ er et parallelogram, fordi dens modstående sider er lige store og parallelle. Derfor er segmenterne $NM$ og $N_1M_1$ også ens. Trekanter $ONM$ og $O_1N_1M_1$ er ens i henhold til det tredje trekant-lighedskriterium, derfor er de tilsvarende vinkler $\angle NOM$ og $\angle N_1O_1M_1$ også ens.

Definition. Hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som

To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2 .

Sætning. De rette linjer Ax + Vy + C \u003d 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB er proportionale. Hvis også С 1 = λС, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt

Vinkelret på denne linje

Definition. Linjen, der går gennem punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på linjen y \u003d kx + b er repræsenteret af ligningen:

Afstand fra punkt til linje

Sætning. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er givet, så er afstanden til linjen Ax + Vy + C \u003d 0 defineret som

Bevis. Lad punktet M 1 (x 1, y 1) være bunden af det vinkelrette fald fra punktet M til den givne linje. Så afstanden mellem punkterne M og M 1:

(1)

x 1 og y 1 koordinaterne kan findes som en løsning på ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret på en given ret linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel. Bestem vinklen mellem linjerne: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Eksempel. Vis, at linjerne 3x - 5y + 7 = 0 og 10x + 6y - 3 = 0 er vinkelrette.

Opløsning. Vi finder: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, derfor er linjerne vinkelrette.

Eksempel. Toppunkterne i trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) er givet. Find ligningen for højden tegnet fra toppunktet C.

Opløsning. Vi finder ligningen for siden AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Den ønskede højdeligning er: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Så y = . Fordi højden passerer gennem punkt C, så opfylder dens koordinater denne ligning: hvorfra b = 17. I alt:.

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt i en given retning. Ligning for en ret linje, der går gennem to givne punkter. Vinkel mellem to linjer. Betingelse for parallelitet og vinkelrethed af to linjer. Bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjer

1. Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning, bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer en blyant af linjer, der går gennem et punkt EN(x 1 , y 1), som kaldes bjælkens centrum.

2. Ligning for en ret linje, der går gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2) er skrevet sådan:

Hældningen af en ret linje, der går gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN Og B er den vinkel, som den første rette linje skal drejes med EN omkring skæringspunktet for disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B. Hvis to linjer er givet ved hældningsligninger

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

så er vinklen mellem dem bestemt af formlen

Det skal bemærkes, at i brøkens tæller trækkes hældningen af den første lige linje fra hældningen på den anden lige linje.

Hvis ligningerne for en ret linje er givet i generel form

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

vinklen mellem dem bestemmes af formlen

4. Betingelser for parallelitet af to linjer:

a) Hvis linjerne er givet ved ligning (4) med en hældning, så er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for deres parallelitet ligheden af deres hældninger:

k 1 = k 2 . (8)

b) For det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligninger i generel form (6), er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for deres parallelitet, at koefficienterne ved de tilsvarende aktuelle koordinater i deres ligninger er proportionale, dvs.

5. Betingelser for vinkelrethed af to linjer:

a) I det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligning (4) med en hældning, er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for deres vinkelrethed, at deres hældninger er reciproke i størrelse og modsatte i fortegn, dvs.

Denne betingelse kan også skrives i skemaet

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Hvis ligningerne for rette linjer er givet i generel form (6), så er betingelsen for deres vinkelrethed (nødvendig og tilstrækkelig) at opfylde ligheden

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes ved at løse ligningssystemet (6). Linjer (6) skærer hvis og kun hvis

1. Skriv ligningerne for de linjer, der går gennem punktet M, hvoraf den ene er parallel og den anden er vinkelret på den givne linje l.

Lad linjer gives i rummet l Og m. Gennem et punkt A i rummet tegner vi lige linjer l 1 || l Og m 1 || m(Fig. 138).

Bemærk at punktet A kan vælges vilkårligt, især kan det ligge på en af de givne linjer. Hvis lige l Og m skærer hinanden, så kan A tages som skæringspunktet for disse linjer ( l 1 = l Og m 1 = m).

Vinkel mellem ikke-parallelle linjer l Og m er værdien af den mindste af de tilstødende vinkler dannet af skærende rette linjer l 1 Og m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Vinklen mellem parallelle linjer antages at være nul.

Vinkel mellem linjer l Og m angivet med $\widehat((l;m)) $. Af definitionen følger, at hvis det måles i grader, så 0 ° < $\widehat((l;m)) $ < 90°, og hvis i radianer, så 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

En opgave. Terningen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er givet (fig. 139).

Find vinklen mellem rette linjer AB og DC 1 .

Lige AB og DC 1 krydsning. Da linjen DC er parallel med linjen AB, er vinklen mellem linjerne AB og DC 1 ifølge definitionen lig med $\widehat(C_(1)DC)$.

Derfor $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°.

Direkte l Og m hedder vinkelret, hvis $\widehat((l;m)) $ = π / 2. For eksempel i en terning

Beregning af vinklen mellem linjer.

Problemet med at beregne vinklen mellem to rette linjer i rummet løses på samme måde som i planet. Betegn med φ vinklen mellem linjerne l 1 Og l 2 , og gennem ψ - vinklen mellem retningsvektorerne men Og b disse lige linjer.

Så hvis

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. Det er indlysende, at i begge tilfælde er ligheden cos φ = |cos ψ| sand. Ifølge formlen (cosinus af vinklen mellem ikke-nul vektorer a og b er lig med skalarproduktet af disse vektorer divideret med produktet af deres længder) har vi

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Følgelig,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Lad linjerne være givet ved deres kanoniske ligninger

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Og \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Derefter bestemmes vinklen φ mellem linjerne ved hjælp af formlen

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Hvis en af linjerne (eller begge) er givet af ikke-kanoniske ligninger, skal du for at beregne vinklen finde koordinaterne for retningsvektorerne for disse linjer og derefter bruge formel (1).

Opgave 1. Beregn vinkel mellem linjer

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;og\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Retningsvektorer af rette linjer har koordinater:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Ved formel (1) finder vi

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Derfor er vinklen mellem disse linjer 60°.

Opgave 2. Beregn vinkel mellem linjer

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) og \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Bag guidevektoren men den første rette linje tager vi vektorproduktet af normale vektorer n 1 = (3; 0; -12) og n 2 = (1; 1; -3) planer, der definerer denne linje. Ved formlen $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ får vi

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

På samme måde finder vi retningsvektoren for den anden rette linje:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Men formel (1) beregner cosinus for den ønskede vinkel:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Derfor er vinklen mellem disse linjer 90°.

Opgave 3. I den trekantede pyramide MAVS er kanterne MA, MB og MC indbyrdes vinkelrette (fig. 207);

deres længder er henholdsvis lig med 4, 3, 6. Punkt D er den midterste [MA]. Find vinklen φ mellem linjerne CA og DB.

Lad SA og DB være retningsvektorerne for linjerne SA og DB.

Lad os tage punktet M som udgangspunktet for koordinaterne. Ved opgavebetingelsen har vi A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Derfor $\overhøjrepil(CA)$ = (4; - 6;0), $\overhøjrepil(DB)$= (-2; 0; 3). Vi bruger formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Ifølge cosinustabellen finder vi, at vinklen mellem de rette linjer CA og DB er ca. 72°.

men. Lad os angive to linjer Disse linjer, som det blev angivet i kapitel 1, danner forskellige positive og negative vinkler, som i dette tilfælde kan være både spidse og stumpe. Når vi kender en af disse vinkler, kan vi nemt finde enhver anden.

Forresten, for alle disse vinkler er den numeriske værdi af tangenten den samme, forskellen kan kun være i tegnet

Ligninger af linjer. Tallene er projektioner af retningsvektorerne for den første og anden linje Vinklen mellem disse vektorer er lig med en af vinklerne dannet af rette linjer. Derfor er problemet reduceret til at bestemme vinklen mellem vektorerne, Vi får

For nemheds skyld kan vi blive enige om en vinkel mellem to rette linjer for at forstå en spids positiv vinkel (som f.eks. i fig. 53).

Så vil tangenten af denne vinkel altid være positiv. Således, hvis et minustegn opnås på højre side af formel (1), så skal vi kassere det, dvs. kun beholde den absolutte værdi.

Eksempel. Bestem vinklen mellem linjer

Ved formel (1) har vi

fra. Hvis det er angivet, hvilken af vinklens sider der er dens begyndelse, og hvilken der er dens ende, så kan vi, når vi altid tæller retningen af vinklen mod uret, udtrække noget mere fra formlerne (1). Som det er let at se af fig. 53 vil tegnet opnået på højre side af formlen (1) angive hvilken - spids eller stump - vinklen danner den anden linje med den første.

(Fra fig. 53 ser vi faktisk, at vinklen mellem den første og anden retningsvektor enten er lig med den ønskede vinkel mellem linjerne eller afviger fra den med ±180°.)

d. Hvis linjerne er parallelle, så er deres retningsvektorer også parallelle. Ved at anvende betingelsen om parallelitet af to vektorer, får vi!

Dette er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at to linjer er parallelle.

Eksempel. Direkte

er parallelle pga

e. Hvis linjerne er vinkelrette, så er deres retningsvektorer også vinkelrette. Ved at anvende betingelsen om vinkelrethed af to vektorer opnår vi betingelsen om vinkelrethed af to linjer, nemlig

Eksempel. Direkte

vinkelret pga

I forbindelse med betingelserne for parallelitet og vinkelrethed vil vi løse følgende to problemer.

f. Tegn en linje parallelt med en given linje gennem et punkt

Beslutningen er truffet sådan. Da den ønskede linje er parallel med den givne, kan vi for dens retningsvektor tage den samme som den for den givne linje, dvs. en vektor med projektionerne A og B. Og så vil ligningen for den ønskede linje blive skrevet i formen (§ 1)

Eksempel. Ligning for en ret linje, der går gennem et punkt (1; 3) parallelt med en ret linje

bliver næste!

g. Tegn en linje gennem et punkt vinkelret på den givne linje

Her er det ikke længere egnet at tage en vektor med projektioner A og som en retningsvektor, men det er nødvendigt at vinde en vektor vinkelret på den. Fremskrivningerne af denne vektor skal derfor vælges efter betingelsen om, at begge vektorer er vinkelrette, dvs. i henhold til betingelsen

Denne betingelse kan opfyldes på et uendeligt antal måder, da der her er én ligning med to ubekendte. Men den nemmeste måde er at tage den. Så vil ligningen for den ønskede rette linje blive skrevet på formen

Eksempel. Ligning for en linje, der går gennem et punkt (-7; 2) i en vinkelret linje

vil være følgende (ifølge den anden formel)!

h. I det tilfælde, hvor linjerne er givet ved formens ligninger

at omskrive disse ligninger anderledes, har vi