Sinus, cosinus, tangent: hvad er det? Hvordan finder man sinus, cosinus og tangens? Trigonometri Find en vinkel ved cosinus

Eksempler:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument og værdi

Cosinus af en spids vinkel

Cosinus af en spids vinkel kan bestemmes ved hjælp af en retvinklet trekant - det er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.

Eksempel :

1) Lad en vinkel være givet, og du skal bestemme cosinus af denne vinkel.

2) Lad os færdiggøre enhver retvinklet trekant på dette hjørne.

3) Efter at have målt de nødvendige sider, kan vi beregne cosinus.

Cosinus for en spids vinkel er større end \(0\) og mindre end \(1\)

Hvis cosinus af en spids vinkel ved løsning af problemet viste sig at være større end 1 eller negativ, så er der et sted i løsningen en fejl.

Cosinus af et tal

Talcirklen giver dig mulighed for at bestemme cosinus for ethvert tal, men finder normalt cosinus for tal på en eller anden måde relateret til: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

For eksempel, for tallet \(\frac(π)(6)\) - vil cosinus være lig med \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Og for tallet \(-\)\(\frac(3π)(4)\) vil det være lig med \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ca. \ (-0,71\)).

Cosinus for andre numre, man ofte støder på i praksis, se.

Cosinusværdien ligger altid mellem \(-1\) og \(1\). I dette tilfælde kan cosinus beregnes for absolut enhver vinkel og tal.

Cosinus af enhver vinkel

Takket være den numeriske cirkel er det muligt at bestemme cosinus af ikke kun en spids vinkel, men også en stump, negativ og endda større end \ (360 ° \) (fuld drejning). Sådan gør du - det er nemmere at se én gang end at høre \(100\) gange, så se på billedet.

Nu en forklaring: lad det være nødvendigt at bestemme vinklens cosinus KOA med gradmål i \(150°\). Vi kombinerer pointen O med midten af ​​cirklen og siden Okay- med \(x\)-aksen. Sæt derefter \ (150 ° \) til side mod uret. Derefter ordinaten af ​​punktet MEN vil vise os cosinus af denne vinkel.

Hvis vi er interesseret i en vinkel med et gradmål, for eksempel i \ (-60 ° \) (vinkel KOV), gør vi det samme, men \(60°\) sættes til side med uret.

Og endelig er vinklen større end \(360°\) (vinklen KOS) - alt ligner stump, først efter at have passeret en hel omgang med uret, går vi til anden runde og "får manglen på grader". Specifikt i vores tilfælde er vinklen \(405°\) plottet som \(360° + 45°\).

Det er let at gætte, at for at afsætte en vinkel, for eksempel i \ (960 ° \), skal du lave to drejninger (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), og for en vinkel i \ (2640 ° \) - hele syv.

Det er værd at huske på:

Cosinus for en ret vinkel er nul. Cosinus for en stump vinkel er negativ.

Cosinus-tegn i kvarte

Ved hjælp af cosinus-aksen (det vil sige abscisse-aksen, fremhævet med rødt i figuren), er det let at bestemme fortegnene for cosinus langs en numerisk (trigonometrisk) cirkel:

Hvor værdierne på aksen er fra \(0\) til \(1\), vil cosinus have et plustegn (I og IV kvartaler er det grønne område),
- hvor værdierne på aksen er fra \(0\) til \(-1\), vil cosinus have et minustegn (II og III kvarte - lilla område).

Eksempel. Definer tegnet \(\cos 1\).
Løsning: Lad os finde \(1\) på den trigonometriske cirkel. Vi vil starte fra det faktum, at \ (π \u003d 3,14 \). Det betyder, at man er cirka tre gange tættere på nul ("startpunktet").

Hvis vi tegner en vinkelret på cosinus-aksen, bliver det tydeligt, at \(\cos⁡1\) er positiv.
Svar: et plus.

Relation til andre trigonometriske funktioner:

- samme vinkel (eller tal): den grundlæggende trigonometriske identitet \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- samme vinkel (eller tal): med formlen \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- og sinus for samme vinkel (eller tal): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Se andre mest brugte formler.

Funktion \(y=\cos(x)\)

Hvis vi plotter vinklerne i radianer langs \(x\)-aksen, og cosinusværdierne svarende til disse vinkler langs \(y\)-aksen, får vi følgende graf:

Denne graf kaldes og har følgende egenskaber:

Definitionsdomænet er en hvilken som helst værdi af x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- værdiområde - fra \(-1\) til \(1\) inklusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- lige: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisk med punktum \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- skæringspunkter med koordinatakserne:
abscisse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), hvor \(n ϵ Z\)
y-akse: \((0;1)\)
- tegnintervaller:
funktionen er positiv på intervallerne: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), hvor \(n ϵ Z\)
funktionen er negativ på intervallerne: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), hvor \(n ϵ Z\)
- intervaller for stigning og fald:
funktionen øges med intervallerne: \((π+2πn;2π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
funktionen aftager i intervallerne: \((2πn;π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
- maksima og minima for funktionen:
funktionen har en maksimal værdi \(y=1\) i punkterne \(x=2πn\), hvor \(n ϵ Z\)
funktionen har en minimumsværdi \(y=-1\) i punkterne \(x=π+2πn\), hvor \(n ϵ Z\).

Som du kan se, er denne cirkel bygget i det kartesiske koordinatsystem. Cirklens radius er lig med en, mens cirklens centrum ligger ved origo, radiusvektorens begyndelsesposition er fast langs den positive retning af aksen (i vores eksempel er dette radius).

Hvert punkt i cirklen svarer til to tal: koordinaten langs aksen og koordinaten langs aksen. Hvad er disse koordinattal? Og generelt, hvad har de at gøre med det aktuelle emne? For at gøre dette skal du huske om den betragtede retvinklede trekant. På figuren ovenfor kan du se to hele retvinklede trekanter. Overvej en trekant. Den er rektangulær, fordi den er vinkelret på aksen.

Hvad er lig med fra en trekant? Det er rigtigt. Derudover ved vi, at det er radius af enhedscirklen, og derfor . Erstat denne værdi i vores cosinusformel. Her er hvad der sker:

Og hvad er lig med fra en trekant? Jamen selvfølgelig, ! Erstat værdien af ​​radius i denne formel og få:

Så kan du fortælle mig, hvad er koordinaterne for et punkt, der hører til cirklen? Nå, ingen måde? Og hvis du indser det og bare er tal? Hvilken koordinat svarer det til? Nå, selvfølgelig, koordinaten! Hvilken koordinat svarer det til? Det er rigtigt, koordiner! Altså pointen.

Og hvad er så lige og? Det er rigtigt, lad os bruge de passende definitioner af tangent og cotangens og få det, en.

Hvad hvis vinklen er større? Her, for eksempel, som på dette billede:

Hvad har ændret sig i dette eksempel? Lad os finde ud af det. For at gøre dette vender vi igen til en retvinklet trekant. Overvej en retvinklet trekant: en vinkel (som støder op til en vinkel). Hvad er værdien af ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel? Det er rigtigt, vi overholder de tilsvarende definitioner af trigonometriske funktioner:

Nå, som du kan se, svarer værdien af ​​vinklens sinus stadig til koordinaten; værdien af ​​vinklens cosinus - koordinaten; og værdierne af tangent og cotangens til de tilsvarende forhold. Disse relationer er således anvendelige til enhver rotation af radiusvektoren.

Det er allerede blevet nævnt, at startpositionen af ​​radiusvektoren er langs den positive retning af aksen. Indtil videre har vi roteret denne vektor mod uret, men hvad sker der, hvis vi roterer den med uret? Ikke noget ekstraordinært, du vil også få en vinkel af en vis størrelse, men kun den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mod uret, får vi således positive vinkler, og når man drejer med uret - negativ.

Så vi ved, at en hel omdrejning af radiusvektoren rundt om cirklen er eller. Er det muligt at rotere radiusvektoren med eller ved? Nå, selvfølgelig kan du det! I det første tilfælde vil radiusvektoren derfor foretage en hel omdrejning og stoppe ved position eller.

I det andet tilfælde, det vil sige, vil radiusvektoren lave tre komplette omdrejninger og stoppe ved position eller.

Ud fra ovenstående eksempler kan vi således konkludere, at vinkler, der adskiller sig med eller (hvor er et hvilket som helst heltal) svarer til den samme position af radiusvektoren.

Nedenstående figur viser en vinkel. Det samme billede svarer til hjørnet og så videre. Denne liste kan fortsættes på ubestemt tid. Alle disse vinkler kan skrives med den generelle formel eller (hvor er et heltal)

Nu, ved at kende definitionerne af de grundlæggende trigonometriske funktioner og bruge enhedscirklen, prøv at svare på, hvad værdierne er lig med:

Her er en enhedscirkel, der kan hjælpe dig:

Nogle vanskeligheder? Så lad os finde ud af det. Så vi ved at:

Herfra bestemmer vi koordinaterne for de punkter, der svarer til bestemte mål for vinklen. Nå, lad os starte i rækkefølge: hjørnet ved svarer til et punkt med koordinater, derfor:

Eksisterer ikke;

Ydermere, ved at følge den samme logik, finder vi ud af, at hjørnerne i henholdsvis svarer til punkter med koordinater. Ved at vide dette er det let at bestemme værdierne af trigonometriske funktioner på de tilsvarende punkter. Prøv det selv først, og tjek derefter svarene.

Svar:

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Således kan vi lave følgende tabel:

Der er ingen grund til at huske alle disse værdier. Det er nok at huske overensstemmelsen mellem koordinaterne af punkter på enhedscirklen og værdierne af trigonometriske funktioner:

Men værdierne for de trigonometriske funktioner af vinklerne i og givet i tabellen nedenfor, skal huskes:

Vær ikke bange, nu vil vi vise et af eksemplerne ret simpel huske af de tilsvarende værdier:

For at bruge denne metode er det vigtigt at huske værdierne af sinus for alle tre mål for vinklen (), såvel som værdien af ​​tangenten til vinklen i. Ved at kende disse værdier er det ret nemt at gendanne hele tabellen - cosinusværdierne overføres i overensstemmelse med pilene, det vil sige:

Ved at vide dette kan du gendanne værdierne for. Tælleren " " vil matche, og nævneren " " vil matche. Cotangensværdier overføres i overensstemmelse med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pile, vil det være nok at huske hele værdien fra tabellen.

Koordinater for et punkt på en cirkel

Er det muligt at finde et punkt (dets koordinater) på en cirkel, at kende koordinaterne for cirklens centrum, dens radius og rotationsvinkel?

Nå, selvfølgelig kan du det! Lad os bringe ud generel formel til at finde koordinaterne for et punkt.

Her har vi for eksempel sådan en cirkel:

Vi får, at punktet er cirklens centrum. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere punktet i grader.

Som det kan ses af figuren, svarer punktets koordinat til segmentets længde. Længden af ​​segmentet svarer til koordinaten for midten af ​​cirklen, det vil sige, at den er lig med. Længden af ​​et segment kan udtrykkes ved hjælp af definitionen af ​​cosinus:

Så har vi det for punktet koordinaten.

Med samme logik finder vi værdien af ​​y-koordinaten for punktet. På denne måde

Så generelt er koordinaterne for punkter bestemt af formlerne:

Cirkel centrum koordinater,

cirkel radius,

Rotationsvinkel for radiusvektoren.

Som du kan se, for enhedscirklen, vi overvejer, er disse formler reduceret betydeligt, da koordinaterne for centrum er nul, og radius er lig med en:

Nå, lad os prøve disse formler for en smag, øve os på at finde punkter på en cirkel?

1. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at slå et punkt til.

2. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at dreje et punkt på.

3. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at slå et punkt til.

4. Punkt - midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

5. Punkt - midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

Har du problemer med at finde koordinaterne til et punkt på en cirkel?

Løs disse fem eksempler (eller forstå løsningen godt), og du vil lære, hvordan du finder dem!

1.

Det kan ses. Og vi ved, hvad der svarer til en fuld drejning af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de ønskede koordinater for punktet:

2. Cirklen er enhed med et centrum i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:

Det kan ses. Vi ved, hvad der svarer til to komplette rotationer af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de ønskede koordinater for punktet:

Sinus og cosinus er tabelværdier. Vi husker deres værdier og får:

Det ønskede punkt har således koordinater.

3. Cirklen er enhed med et centrum i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:

Det kan ses. Lad os skildre det betragtede eksempel i figuren:

Radius gør vinkler med aksen lig med og. Ved at vide, at tabelværdierne for cosinus og sinus er ens, og efter at have bestemt, at cosinus her tager en negativ værdi, og sinus er positiv, har vi:

Lignende eksempler analyseres mere detaljeret, når man studerer formlerne til reduktion af trigonometriske funktioner i emnet.

Det ønskede punkt har således koordinater.

4.

Rotationsvinkel for radiusvektoren (efter betingelse)

For at bestemme de tilsvarende tegn på sinus og cosinus konstruerer vi en enhedscirkel og en vinkel:

Som du kan se, er værdien, det vil sige, positiv, og værdien, det vil sige, er negativ. Ved at kende tabelværdierne for de tilsvarende trigonometriske funktioner opnår vi, at:

Lad os erstatte de opnåede værdier i vores formel og finde koordinaterne:

Det ønskede punkt har således koordinater.

5. For at løse dette problem bruger vi formler i generel form, hvor

Koordinaterne for midten af ​​cirklen (i vores eksempel,

Cirkelradius (efter tilstand)

Rotationsvinkel for radiusvektoren (efter betingelse).

Erstat alle værdierne i formlen og få:

og - tabelværdier. Vi husker og erstatter dem med formlen:

Det ønskede punkt har således koordinater.

RESUMÉ OG GRUNDFORMEL

En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.

Cosinus af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.

Tangens af en vinkel er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og det tilstødende (tætte).

Cotangensen af ​​en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og det modsatte (fjern).

BRUGE til 4? Er du ikke sprængfyldt af lykke?

Spørgsmålet, som de siger, er interessant ... Du kan, du kan videregive 4! Og på samme tid, spræng ikke ... Hovedbetingelsen er at øve regelmæssigt. Her er den grundlæggende forberedelse til eksamen i matematik. Med alle hemmeligheder og mysterier fra Unified State Examination, som du ikke vil læse om i lærebøger... Studer dette afsnit, løs flere opgaver fra forskellige kilder - og alt vil løse sig! Det antages, at det grundlæggende afsnit "Nok til dig og tre!" giver dig ingen problemer. Men hvis pludselig ... Følg linkene, vær ikke doven!

Og vi vil begynde med et stort og forfærdeligt emne.

Trigonometri

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materiale i specialafsnit 555.
For dem, der stærkt "ikke særlig..."
Og for dem, der "meget...")

Dette emne giver eleverne mange problemer. Det betragtes som en af ​​de mest alvorlige. Hvad er sinus og cosinus? Hvad er tangent og cotangens? Hvad er en talcirkel? Det er værd at stille disse harmløse spørgsmål, da en person bliver bleg og forsøger at aflede samtalen til siden ... Men forgæves. Det er simple begreber. Og dette emne er ikke sværere end andre. Du skal bare forstå svarene på netop disse spørgsmål helt fra begyndelsen. Det er meget vigtigt. Hvis du fandt ud af det, vil du kunne lide trigonometri. Så,

Hvad er sinus og cosinus? Hvad er tangent og cotangens?

Lad os starte fra oldtiden. Bare rolig, vi vil gennemgå alle 20 århundreders trigonometri på 15 minutter. Og umærkeligt for os selv vil vi gentage et stykke geometri fra klasse 8.

Tegn en retvinklet trekant med sider a, b, c og vinkel x. Her er en.

Lad mig minde dig om, at de sider, der danner en ret vinkel, kaldes ben. a og c- skøjter. Der er to af dem. Den anden side kaldes hypotenusen. Med- hypotenusen.

Trekant og trekant, tænk over det! Hvad skal man gøre med ham? Men de gamle mennesker vidste, hvad de skulle gøre! Lad os gentage deres handlinger. Lad os måle siden i. På figuren er cellerne specialtegnet, som det sker i eksamensopgaverne. Side i er lig med fire celler. OKAY. Lad os måle siden en. Tre celler.

Lad os nu dividere længden af ​​siden -en per sidelængde i. Eller, som de siger, lad os tage forholdet -en til i. a/c= 3/4.

Alternativt kan du dele i på den en. Vi får 4/3. Kan i dividere med Med. hypotenusen Med tæl ikke med celler, men det er lig med 5. Vi får a/c= 4/5. Kort sagt kan man dele længderne af siderne med hinanden og få nogle tal.

Og hvad så? Hvad er meningen med denne interessante aktivitet? Indtil videre ingen. Et dumt job, for at være ærlig.)

Og lad os nu gøre dette. Lad os forstørre trekanten. Lad os forlænge siderne til og fra, men så trekanten forbliver retvinklet. Hjørne xændres selvfølgelig ikke. For at se det skal du holde musen over billedet eller trykke på det (hvis du har en tablet). Fester a, b og c blive til m, n, k, og selvfølgelig vil længderne af siderne ændre sig.

Men deres forhold er det ikke!

Holdning a/c Det var: a/c= 3/4, blev m/n= 6/8 = 3/4. Også andre relevante parters forhold vil ikke ændre sig . Du kan vilkårligt ændre længden af ​​siderne i en retvinklet trekant, øge, mindske, uden at ændre vinklen x – forholdet mellem de respektive parter vil ikke ændre sig . Du kan tjekke, eller du kan tage ordet fra gamle mennesker.

Nu er dette meget vigtigt! Forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant afhænger ikke på nogen måde af længderne af siderne (for samme vinkel). Dette er så vigtigt, at parternes forhold har fået deres særlige navne. Deres navne, så at sige.) Bliv bekendt.

Hvad er sinus af vinkel x ? Dette er forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen:

sinx = a/c

Hvad er cosinus af vinkel x ? Dette er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:

Medosx= a/c

Hvad er tangenten til vinklen x ? Dette er forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende:

tgx=a/c

Hvad er cotangensen af ​​vinkel x ? Dette er forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte:

ctgx = in/a

Alt er meget enkelt. Sinus, cosinus, tangent og cotangens er nogle tal. Dimensionsløs. Bare tal. For hvert hjørne - deres eget.

Hvorfor gentager jeg mig selv så kedeligt? Hvad er det så skal huske. Ironisk nok huske. Memorisering kan gøres lettere. Udtrykket "Lad os starte langvejs fra ..." er bekendt? Så start på afstand.

Bihule vinkel er forholdet fjern fra benets vinkel til hypotenusen. Cosinus er forholdet mellem den nærmeste hypotenus.

Tangent vinkel er forholdet fjern fra kateterets vinkel til nærmeste. Cotangens- omvendt.

Allerede nemmere, ikke?

Nå, hvis du husker, at kun benene sidder i tangenten og cotangensen, og hypotenusen vises i sinus og cosinus, så bliver alt ret simpelt.

Hele denne herlige familie - sinus, cosinus, tangent og cotangens kaldes også trigonometriske funktioner.

Og nu et spørgsmål til overvejelse.

Hvorfor siger vi sinus, cosinus, tangent og cotangens hjørne? Vi taler om forholdet mellem parterne, som ... Hvad har det med at gøre hjørne?

Lad os se på det andet billede. Præcis det samme som den første.

Hold musen over billedet. Jeg ændrede vinklen x. forstørret det fra x til x. Alle forhold har ændret sig! Holdning a/c var 3/4, og det tilsvarende forhold tin blev 6/4.

Og alle andre forhold er blevet anderledes!

Derfor afhænger sidernes forhold ikke på nogen måde af deres længder (i en vinkel x), men er skarpt afhængig af netop denne vinkel! Og kun fra ham. Derfor refererer begreberne sinus, cosinus, tangent og cotangens til hjørne. Hjørnet her er det vigtigste.

Det må ironisk nok forstås, at vinklen er uløseligt forbundet med dens trigonometriske funktioner. Hver vinkel har sin egen sinus og cosinus. Og næsten alle har deres egen tangent og cotangens. Det er vigtigt. Det menes, at hvis vi får en vinkel, så er dens sinus, cosinus, tangent og cotangens vi ved ! Og omvendt. Givet en sinus eller enhver anden trigonometrisk funktion, så kender vi vinklen.

Der er specielle tabeller, hvor for hver vinkel dens trigonometriske funktioner er skrevet. Bradys bordene kaldes. De har været lavet i meget lang tid. Dengang der ikke var nogen lommeregnere eller computere...

Selvfølgelig kan de trigonometriske funktioner for alle vinkler ikke huskes. Du behøver kun at kende dem for et par vinkler, mere om det senere. Men besværgelsen Jeg kender en vinkel, så jeg kender dens trigonometriske funktioner" - virker altid!

Så vi gentog et stykke geometri fra 8. klasse. Skal vi bruge det til eksamen? Nødvendig. Her er et typisk problem fra eksamen. Til løsningen som 8. klasse er nok. Givet billede:

Alt. Der er ikke flere data. Vi skal finde længden af ​​ben BC.

Cellerne hjælper lidt, trekanten er på en eller anden måde forkert placeret .... Med vilje, gætter jeg på ... Ud fra informationen er der længden af ​​hypotenusen. 8 celler. Af en eller anden grund er der givet en vinkel.

Her skal vi straks huske på trigonometri. Der er en vinkel, så vi kender alle dens trigonometriske funktioner. Hvilken funktion ud af de fire skal sættes i værk? Lad os se, hvad vi ved, skal vi? Vi kender hypotenusen, vinklen, men vi skal finde tilstødende til denne hjørne katet! Det er klart, at cosinusen skal sættes i værk! Her er vi i gang. Vi skriver bare, per definition af cosinus (forhold tilstødende ben til hypotenuse):

cosC = BC/8

Vinkel C er 60 grader og dens cosinus er 1/2. Du skal vide dette, uden nogen tabeller! Det er:

1/2 = sol/8

Elementær lineær ligning. Ukendt - sol. Hvem har glemt, hvordan man løser ligninger, gå en tur på linket, resten løser:

sol = 4

Da de gamle mennesker indså, at hver vinkel har sit eget sæt af trigonometriske funktioner, havde de et rimeligt spørgsmål. Er sinus, cosinus, tangent og cotangens ikke på en eller anden måde relateret til hinanden? Så ved at kende en funktion af vinklen, kan du finde resten? Uden at beregne selve vinklen?

Sådan var de rastløse ...)

Forbindelse mellem trigonometriske funktioner i en vinkel.

Naturligvis er sinus, cosinus, tangent og cotangens af samme vinkel relateret. Enhver sammenhæng mellem udtryk er givet i matematik ved formler. I trigonometri er der et stort antal formler. Men her vil vi se på de mest basale. Disse formler kaldes: grundlæggende trigonometriske identiteter. Her er de:

Disse formler skal kende jern. Uden dem er der overhovedet ikke noget at lave i trigonometri. Yderligere tre hjælpeidentiteter følger af disse grundlæggende identiteter:

Jeg advarer dig straks om, at de sidste tre formler hurtigt falder ud af hukommelsen. Af en eller anden grund.) Du kan selvfølgelig udlede disse formler fra de første tre. Men i et vanskeligt øjeblik ... forstår du.)

I standardopgaver som dem nedenfor, er der en måde at komme uden om disse forglemmelige formler. Og reducere fejl drastisk af glemsomhed og i beregninger også. Denne praksis er i afsnit 555, lektion "Forholdet mellem trigonometriske funktioner i en vinkel."

I hvilke opgaver og hvordan bruges de grundlæggende trigonometriske identiteter? Den mest populære opgave er at finde en funktion af vinklen, hvis en anden er givet. I eksamen er en sådan opgave til stede fra år til år.) For eksempel:

Find værdien af ​​sinx, hvis x er en spids vinkel og cosx=0,8.

Opgaven er nærmest elementær. Vi leder efter en formel, hvor der er sinus og cosinus. Her er den formel:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Vi erstatter her en kendt værdi, nemlig 0,8 i stedet for cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nå, vi overvejer som sædvanligt:

sin 2 x + 0,64 = 1

synd 2 x \u003d 1 - 0,64

Her næsten alt. Vi har beregnet kvadratet af sinus, det er tilbage at udtrække kvadratroden og svaret er klar! Roden af ​​0,36 er 0,6.

Opgaven er nærmest elementær. Men ordet "næsten" er ikke forgæves her ... Faktum er, at svaret sinx = - 0,6 også er passende ... (-0,6) 2 vil også være 0,36.

Der opnås to forskellige svar. Og du har brug for en. Den anden er forkert. Hvordan skal man være!? Ja, som sædvanlig.) Læs opgaven grundigt. Af en eller anden grund står der... hvis x er en spids vinkel... Og i opgaver har hvert ord en betydning, ja ... Denne sætning er yderligere information til løsningen.

En spids vinkel er en vinkel mindre end 90°. Og i sådanne vinkler alle trigonometriske funktioner - både sinus og cosinus, og tangent med cotangens - positiv. De der. vi forkaster blot det negative svar her. Vi har ret.

Faktisk har ottendeklasser ikke brug for sådanne finesser. De arbejder kun med retvinklede trekanter, hvor hjørnerne kun kan være spidse. Og de ved ikke, glade, at der er negative vinkler og vinkler på 1000 ° ... Og alle disse mareridtsagtige vinkler har deres egne trigonometriske funktioner med både plus og minus ...

Men for gymnasieelever uden at tage hensyn til skiltet - ingen måde. Meget viden formerer sorger, ja...) Og for den rigtige løsning skal opgaven indeholde yderligere information (hvis nødvendigt). For eksempel kan det gives som:

Eller på en anden måde. Du vil se i eksemplerne nedenfor.) For at løse sådanne eksempler skal du vide i hvilket kvart den givne vinkel x falder og hvilket fortegn den ønskede trigonometriske funktion har i denne fjerdedel.

Disse grundlæggende principper for trigonometri diskuteres i lektionerne, hvad der er en trigonometrisk cirkel, tælling af vinkler på denne cirkel, radianmålet for en vinkel. Nogle gange har du også brug for at kende tabellen over sinus af cosinus af tangenter og cotangenter.

Så lad os bemærke det vigtigste:

Praktiske tips:

1. Husk definitionerne af sinus, cosinus, tangent og cotangens. Meget brugbar.

2. Vi assimilerer tydeligt: ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens er fast forbundet med vinkler. Vi ved én ting, så vi ved noget andet.

3. Vi assimilerer tydeligt: ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel er forbundet med grundlæggende trigonometriske identiteter. Vi kender én funktion, hvilket betyder, at vi (hvis vi har de nødvendige yderligere oplysninger) kan beregne alle de andre.

Og lad os nu beslutte, som sædvanligt. Først opgaver i 8. klasses bind. Men gymnasieelever kan også ...)

1. Beregn værdien af ​​tgA, hvis ctgA = 0,4.

2. β - vinkel i en retvinklet trekant. Find værdien af ​​tgβ, hvis sinβ = 12/13.

3. Bestem sinus for en spids vinkel x hvis tgx \u003d 4/3.

4. Find værdien af ​​et udtryk:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Find værdien af ​​et udtryk:

(1-cosx)(1+cosx), hvis sinx = 0,3

Svar (adskilt af semikolon, i uorden):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

sket? Fremragende! Ottende klasser kan allerede følge deres A'er.)

Gik alting ikke? Opgave 2 og 3 er på en eller anden måde ikke særlig ...? Intet problem! Der er én smuk teknik til sådanne opgaver. Alt afgøres, praktisk talt, uden formler overhovedet! Og derfor uden fejl. Denne teknik er beskrevet i lektionen: "Forholdet mellem trigonometriske funktioner i en vinkel" i afsnit 555. Alle andre opgaver skilles også ad der.

Det var problemer som Unified State Examination, men i en afklebet version. BRUG - lys). Og nu næsten de samme opgaver, men i en fuldgyldig form. For videntunge gymnasieelever.)

6. Find værdien af ​​tgβ hvis sinβ = 12/13 og

7. Bestem sinx, hvis tgx = 4/3, og x hører til intervallet (- 540°; - 450°).

8. Find værdien af ​​udtrykket sinβ cosβ, hvis ctgβ = 1.

Svar (i uorden):

0,8; 0,5; -2,4.

Her i opgave 6 er vinklen på en eller anden måde ikke særlig entydig... Men i opgave 8 er den slet ikke sat! Det er med vilje). Yderligere information hentes ikke kun fra opgaven, men også fra hovedet.) Men hvis du beslutter dig, er en korrekt opgave garanteret!

Hvad hvis du ikke har besluttet dig? Um... Nå, sektion 555 vil hjælpe her. Der er løsningerne på alle disse opgaver beskrevet i detaljer, det er svært ikke at forstå.

I denne lektion gives et meget begrænset begreb om trigonometriske funktioner. Inden for 8. klasse. Seniorer har spørgsmål...

For eksempel hvis vinklen x(se det andet billede på denne side) - gør det dumt!? Trekanten vil falde fra hinanden! Og hvordan skal man være? Der vil ikke være noget ben, ingen hypotenuse ... Sinusen er væk ...

Hvis de gamle mennesker ikke havde fundet en vej ud af denne situation, ville vi ikke have mobiltelefoner, tv eller elektricitet nu. Ja Ja! Det teoretiske grundlag for alle disse ting uden trigonometriske funktioner er nul uden en tryllestav. Men de gamle mennesker skuffede ikke. Hvordan de kom ud - i næste lektion.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

|BD| - buelængde centreret om et punkt EN.
α er en vinkel udtrykt i radianer.

sinus ( sinα) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben |BC| til længden af ​​hypotenusen |AC|.
cosinus ( cosα) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det tilstødende ben |AB| til længden af ​​hypotenusen |AC|.

Accepterede betegnelser

;
;
.

;
;
.

Graf over sinusfunktionen, y = sin x

Graf over cosinusfunktionen, y = cos x

Egenskaber for sinus og cosinus

Periodicitet

Funktioner y= synd x og y= fordi x periodisk med en periode 2 pi.

Paritet

Sinusfunktionen er ulige. Cosinusfunktionen er jævn.

Definitionsdomæne og værdier, ekstrema, stigning, fald

Sinus- og cosinusfunktionerne er kontinuerlige på deres definitionsdomæne, det vil sige for alle x (se fig. kontinuitetsbevis). Deres hovedegenskaber er præsenteret i tabellen (n - heltal).

	y= synd x	y= fordi x
Omfang og kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vifte af værdier	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Stigende
Aftagende
Maksimum, y= 1
Minima, y ​​= - 1
Nuller, y= 0
Skæringspunkter med y-aksen, x = 0	y= 0	y= 1

Grundlæggende formler

Summen af ​​kvadrateret sinus og cosinus

Sinus- og cosinusformler for sum og forskel

;
;

Formler for produktet af sinus og cosinus

Sum- og differensformler

Udtryk af sinus gennem cosinus

;
;
;
.

Udtryk af cosinus gennem sinus

;
;
;
.

Udtryk i form af tangent

; .

For har vi:
; .

kl.:
; .

Tabel over sinus og cosinus, tangenter og cotangenter

Denne tabel viser værdierne af sinus og cosinus for nogle værdier af argumentet.

Udtryk gennem komplekse variable

;

Euler formel

Udtryk i form af hyperbolske funktioner

;
;

Derivater

; . Afledning af formler > > >

Afledte af n. orden:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, cosecant

Omvendte funktioner

De inverse funktioner til sinus og cosinus er arcsine og arccosine, henholdsvis.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved videregående uddannelsesinstitutioner, Lan, 2009.

Se også: