Движение по прямой с постоянным ускорением примеры решения задач
Из пунктов A и B , расстояние между которыми равно l , одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое со скоростью v 1 , второе — v 2 . Определить, через сколько времени они встретятся и расстояние от точки A до места их встречи. Решить задачу также графически.
Решение
1-й способ:
Зависимость координат тел от времени:
В момент встречи координаты тел совпадут, т. е. . Значит, встреча произойдет через время от начала движения тел. Найдем расстояние от пункта A до места встречи как .
2-й способ:
Скорости тел равны тангенсу угла наклона соответствующего графика зависимости координаты от времени, т. е. , . Моменту встречи соответствует точка C пересечения графиков.
Через какое время и где встретились бы тела (см. задачу 1), если бы они двигались в одном и том же направлении A →B , причем из точки B тело начало двигаться через t 0 секунд после начала движения его из точки A ?
Решение
Графики зависимости координат тел от времени изображены на рисунке.
Составим на основе рисунка систему уравнений:
Решив систему относительно t C получим:
Тогда расстояние от пункта A до места встречи:
.
Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами A и B по течению реки за время t 1 = 3 ч, а плот — за время t = 12 ч. Сколько времени t 2 затратит моторная лодка на обратный путь?
Решение
Пусть s — расстояние между пунктами A и B , v — скорость лодки относительно воды, а u — скорость течения. Выразив расстояние s трижды — для плота, для лодки, движущейся по течению, и для лодки, движущейся против течения, получим систему уравнений:
Решив систему, получим:
Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?
Решение
Обозначим буквой l длину эскалатора; t 1 — время спуска человека, идущего со скоростью v ; t 2 — время спуска человека, идущего со скоростью 2v ; t — время спуска стоящего на эскалаторе человека. Тогда, рассчитав длину эскалатора для трех различных случаев (человек идет со скоростью v , со скоростью 2v и стоит на эскалаторе неподвижно), получим систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, получим:
Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n 1 = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n 2 = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?
Решение
Поскольку при увеличении скорости человек насчитал большее количество супенек, значит направления скоростей эскалатора и человека совпадают. Пусть v — скорость человека относительно эскалатора, u — скорость эскалатора, l — длина эскалатора, n — число ступенек на неподвижном эскалаторе. Число ступенек, умещающихся в единице длины эскалатора, равно n /l . Тогда время пребывания человека на эскалаторе при его движении относительно эскалатора со скоростью v равно l /(v +u ), а путь, пройденный по эскалатору, равен v l /(v +u ). Тогда количество ступенек, насчитываемых на этом пути, равно . Аналогично, для случая, когда скорость человека относительно эскалатора 3v , получим .
Таким образом, мы можем составить систему уравнений:
Исключив отношение u /v , получим:
Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии s = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t 1 = 4 ч, а против течения, — за время t 2 = 10 ч. Определить скорость течения реки u и скорость катера v относительно воды.
Решение
Выразив расстояние s дважды, — для катера, идущего по течению, и катера, идущего против течения, — получим систему уравнений:
Решив эту систему, получим v = 17,5 км/ч, u = 7,5 км/ч.
Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии s 1 = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время t = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии s 2 = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды?
Решение
Пусть v — скорость моторной лодки, u — скорость течения реки. Поскольку от момента отправления моторной лодки от пристани до момента встречи моторной лодки с плотом, очевидно, пройдет одинаковое время и для плота, и для моторной лодки, то можно составить следующее уравнение:
где слева — это выражение времени, прошедшего до момента встречи, для плота, а справа — для моторной лодки. Запишем уравнение для времени, которое затратила моторная лодка на преодоление пути s 1 от пристани до поселка: t =s 1 /(v +u ). Таким образом, получаем систему уравнений:
Откуда получим v = 16 км/ч, u = 4 км/ч.
Колонна войск во время похода движется со скоростью v 1 = 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние l = 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью v 2 = 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько времени t после получения поручения он вернулся обратно?
Решение
В системе отсчета, связанной с колонной, скорость велосипедиста при движении к головному отряду равна v 2 -v 1 , а при движении обратно v 2 +v 1 . Поэтому:
Упростив и подставив числовые значения, получим:
.
Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью v = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно l = 6 см. Какова скорость движения пули?
Решение
Обозначим буквой u скорость пули. Время полета пули от стенки до стенки вагона равно времени, за которое вагон проходит расстояние l . Таким образом, можно составить уравнение:
Отсюда находим u :
.
Какова скорость капель v 2 отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом α = 60° к горизонту, когда скорость автомобиля v 1 больше 30 км/ч?
Решение
Как видно из рисунка,
чтобы капли дождя не оставляли следа на заднем стекле, наобходимо, чтобы время прохождения каплей расстояния h было равно времени, за которое автомобиль пройдет расстояние l :
Или, выразив отсюда v 2:
На улице идет дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузового автомобиля, наполнится быстрее водой: когда автомобиль движется или когда он стоит?
Ответ
Одинаково.
С какой скоростью v и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за время t = 2 ч пролететь точно на Север путь s = 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом α = 30° к меридиану со скоростью u = 27 км/ч?
Решение
Запишем систему уравнений по рисунку.
Поскольку самолет должен лететь строго на север, проекция его скорости на ось Oy v y равна y -составляющей скорости ветра u y .
Решив эту систему, найдем, что самолет должен держать курс на северо-запад под углом 4°27" к меридиану, а его скорость должна быть равна 174 км/ч.
По гладкому горизонтальному столу движется со скоростью v черная доска. Какой формы след оставит на этой доске мел, брошенный горизонтально со скоростью u перпендикулярно направлению движения доски, если: а) трение между мелом и доской пренебрежимо мало; б) трение велико?
Решение
Мел оставит на доске след, представляющий собой прямую линию, составляющую угол arctg(u /v ) с направлением движения доски, т. е. совпадает с направлением суммы векторов скорости доски и мела. Это справедливо и для случая а) и для случая б), т. к. сила трения не влияет на направление движения мела, поскольку лежит на одной прямой с вектором скорости, то она лишь уменьшает скорость мела, поэтому траектория в случае б) может не доходить до края доски.
Корабль выходит из пункта A и идет со скоростью v , составляющей угол α с линией AB .
Под каким углом β к линии AB следовало бы выпустить из пункта B торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте A . Скорость торпеды равна u .
Решение
Точка C на рисунке — это место встречи корабля и торпеды.
AC = vt , BC = ut , где t — время от старта до момента встречи. Согласно теореме синусов
Отсюда находим β :
.
К ползуну, который может перемещаться по направляющей рейке,
прикреплен шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью v . С какой скоростью u движется ползун в момент, когда шнур составляет с направляющей угол α ?
Ответ и решение
u = v /cosα.
За очень малый промежуток времени Δt ползун перемещается на расстояние AB = Δl .
Шнур за этот же промежуток времени выбирают на длину AC = Δl cosα (угол ∠ACB можно считать прямым, поскольку угол Δα очень мал). Поэтому можно записать: Δl /u = Δl cosα /v , откуда u = v /cosα , что означает, что скорость выбирания веревки равна проекции скорости ползуна на направление веревки.
Рабочие, поднимающие груз,
тянут канаты с одинаковой скоростью v . Какую скорость u имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплен, равен 2α ?
Ответ и решение
u = v /cosα.
Проекция скорости груза u на направление веревки равна скорости веревки v (см. задачу 15), т. е.
u cosα = v ,
u = v /cosα.
Стержень длиной l = 1 м шарнирно соединен с муфтами A и B , которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам.
Муфта A движется с постоянной скоростью v A = 30 см/с. Найти скорость v B муфты B в момент, когда угол OAB = 60°. Приняв за начало отсчета времени момент, когда муфта A находилась в точке O , определить расстояние OB и скорость муфты B в функции времени.
Ответ и решение
v
B = v
A ctgα
= 17,3 см/с; , 
.
В любой момент времени проекции скоростей v A и v B концов стержня
на ось стержня равны между собой, так как иначе стержень должен был бы укорачиваться или удлиняться. Значит, можно записать: v A cosα = v B sinα . Откуда v B = v A ctgα .
В любой момент времени для треугольника OAB справедлива теорема Пифагора: l 2 = OA 2 (t ) + OB 2 (t ). Найдем отсюда OB (t ): . Поскольку OA (t ) = v A t , тогда окончательно запишем выражение для OB (t ) так: .
Поскольку ctgα
в любой момент времени равен OA
(t
)/OB
(t
), то можно записать выражение для зависимости v B
от времени: .
Танк движется со скоростью 72 км/ч. С какой скоростью движутся относительно Земли: а) верхняя часть гусеницы; б) нижняя часть гусеницы; в) точка гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к танку?
Ответ и решение
а) 40 м/с; б) 0 м/с; в) ≈28,2 м/с.
Пусть v - скорость скорость танка относительно Земли. Тогда скорость любой точки гусеницы относительно танка также равна v . Скорость любой точки гусеницы относительно Земли есть сумма векторов скорости танка относительно Земли и скорости точки гусеницы относительно танка. Тогда для случая а) скорость будет равна 2v , для б) 0, а для в) v .
1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v 1 = 40 км/ч, вторую — со скоростью v 2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.
2. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v 1 = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью v 2 = 15 км/ч, а последний участок — со скоростью v 3 = 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Ответ и решение
1. v ср =48 км/ч; 2. v ср =40 км/ч.
1. Пусть s - весь путь, t - время, затраченное на преодоление всего пути. Тогда средняя скорости на всем пути равна s /t . Время t состоит из суммы промежутков времени, затраченных на преодоление 1-й и 2-й половин пути:
Подставив это время в выражение для средней скорости, получим:
.(1)
2. Решение этой задачи можно свести к решению (1.), если сначала определить среднюю скорость на второй половине пути. Обозначим эту скорость v ср2 , тогда можно записать:
где t 2 - время, затраченное на преодоление 2-й половины пути. Путь, пройденный за это время, состоит из пути, пройденного со скоростью v 2 , и пути, пройденного со скоростью v 3:
Подставив это в выражение для v ср2 , получим:
.
.
Поезд первую половину пути шел со скоростью в n =1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути v cp = 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой (v 1) и второй (v 2) половинах пути?
Ответ и решение
v 1 =54 км/ч, v 2 =36 км/ч.
Пусть t 1 и t 2 - время прохождения поездом соответственно первой и второй половин пути, s - весь путь, пройденный поездом.
Составим систему уравнений - первое уравнение представляет собой выражение для первой половины пути, второе - для второй половины пути, а третье - для всего пути, пройденного поездом:
Сделав подстановку v 1 =nv 2 и решив получившуюся систему уравнений, получим v 2 .
Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеющим форму, изображенную на рисунке.
Как будут отличаться скорости и времена движения шариков к моменту их прибытия в точку B ? Трением пренебречь.
Ответ и решение
Скорости будут одинаковы. Время движения первого шарика будет больше.
На рисунке изображены приблизительные графики движения шариков.
Т.к. пути, пройденные шариками, равны, то площади заштрихованных фигур также равны (площадь заштрихованной фигуры численно равна пройденному пути), поэтому, как видно из рисунка, t 1 >t 2 .
Самолет летит из пункта A в пункт B и возвращается назад в пункт A . Скорость самолета в безветренную погоду равна v . Найти отношение средних скоростей всего перелета для двух случаев, когда во время перелета ветер дует: а) вдоль линии AB ; б) перпендикулярно линии AB . Скорость ветра равна u .
Ответ и решение
Время полета самолета из пункта A в пункт B и обратно в случае, когда ветер дует вдоль линии AB :
.
Тогда средняя скорость в этом случае:
.
В случае, если ветер дует перпендикулярно линии AB , вектор скорости самолета должен быть направлен под углом к линии AB так, чтобы скомпенсировать влияние ветра:
Время полета «туда-обратно» в этом случае составит:
Скорости полета самолета в пункт B и обратно одинаковы и равны:
.
Теперь можно найти отношение средних скоростей, полученных для рассмотренных случаев:
.
Расстояние между двумя станциями s = 3 км поезд метро проходит со средней скоростью v ср = 54 км/ч. При этом на разгон он затрачивает время t 1 = 20 с, затем идет равномерно некоторое время t 2 и на замедление до полной остановки тратит время t 3 = 10 с. Построить график скорости движения поезда и определить наибольшую скорость поезда v макс.
Ответ и решение
На рисунке изображен график скорости движения поезда.
Пройденный поездом путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком и осью времени t , поэтому можно записать систему уравнений:
Из первого уравнения выражаем t 2:
тогда из второго уравнения системы найдем v макс:
.
От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью v 0 . Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном к моменту остановки вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно. Решить задачу также графически.
Ответ
В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью v 0 =3,5 м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда v в тот момент, когда провожаемый поравняется с провожающим.
Ответ
v =7 м/с.
График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рисунке.
Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени.
Ответ
Графики зависимости ускорения, координаты тела, а также пройденного им пути от времени изображены на рисунке.
График зависимости ускорения тела от времени имеет форму, изображенную на рисунке.
Начертить графики зависимости скорости, смещения и пути, пройденного телом, от времени. Начальная скорость тела равна нулю (на участке разрыва ускорение равно нулю).
Тело начинает двигаться из точки A со скоростью v 0 и через некоторое время попадает в точку B .
Какой путь прошло тело, если оно двигалось равноускоренно с ускорением, численно равным a ? Расстояние между точками A и B равно l . Найти среднюю скорость тела.
На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени.
После момента t =t 1 кривая графика — парабола. Что за движение изображено на этом графике? Построить график зависимости скорости тела от времени.
Решение
На участке от 0 до t 1: равномерное движение со скоростью v 1 = tgα ;
на участке от t 1 до t 2: равнозамедленное движение;
на участке от t 2 до t 3: равноускоренное движение в противоположную сторону.
На рисунке изображен график зависимости скорости тела от времени.
На рисунке даны графики скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой от одного и того же начального положения.
Известны моменты времени t 1 и t 2 . В какой момент времени t 3 точки встретятся? Построить графики движения.
За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?
Ответ и решение
За вторую секунду.
Проще всего эту задачу решить графически. Т.к. пройденный телом путь численно равен площади фигуры под линией графика скорости, то из рисунка очевидно, что путь, пройденный за вторую секунду (площать под соответствующим участком графика равна площади трех треугольников), в 3 раза больше пути, пройденного на первую секунду (площадь равна площади одного треугольника).
Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, находящееся на расстоянии L . Она может ускорять или замедлять свое движение только с одинаковым по величине и постоянным ускорением a , переходя затем в равномерное движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости v должна достичь вагонетка, чтобы выполнить указанное выше требование?
Ответ и решение
Очевидно, что вагонетка перевезет груз за минимальное время, если она будет первую половину пути двигаться с ускорением +a , а оставшуюся половину с ускорением -a .
Тогда можно записать следующие выражения: L = ½·vt 1 ; v = ½·at 1 ,
откуда находим максимальную скорость:
Реактивный самолет летит со скоростью v 0 =720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t =10 с и в последнюю секунду проходит путь s =295 м. Определить ускорение a и конечную скорость v самолета.
Ответ и решение
a =10 м/с 2 , v =300 м/с.
Изобразим график скорости самолета на рисунке.
Скорость самолета в момент времени t 1 равна v 1 = v 0 + a (t 1 - t 0). Тогда путь, пройденный самолетом за время от t 1 до t 2 равен s = v 1 (t 2 - t 1) + a (t 2 - t 1)/2. Отсюда можно выразить искомую величину ускорения a и, подставив значения из условия задачи (t 1 - t 0 = 9 с; t 2 - t 1 = 1 с; v 0 = 200 м/с; s = 295 м), получим ускорение a = 10 м/с 2 . Конечная скорость самолета v = v 2 = v 0 + a (t 2 - t 0) = 300 м/с.
Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за t 1 =1 с, а второй — за t 2 =1,5 с. Длина вагона l =12 м. Найти ускорение a поезда и его скорость v 0 в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.
Ответ и решение
a =3,2 м/с 2 , v 0 ≈13,6 м/с.
Путь, пройденный поездом к моменту времени t 1 равен:
а путь к моменту времени t 1 + t 2:
.
Из первого уравнения найдем v 0:
.
Подставив полученное выражение во второе уравнение, получим ускорение a :
.
Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной l каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за t секунд, второй — за 3t секунд. Найти скорость v шарика в конце первого отрезка пути.
Ответ и решение
Поскольку рассматриваемое движение шарика обратимо, целесообразно выбрать началом отсчета общую точку двух отрезков. При этом ускорение при движении на первом отрезке будет положительным, а при движении на втором отрезке — отрицательным. Начальная скорость в обоих случаях равна v . Теперь запишем систему уравнений движения для путей, пройденных шариком:
Исключив ускорение a , получим искомую скорость v :
Доска, разделенная на пять равных отрезков, начинает скользить по наклонной плоскости. Первый отрезок прошел мимо отметки, сделанной на наклонной плоскости в том месте, где находился передний край доски в начале движения, за τ =2 с. За какое время пройдет мимо этой отметки последний отрезок доски? Движение доски считать равноускоренным.
Ответ и решение
τ п =0,48 с.
Найдем длину первого отрезка:
Теперь запишем уравнения движения для точек начала (момент времени t 1) и конца (момент времени t 2) пятого отрезка:
Выполнив подстановку найденной выше длины первого отрезка вместо l и найдя разность (t 2 - t 1), получим ответ.
Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением? Какова была ее скорость на глубине 18 см? На какой глубине скорость пули уменьшилась в три раза? Движение считать равнопеременным. Чему будет равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99% своего пути?
Ответ и решение
t = 1,8·10 -3 с; a ≈ 2,21·10 5 м/с 2 ; v ≈ 282 м/с; s = 32 см; v 1 = 40 м/с.
Время движения пули внутри вала найдем из формулы h = vt /2, где h — полная глубина погружения пули, откуда t = 2h /v . Ускорение a = v /t .
По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии l = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t 1 = 1 с и через t 2 = 2 с после начала движения. Определить начальную скорость v 0 и ускорение a движения шарика, считая его постоянным.
Ответ и решение
v 0 = 0,45 м/с; a = 0,3 м/с 2 .
Зависимость скорости шарика от времени выражается формулой v = v 0 - at . В момент времени t = t 1 и t = t 2 шарик имел одинаковые по величине и противоположные по направлению скорости: v 1 = - v 2 . Но v 1 = v 0 - at 1 и v 2 = v 0 - at 2 , поэтому
v 0 - at 1 = - v 0 + at 2 , или 2v 0 = a (t 1 + t 2).
Т.к. шарик движется равноускоренно, то расстояние l можно выразить следующим образом:
Теперь можно составить систему из двух уравнений:
,
решив которую, получим:
Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую, за последнюю секунду своего движения?
Ответ
t 1 ≈ 0,45 с; t 2 ≈ 0,023 с; s 1 ≈ 4,9 м; s 2 ≈ 40 м.
Определить время открытого положения фотографического затвора τ , если при фотографировании шарика, падающего вдоль вертикальной сантиметровой шкалы от нулевой отметки без начальной скорости, на негативе была получена полоска, простирающаяся от n 1 до n 2 делений шкалы?
Ответ
.
Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту падения.
Ответ
Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.
Ответ
t ≈ 5,45 с; h ≈ 145 м.
С какой начальной скоростью v 0 надо бросить вниз мяч с высоты h , чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Трением о воздух и другими потерями механической энергии пренебречь.
Ответ
С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было 25 м? Трением о воздух пренебречь.
Ответ
τ ≈ 1 с.
Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени t 0 между двумя моментами, когда тело проходит точку B , находящуюся на высоте h . Найти начальную скорость бросания v 0 и время всего движения тела t .
Ответ
; .
Из точек A и B , расположенных по вертикали (точка A выше) на расстоянии l = 100 м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10 м/с: из A — вертикально вниз, из B — вертикально вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?
Ответ
t = 5 с; на 75 м ниже точки B .
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 0 . Когда оно достигло высшей точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью v 0 брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся?
Ответ
Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью v 0 = 19,6 м/с с промежутком времени τ = 0,5 с. Через какое время t после бросания второго тела и на какой высоте h встретятся тела?
Ответ
t = 1,75 с; h ≈ 19,3 м.
Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с 2 . Через τ = 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через сколько времени t этот предмет упадет на Землю?
Ответ
t ≈ 3,4 с.
С аэростата, опускающегося со скоростью u , бросают вверх тело со скоростью v 0 относительно Земли. Какое будет расстояние l между аэростатом и телом к моменту наивысшего подъема тела относительно Земли? Каково наибольшее расстояние l макс между телом и аэростатом? Через какое время τ от момента бросания тело поравняется с аэростатом?
Ответ
l = v 0 2 + 2uv 0 /(2g );
l макс = (u + v 0) 2 /(2g );
τ = 2(v 0 + u )/g .
Тело, находящееся в точке B на высоте H = 45 м от Земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки A , расположенной на расстоянии h = 21 м ниже точки B , бросают другое тело вертикально вверх. Определить начальную скорость v 0 второго тела, если известно, что оба тела упадут на Землю одновременно. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с 2 .
Ответ
v 0 = 7 м/с.
Тело свободно падает с высоты h . В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H > h ) вертикально вниз. Оба тела упали на землю одновременно. Определить начальную скорость v 0 второго тела. Проверить правильность решения на численном примере: h = 10 м, H = 20 м. Принять g = 10 м/с 2 .
Ответ
v 0 ≈ 7 м/с.
Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей уклон α. С какой скоростью v 0 должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?
Ответ
Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит 2 с?
Ответ
h = 4,9 м.
Самолет летит на постоянной высоте h по прямой со скоростью v . Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы? Каково в этот момент расстояние от цели до точки, над которой находится самолет? Сопротивление воздуха движению бомбы не учитывать.
Ответ
; .
Два тела падают с одной и той же высоты. На пути одного тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Как различаются времена и скорости падения этих тел?
Ответ
Время падения тела, на пути которого находилась площадка, больше, поскольку вектор набранной к моменту сооударения скорости изменил свое направление на горизонтальное (при упругом соударении меняется направление скорости, но не его величина), значит вертикальная составляющая вектора скорости стала равна нулю, в то время как у другого тела вектор скорости не изменялся.
Скорости падения тел равны до момента столкновения одного из тел с площадкой.
Лифт поднимается с ускорением 2 м/с 2 . В тот момент, когда его скорость стала равна 2,4 м/с, с потолка лифта начал падать болт. Высота лифта 2,47 м. Вычислить время падения болта и расстояние, пройденное болтом относительно шахты.
Ответ
0,64 с; 0,52 м.
На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45° к вертикали со скоростью 20 м/с: одно вниз, другое вверх. Определить разность высот Δh , на которых будут тела через 2 с. Как движутся эти тела друг относительно друга?
Ответ
Δh ≈ 56,4 м; тела отдаляются друг от друга с постоянной скоростью.
Доказать, что при свободном движении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна.
Из точки A свободно падает тело. Одновременно из точки B под углом α к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе.
Показать, что угол α не зависит от начальной скорости v 0 тела, брошенного из точки B , и определить этот угол, если . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ
α = 60°.
Тело брошено под углом α к горизонту со скоростью v 0 . Определить скорость v этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость от угла бросания? Сопротивление воздуха не учитывать.
Под углом α =60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью v =20 м/с. Через сколько времени t оно будет двигаться под углом β =45° к горизонту? Трение отсутствует.
Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью бьют струи воды: под углом 60, 45 и 30° к горизонту. Найти отношения наибольших высот h подъема струй воды, вытекающих из каждой трубы, и дальностей падения l воды на землю. Сопротивление воздуха движению водяных струй не учитывать.
Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра d некоторой окружности, по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения грузы.
Определить, через какой промежуток времени t грузы достигнут окружности. Как это время зависит от угла наклона хорды к вертикали?
Начальная скорость брошенного камня v 0 =10 м/с, а спустя t =0,5 с скорость камня v =7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?
Ответ
H макс ≈ 2,8 м.
На некоторой высоте одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. Что будет представлять собой геометрическое место точек нахождения шариков в любой момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ
Геометрическим местом точек нахождения шариков в любой момент времени будет сфера, радиус которой v 0 t , а ее центр расположен ниже начальной точки на величину gt 2 /2.
Цель, находящаяся на холме, видна с места расположения орудия под углом α к горизонту. Дистанция (расстояние по горизонтали от орудия до цели) равна L . Стрельба по цели производится при угле возвышения β .
Определить начальную скорость v 0 снаряда, попадающего в цель. Сопротивление воздуха не учитывать. При каком угле возвышения β 0 дальность стрельбы вдоль склона будет максимальной?
Ответ и решение
, .
Выберем систему координат xOy таким образом, чтобы точка отсчета совпала с орудием. Теперь запишем кинематические уравнения движения снаряда:
Заменив x и y на координаты цели (x = L , y = L tgα) и исключив t , получим:
Дальность l полета снаряда вдоль склона l = L /cosα . Поэтому формулу, которую мы получили, можно переписать так:
,
это выражение максимально при максимальном значении произведения
Поэтому l максимально при максимальном значении = 1 или
При α = 0 мы получаем ответ β 0 = π /4 = 45°.
Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через сколько времени t после отражения тело упадет на наклонную плоскость. Как время зависит от угла наклонной плоскости?
Ответ
От угла наклонной плоскости не зависит.
С высоты H на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол α =45°, свободно падает мяч и упруго отражается с той же скоростью. Найти расстояние от места первого удара до второго, затем от второго до третьего и т. д. Решить задачу в общем виде (для любого угла α ).
Ответ
; s 1 = 8H sinα ; s 1:s 2:s 3 = 1:2:3.
Расстояние до горы определяют по времени между выстрелом и его эхом. Какова может быть погрешность τ в определении моментов выстрела и прихода эха, если расстояние до горы не менее 1 км, а его нужно определить с точностью 3%? Скорость звука в воздухе c =330 м/с.
Ответ
τ ≤ 0,09 с.
Глубину колодца хотят измерить с точностью 5%, бросая камень и замечая время τ , через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений τ необходимо учитывать время прохождения звука? Скорость звука в воздухе c =330 м/с.
Ответ
Большинство задач на движение тел с постоянным ускорением решается в основном так же, как и задачи на равномерное прямолинейное движение (см. § 1.9). Однако вместо одного уравнения зависимости координаты от времени теперь будет два: для координаты и для проекции скорости в зависимости от времени:
2 "
X = Xq + v0xt +
2? Задача 1
Конькобежец, разогнавшись до скорости v0 = 6 м/с, начал скользить равнозамедленно. Спустя время t = 30 с модуль скорости конькобежца, движущегося прямолинейно, стал равен v = 3 м/с. Найдите ускорение конькобежца, считая его постоянным.
Решение. Совместим ось X с траекторией конькобежца. За положительное направление оси выберем направление вектора начальной скорости v0 (рис. 1.66). Так как конькобежец движется с по-
стоянным ускорением, то vx = v0x + axt. Отсюда ах = , где
vx = v и vQx = v0, так как векторы 50 и v имеют такое же направле-
v - v0
ниє, что и ось X. Следовательно, ах = --- , ах = -0,1 м/с2 и
а = 0,1 м/с2. Знак «минус» указывает, что ускорение направлено противоположно оси X.
Задача 2
Бруску на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вверх. Брусок движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого а = 0,2 м/с2. Найдите скорости бруска в моменты времени, равные 1, 2, 3 с от начала движения. Определите положение бруска в эти моменты времени относительно той точки, где брусок имел скорость и0. Чему равен путь, пройденный бруском за 3 с?
Решение. Ускорение бруска направлено вниз вдоль плоскости как при его подъеме, так и при спуске.
97
4-Мякишев, 10 кл.
Совместим координатную ось с траекторией движения. За положительное направление оси X примем направление вектора начальной скорости и0. Начало координат выберем в той точке траектории, где брусок имел скорость v0 (рис. 1.67).? Брусок движется с постоянным ускорением, поэтому vx = vQx + axt. Так как v0x = vQ, ах = -а, то их = v0 - at. Эта формула справедлива для любого момента времени.
Найдем проекции и модули скоростей в указанные моменты времени:
vlx = v0 - atl = 0,2 м/с, vx = |uljt| = 0,2 м/с;
v2x = v0- at2 = 0, v2 = 0;
v3x = v0 - at3 = -0,2 м/с, v3 = |u3J = 0,2 м/с.
Так как vlx > 0, то скорость направлена в ту же сторону, что и ось X. Знак «минус» у проекции v3x указывает на то, что скорость v3 направлена в сторону, противоположную оси X. Так и должно быть, ведь после остановки (v2 = 0) брусок начнет скользить вниз по плоскости.
Найдем положение бруска для заданных моментов времени:
.2
at\ _ . 0,2 м _ 0 х1 = v0t1 - = 0,4 м - -= 0,3 м,
.2 at2
х2 = v0t2 - -g- = 0,8 м - 0,4 м = 0,4 м,
.2 at3
х3 = v0t3 - -g- = 1,2 м - 0,9 м = 0,3 м.
Обратите внимание на то, что в точке В с координатой 0,3 м (лг1 = лг3) (см. рис. 1.67) тело было дважды (при подъеме и спуске). В эти же моменты времени тело имело скорости, равные по модулю (L>1 = L>3), но противоположные по направлению: v1 - -v3.
В точке А с координатой х2 (см. рис. 1.67) скорость v2 = 0. Здесь произошло изменение направления скорости. В момент времени t3 = 3 с брусок находился в точке Б с координатой х3. Следовательно, пройденный бруском путь
s - OA + АВ = 2Х2 - х3 = 0,5 м.
Задача 3
На рисунке 1.68, а изображен график зависимости проекции скорости точки от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если начальная координата і, = 5 м, Постройте график зависимости пути от времени.
Решение. Сначала построим график зависимости координаты от времени. Первые 2 с точка двигалась равнозамедленно противоположно оси X (vlx В следующие 2 с движение было равноускоренным в том же направлении, что и вначале (v2x
Ю t, с
От 4 до 6 с точка вновь двигалась равнозамедленно в прежнем направлении, поэтому х3 = х2 + Лх3 = -1 м - 3 м = -4 м. График - парабола Сгде Dl - ее вершина.
8 Ю t, с
От 6 до 8 с точка двигалась равноускоренно в положительном направлении оси X (v4x > 0). График - парабола DXEj. К концу 8-й секунды координата Ї4 = -4М + ЗМ = -1 М. Далее точка двигалась равнозамедленно в том же направлении (v5x > 0): = -1 м + 3 м = 2 м. График - парабола E1FV? 1. При построении графика пути необходимо учесть, что путь - неотрицательная величина и не может уменьшаться в
процессе движения.
График состоит из отрезков парабол А2В2, В2С2, C2D2, D2E2, E2F2 (рис. 1.68, в).
Упражнение 3
Небольшому кубику на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость и0 = 8 м/с, направленную вверх. Кубик движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого а = 2 м/с2. Найдите положение кубика относительно той точки плоскости, где кубику сообщена скорость v0, в моменты времени 2, 4, 6 с от начала движения, а также скорость кубика в те же моменты времени. Чему равен путь, пройденный кубиком за 5 с?
Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них с начальной скоростью 18 км/ч поднимается в гору равнозамедленно с постоянным ускорением, модуль которого 20 см/с2. Другой велосипедист с начальной скоростью 5,4 км/ч спускается с горы с таким же по модулю ускорением. Через какое время они встретятся? На каком расстоянии от подножия горы произойдет встреча и какой путь пройдет каждый из них к этому моменту? Расстояние между велосипедистами в начальный момент времени было 195 м.
На рисунке 1.69 изображены графики I, II и III проекций скорости трех тел, движущихся прямолинейно. Охарактеризуйте особенности движения тел. Чему соответствует точка А пересечения графиков? Найдите модули ускорений тел. Запишите формулы для вычисления проекций скорости каждого тела.
Расстояние 20 км между двумя станциями поезд проходит со скоростью, средний модуль которой равен 72 км/ч, причем на разгон он тратит 2 мин, а затем идет с постоянной скоростью. На торможение до полной остановки поезд тратит 3 мин. Определите модуль максимальной скорости поезда.
Санки, скатывающиеся с горы, в первые 3 с проходят 2 м, а в последующие 3 с - 4 м. Считая движение равноускоренным, найдите модуль ускорения и модуль начальной скорости санок.
Тело, движущееся равноускоренно с начальной скоростью 1 м/с, приобретает, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на середине этого расстояния? Vx, м/с
vx> м/с з
-4"
Рис. 1.70
4
О
Рис. 1.69
t, с По прямой начинает двигаться точка с постоянным ускорением. Спустя время t1 после начала ее движения направление ускорения точки изменяется на противоположное, оставаясь неизменным по модулю. Определите, через какое время t2 после начала движения
"точка вернется в исходное положение.
Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, удаленное от первого на расстояние L. Она может увеличивать или уменьшать свою скорость только с одинаковым по модулю ускорением, равным а. Кроме того, она может двигаться с постоянной скоростью. Какой наибольшей по модулю скорости должна достигнуть вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше условие?
На рисунке 1.70 приведен график зависимости проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если = 4,5 м. Постройте график зависимости пути от времени.
1. Тело движется с постоянным ускорением и нулевой начальной скоростью. Показать графически, что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечетные числа.
Решение . При равноускоренном движении тела с нулевой начальной скоростью его скорость с течением времениt изменяется по закону
где a - ускорение.
Построим график скорости (см. рис.) и отметим на оси t равные промежуткиОА 1 =А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 = …; из точекА 1 ,А 2 , … проведем пунктиром вертикальные прямые до пересечения с графиком скорости в точкахВ 1 ,В 2 ,В 3 , … . Тогда путь, пройденный за первый промежуток, численно равен площади треугольникаОА 1 В 1 ; пути, пройденные за последующие промежутки, равны площадям соответствующих трапеций. Из графика видно, что площадь первой трапецииА 1 А 2 В 2 В 1 составляет три площади треугольникаОА 1 В 1 ; площадь следующей трапецииА 2 А 3 В 3 В 2 равна пяти площадям треугольникаОА 1 В 1 и т.д. Следовательно, отношение путей, проходимых телом за последовательные равные промежутки времени равно:
S 1:S 2:S 3: …: S n = 1:3:5: …: (2n – 1).
2. За пятую секунду равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью тело проходит путьS 2 = 36 м. Какой путьS 1 проходит тело за первую секунду этого движения?
Решение . Из решения предыдущей задачи следует, что
S 1:S 5 = 1:9.
Следовательно,
4 м.
3. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения t и высоту h , с которой упало тело.
Решение . Из законов движения тела с постоянным ускорением и нулевой начальной скоростью получим следующие уравнения:
Здесь = 1 с. Решая полученную систему уравнений, найдем:
По условию задачи t
> 1. Этому
условию удовлетворяет корень
5,4 с.
Далее получим:
4. Воздушный шар поднимается с поверхности Земли вертикально вверх с ускорениемa = 2 м/с 2 . Через= 10 с после начала движения от корзины шара оторвался предмет. На какую максимальную высотуh m поднимется этот предмет? Через какое времяt 1 и с какой скоростью v 1 он упадет на Землю?
Р
ешение
.
Предмет
оторвался от корзины воздушного шара
на высоте
имея скорость v 0 =а
,
направленную вертикально вверх. Выберем
систему отсчета - осьОХ
, направленную
вертикально вверх, и изобразим на рисунке
положение предмета в момент отрыва от
корзины. Максимальная высота равна
h m =h 0 +S m ,
где
-
путь, пройденный предметом за время
после отрыва до подъема на максимальную
высоту, т.е.
Далее очевидно, что после отрыва предмет
движется вверх в течение времени
до остановки в наивысшей точке, после
чего он свободно падает с высотыh
m
;
при этом время его паденияt
найдем из соотношения
т.е.
Следовательно,
Скорость предмета, упавшего на Землю, определим из соотношения
5. С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли воды, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между ними былоS = 25 м?
Решение . Пусть - промежуток времени между отрывом первой и второй капель, t = 2 с - время с момента отрыва второй капли. Тогда к моменту отрыва второй капли первая капля прошла путь S 0 = g 2 /2 и имела скорость v 0 = g . Далее очевидно, что расстояние между каплями равно
где
- путь, пройденный первой каплей за времяt
,
- путь, пройденный второй каплей за это
же время.
Следовательно,
Решая полученное уравнение и учтя, что > 0, найдем:
6. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянииl = 30 см от начала броска шарик побывал дважды: черезt 1 = 1 с и черезt 2 = 2 с после начала движения. Определить начальную скорость v 0 и ускорениеa шарика, считая его постоянным.
Решение . Запишем закон движения шарика, выбрав осьOX , направленную вдоль движения шарика:
Перепишем это уравнение так:
При x =l это уравнение имеет корниt 1 иt 2 .
Поэтому по теореме Виетта
Решая эту систему, найдем:
= 30 см/с 2 ,
= 45 см/с.
Замечание
. Данную задачу можно
решить иначе, а именно: воспользовавшись
законом движения
записать
два уравненияx
(t
1) =l
иx
(t
2) =l
, а затем
решать полученную систему уравнений с
двумя неизвестными v 0 иa
.