Mis on külgpindala. Koonuse külg- ja täispinna pindala

- see on kujund, mille põhjas asub suvaline hulknurk ja külgpinnad on kujutatud kolmnurkadega. Nende tipud asuvad ühes punktis ja vastavad püramiidi tipule.

Püramiidi saab varieerida – kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne jne. Selle nime saab määrata sõltuvalt aluse külgnevate nurkade arvust.
Õige püramiid nimetatakse püramiidiks, mille aluse küljed, nurgad ja servad on võrdsed. Samuti on sellises püramiidis külgpindade pindala võrdne.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle kõigi tahkude pindalade summa:
See tähendab, et suvalise püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks on vaja leida iga üksiku kolmnurga pindala ja need kokku liita. Kui püramiid on kärbitud, on selle tahud kujutatud trapetsidena. Õige püramiidi jaoks on veel üks valem. Selles arvutatakse külgpindala läbi aluse poolperimeetri ja apoteemi pikkuse:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.
Olgu antud korrapärane nelinurkne püramiid. Aluskülg b= 6 cm ja apoteem a\u003d 8 cm. Leidke külgpinna pindala.

Tavalise nelinurkse püramiidi põhjas asub ruut. Esiteks leiame selle ümbermõõdu:

Nüüd saame arvutada meie püramiidi külgpinna pindala:

Hulktahuka kogupindala leidmiseks peate leidma selle aluse pindala. Püramiidi aluse pindala valem võib erineda sõltuvalt sellest, milline hulknurk asub põhjas. Selleks kasutage kolmnurga pindala valemit, rööpküliku pindala jne.

Vaatleme näidet püramiidi aluse pindala arvutamiseks meie tingimustest. Kuna püramiid on korrapärane, on selle põhjas ruut.
ruudu pindala arvutatakse valemiga: ,
kus a on ruudu külg. Meil on see 6 cm. Seega püramiidi aluse pindala:

Nüüd jääb üle vaid leida hulktahuka kogupindala. Püramiidi pindala valem on selle aluse ja külgpinna pindala summa.

Suvalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle külgpindade pindalade summaga. Selle ala väljendamiseks on mõttekas anda tavapüramiidi puhul spetsiaalne valem. Niisiis, olgu antud tavaline püramiid, mille põhjas asub korrapärane n-nurk, mille külg on võrdne a-ga. Olgu h külgpinna kõrgus, mida nimetatakse ka apoteem püramiidid. Ühe külgpinna pindala on 1/2ah ja kogu püramiidi külgpinna pindala on n/2ha. Kuna na on püramiidi aluse ümbermõõt, saame leitud valemi kirjutada järgmiselt :

Külgmine pindala tavalise püramiidi korrutis on võrdne tema apoteemi korrutisega poole aluse ümbermõõduga.

Mis puudutab kogupindala, seejärel lisage lihtsalt aluse pindala küljele.

Sissekirjutatud ja piiritletud kera ja kuul. Tuleb märkida, et püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt asub püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandite ristumiskohas. Püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt asub püramiidi servade keskpunkte läbivate ja nendega risti olevate tasandite ristumiskohas.

Kärbitud püramiid. Kui püramiidi lõigatakse selle põhjaga paralleelse tasapinnaga, siis lõiketasandi ja aluse vahele jäävat osa nimetatakse nn. kärbitud püramiid. Joonisel on kujutatud püramiidi, mille lõiketasandi kohal asuva osa kõrvale heites saame kärbitud püramiidi. On selge, et väike püramiid, mis tuleb ära visata, on homoteetiline suure püramiidiga, mille tipus on homoteetsuse keskpunkt. Sarnasuskoefitsient võrdub kõrguste suhtega: k=h 2 /h 1 ehk mõlema püramiidi külgribid või muud vastavad lineaarmõõtmed. Teame, et sarnaste kujundite pindalad on seotud lineaarsete mõõtmetega ruutudena; seega on mõlema püramiidi aluste pindalad (s.o. säästa kärbitud püramiidi aluseid) omavahel seotud

Siin on S 1 alumise aluse pindala ja S 2 on kärbitud püramiidi ülemise aluse pindala. Püramiidide külgpinnad on samas vahekorras. Sarnane reegel kehtib ka mahtude kohta.

Sarnaste kehade mahud on seotud nende lineaarsete mõõtmetega kuubikutena; Näiteks püramiidide mahud on nende kõrguste korrutisena seotud aluste pindalaga, millest kohe järeldub meie reegel. See on täiesti üldise iseloomuga ja tuleneb otseselt sellest, et mahul on alati pikkuse kolmanda astme mõõde. Seda reeglit kasutades tuletame valemi, mis väljendab kärbitud püramiidi ruumala aluste kõrguse ja pindalade järgi.

Olgu antud kärbitud püramiid kõrgusega h ja aluse pindaladega S 1 ja S 2. Kui kujutame ette, et seda laiendatakse täispüramiidini, siis on täispüramiidi ja väikese püramiidi sarnasuskordaja lihtne leida suhte S 2 /S 1 juurena. Kärbitud püramiidi kõrgust väljendatakse h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nüüd on meil kärbitud püramiidi ruumala (V 1 ja V 2 tähistavad täis- ja väikese püramiidi ruumala)

kärbitud püramiidi mahu valem

Tuletame aluste perimeetrite P 1 ja P 2 läbiva korrapärase tüvipüramiidi külgpinna pindala S valemi ning apoteemi a pikkuse. Me vaidleme täpselt samamoodi nagu mahu valemi tuletamisel. Täiendame püramiidi ülemise osaga, meil on P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, kus k on sarnasustegur, P 1 ja P 2 on aluste perimeetrid ning S 1 ja S 2 on vastavalt kogu saadud püramiidi külgpindade ja selle tipu hobused. Külgpinna jaoks leiame (a 1 ja a 2 - püramiidide apoteemid, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

tavalise kärbitud püramiidi külgpinna valem

Matemaatika eksamiks valmistudes peavad õpilased süstematiseerima oma algebra ja geomeetria teadmised. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Lisaks alustades alus- ja külgpinnast kuni kogu pinnani. Kui külgpindade puhul on olukord selge, kuna need on kolmnurgad, siis on alus alati erinev.

Mida teha püramiidi aluse pindala leidmisel?

See võib olla täiesti ükskõik milline kujund: suvalisest kolmnurgast kuni n-nurgani. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline või vale kujund. Koolilastele huvipakkuvates KASUTUSülesannetes on põhjas vaid õigete joonistega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.

täisnurkne kolmnurk

See on võrdkülgne. Selline, mille kõik küljed on võrdsed ja tähistatud tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:

S = (a 2 * √3) / 4.

Ruut

Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:

Suvaline korrapärane n-nurk

Hulknurga küljel on sama tähistus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina tähte n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kuidas toimida külg- ja kogupindala arvutamisel?

Kuna alus on tavaline kujund, on püramiidi kõik küljed võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgmise pindala arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomialide summast. Terminite arv määratakse aluse külgede arvu järgi.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Külgmise pinna üldvalem on järgmine:

S \u003d ½ P * A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.

On olukordi, kus aluse küljed ei ole teada, kuid on antud külgservad (c) ja tasanurk selle tipus (α). Siis peaks püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama sellist valemit:

S = n/2 * in 2 sin α .

Ülesanne nr 1

Seisund. Leidke püramiidi kogupindala, kui selle aluse külg on 4 cm ja apoteemi väärtus on √3 cm.

Otsus. Alustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna see on tavaline kolmnurk, siis P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Kuna apoteem on teada, saate kohe arvutada kogu külgpinna pindala: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Alus asuva kolmnurga jaoks saadakse järgmine pindala väärtus: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Kogu ala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Vastus. 10√3 cm2.

Ülesanne nr 2

Seisund. Seal on tavaline nelinurkne püramiid. Aluse külje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. Peate teadma selle pindala.

Otsus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, siis on selle alus ruut. Olles õppinud aluse ja külgpindade pindala, on võimalik arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade juures on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.

Esimesed arvutused on lihtsad ja viivad selle numbrini: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.

Selgub: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Vastus. Soovitud väärtus on 267,576 mm 2.

Ülesanne nr 3

Seisund. Tavalise nelinurkse püramiidi jaoks peate arvutama pindala. Selles on ruudu külg 6 cm ja kõrgus 4 cm.

Otsus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.

Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja arvestama, et selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg on võrdne poole ruudu küljega, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.

Soovitud apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nüüd saate arvutada soovitud väärtuse: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Vastus. 96 cm2.

Ülesanne nr 4

Seisund. Selle põhja õige külg on 22 mm, külgmised ribid on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpinna pindala?

Otsus. Põhjendus selles on sama, mis on kirjeldatud ülesandes nr 2. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.

Esiteks arvutatakse aluse pindala ülaltoodud valemi abil: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Jääb üle arvutada iga sellise kolmnurga pindala Heroni valemi abil, korrutada see kuuega ja lisada see, mis selgus alus.

Arvutused Heroni valemi abil: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpinna pindala: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Kogu pinna väljaselgitamiseks tuleb need kokku liita: 5217,47≈5217 cm 2.

Vastus. Alus - 726√3 cm 2, külgpind - 3960 cm 2, kogu ala - 5217 cm 2.

Me teame, mis on koonus, proovime leida selle pindala. Miks on vaja sellist probleemi lahendada? Näiteks peate mõistma, kui palju tainast vahvlikonuse valmistamiseks läheb? Või mitu tellist oleks vaja lossi telliskatuse mahapanekuks?

Koonuse külgpinda pole lihtne mõõta. Kuid kujutage ette sedasama riidesse mässitud sarve. Kangatüki pindala leidmiseks tuleb see lõigata ja lauale laotada. Saame lame kuju, leiame selle pindala.

Riis. 1. Koonuse läbilõige piki generatrixit

Teeme sama koonusega. "Lõikame" selle külgpinna näiteks piki suvalist generatriksit (vt joonis 1).

Nüüd kerime külgpinna tasapinnale lahti. Saame sektori. Selle sektori keskpunkt on koonuse tipp, sektori raadius on võrdne koonuse generaatoriga ja selle kaare pikkus ühtib koonuse aluse ümbermõõduga. Sellist sektorit nimetatakse koonuse külgpinna arenguks (vt joonis 2).

Riis. 2. Külgpinna arendamine

Riis. 3. Nurga mõõtmine radiaanides

Proovime olemasolevate andmete järgi leida sektori pindala. Kõigepealt võtame kasutusele tähise: olgu sektori tipu nurk radiaanides (vt joonis 3).

Sageli kohtame ülesannete pühkimise ülaosas nurka. Vahepeal proovime vastata küsimusele: kas see nurk ei saa olla suurem kui 360 kraadi? See tähendab, kas ei selgu, et pühkimine asetab end peale? Muidugi mitte. Tõestame seda matemaatiliselt. Las pühkimine "kattub" ise. See tähendab, et pühkimiskaare pikkus on suurem kui raadiuse ümbermõõt. Kuid nagu juba mainitud, on pühkimiskaare pikkus raadiuse ümbermõõt. Ja koonuse aluse raadius on muidugi väiksem kui generatrix, näiteks, kuna täisnurkse kolmnurga jalg on väiksem kui hüpotenuus

Tuletame siis planimeetria käigust meelde kaks valemit: kaare pikkus. Sektori piirkond: .

Meie puhul mängib rolli generatrix , ja kaare pikkus võrdub koonuse aluse ümbermõõduga, see tähendab. Meil on:

Lõpuks saame:

Koos külgpinnaga võib leida ka kogupindala. Selleks lisage aluspind külgpinnale. Kuid alus on raadiusega ring, mille pindala valemi järgi on .

Lõpuks on meil: , kus on silindri aluse raadius, on generatrix.

Lahendame antud valemitel paar ülesannet.

Riis. 4. Soovitud nurk

Näide 1. Koonuse külgpinna areng on sektor, mille tipus on nurk. Leia see nurk, kui koonuse kõrgus on 4 cm ja aluse raadius on 3 cm (vt joonis 4).

Riis. 5. Täisnurkne kolmnurk, mis moodustab koonuse

Esimese toiminguga leiame Pythagorase teoreemi järgi generatriksi: 5 cm (vt joonis 5). Pealegi, me teame seda .

Näide 2. Koonuse aksiaalse lõigu pindala on , kõrgus on . Leidke kogupindala (vt joonis 6).

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.