D aritmeetilises progressioonis. Aritmeetilise progressiooni summa

Enne kui otsustama hakkame aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelgem, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on erijuhtum numbrijada.

Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi seerianumbrit tähistab indeks:

Jada esimene element;

Jada viies element;

- jada “n-s” element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.

Jadaelemendi väärtuse ja selle järjenumbri vahel on seos. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võime seda öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:

Järjestust saab määrata kolmel viisil:

1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.

Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajajuhtimise ja alustuseks kokku lugeda, kui palju aega ta nädala jooksul VKontakte'is veedab. Aja tabelisse salvestades saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:

Tabeli esimene rida näitab nädalapäeva numbrit, teine - kellaaega minutites. Näeme, et see tähendab esmaspäeval, et keegi veetis VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab, et reedel ainult 15.

2 . Jada saab täpsustada n-nda termini valemi abil.

Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemi kujul.

Näiteks kui , siis

Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.

Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandisse:

Kui näiteks , See

Lubage mul veel kord märkida, et jadas saab erinevalt suvalisest arvfunktsioonist argumendiks olla ainult naturaalarv.

3 . Jada saab määrata valemiga, mis väljendab jadaliikme numbri n väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtustest. Sel juhul ei piisa, kui teame ainult jadaliikme numbrit, et leida selle väärtus. Peame määrama jada esimese liikme või paar esimest liiget.

Näiteks kaaluge järjestust ,

Leiame jadaliikmete väärtused järjest, alustades kolmandast:

See tähendab, et iga kord, et leida jada n-nda liikme väärtus, pöördume tagasi kahe eelmise juurde. Seda jada määramise meetodit nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.

Nüüd saame määratleda aritmeetiline progressioon. Aritmeetiline progressioon on arvujada lihtne erijuhtum.

Aritmeetiline progressioon on arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmisega.

Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.

Näiteks 2; 5; 8; üksteist;...

Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on väheneb.

Näiteks 2; -1; -4; -7;...

Kui , siis kõik progressiooni tingimused on võrdsed sama arvuga ja progressioon on paigal.

Näiteks 2;2;2;2;...

Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:

Vaatame pilti.

Me näeme seda

, ja samal ajal

Lisades need kaks võrdsust, saame:

Jagame võrdsuse mõlemad pooled 2-ga:

Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:

Pealegi, kuna

, ja samal ajal

, See

, ning seetõttu

Aritmeetilise progressiooni iga liige, mis algab tähega title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termini valem.

Näeme, et aritmeetilise progressiooni tingimused vastavad järgmistele seostele:

ja lõpuks

Saime n-nda liikme valem.

TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada läbi ja. Teades esimest liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võite leida selle mis tahes liikme.

Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.

Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsel kaugusel olevate liikmete summad üksteisega võrdsed:

Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progresseerumise n-i liikmete summa võrdne .

Järjestame progresseerumise tingimused esmalt arvude kasvavas ja seejärel kahanevas järjekorras:

Lisame paarikaupa:

Igas sulus olev summa on , paaride arv on n.

Saame:

Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:

Mõelgem aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.

1 . Jada antakse n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.

Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.

Leidsime, et jada kahe külgneva liikme erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.

2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...

a) Leia progressiooni 31 liiget.

b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.

A) Me näeme seda;

Kirjutame üles oma progressiooni n-nda liikme valemi.

Üldiselt

Meie puhul , Sellepärast

Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid

Teoreetiline teave

Teoreetiline teave

	Aritmeetiline progressioon	Geomeetriline progressioon
Definitsioon	Aritmeetiline progressioon a n on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne samale arvule lisatud eelmise liikmega d (d- progresseerumise erinevus)	Geomeetriline progressioon b n on nullist erineva arvu jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega korrutatuna sama arvuga q (q- progresseerumise nimetaja)
Kordumise valem	Igasuguse loomuliku jaoks n a n + 1 = a n + d	Igasuguse loomuliku jaoks n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Valemi n-s tähtaeg	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Iseloomulik omadus
Esimese n liikme summa

Ülesannete näited koos kommentaaridega

1. harjutus

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6, a 2

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 p

Tingimuse järgi:

a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 d.

On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastus: a 22 = -48.

2. ülesanne

Leidke geomeetrilise progressiooni viies liige: -3; 6;...

1. meetod (kasutades n-liikmelist valemit)

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi järgi:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sest b 1 = -3,

2. meetod (kasutades korduvat valemit)

Kuna progressiooni nimetaja on -2 (q = -2), siis:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastus: b 5 = -48.

3. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Leidke selle progressiooni seitsmekümne viies liige.

Aritmeetilise progressiooni korral on iseloomulikul omadusel vorm .

Seetõttu:

Asendame andmed valemiga:

Vastus: 95.

4. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a n= 3n - 4. Leidke esimese seitsmeteistkümne liikme summa.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa leidmiseks kasutatakse kahte valemit:

Kumb sees on sel juhul mugavam kasutada?

Tingimuse järgi on algse progressiooni n-nda liikme valem teada ( a n) a n= 3n - 4. Leiad kohe ja a 1, Ja a 16 leidmata d. Seetõttu kasutame esimest valemit.

Vastus: 368.

5. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Leidke progressiooni kahekümne teine liige.

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 p.

Tingimusel, kui a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 p. On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastus: a 22 = -48.

6. ülesanne

Kirjutatakse mitu järjestikust geomeetrilise progressiooni liiget:

Leidke progressiooni liige, mille nimi on x.

Lahendamisel kasutame n-nda liikme valemit b n = b 1 ∙ q n - 1 Sest geomeetrilised progressioonid. Progressi esimene tähtaeg. Et leida progressiooni q nimetaja, tuleb võtta ükskõik milline progressiooni antud liige ja jagada eelmisega. Meie näites saame võtta ja jagada. Saame, et q = 3. Asendame valemis n asemel 3, kuna on vaja leida antud geomeetrilise progressiooni kolmas liige.

Asendades leitud väärtused valemisse, saame:

Vastus:.

Ülesanne 7

Valige n-nda liikme valemiga antud aritmeetiliste progressioonide hulgast see, mille tingimus on täidetud a 27 > 9:

Sest antud tingimus peab olema täidetud progressiooni 27. liikme jaoks, asendame igas neljas progressioonis n asemel 27. Neljandas järgus saame:

Vastus: 4.

Ülesanne 8

Aritmeetilises progressioonis a 1= 3, d = -1,5. Täpsustage kõrgeim väärtus n mille puhul kehtib ebavõrdsus a n > -6.

Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)

Milles iga järgnev termin erineb eelmisest uue terminiga, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi

Aritmeetilise progressiooni omadused

1) Aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Sellel teoreetiline materjal lõpeb ja liigume edasi levinud probleemide lahendamiseni praktikas.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt meie seisukorrale

Määrame edenemise etapi

Kõrval tuntud valem leida progressiooni neljakümnes liige

Näide 2. Aritmeetiline progressioon antakse selle kolmanda ja seitsmenda liikmega. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid

Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige

Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa

Keerulisi arvutusi kasutamata leidsime kõik vajalikud kogused.

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Edasimineku summa on 250.

Näide 4.

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv

Teostame lihtsustusi

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5.

Lahenda võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse

Esimene tase

Aritmeetiline progressioon. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)

Numbrite jada

Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbrite jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvujada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Seda arvujada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõpmatu arvujadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, mida uurisid iidsed kreeklased.

See on numbrijada, mille iga liige on võrdne samale arvule lisatud eelmisega. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja see tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrdleme oma vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada edenemisnumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni th liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine võtaks meil rohkem kui ühe tunni ja pole tõsiasi, et me arvude liitmisel vigu ei teeks.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust ei ole vaja eelnevale väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti lähemalt... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, millest selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus koosneb:

Teisisõnu:

Püüdke sel viisil ise leida antud aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Kas sa arvutasid? Võrrelge oma märkmeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku eelmisele väärtusele aritmeetilise progressiooni tingimused.
Proovime seda valemit “depersonaliseerida” – toome selle sisse üldine vorm ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetiline progressioon võib suureneda või väheneda.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest arvudest: Kontrollime, milline on selle aritmeetilise progressiooni th number, kui kasutame selle arvutamiseks meie valemit:

Sellest ajast:

Seega oleme veendunud, et valem toimib nii kahanevas kui ka suurenevas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni th ja th liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
Lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Las, ah, siis:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on võimalik viga teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi jah, ja see on see, mida me nüüd püüame välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni nõutavat liiget nii, et selle leidmise valem on meile teada - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:

edenemise eelmine tähtaeg on:
edenemise järgmine tähtaeg on:

Võtame kokku edenemise eelmised ja järgnevad tingimused:

Selgub, et progressiooni eelneva ja järgneva liikme summa on nende vahel paikneva progressiooniliikme topeltväärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks peate need liitma ja jagama.

Täpselt nii, meil on sama number. Kinnitame materjali. Arvutage edenemise väärtus ise, see pole sugugi keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi tuletas hõlpsasti üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, esitas õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: „Arvutage kõigi summa. naturaalarvud alates kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud. Kujutage ette õpetaja üllatust, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minut hiljem ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik juraka klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse...

Noor Carl Gauss märkas teatud mustrit, mida on lihtne märgata ka teie.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ndast liikmest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni nende liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui ülesanne nõuab selle liikmete summa leidmist, nagu Gauss otsis?

Kujutagem meile antud edenemist. Vaadake esiletõstetud numbreid lähemalt ja proovige nendega sooritada erinevaid matemaatilisi tehteid.

Kas olete seda proovinud? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed

Öelge nüüd, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis kokku on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased paarid on võrdsed, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõnes ülesandes me ei tea ndat liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige asendada th liikme valem summa valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile esitatud ülesande juurde: arvutage ise, millega võrdub th-st algavate arvude summa ja th-st algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss leidis, et terminite summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed täielikult aritmeetilise progressiooni omadusi.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja selle aja suurim ehitusprojekt - püramiidi ehitamine... Pildil on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.

Miks mitte aritmeetiline progressioon? Arvutage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusele asetatakse klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb areng välja selline järgmisel viisil: .
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (arvutame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Sain aru? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Koolitus

Ülesanded:

Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda teeb Maša kükki nädalas, kui ta tegi kükki esimesel treeningul?
Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
Palkide hoiustamisel laovad logijad need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmine. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise vundamendiks on palk?

Vastused:

Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).
Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha tegema kükke üks kord päevas.
Esimene paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv on pooleks, kuid kontrollime seda fakti aritmeetilise progressiooni kolmanda liikme leidmise valemi abil:
Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendame olemasolevad andmed valemiga:
Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
Meenutagem püramiidide probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht väheneb ühe palgi võrra, siis kokku on kihte hunnik, st.
Asendame andmed valemiga:
Vastus: Müüritises on palgid.

Võtame selle kokku

- numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See võib suureneda või väheneda.
Valemi leidmine Aritmeetilise progressiooni th liige kirjutatakse valemiga - , kus on arvude arv progressioonis.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus on edenevate arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:

, kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbrite jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Aga me saame alati öelda, kumb on esimene, kumb teine ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada kindla naturaalarvuga ja kordumatu numbriga. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

On väga mugav, kui jada th liikme saab määrata mõne valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus on). Või (, erinevus).

n-nda termini valem

Nimetame korduvaks valemit, milles th liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelmist:

Et leida selle valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, kas nüüd on selge, mis valem on?

Igal real, mille me lisame, korrutatuna mõne arvuga. Milline? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene tähtaeg on võrdne. Mis vahe on? Siin on, mida:

(Seetõttu nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Niisiis, valem:

Siis on sajas liige võrdne:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss 9-aastase poisina selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimane kuupäev on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja lõpust 3. summa on sama jne. Kui palju selliseid paare kokku on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leidke kõigi summa kahekohalised numbrid, mitmekordsed.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine number saadakse eelmisele numbrile liitmise teel. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle edenemise th liikme valem:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

Iga päev jookseb sportlane rohkem meetreid kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit kokku jookseb ta nädalas, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
Jalgrattur läbib iga päev rohkem kilomeetreid kui eelmisel päeval. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta kilomeetri läbimiseks sõitma? Mitu kilomeetrit ta oma reisi viimasel päeval läbib?
Külmiku hind kaupluses langeb igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
.
Vastus:
Siin on antud: , tuleb leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:
Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus on.
Arvutame viimase päeva jooksul läbitud tee, kasutades th liikme valemit:
(km).
Vastus:
Arvestades: . Leia:.
See ei saaks olla lihtsam:
(hõõruda).
Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon võib olla suurenev () ja vähenev ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemiga, kus on järjestikuste arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See võimaldab teil hõlpsasti leida progressiooni liiget, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Või aritmeetika on järjestatud arvjada tüüp, mille omadusi uuritakse koolialgebra kursusel. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa.

Mis edasiminek see on?

Enne küsimuse juurde asumist (kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat) tasub aru saada, millest jutt.

Igasugust reaalarvude jada, mis saadakse igast eelnevast arvust mingi väärtuse liitmisel (lahutamisel), nimetatakse algebraliseks (aritmeetiliseks) progressiooniks. See määratlus on matemaatilise keelde tõlgituna järgmine:

Siin on i rea a i elemendi seerianumber. Seega, teades ainult ühte stardinumbrit, saate hõlpsalt taastada kogu seeria. Valemis olevat parameetrit d nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

On lihtne näidata, et vaadeldava arvude jada puhul kehtib järgmine võrdsus:

a n = a 1 + d* (n - 1).

See tähendab, et järjekorras n-nda elemendi väärtuse leidmiseks tuleks esimesele elemendile a lisada vahe d 1 n-1 korda.

Mis on aritmeetilise progressiooni summa: valem

Enne näidatud summa valemi andmist tasub kaaluda lihtsat erijuhtumit. Arvestades naturaalarvude progresseerumist 1-st 10-ni, peate leidma nende summa. Kuna progressioonis (10) on vähe liikmeid, on võimalik ülesanne lahendada otse, st kõik elemendid järjestikku summeerida.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Üks asi, mida tasub kaaluda huvitav asi: kuna iga liige erineb järgmisest sama väärtusega d = 1, siis esimese paariline liitmine kümnendaga, teine üheksandaga ja nii edasi annab sama tulemuse. Tõesti:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Nagu näete, on neid summasid ainult 5, see tähendab täpselt kaks korda vähem kui seeria elementide arv. Seejärel korrutades summade arvu (5) iga summa tulemusega (11), jõuate esimeses näites saadud tulemuseni.

Kui me need argumendid üldistame, saame kirjutada järgmise avaldise:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

See avaldis näitab, et kõiki reas olevaid elemente pole üldse vaja summeerida, piisab, kui on teada esimese a 1 ja viimase a n väärtus, samuti koguarv n tingimusi.

Arvatakse, et Gauss mõtles sellele võrdsusele esmakordselt, kui otsis lahendust oma kooliõpetaja antud ülesandele: summeerida esimesed 100 täisarvu.

Elementide summa m-st n-ni: valem

Eelmises lõigus toodud valem vastab küsimusele, kuidas leida aritmeetilise progressiooni (esimesed elemendid) summat, kuid sageli on ülesannetes vaja summeerida arvjada progressiooni keskel. Kuidas seda teha?

Lihtsaim viis sellele küsimusele vastata on vaadeldes järgmist näidet: olgu vaja leida liikmete summa m-ndast n-ndani. Ülesande lahendamiseks peaksite esitama progressiooni antud lõigu m-st n-ni uue arvurea kujul. Sellises m-nda esitus liige a m on esimene ja a n nummerdatakse n-(m-1). Sel juhul saadakse summa standardvalemit kasutades järgmine avaldis:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Näide valemite kasutamisest

Teades, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat, tasub kaaluda lihtsat näidet ülaltoodud valemite kasutamisest.

Allpool on numbriline jada, peaksite leidma selle liikmete summa, alustades 5-ndast ja lõpetades 12-ndaga:

Antud numbrid näitavad, et erinevus d on võrdne 3-ga. Kasutades n-nda elemendi avaldist, leiate progressiooni 5. ja 12. liikme väärtused. Selgub:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Teades vaadeldava algebralise progressiooni otstes olevate arvude väärtusi, samuti teades, milliseid numbreid seerias need hõivavad, saate kasutada eelmises lõigus saadud summa valemit. Selgub:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Väärib märkimist, et selle väärtuse võib saada erinevalt: esmalt leidke standardvalemi abil esimese 12 elemendi summa, seejärel arvutage sama valemi abil esimese 4 elemendi summa, seejärel lahutage esimene summast teine.