Funktsiooni äärmus - lihtsas sõnastuses kompleksi kohta

© BSEU loeng nr 2					prof. Dymkov M.P.
Märkus 1. Vastupidine väide kõlab mõnevõrra teisiti. Kui a
funktsioon suureneb intervallil, siis f ′ (x 0 )≥ 0 või puudub.
Näide 1		y=x3	võrra suureneb		kõik numbrilised
vastavalt	f (x) > 0 , kuid punktis		x = 0 tuletis		f(0)=0.

Näide 2 . Funktsioon			x ≥ 0,	ei oma mingis punktis tuletist		x=0
Näide 2 . Funktsioon			x< 0	ei oma mingis punktis tuletist		x=0
			x< 0

(vasak ja parem tuletis on erinevad), kuid see suureneb kõigi x väärtuste korral, sealhulgas punktides x = 0.

Märkus 2. “Pehmemate” tingimuste alusel saame sõnastada otsese teoreemi: kui intervallil pideva funktsiooni tuletis on mittenegatiivne, siis funktsioon sellel intervallil ei vähene. Siis kõlavad otsene ja vastupidine teoreem formaliseeritud keeles järgmiselt:

jaoks,	nii et intervallil pidev funktsioon y = f(x) on
mitte vähenev		see intervall on vajalik		ja piisavalt selleks
f′ (x0 ) ≥ 0 .
Ekstreemsuse mõiste
Definitsioon.			x0 nimetatakse punktiks	kohalik maksimum

funktsioon f (x), kui on olemas selline punkti x0 naabrus, et kõigi selle naabruse x jaoks on f(x) ≤ f(x0 ) .

Definitsioon. Punkti x0 nimetatakse funktsiooni f(x) lokaalseks miinimumpunktiks, kui punktil x0 on selline naabrus, et kõigi x sellest naabruskonnast on f(x) ≥ f(x0 ) .

Funktsiooni väärtust maksimumpunktis nimetatakse lokaalseks maksimumiks, funktsiooni väärtust miinimumpunktis nimetatakse antud funktsiooni lokaalseks miinimumiks. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi nimetatakse selle lokaalseteks ekstreemumiteks.

(äärmus - äärmuslik).

Definitsioon. Punkti x0 nimetatakse funktsiooni y= f(x) range lokaalse maksimumi (miinimum) punktiks, kui punkti x0 läheduses olevate punktide x puhul on range võrratus f(x) tõene< f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Kommenteeri. Ülaltoodud lokaalse ekstreemumi definitsioonis ei eelda me, et funktsioon on pidev punktis x 0 .

	X ≠ 0
	X ≠ 0	mingis punktis katkendlik	x = 0, kuid on selles
Funktsioon y=	x=0	mingis punktis katkendlik	x = 0, kuid on selles
	x=0

maksimaalne punkt, kuna seal on punkti x \u003d 0 naabrus, milles f (x)< f (x 0 ).

Kutsutakse funktsiooni suurimat (väiksemat) väärtust intervallil globaalne äärmus. Globaalse ekstreemumini võib jõuda kas lokaalse ekstreemumi punktides või segmendi otstes.

Ekstreemumi vajalik tingimus

Teoreem 2. (ekstreemumi vajaliku tingimuse kohta).

Kui funktsioonil y = f(x) on ekstreemum punktis x0 , siis selle tuletis f′ (x0 ) selles punktis on kas võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

◄Kui punktis x 0 on funktsioonil ekstreemum ja see on diferentseeruv, siis

Selle punkti mõnes naabruses on Fermat' teoreemi tingimused täidetud, seetõttu on funktsiooni tuletis selles punktis võrdne nulliga.

Kuid funktsioonil y = f(x) võib olla ekstreemum ja see ei ole selles punktis diferentseeritav. Piisab, kui tuua näide. Näide oleks

teenindab funktsiooni y=

mille punktis on miinimum

x=0

siiski mitte

on sel hetkel eristatav.

Kommenteeri

Geomeetriline

Joonis 1 illustreerib teoreemi. Funktsioon

y \u003d f (x), mille graafik on sellel esitatud

y=f(x)

figuuril on äärmused punktides x 1 , x 3 , x 4 ,

tuletis

on olemas,

see on võrdne nulliga,

tõmbab

lõpmatus.

punktid x 2,

ekstreemumi funktsioonil pole,

ja punktis x 2 saab tuletis

lõpmatus, punktis x 5

tuletis on

Märkus 2. Punktid, kus vajalik tingimus on täidetud

pideva funktsiooni ekstreemumi nimetatakse kriitiliseks

Need määratakse võrrandi põhjal

f(x)=0

(statsionaarne

punktid) või f

(x)=∞.

Märkus 3. Funktsioonil ei pruugi igas kriitilises punktis olla maksimumi ega miinimumi.

Näide 4. Vaatleme funktsiooni y = x 3 . Selle funktsiooni jaoks kriitiline

on punkt x \u003d 0, mis tuleneb võrrandist f ′ (x) \u003d 3x 2 \u003d 0. See funktsioon aga suureneb kõigi x-ide korral ja sellel pole ekstreemumit.

© BSEU loeng nr 2			Funktsioonide uurimine tuletisinstrumentide abil prof. Dymkov M.P.

3. teoreem.			(ekstreemumi jaoks piisavatel tingimustel).
Lase eest			y = f(x) on täidetud järgmised tingimused:
1) y = f(x)			on pidev punkti x0 läheduses;
		(x) = 0		f (x) = ∞
							muudab oma märki.
		(x) punkti x0 läbimisel					muudab oma märki.

Siis punktis x = x0 on funktsioonil y= f(x) ekstreemum:
minimaalne, kui punkti x0 läbimisel								tuletismuutuste märk
miinusest plussile;
maksimaalselt kui punkti läbimisel								x0 tuletis muudab oma
märk plussist miinusesse.				f (x) punkti x0 läbimisel ei muuda selle
Kui tuletis				f (x) punkti x0 läbimisel ei muuda selle

märk puudub, punktis x = x0 ei ole ekstreemumit.◄
Teoreemi tingimused saab kokku võtta järgmises tabelis
				Tuletismärk				Ekstreem

								Maksimaalne


Kuna tingimusel f(x)< 0 приx < x 0 , то на левом относительно точки
x 0 intervallifunktsioon					väheneb. Kuna f (x)> 0 x> x 0 korral,
x 0 intervallifunktsioon				y = f(x)	väheneb. Kuna f (x)> 0 x> x 0 korral,

		punkti suhtes				intervall		funktsioon f(x) kasvab.
Järelikult			f(x0)	on funktsiooni f(x) väikseim väärtus naabruses
	x 0, mis tähendab, et f (x 0)					on funktsiooni lokaalne miinimum			f(x) .

Kui vasakult intervallilt paremale liikudes funktsioon jätkab vähenemist, siis punktis x 0 funktsiooni miinimumväärtust ei saavutata

(ei ole ekstreemumit).

Samamoodi tõestatakse maksimumi olemasolu.

Joonisel fig. 2 a-h esitab võimalikud juhud pideva funktsiooni ekstreemumi olemasolust või puudumisest, mille tuletis kriitilises punktis võrdub nulliga või läheb lõpmatuseni.

© BSEU loeng nr 2	Funktsioonide uurimine tuletisi kasutades	prof. Dymkov M.P.
Kommenteeri.	Kui funktsiooni järjepidevuse tingimus on
	ei ole täidetud, siis saadavuse küsimus
äärmus jääb avatuks.
Näide 5
Näide 5
Kaaluge	katkendlik

x+1,

x ≤ 0,

(joonis 3). Tuletis

see funktsioon muudab märki

f(x)=

x > 0

läbib punkti x 0 = 0,

aga funktsioon punktis

x0=0

äärmus ei ole

Näide 6. Olgu antud funktsioon

X ≠ 0,

(joonis 4). Nagu jooniselt näha,

f(x)

f(x)=

x=0

on punktis kohalik maksimum

x0=0

Siiski funktsioon

on katkestus punktis x 0 = 0 .

Kommenteeri

funktsioonil on näiteks punktis x 0 ekstreemum,

minimaalselt, seejärel valikuliselt punktist vasakule

x 0 funktsioon on monotoonselt kahanev ja

x 0 paremal pool suureneb monotoonselt.

Näide 7. Olgu antud funktsioon

2 - cos

X ≠ 0,

f(x)=

x=0

y = 3x2

y=x

Võib näidata, et sisse

x = 0

pidev

Funktsiooni tuletis

f(x)=2x

− patt

mis tahes naabruskonnas

punkt x = 0 muudab märki lõpmatult palju kordi. Seetõttu funktsioon f (x) ei ole

väheneb monotoonselt või ei suurene punktist x = 0 ei vasakule ega paremale.

Ekstreemumi funktsiooni uurimise skeem:

1) leia tuletis f'(x);

2) leida kriitilisi punkte, st. sellised väärtused x kus f '(x)= 0 või

f' (x) = ∞;

3) uurige igast kriitilisest vasakul ja paremal asuvat tuletise märki

© BSEU loeng nr 2		Funktsioonide uurimine tuletisi kasutades			prof. Dymkov M.P.
punktid. Kui kriitilise punkti läbimisel				tuletis f(x)

selle märk plussist miinuseni, seejärel punktis x 0				f(x)	on maksimum, kui
f(x) märk	muutub miinusest plussiks		siis punktis x 0		f(x) funktsioon
	Kui x läbimisel kriitilisest punktist x 0 märk f					(x) mitte
	Kui x läbimisel kriitilisest punktist x 0 märk f					(x) mitte

muutub, siis punktis x 0 ei ole funktsioonil f (x) ei maksimumi ega miinimumi; 4) leida funktsiooni väärtused äärmistes punktides.

Teoreem 4. (2. piisav tingimus ekstreemumi jaoks). Olgu funktsiooni y = f (x) jaoks täidetud järgmised tingimused:

1. y \u003d f (x) on pidev punkti x 0 läheduses,

2. f ′ (x )= 0 x 0 juures

3. f ′′ (x )≠ 0 punktis x 0 .

Seejärel punktis x 0

saavutatakse äärmus ja:

kui f ′′ (x 0 )> 0, siis punktis

x = x0

y = f(x)

on miinimum

f '(x 0 )< 0 , то

x = x0

funktsioonil y = f(x) on maksimum.

◄ 2. tuletise f määratluse järgi

f' (x) − f' (x0 )

) = piir

− x

x → x0

Kuid tingimusel f

) = piir

(x) = 0.

− x

(x) > 0, siis

x → x0

f'(x)

mõnes

naabruskond

x = x.

x< x

x − x0

x > x0

murdosa on positiivne

tingimusel

on positiivne, kui f(x)< 0 .

f (x) punkti läbimisel

x = x0

muudab märki,

f(x)>0. Järelikult

seega on äärmus. Tuletise märk muutub miinusest plussiks, seega on see miinimum. Tähe f '(x 0 )< 0 .

Näide 8. Uurige ekstreemumi funktsiooni y = x 2 + 2x + 3. Leia tuletis y ′= 2x + 2 .

1) Leiame kriitilised punktid, mille puhul võrdsustame tuletise nulliga: y ′= 2x + 2= 0, → x 0 = -1.

2) Uurime sellest punktist vasakul ja paremal asuvat tuletise märki (joonis 6).

Kuna tuletise märk muutub miinusest plussiks, saavutatakse punktis x = − 1 miinimum.

3) Leidke miinimumi väärtus: ymin (− 1)= 2.

3) Uurime märki y" punktist x = 0 vasakul ja paremal. Ilmselgelt f ′ (x)< 0 ,

selle funktsiooni miinimum.

4) ymin(0)=1.

Näide 10

Uurige ekstreemumi funktsiooni y = e -x 2.

1) Esimese tuletise leidmine: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Võrdsustades tuletise nulliga, leiame ainsa kriitilise punkti x = 0.

3) Järgmisena leiame teise tuletise: y ′′= – 2e – x 2 + 4x 2 e – x 2 . Selle tähendus

punktis x = 0 on -2.

4) Järeldame, et funktsioonil on maksimum ja arvutame: y max(0)=1.

Lõigul pideva funktsiooni suurim ja väikseim väärtus

Kui funktsioon f (x) on defineeritud ja pidev lõigul [a ; b ], siis

2. Weierstrassi teoreemi kohaselt saavutab see sellel lõigul oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse.

Kui funktsioon f (x) võtab oma maksimaalse väärtuse M sisse sisemine punkt lõigu [a ; b ] x 0, siis M \u003d f (x 0 ) on funktsiooni f (x) lokaalne maksimum, kuna sel juhul on punkti x 0 naabrus, nii et väärtused f (x ) kõigi selle naabruskonna punktide puhul seda ei tee

suurem kui f (x 0 ) .

Kuid selle suurim väärtus M funktsioon f (x) võib võtta ka segmendi otstes[a ; b ]. Seetõttu tuleb lõigu [a ; b] funktsiooni f (x) jaoks pideva M suurima väärtuse leidmiseks leida kõik funktsiooni maksimumid vahemikus (a ; b) ja väärtused f (x) segmendi [a ; b] otstes ja vali

nende hulgas kõige rohkem. Selle asemel, et piirduda pideva väikseima väärtuse m väärtuste leidmisega

kriitilistes punktides maksimaalse võimaliku funktsiooni saavutamiseks. funktsiooni f (x) segmendil [a; b] on

väikseim arv funktsiooni f ( x ) kõigi miinimumide hulgast intervallis (a ; b ) ja väärtustest f (a ) ja f (b) .

								f'(x)-

Uurige ekstreemumi funktsiooni y = 3

1) Leidke tuletis y ′=

See on üsna huvitav matemaatika osa, millega seisavad silmitsi absoluutselt kõik kraadiõppurid ja üliõpilased. Siiski ei meeldi matan kõigile. Mõned ei mõista isegi põhilisi asju, nagu näiliselt standardne funktsiooniuuring. Selle artikli eesmärk on see puudus parandada. Kas soovite funktsioonianalüüsi kohta rohkem teada saada? Kas soovite teada, mis on äärmuspunktid ja kuidas neid leida? Siis on see artikkel teie jaoks.

Funktsiooni graafiku uurimine

Alustuseks tasub mõista, miks on üldse vaja diagrammi analüüsida. On lihtsaid funktsioone, mida on lihtne joonistada. Sellise funktsiooni ilmekas näide on parabool. Tema diagrammi pole raske koostada. Kõik, mida vajate, on lihtsa teisenduse abil leida arvud, mille juures funktsioon võtab väärtuse 0. Ja põhimõtteliselt on see kõik, mida peate paraboolgraafiku koostamiseks teadma.

Aga mis siis, kui graafik, mida vajame, on palju keerulisem? Kuna keeruliste funktsioonide omadused on üsna ebaselged, on vaja läbi viia terviklik analüüs. Alles siis saab funktsiooni graafiliselt esitada. Kuidas seda teha? Sellele küsimusele leiate vastuse sellest artiklist.

Funktsioonide analüüsi plaan

Esimese asjana tuleb läbi viia funktsiooni pealiskaudne uuring, mille käigus leiame definitsioonivaldkonna. Niisiis, alustame järjekorras. Määratluspiirkond on nende väärtuste kogum, mille abil funktsioon on määratletud. Lihtsamalt öeldes on need numbrid, mida saab funktsioonis x asemel kasutada. Ulatuse määramiseks peate lihtsalt kirjet vaatama. Näiteks on ilmne, et funktsioonil y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 on määratluspiirkond - reaalarvude hulk. Noh, funktsiooniga (x 2 - 2x) / x on kõik veidi erinev. Kuna nimetaja arv ei tohiks olla 0, siis on selle funktsiooni domeeniks kõik reaalarvud, välja arvatud null.

Järgmiseks tuleb leida funktsiooni nn nullid. Need on argumendi väärtused, mille jaoks kogu funktsioon võtab väärtuse null. Selleks on vaja funktsioon võrdsustada nulliga, kaaluda seda üksikasjalikult ja teha mõned teisendused. Võtame juba tuttava funktsiooni y(x) = (x 2 - 2x)/x. Koolikursusest teame, et murd on 0, kui lugeja on null. Seetõttu jätame nimetaja kõrvale ja hakkame töötama lugejaga, võrdsustades selle nulliga. Saame x 2 - 2x \u003d 0 ja võtame x sulgudest välja. Seega x (x - 2) \u003d 0. Selle tulemusena leiame, et meie funktsioon on võrdne nulliga, kui x on 0 või 2.

Funktsiooni graafiku uurimisel seisavad paljud silmitsi probleemiga äärmuspunktide kujul. Ja see on imelik. Ekstreemsused on ju üsna lihtne teema. Ei usu? Vaadake ise, lugedes artikli seda osa, milles räägime miinimum- ja maksimumpunktidest.

Alustuseks tasub mõista, mis on ekstreemum. Ekstreemum on piirväärtus, milleni funktsioon graafikul jõuab. Sellest selgub, et on kaks äärmuslikku väärtust - maksimum ja miinimum. Selguse huvides võite vaadata ülaltoodud pilti. Uuritaval alal on punkt -1 funktsiooni y (x) \u003d x 5 - 5x maksimum ja punkt 1 on vastavalt minimaalne.

Samuti ärge ajage mõisteid omavahel segamini. Funktsiooni äärmuspunktid on need argumendid, mille juures antud funktsioon omandab äärmuslikud väärtused. Ekstreemum on omakorda funktsiooni miinimumide ja maksimumide väärtus. Näiteks vaadake uuesti ülaltoodud joonist. -1 ja 1 on funktsiooni äärmuspunktid ning 4 ja -4 on ekstreemumid ise.

Ekstreemumipunktide leidmine

Aga kuidas leida funktsiooni äärmuspunkte? Kõik on üsna lihtne. Esimene asi, mida teha, on leida võrrandi tuletis. Oletame, et saime ülesande: "Leia funktsiooni y (x) äärmuspunktid, argument on x. Selguse huvides võtame funktsiooni y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Eristame ja saame järgmise võrrandi: 3x 2 + 4x + 1. Selle tulemusena saime standardse ruutvõrrandi. Tuleb vaid võrdsustada see nulliga ja leida juured. Kuna diskriminant on suurem kui null (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), see võrrand määratakse kahe juurega. Leiame need ja saame kaks väärtust: 1/3 ja -1. Need on funktsiooni äärmuspunktid. Kuidas aga ikkagi määrata kes on kes?Milline punkt on maksimum ja milline miinimum?Selleks tuleb võtta naaberpunkt ja välja selgitada selle väärtus Näiteks võtame arvu -2, mis jääb piki koordinaati vasakule rida alates -1. Asendame selle väärtuse võrrandis y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Selle tulemusena saime positiivse arvu, mis tähendab, et vahemikus 1/3 kuni -1 funktsioon suureneb, mis omakorda tähendab, et intervallidel alates min lõpmatusest 1/3 ja -1 pluss lõpmatuseni, funktsioon väheneb. Seega võime järeldada, et arv 1/3 on funktsiooni miinimumpunkt uuritaval intervallil ja -1 on maksimumpunkt.

Märkimist väärib ka see, et eksam eeldab mitte ainult ekstreemumipunktide leidmist, vaid ka nendega mingit toimingu tegemist (liita, korrutab jne). Just sel põhjusel tasub probleemi tingimustele erilist tähelepanu pöörata. Tähelepanematuse tõttu võite ju punkte kaotada.

Mis on funktsiooni ekstreemum ja mis on ekstreemumi vajalik tingimus?

Funktsiooni ekstreemum on funktsiooni maksimum ja miinimum.

Funktsiooni maksimumi ja miinimumi (ekstreemumi) vajalik tingimus on järgmine: kui funktsioonil f(x) on ekstreemum punktis x = a, siis selles punktis on tuletis kas null või lõpmatu või ei ei eksisteeri.

See tingimus on vajalik, kuid mitte piisav. Tuletis punktis x = a võib kaduda, minna lõpmatusse või mitte eksisteerida, ilma et funktsioonil oleks selles punktis ekstreemum.

Mis on funktsiooni ekstreemumi (maksimum või miinimum) piisav tingimus?

Esimene tingimus:

Kui punkti x = a piisavas läheduses on tuletis f?(x) positiivne a-st vasakul ja negatiivne a-st paremal, siis punktis x = a ise on funktsioonil f(x) maksimaalselt

Kui punktile x = a piisavalt lähedal on tuletis f?(x) a-st vasakul negatiivne ja a-st paremal positiivne, siis punktis x = a ise on funktsioonil f(x) miinimum eeldusel, et funktsioon f(x) on siin pidev.

Selle asemel võite kasutada funktsiooni ekstreemumi jaoks teist piisavat tingimust:

Olgu punktis x = ja esimene tuletis f? (x) kaob; kui teine tuletis f??(а) on negatiivne, siis on funktsioonil f(x) maksimum punktis x = a, kui positiivne, siis miinimum.

Mis on funktsiooni kriitiline punkt ja kuidas seda leida?

See on funktsiooni argumendi väärtus, mille juures funktsioonil on ekstreemum (st maksimum või miinimum). Selle leidmiseks on vaja leia tuletis funktsioon f?(x) ja võrdsustades selle nulliga, lahendage võrrand f?(x) = 0. Selle võrrandi juured, aga ka punktid, kus selle funktsiooni tuletist ei eksisteeri, on kriitilised punktid, st argumendi väärtused, mille juures võib esineda ekstreemum . Neid saab hõlpsalt tuvastada vaadates tuletisgraafik: meid huvitavad need argumendi väärtused, mille juures funktsiooni graafik lõikub abstsisstelljega (Ox-telg) ja need, mille juures graafik kannatab katkestusi.

Näiteks leiame parabooli äärmus.

Funktsioon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktsiooni tuletis: y?(x) = 6x + 2

Lahendame võrrandi: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Sel juhul on kriitiline punkt x0=-1/3. Funktsioonil on selle argumendi väärtuse jaoks äärmus. Et seda saada leida, asendame funktsiooni "x" asemel avaldises leitud arvu:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuidas määrata funktsiooni maksimumi ja miinimumi, s.t. selle suurimad ja väikseimad väärtused?

Kui tuletise märk muutub kriitilise punkti x0 läbimisel plussist miinusmärgiks, siis on x0 maksimaalne punkt; kui tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on x0 miinimumpunkt; kui märk ei muutu, siis punktis x0 pole ei maksimumi ega miinimumi.

Vaadeldava näite jaoks:

Võtame kriitilisest punktist vasakul oleva argumendi suvalise väärtuse: x = -1

Kui x = -1, on tuletise väärtus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (st miinusmärk).

Nüüd võtame kriitilisest punktist paremal oleva argumendi suvalise väärtuse: x = 1

Kui x = 1, on tuletise väärtus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (st plussmärk).

Nagu näete, muutis tuletis kriitilise punkti läbimisel märki miinusest plussiks. See tähendab, et kriitilise väärtuse x0 juures on meil minimaalne punkt.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus intervallil(segmendil) leitakse sama protseduuriga, võttes arvesse ainult asjaolu, et võib-olla ei asu kõik kriitilised punktid määratud intervalli sees. Need kriitilised punktid, mis jäävad väljaspoole intervalli, tuleb vaatlusest välja jätta. Kui intervalli sees on ainult üks kriitiline punkt, on sellel kas maksimum või miinimum. Sel juhul võtame funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse määramiseks arvesse ka funktsiooni väärtusi intervalli lõpus.

Näiteks leiame funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervallidega:

Seega funktsiooni tuletis on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Lahendame võrrandi 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± kaared (0,16667) + 2πk.

Leiame kriitilised punktid intervallilt [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (ei sisaldu intervallis)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ei sisaldu intervallis)

Funktsiooni väärtused leiame argumendi kriitiliste väärtuste juures:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

On näha, et intervallil [-9; 9] funktsioonil on suurim väärtus x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja väikseim - x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Intervallil [-6; -3] meil on ainult üks kriitiline punkt: x = -4,88. Funktsiooni väärtus x = -4,88 on y = 5,398.

Funktsiooni väärtuse leiame intervalli lõpust:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Intervallil [-6; -3] meil on funktsiooni suurim väärtus

y = 5,398 x = -4,88 juures

väikseim väärtus on

y = 1,077 x = -3 juures

Kuidas leida funktsioonigraafiku käändepunkte ning määrata kumeruse ja nõgususe külgi?

Kõikide sirge y \u003d f (x) käändepunktide leidmiseks peate leidma teise tuletise, võrdsustama selle nulliga (lahendama võrrandi) ja testima kõiki neid x väärtusi, mille puhul teine tuletis on null , lõpmatu või seda pole olemas. Kui ühe neist väärtustest läbides muutub teine tuletis märki, siis funktsiooni graafikul on selles punktis kääne. Kui see ei muutu, siis käänet pole.

Võrrandi f juured? (x) = 0, samuti funktsiooni ja teise tuletise võimalikud katkestuspunktid jagavad funktsiooni domeeni mitmeks intervalliks. Kumerus nende iga intervalli juures määratakse teise tuletise märgiga. Kui teine tuletis uuritava intervalli punktis on positiivne, siis sirge y = f(x) on siin nõgus ülespoole ja kui negatiivne, siis allapoole.

Kuidas leida kahe muutuja funktsiooni äärmusi?

Funktsiooni f(x, y) määramispiirkonnas diferentseeruva äärmuse leidmiseks on vaja:

1) leida kriitilised punktid ja selleks lahendada võrrandisüsteem

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) iga kriitilise punkti P0(a;b) puhul uuri, kas erinevuse märk jääb muutumatuks

kõigi punktide (x; y) jaoks, mis on piisavalt lähedal P0-le. Kui erinevus säilitab positiivse märgi, siis punktis P0 on meil miinimum, kui negatiivne, siis maksimum. Kui erinevus ei säilita oma märki, siis punktis Р0 ekstreemumit pole.

Samamoodi määratakse funktsiooni äärmused suurema arvu argumentide jaoks.

Millised on ettevõtlusinkubaatori tegevuse ülesehitamise skeemi omadused
Ettevõtlusinkubaatoreid käsitletakse ennekõike väikeettevõtlust toetava infrastruktuuri osana, kuid samas on nad majandus-, sotsiaal-, struktuuri- ja innovatsioonipoliitika instrument. Tehnoloogilised inkubaatorid on üks poliitikavahendeid adaptiivse, dünaamilise ja konkurentsivõimelise riikliku innovatsiooni kujundamiseks

Dracula (ingl. Dracula) on tegelane kirjandusteostes ja filmides, vampiir, mille leiutas Iiri kirjanik Bram Stoker romaani Dracula (1897) jaoks. Levinud arvamuse kohaselt oli selle tegelase prototüübiks tõeline ajalooline tegelane - Vlad III Tepes (Draku

Kust leida teavet telefoni Sony Ericsson K790 kohta
Teavet telefoni Sony Ericsson K790 kohta leiate järgmistelt saitidelt: www.mobiset.ru - teave telefoni Sony Ericsson K790 kohta saidil mobiset.ru ;www.mobidrive.ru - teave telefoni Sony Ericsson K790 kohta mobidis

Kes on osa grupist "Mill"
www.melnitsa.net — Melnitsa bändi ametlik veebisait Melnitsa on Moskvast pärit vene folk-rock bänd. Asutatud 15. oktoobril 1999. Ansambel Melnitsa mängib akustilist ja elektroakustilist muusikat. Instrumendid: tšello, flööt

Mis on lutsu
Lauto on keelpilliga muusikainstrument. Klassikalisel kujul on sellel graatsiline pirnikujuline kere, nööridega kael, kaela suhtes viltu tagasi painutatud pulkade kast, rosettheliava ja 11 keelpilli (viis paari ja üks kõrgkeel). Sõna "lauto" kasutatakse ka kõige üldisemas tähenduses.

Mis on tomat (tomat)
Tomat (tomat) on öövihmaliste (Solanaceae) perekonda kuuluv taim, ühe- või mitmeaastane ürt. Kasvatatakse köögiviljakultuurina. Tomati vilju tuntakse tomatina. Vilja liik on mari. Kodumaa - Lõuna-Ameerika, kus endiselt leidub tomati metsikuid ja poolharitud vorme. 16. sajandi keskel jõudis tomat Hispaaniasse vastavalt

Kust leida põhjendatud nimisõnade käändemustrit
Nimisõnade kääne Deklinatsioon on nimisõnade (ja muude kõnenimeliste osade) muutumine juhtude ja arvude kaupa. Vene keeles on kaks numbrit: ainsus (aken, kirjutuslaud) ja mitmus (aknad, lauad); kuus juhtumit (vastavalt kooli õppekavale). Juhtum Juhtumite küsimused Nimetav kes? mida? Kelle vanem? mida? Andja

Millised näitlejannad mängisid Channel One sarjas "Lühike kursus õnnelikus elus" peaosasid
Vene telesarjas “Lühike kursus õnnelikus elus”, mille filmis 2011. aastal Channel One jaoks režissöör Valeria Gai Germanika, mängisid peaosades 4 näitlejannat: Ljuba rolli mängis Alisa Khazanova; Sasha rolli mängis Svetlana Khodchenkova; Anna Slue mängis Anya rolli; Katya rolli mängis Ksenia Gromova. Taustal

Mis on siinus 90 kraadist
Siinus on üks trigonomeetrilistest funktsioonidest, mida tähistatakse patuga. Täisnurkses kolmnurgas on teravnurga siinus võrdne selle nurga vastas oleva jala suhtega hüpotenuusiga. Siinuste väärtused sageli esinevate nurkade jaoks (π on arv pi, √ on ruutjuur

Kus Internetis on tasulised inglise keele helikursused
Tasulised inglise keele helikursused leiate allolevate linkide alt: shop.iddk.ru - inglise keele helikursused kettal; london.ru - helikursused ketastel, samuti raamatud; volxv.ru - audio-video inglise keele kursused; ozon.ru - helikursused ketastel

Teabe- ja värbamisportaalid Superjob.ru - Superjob.ru värbamisportaal on Venemaa online-värbamisturul tegutsenud alates 2000. aastast ning on töö- ja personaliotsingu ressursside seas liider. Iga päev lisatakse saidi andmebaasi üle 80 000 spetsialisti CV ja üle 10 000 vaba töökoha.

Mis on funktsiooni ekstreemum ja mis on ekstreemumi vajalik tingimus?

Funktsiooni ekstreemum on funktsiooni maksimum ja miinimum.

See tingimus on vajalik, kuid mitte piisav. Tuletis punktis x = a võib kaduda, minna lõpmatusse või mitte eksisteerida, ilma et funktsioonil oleks selles punktis ekstreemum.

Mis on funktsiooni ekstreemumi (maksimum või miinimum) piisav tingimus?

Esimene tingimus:

Kui punkti x = a piisavas läheduses on tuletis f?(x) positiivne a-st vasakul ja negatiivne a-st paremal, siis punktis x = a ise on funktsioonil f(x) maksimaalselt

Selle asemel võite kasutada funktsiooni ekstreemumi jaoks teist piisavat tingimust:

Olgu punktis x = ja esimene tuletis f? (x) kaob; kui teine tuletis f??(а) on negatiivne, siis on funktsioonil f(x) maksimum punktis x = a, kui positiivne, siis miinimum.

Mis on funktsiooni kriitiline punkt ja kuidas seda leida?

Näiteks leiame parabooli äärmus.

Funktsioon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktsiooni tuletis: y?(x) = 6x + 2

Lahendame võrrandi: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Sel juhul on kriitiline punkt x0=-1/3. Funktsioonil on selle argumendi väärtuse jaoks äärmus. Et seda saada leida, asendame funktsiooni "x" asemel avaldises leitud arvu:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuidas määrata funktsiooni maksimumi ja miinimumi, s.t. selle suurimad ja väikseimad väärtused?

Vaadeldava näite jaoks:

Võtame kriitilisest punktist vasakul oleva argumendi suvalise väärtuse: x = -1

Kui x = -1, on tuletise väärtus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (st miinusmärk).

Nüüd võtame kriitilisest punktist paremal oleva argumendi suvalise väärtuse: x = 1

Kui x = 1, on tuletise väärtus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (st plussmärk).

Nagu näete, muutis tuletis kriitilise punkti läbimisel märki miinusest plussiks. See tähendab, et kriitilise väärtuse x0 juures on meil minimaalne punkt.

Näiteks leiame funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervallidega:

Seega funktsiooni tuletis on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Lahendame võrrandi 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± kaared (0,16667) + 2πk.

Leiame kriitilised punktid intervallilt [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (ei sisaldu intervallis)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ei sisaldu intervallis)

Funktsiooni väärtused leiame argumendi kriitiliste väärtuste juures:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

On näha, et intervallil [-9; 9] funktsioonil on suurim väärtus x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja väikseim - x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Intervallil [-6; -3] meil on ainult üks kriitiline punkt: x = -4,88. Funktsiooni väärtus x = -4,88 on y = 5,398.

Funktsiooni väärtuse leiame intervalli lõpust:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Intervallil [-6; -3] meil on funktsiooni suurim väärtus

y = 5,398 x = -4,88 juures

väikseim väärtus on

y = 1,077 x = -3 juures

Kuidas leida funktsioonigraafiku käändepunkte ning määrata kumeruse ja nõgususe külgi?

Kuidas leida kahe muutuja funktsiooni äärmusi?

Funktsiooni f(x, y) määramispiirkonnas diferentseeruva äärmuse leidmiseks on vaja:

1) leida kriitilised punktid ja selleks lahendada võrrandisüsteem

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) iga kriitilise punkti P0(a;b) puhul uuri, kas erinevuse märk jääb muutumatuks

Samamoodi määratakse funktsiooni äärmused suurema arvu argumentide jaoks.

Kust leida Internetist Brjanski piirkonna riikliku tööinspektsiooni ametlik veebisait
www.rostrud.ru - Rostrudi ametlik veebisait - föderaalne töö- ja tööhõiveteenistus Rostrud - 8-800-707-88-41 Saatke Rostrudile elektrooniline pöördumine (e-posti aadress: [e-postiga kaitstud]) git77.rostrud.ru &mda

Kust leian teavet Hispaania jalgpalli kohta
Primera Division (hispaania keeles Primera División) on professionaalne jalgpalliliiga Hispaanias (hispaania keeles Liga de Fútbol Profesional, LFP), tuntud ka kui Primera või La Liga (hispaania keeles: La Liga), on professionaalse jalgpalliturniir.

Mis on Venemaa ametlik valuuta
Riigi nimi Nimi - raha/lahtine münt Austraalia Austraalia dollar/sent Austria Austria šilling/grosz - euro Aserbaidžaan Manat Albaania Lek/Kindarka Alžeeria Alžeeria dinaar/santimo Argentina Argentina austraal/centavo Afganistan Afgaani/pul Bangladesh Taka/pais Belgia Belgia frank/ santimo — Euro Bulgaaria Lev/Stotinka

Millised kuulsad inimesed surid 2. novembril
2. november on aasta 306. päev (liigaaastatel 307.) Gregoriuse kalendri järgi. Aasta lõpuni on jäänud 59 päeva Pühad 2. november Riiklik: Neitsisaared (USA) – vabaduspäev; Valgevene – vanaisad (mälestuspäev); Libeeria – tänupüha; Mehhiko, Poola, Po

Mis on nullformatiivsufiksid
Mis on nullsufiks Nullsufiks on järelliide, mida ei väljendata kõnes esinevate helide ja kirjas tähtedega, vaid mille abil moodustatakse uusi sõnu. Sõnade moodustamise meetodit nullsufiksi abil nimetatakse mõnes õpikus mittesufiksiks, teistes aga nullsufiksiks. Nullliidet tähistab graafiliselt &Osla

Mis on ankurüürnik
Ankurüürnik on kaubanduskeskuse põhiüürnik, kes meelitab sinna ostjaid. "Ankru" üks olulisemaid märke on selle äratundmine klientide seas, mis eeldab brändi edendamist ja olemasolu eraldi poe vormingus - tänavajaemüük, näiteks Zara, M-video

Mis on Venemaa Majandusakadeemia ametlik veebisait. G.V. Plekhanov (REA)
Allpool on Moskva peamiste riiklike ülikoolide ametlikud veebisaidid: M. V. nimeline Moskva Riiklik Ülikool. Lomonossovi akadeemia Vene Föderatsiooni peaprokuratuuri akadeemia Venemaa eriolukordade ministeeriumi riikliku tuletõrjeteenistuse akadeemia Rahvamajanduse akadeemia Vene Föderatsiooni valitsuse alluvuses

Milliseid pühi tähistatakse 16. mail
16. mai on aasta 136. päev (liigaaastatel 137.) Gregoriuse kalendri järgi. Aasta lõpuni on jäänud 229 päeva. Sündmused ja tähtpäevad, mis tähistavad 16. maid: ülemaailmne AIDSi surnute mälestuspäev; Biograafide päev; Apara Ekadashi Indias. Religioossed sündmused Õigeusk: Püha Theodosiuse koobaste päev; Alates

Milline on umbrohu ambroosi leviku geograafia
Ambrosia koirohi Üheaastane, hiliskevadel. Bioloogia ja morfoloogia Vars 20-200 cm kõrgune, sirge, ülaosast haruline, nurgeline, nõrga või pigem tugeva surutud harjaste karvaga. Juur on tatjuur, tungib pinnasesse 4m sügavusele. Lehed 4-15 cm pikad, ülalt tumerohelised, peaaegu paljad, alt hallrohelised, tihedalt karvased; ülemine

Mis on poikilotermilised loomad?
Poikilotermilised loomad on külmaverelised loomad, ebastabiilse sisemise kehatemperatuuriga loomad, mis varieeruvad sõltuvalt väliskeskkonna temperatuurist. Poikilotermiliste loomade hulka kuuluvad kõik selgrootud ning selgroogsete hulka kuuluvad kalad, kahepaiksed ja roomajad. Poikilotermiliste loomade kehatemperatuur on tavaliselt ainult 1-20C kõrgem kui ümbritseva õhu temperatuur.

Kuidas teha tõmbeid
Tõmbed on põhiline harjutus käte, selja ja rindkere lihastele. Tõmbamine on peamine jõudu kasvatav harjutus. Tõmbeid saab teha igal ajal ja peaaegu kõikjal, need ei nõua erivahendeid ega jõusaali kõndimist, mis on väga oluline. Tõmbed kangil – kõige tõhusam treening

Ekstreem (lat. extremum - äärmuslik)

pideva funktsiooni väärtus f(x) on kas maksimum või miinimum. Täpsemalt: pidev mingis punktis x 0 funktsiooni f(x) on sees x0 maksimaalne (minimaalne), kui on naabruskond ( x0 + δ, x0- δ) selle punkti määratlusvaldkonnas f(x), ja selline, et selle naabruskonna kõigis punktides on ebavõrdsus f(x0), ≥f(x) [vastavalt f(x0) ≤ f(x)]. Kui lisaks on olemas naabruskond selline, et f(x0) > f(x) [või f(x0) (x)] kl X≠x 0, siis räägitakse rangest või omast maksimumist (miinimumist), muidu mitte rangest või sobimatust maksimumist (miinimum) riis. üks Range maksimum saavutatakse punktis A ja mitte range miinimum punktis B). Kõrgeid ja madalaid punkte nimetatakse äärmuspunktideks. Funktsiooni jaoks f(x) oli mingil hetkel E. x 0, see peab olema pidev x0 ja kas f`(x0) = 0 (punkt A sisse riis. üks ), või f`(x0) ei eksisteerinud (punkt C edasi riis. üks ). Kui lisaks mõnes punkti naabruses x0 tuletis f"(x) vasakul x0 positiivsed ja negatiivsed paremal f(x) on sees x0 maksimaalne; kui f"(x) vasakul pool x0 on negatiivne ja paremal positiivne, siis on miinimum (E. piisav tingimus). Kui f"(x) ei muuda punkti läbimisel märki x 0, siis funktsioon f(x) ei ole punktis E x0(punktid D, E ja F on peal riis. üks ). Kui a f(x) punktis x0 Sellel on P järjestikused tuletised ja f"(x0) = f``(x0) =...= f (n-1) ( x0)=0, a f(n) ( x0)≠0, siis kl P kummaline f(x) ei ole punktis E x 0, ja kell P on isegi miinimum, kui f(n) ( x0) > 0 ja maksimaalne, kui f(n) ( x0) E. funktsioone ei tohi segi ajada funktsiooni suurima ja väikseima väärtusega (vt Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused).

Samamoodi on ühe muutuja E. funktsioonid defineeritud mitme muutuja E. funktsioonid. E. vajalik tingimus on sel juhul esimest järku osatuletite kadumine või mitteolemine. Näiteks edasi riis. 2 osatuletised on punktis võrdsed nulliga M, peal riis. 3 punktis M neid pole olemas. Kui mõnes punkti naabruses M(x 0, y 0) funktsiooni esimene ja teine osatuletis eksisteerivad ja on pidevad f(x, y) ja selles kohas f" x = f" y = 0,

Δ = f" xx f "yy> 0,

siis f(x, y) punktis M on E. (maksimaalselt kell f "xx 0 ja minimaalne kell f "xx > 0); E. punktis M ei eksisteeri, kui Δ M on nn. sadul ehk minimax punkt, vt riis. neli ).

Piisavad tingimused mitme muutuja E. funktsioonide jaoks taandatakse ruutvormi positiivsele (või negatiivsele) määratusele

Σ ni, k = 1 aikΔ x iΔ x k

Mõiste "E." seda kasutatakse ka funktsionaalide suurimate ja väiksemate väärtuste uurimisel variatsioonide arvutamisel (vt variatsiooniarvutust).

Lit.: Ilyin V. A., Poznyak E. G., Matemaatilise analüüsi alused, 3. väljaanne, 1. osa, M., 1971.

Suur Nõukogude entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. 1969-1978 .

Sünonüümid:

Vaadake, mis on "Extremum" teistes sõnaraamatutes:

- (ladina sõnast extremum extreme), maksimumi ja miinimumi üldnimetus ... Kaasaegne entsüklopeedia

- (ladinakeelsest sõnast extremum extreme) vaata maksimum ja miinimum ... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Olemas., sünonüümide arv: 1 termin (18) ASIS sünonüümide sõnastik. V.N. Trishin. 2013... Sünonüümide sõnastik

- (lat. extremum extreme) eng. äärmuslik; saksa keel äärmuslik. Teatud suuruse või funktsiooni väärtus / (x), mis on selle maksimum või miinimum. Antinazi. Sotsioloogia entsüklopeedia, 2009 ... Sotsioloogia entsüklopeedia

äärmus- äärmuslik väärtus - [A.S. Goldberg. Inglise vene energiasõnastik. 2006] Teemad energia üldiselt Sünonüümid äärmuslik väärtus EN äärmuslik väärtus … Tehnilise tõlkija käsiraamat

Ekstreem- (ladina sõnast extremum extreme), maksimumi ja miinimumi üldnimetus. … Illustreeritud entsüklopeediline sõnaraamat

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Äärmuslik (tähendused). Ekstreemum (ladina keeles extremum extreme) on matemaatikas funktsiooni maksimaalne või minimaalne väärtus antud hulgal. Ekstreemumi saavutamise punkt on ... ... Wikipedia

- (ladina extremum extreme) matt. funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused; kasutada kombineerida maksimumi ja miinimumi mõisteid. Uus võõrsõnade sõnastik. EdwART, 2009. extremum [Vene keele võõrsõnade sõnastik

- [re], a; m [lat. äärmuslik äärmus] Mat. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused, sealhulgas miinimumi ja maksimumi mõisted. * * * extremum (ladina sõnast extremum extreme), vt Maksimum ja miinimum. * * * EXTREMUM EXTREMUM (alates lat. extremum… … entsüklopeediline sõnaraamat

äärmus- Extreme point, Extremeum (Extreme point) Kontuuri kõige ülemised, alumised, vasakpoolseimad ja parempoolsemad punktid, st punktid märgi kontuuris, mille koordinaatväärtus piki ühte telgedest on minimaalne või maksimaalne ... Fontide terminoloogia

Raamatud

Laudade komplekt. Matemaatika. Tuletis ja selle rakendus. 12 lauda + kaardid + metoodika,. Õppealbum 12 lehest ja 48 kaardist. Argumendi juurdekasv. Funktsiooni juurdekasv. Tuletis. Füüsiline tuletis. Kõvera puutuja. Tuletise geomeetriline tähendus. Kriitiline…

Funktsiooni äärmus - lihtsas sõnastuses kompleksi kohta

Ekstreemsuse mõiste

Ekstreemumi vajalik tingimus

Funktsiooni graafiku uurimine

Funktsioonide analüüsi plaan

Ekstreemumipunktide leidmine

Vaadake, mis on "Extremum" teistes sõnaraamatutes:

Raamatud