Edu 

Kuidas leida arvu väikseim kordne. Kuidas leida vähim ühiskordne, nok kahe või enama arvu jaoks


Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale artiklist pealkirjaga LCM – vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, Ja Erilist tähelepanu Keskendume näidete lahendamisele. Esiteks näitame, kuidas kahe numbri LCM arvutatakse nende numbrite GCD abil. Järgmisena vaatleme vähima ühise kordse leidmist, arvutades arvud algteguriteks. Pärast seda keskendume kolme või enama numbri LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka LCM-i arvutamisele. negatiivsed arvud.

Leheküljel navigeerimine.

Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu

Üks viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhetel. Olemasolev seos LCM-i ja GCD vahel võimaldab arvutada kahe täisarvu väikseima ühiskordse kordse positiivsed numbrid teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu. Vastav valem on LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Vaatame näiteid LCM-i leidmiseks antud valemi abil.

Näide.

Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi abil arvutada nende arvude LCM-i.

Leiame eukleidilise algoritmi abil GCD(126, 70): 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, seega GCD(126, 70)=14.

Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.

Vastus:

LCM(126,70)=630.

Näide.

Millega võrdub LCM(68, 34)?

Lahendus.

Sest 68 jagub 34-ga, siis GCD(68, 34)=34. Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.

Vastus:

LCM(68,34)=68.

Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b jaoks LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a.

LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel

Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui koostate kõigist antud arvude algteguritest korrutise ja jätate sellest korrutisest välja kõik antud arvude dekompositsioonides esinevad tavalised algtegurid, siis on saadud korrutis võrdne antud arvude vähima ühiskordsega .

Võrdsusest tuleneb väljatoodud reegel LCM-i leidmiseks LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. GCD(a, b) on omakorda võrdne kõigi arvude a ja b laiendustes samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega (nagu on kirjeldatud jaotises GCD leidmine, kasutades arvude algteguriteks laiendamist).

Toome näite. Teatagem, et 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Koostame korrutise kõigist nende laienduste teguritest: 2·3·3·5·5·5·7 . Nüüd jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemises (need tegurid on 3 ja 5), ​​siis saab korrutis kuju 2·3·5·5·7 . Selle korrutise väärtus on võrdne 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.

Näide.

Korrigeerige arvud 441 ja 700 algteguriteks ja leidke nende arvude vähim ühiskordne.

Lahendus.

Korrigeerime arvud 441 ja 700 algteguriteks:

Saame 441=3·3·7·7 ja 700=2·2·5·5·7.

Nüüd loome kõigist teguritest, mis on seotud nende arvude laiendamisega, korrutis: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks – see on arv 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Seega LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Vastus:

NOC(441,700)=44100.

LCM-i leidmise reeglit, kasutades arvude faktoriseerimist algteguriteks, saab sõnastada veidi teisiti. Kui arvu b laiendusest puuduvad tegurid liita arvu a laienemise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.

Näiteks võtame samad arvud 75 ja 210, nende jaotused algteguriteks on järgmised: 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 laiendusest liidame arvu 210 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2·3·5·5·7, mille väärtus on võrdne LCM(75, 210).

Näide.

Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Esmalt saame arvude 84 ja 648 dekompositsioonid algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2·2·3·7 ja 648=2·2·2·3·3·3·3. Teguritele 2, 2, 3 ja 7 arvu 84 laiendusest liidame arvu 648 laiendusest puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja 3, saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7, mis võrdub 4 536 . Seega on 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.

Vastus:

LCM(84,648)=4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletame meelde vastavat teoreemi, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.

Teoreem.

Olgu positiivsed täisarvud a 1 , a 2 , …, a k antud, leitakse nende arvude vähim ühiskordne m k, arvutades järjestikku m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Vaatleme selle teoreemi rakendamist nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.

Näide.

Leidke nelja numbri 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Lahendus.

Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Kõigepealt leiame m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil GCD(140, 9), saame 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, seega GCD(140, 9)=1 , kust GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140·9:1=1260. See tähendab, et m 2 = 1 260.

Nüüd leiame m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Arvutame selle läbi GCD(1 260, 54), mille määrame samuti eukleidilise algoritmi abil: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Seejärel gcd(1260,54)=18, millest gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. See tähendab, et m 3 = 3 780.

Jääb üle vaid leida m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Selleks leiame eukleidilise algoritmi abil GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Seetõttu GCM(3780;250)=10, kust GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. See tähendab, et m 4 = 94 500.

Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.

Vastus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Paljudel juhtudel on mugav leida kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul peaksite järgima järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. kolmas arv lisatakse saadud teguritele jne.

Vaatame näidet vähima ühiskordse leidmise kohta algfaktorisatsiooni abil.

Näide.

Leidke viiest arvust 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.

Lahendus.

Esiteks saame nende arvude jaotused algteguriteks: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 on algarv, see langeb kokku selle lagunemisega algteguriteks) ja 143=11·13.

Nende arvude LCM-i leidmiseks peate esimese numbri 84 teguritele (need on 2, 2, 3 ja 7) lisama teise numbri 6 laiendusest puuduvad tegurid. Arvu 6 lagunemine ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 dekomponeerimisel olemas. Järgmiseks liidame teguritele 2, 2, 3 ja 7 puuduvad tegurid 2 ja 2 kolmanda arvu 48 laiendusest, saame tegurite 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 hulga. Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile kordajaid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13. Saame korrutise 2·2·2·2·3·7·11·13, mis on võrdne 48 048-ga.

Suurim ühisjagaja ja väikseim ühiskordaja on aritmeetilised põhimõisted, mis võimaldavad teil vaevata töötada tavalised murrud. LCM ja neid kasutatakse kõige sagedamini mitme murru ühisnimetaja leidmiseks.

Põhimõisted

Täisarvu X jagaja on teine ​​täisarv Y, millega X jagatakse jääki jätmata. Näiteks arvu 4 jagaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Täisarvu X kordne on arv Y, mis jagub X-ga ilma jäägita. Näiteks 3 on 15 kordne ja 6 on 12 kordne.

Mis tahes arvupaari jaoks leiame nende ühised jagajad ja kordsed. Näiteks 6 ja 9 puhul on ühiskordaja 18 ja ühisjagaja 3. Ilmselgelt võib paaridel olla mitu jagajat ja kordajat, seega kasutatakse arvutustes suurimat jagajat GCD ja väikseimat LCM-i.

Väikseim jagaja on mõttetu, kuna iga arvu puhul on see alati üks. Ka suurim kordne on mõttetu, kuna kordajate jada ulatub lõpmatuseni.

Gcd otsimine

Suurima ühise jagaja leidmiseks on palju meetodeid, millest kuulsaimad on:

  • jagajate järjestikune otsing, paarile ühiste valimine ja neist suurima otsimine;
  • arvude lagunemine jagamatuteks teguriteks;
  • Eukleidiline algoritm;
  • binaarne algoritm.

Täna kl õppeasutused Kõige populaarsemad on algfaktoriseerimise meetodid ja Eukleidiline algoritm. Viimast kasutatakse omakorda diofantiini võrrandite lahendamisel: GCD otsimine on vajalik, et kontrollida võrrandi lahutusvõimalust täisarvudes.

NOC leidmine

Vähim ühiskordaja määratakse ka järjestikulise otsingu või jagamatuteks teguriteks jagamise teel. Lisaks on LCM-i lihtne leida, kui suurim jagaja on juba määratud. Numbrite X ja Y puhul on LCM ja GCD seotud järgmise seosega:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Näiteks kui GCM(15,18) = 3, siis LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Kõige ilmsem näide LCM-i kasutamisest on leida ühisnimetaja, mis on kõige väiksem ühiskordne antud murrud.

Koaprarvud

Kui arvupaaril pole ühiseid jagajaid, siis nimetatakse sellist paari koaprarvuks. Selliste paaride gcd on alati võrdne ühega ning jagajate ja kordajate vahelise seose põhjal võrdub koaprime paaride gcd nende korrutisega. Näiteks arvud 25 ja 28 on suhteliselt algarvud, kuna neil pole ühiseid jagajaid ja LCM(25, 28) = 700, mis vastab nende korrutisele. Kõik kaks jagamatut arvu on alati suhteliselt algarvud.

Ühisjagaja ja mitmikkalkulaator

Meie kalkulaatori abil saate arvutada GCD ja LCM suvalise arvu numbrite jaoks, mille hulgast valida. Ühiste jagajate ja kordajate arvutamise ülesandeid leidub 5. ja 6. klassi aritmeetikas, kuid GCD ja LCM on matemaatika põhimõisted ning neid kasutatakse arvuteoorias, planimeetrias ja kommunikatiivalgebras.

Näited elust

Murdude ühisnimetaja

Vähim ühiskordset kasutatakse mitme murdude ühisnimetaja leidmisel. Oletame, et aritmeetilises ülesandes peate liitma 5 murdosa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Murdude lisamiseks tuleb avaldis taandada ühise nimetajani, mis taandub LCM-i leidmise probleemiks. Selleks valige kalkulaatoris 5 numbrit ja sisestage nimetajate väärtused vastavatesse lahtritesse. Programm arvutab LCM-i (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nüüd peate iga murdosa jaoks arvutama täiendavad tegurid, mis on määratletud kui LCM-i ja nimetaja suhe. Seega näeksid täiendavad kordajad välja järgmised:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Pärast seda korrutame kõik murrud vastava lisateguriga ja saame:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Selliseid murde on lihtne summeerida ja tulemuseks saada 159/360. Vähendame murdosa 3 võrra ja näeme lõplikku vastust - 53/120.

Lineaarsete diofantiliste võrrandite lahendamine

Lineaarsed diofantiini võrrandid on avaldised kujul ax + by = d. Kui suhe d / gcd(a, b) on täisarv, siis on võrrand lahendatav täisarvudes. Kontrollime paari võrrandit, et näha, kas neil on täisarvlahend. Kõigepealt kontrollime võrrandit 150x + 8y = 37. Kalkulaatori abil leiame GCD (150,8) = 2. Jagame 37/2 = 18,5. Arv ei ole täisarv, seetõttu pole võrrandil täisarvu juuri.

Kontrollime võrrandit 1320x + 1760y = 10120. Leidke kalkulaatoriga GCD(1320, 1760) = 440. Jagage 10120/440 = 23. Selle tulemusena saame täisarvu, seega on Diofantiini koefitsient lahendatav. .

Järeldus

GCD ja LCM mängivad arvuteoorias suurt rolli ning neid mõisteid kasutatakse laialdaselt paljudes matemaatika valdkondades. Kasutage meie kalkulaatorit mis tahes arvu arvu suurimate jagajate ja vähimate kordajate arvutamiseks.

Jätkame vestlust vähim ühiskordsest, mida alustasime jaotises “LCM – vähim ühiskordaja, määratlus, näited”. Selles teemas vaatleme viise, kuidas leida kolme või enama arvu LCM-i, ja käsitleme küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu

Oleme juba loonud seose vähima ühiskordaja ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas GCD abil LCM-i määrata. Kõigepealt mõelgem välja, kuidas seda positiivsete arvude puhul teha.

Definitsioon 1

Väikseima ühiskordse saab leida läbi suurima ühisjagaja, kasutades valemit LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Näide 1

Peate leidma numbrite 126 ja 70 LCM-i.

Lahendus

Võtame a = 126, b = 70. Asendame väärtused väikseima ühiskordse arvutamise valemis suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Leiab arvude 70 ja 126 gcd. Selleks vajame eukleidilist algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, seega GCD (126 , 70) = 14 .

Arvutame LCM-i: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastus: LCM(126; 70) = 630.

Näide 2

Leidke numbrid 68 ja 34.

Lahendus

GCD sisse sel juhul See pole keeruline, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutame väikseima ühiskordse valemi abil: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastus: LCM(68; 34) = 68.

Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmiseks reeglit: kui esimene arv jagub teisega, on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.

LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel

Nüüd vaatame LCM-i leidmise meetodit, mis põhineb arvude algteguriteks arvutamisel.

2. definitsioon

Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:

  • koostame nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille jaoks peame leidma LCM-i;
  • me jätame nende tulemuseks olevatest toodetest välja kõik peamised tegurid;
  • pärast ühiste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne antud arvude LCM-iga.

See vähima ühiskordaja leidmise meetod põhineb võrdusel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Kui vaadata valemit, siis selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu lagunemisel osalevate tegurite korrutisega. Sel juhul on kahe arvu gcd võrdne kõigi nende kahe arvu faktorisatsioonis samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega.

Näide 3

Meil on kaks numbrit 75 ja 210. Me saame neid arvesse võtta järgmisel viisil: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Kui moodustate kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.

Kui välistada mõlema arvu ühised tegurid 3 ja 5, saame korrutise järgmist tüüpi: 2 3 5 5 7 = 1050. Sellest tootest saab meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.

Näide 4

Leidke numbrite LCM 441 Ja 700 , arvestades mõlemad arvud algteguriteks.

Lahendus

Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7.

Kõigi nende arvude lagunemisel osalenud tegurite korrutis on järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Leiame ühised tegurid. See on number 7. Jätame selle toote koguarvust välja: 2 2 3 3 5 5 7 7. Selgub, et NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus: LOC(441; 700) = 44 100.

Esitame veel ühe meetodi sõnastus LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.

3. määratlus

Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:

  • Kombineerime mõlemad arvud algteguriteks:
  • liita esimese arvu algtegurite korrutisele teise arvu puuduvad tegurid;
  • saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.

Näide 5

Pöördume tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks me juba ühes eelmises näites LCM-i otsisime. Jaotame need lihtsateks teguriteks: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Koefitsientide 3, 5 ja korrutisesse 5 numbrid 75 lisavad puuduvad tegurid 2 Ja 7 numbrid 210. Saame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . See on numbrite 75 ja 210 LCM.

Näide 6

On vaja arvutada numbrite 84 ja 648 LCM.

Lahendus

Jaotame tingimuse arvud lihtsateks teguriteks: 84 = 2 2 3 7 Ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisame korrutisele tegurid 2, 2, 3 ja 7 numbrid 84 puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja
3 numbrid 648. Saame toote kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Vastus: LCM(84648) = 4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.

1. teoreem

Oletame, et meil on täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k need arvud leitakse, arvutades järjestikku m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Nüüd vaatame, kuidas saab teoreemi konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada.

Näide 7

Peate arvutama nelja arvu 140, 9, 54 ja vähima ühiskordse 250 .

Lahendus

Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Arvude 140 ja 9 GCD arvutamiseks rakendame eukleidilist algoritmi: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Seetõttu m 2 = 1260.

Nüüd arvutame sama algoritmi abil m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.

Peame lihtsalt arvutama m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Me järgime sama algoritmi. Saame m 4 = 94 500.

Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500.

Vastus: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna muul viisil.

4. definitsioon

Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:

  • lagundame kõik arvud algteguriteks;
  • esimese arvu tegurite korrutisele liidame puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
  • eelmises etapis saadud korrutisele lisame kolmanda arvu puuduvad tegurid jne;
  • saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.

Näide 8

Peate leidma viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM-i.

Lahendus

Korrigeerime kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Algarve, mis on arv 7, ei saa algtegurite hulka arvestada. Sellised arvud langevad kokku nende lagunemisega algteguriteks.

Nüüd võtame arvu 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutise ja liidame neile teise arvu puuduvad tegurid. Jagasime arvu 6 kaheks ja 3-ks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.

Jätkame puuduvate kordajate lisamist. Liigume edasi arvu 48 juurde, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel liidame neljanda arvu algteguri 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on algse viie arvu väikseim ühiskordne.

Vastus: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.

Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmine

Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmiseks tuleb need arvud esmalt asendada numbritega vastupidine märk ja seejärel tehke arvutused ülaltoodud algoritmide abil.

Näide 9

LCM (54, -34) = LCM (54, 34) ja LCM (-622, -46, -54, -888) = LCM (622, -46,54,888).

Sellised toimingud on lubatavad, kuna me sellega nõustume a Ja − a- vastandarvud,
siis arvu kordsete hulk a sobib arvu kordsete hulgaga − a.

Näide 10

On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 Ja − 45 .

Lahendus

Asendame numbrid − 145 Ja − 45 nende vastandarvudele 145 Ja 45 . Nüüd, kasutades algoritmi, arvutame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, olles eelnevalt määranud GCD eukleidilise algoritmi abil.

Saame, et arvude LCM on − 145 ja − 45 võrdub 1 305 .

Vastus: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad ka teiste naturaalarvudega.

Näiteks:

Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;

Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub tervikuga (12 puhul on need 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvude jagajad. Naturaalarvu jagaja a- on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks jagajat komposiit .

Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised tegurid. Need arvud on: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Ühine jagaja kaks etteantud numbrit a Ja b- see on arv, millega mõlemad antud arvud jagatakse ilma jäägita a Ja b.

Ühised mitmikud mitu arvu on arv, mis jagub kõigi nende arvudega. Näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi tavaliste kordajate hulgas on alati väikseim, antud juhul on see 90. Seda arvu nimetatakse kõige väiksemühiskordne (CMM).

LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratletud.

Vähim ühiskordaja (LCM). Omadused.

Kommutatiivsus:

Assotsiatiivsus:

Eelkõige, kui ja on koalgarvud, siis:

Kahe täisarvu vähim ühiskordne m Ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m Ja n. Veelgi enam, ühiste kordajate hulk m, n langeb kokku LCM( m, n).

Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.

Niisiis, Tšebõševi funktsioon. Ja:

See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g(n).

Mis tuleneb algarvude jaotamise seadusest.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.

NOC( a, b) saab arvutada mitmel viisil:

1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle ühendust LCM-iga:

2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:

Kus p 1 ,...,p k- mitmesugused algarvud ja d 1 ,...,d k Ja e 1 ,...,e k— mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu laiendis ei ole).

Siis NOC ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:

Teisisõnu sisaldab LCM-i dekompositsioon kõiki algtegureid, mis sisalduvad vähemalt ühes arvude jaotuses a, b, ja võetakse selle kordaja kahest eksponendist suurim.

Näide:

Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:

Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:

- lagundada arvud algteguriteks;

- kanda üle suurim laienemine (soovitava toote tegurite korrutis) soovitud toote teguriteks suur number antud arvudest) ja seejärel lisage tegurid teiste arvude laiendusest, mis ei esine esimeses numbris või esinevad selles harvemini;

— algtegurite korrutis on antud arvude LCM.

Ükskõik milline kaks või enam naturaalarvud neil on oma NOC. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.

Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendatakse teguriga 3 (arv 21), tulemuseks on korrutis (84) väikseim number, mis jagub 21 ja 28-ga.

Suurima arvu 30 algteguritele lisandub arvu 25 koefitsient 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagub kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300...), mis on kõigi antud arvude kordne.

Arvud 2,3,11,37 on algarvud, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.

Reegel. Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.

Teine võimalus:

Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate järgmist.

1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) kirjuta üles kõigi nende arvude kõik algjagajad (kordajad);

4) valib neist igaühe suurima astme, mis on leitud nende arvude kõigis laiendustes;

5) korrutage need võimsused.

Näide. Leidke numbrite LCM: 168, 180 ja 3024.

Lahendus. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kirjutame üles kõigi algjagajate suurimad astmed ja korrutame need:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jagatakse ilma jäägita suurim ühisjagaja (GCD) need numbrid.

Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad on arvud 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse vastastikku prime.

Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse vastastikku prime, kui nende suurim ühisjagaja (GCD) on 1.

Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.

Arvestades arvud 48 ja 36, ​​saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nendest arvudest esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kriipsutame välja need, mis ei sisaldu teise arvu laiendamises (st kaks kahelist).
Ülejäänud tegurid on 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.

Leidma suurim ühine jagaja

2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on arv 15, kuna kõik teised arvud jaguvad sellega: 45, 75 ja 180.

Vähim levinud kordne (LCM)

Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseim naturaalarv, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest üles kirjutamata. Selleks arvutame 75 ja 60 algteguriteks: 75 = 3 * 5 * 5 ja 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Paneme kirja neist arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 2 (s.t. tegurid ühendame).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.

Samuti leiavad nad kolme või enama arvu vähima ühiskordse.

To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) arvuta need algteguriteks;
2) pane kirja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.

Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude väikseim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne on 60, kuna see jagub kõigi nende arvudega.

Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jaguvuse küsimust. Nad nimetasid arvu, mis võrdub kõigi selle jagajate summaga (ilma arvu endata), täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoraslased teadsid ainult kolme esimest täiuslikku arvu. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid teadlased ei tea ikka veel, kas on paarituid täiuslikke numbreid või kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb sellest, et suvaline arv on kas algarv või seda saab esitada algarvude korrutisena, s.t algarvud on nagu tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes rea osas on neid rohkem, teistes - vähem. Kuid mida edasi liigume mööda arvujadasid, seda vähem levinud on algarvud. Tekib küsimus: kas on olemas viimane (suurim) algarv? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus “Elements”, mis oli matemaatika põhiõpik kaks tuhat aastat, et algarve on lõpmatult palju, st iga algarvu taga on veelgi suurem algarv. number.
Algarvude leidmiseks tuli selle meetodi välja teine ​​samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik arvud 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühe, mis ei ole alg- ega liitarv, ja seejärel kriipsutas läbi ühe kõik arvud, mis tulevad pärast 2 (arvud, mis on 2 kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik numbrid, mis tulevad pärast 3 (arvud, mis olid 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid ristimata vaid algarvud.