Ennustamine 

Kuidas leida trapetsi kõrgust, kui kõik küljed on teada. Trapetsi pindala: kuidas arvutada, valem

Trapetsi pindala leidmiseks on palju võimalusi. Tavaliselt teab matemaatikaõpetaja mitut arvutamismeetodit, vaatame neid üksikasjalikumalt:
1) , kus AD ja BC on alused ning BH on trapetsi kõrgus. Tõestus: tõmmake diagonaal BD ja väljendage kolmnurkade ABD ja CDB pindalad nende aluste ja kõrguste poolkorrutise kaudu:

, kus DP on väliskõrgus in

Liidame need võrdsused termini haaval ja võttes arvesse, et kõrgused BH ja DP on võrdsed, saame:

Paneme selle sulgudest välja

Q.E.D.

Trapetsi pindala valemi järeldus:
Kuna aluste poolsumma on võrdne trapetsi keskjoonega MN, siis

2) Nelinurga pindala üldvalemi rakendamine.
Nelinurga pindala on võrdne poolega diagonaalide korrutisest, mis on korrutatud nendevahelise nurga siinusega
Selle tõestamiseks piisab, kui jagada trapets 4 kolmnurgaks, väljendada igaühe pindala "poole diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutis" (võetuna nurgana, lisage saadud summa avaldised, võtke need sulust välja ja faktoritage see sulg rühmitusmeetodi abil, et saada selle võrdsus avaldisega

3) Diagonaalnihke meetod
See on minu nimi. IN kooliõpikud matemaatikaõpetaja ei tule sellise pealkirja peale. Tehnika kirjelduse leiate ainult täiendavast õpikud näitena probleemi lahendamisest. Tahaksin märkida, et enamik huvitavaid ja kasulikke fakte planimeetria kohta avaldavad õpilastele matemaatikaõpetajad sooritamise käigus. praktiline töö. See on äärmiselt ebaoptimaalne, sest õpilane peab need eraldama eraldi teoreemideks ja nimetama neid "suurteks nimedeks". Üks neist on "diagonaalne nihe". Millest me räägime?Joonestame AC-ga paralleelse sirge läbi tipu B, kuni see lõikub alumise alusega punktis E. Sel juhul on nelinurk EBCA (definitsiooni järgi) rööpkülik ja seega BC=EA ja EB=AC. Esimene võrdsus on meile praegu oluline. Meil on:

Pange tähele, et kolmnurgal BED, mille pindala on võrdne trapetsi pindalaga, on veel mitu tähelepanuväärset omadust:
1) Selle pindala on võrdne trapetsi pindalaga
2) selle võrdhaarne esineb samaaegselt trapetsi enda võrdhaarsetega
3) Selle ülemine nurk tipus B võrdne nurgaga trapetsi diagonaalide vahel (mida kasutatakse sageli ülesannete lahendamisel)
4) Selle mediaan BK on võrdne kaugusega QS trapetsi aluste keskpunktide vahel. Selle omaduse kasutamisega puutusin hiljuti kokku Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika ja matemaatika üliõpilase ettevalmistamisel, kasutades Tkachuki õpiku 1973. aasta versiooni (ülesanne on toodud lehe allosas).

Eritehnikad matemaatikaõpetajale.

Mõnikord pakun välja probleeme, kasutades väga keerulist viisi trapetsi pindala leidmiseks. Ma liigitan selle eritehnikaks, sest praktikas kasutab juhendaja neid üliharva. Kui vajate ettevalmistust matemaatika ühtseks riigieksamiks ainult B osas, ei pea te nende kohta lugema. Teiste jaoks räägin edasi. Selgub, et trapetsi pindala on kahekordistunud rohkem ala kolmnurk, mille tipud on ühe külje otstes ja teise külje keskel, st ABS-kolmnurk joonisel:
Tõestus: joonistage kolmnurkadesse BCS ja ADS kõrgused SM ja SN ning väljendage nende kolmnurkade pindalade summa:

Kuna punkt S on CD keskpunkt, siis (tõesta see ise) leidke kolmnurkade pindalade summa:

Kuna see summa osutus võrdne poolega trapetsi pindala, seejärel selle teine ​​pool. Jne.

Pindalaarvestuse vormi võtaksin juhendaja eritehnikate repertuaari võrdhaarne trapets selle külgedel: kus p on trapetsi poolperimeeter. Ma ei anna tõestust. Muidu jääb su matemaatikaõpetaja ilma tööta :). Tule klassi!

Probleemid trapetsi piirkonnas:

Matemaatika juhendaja märkus: Allolev loetelu ei ole teema metoodiline kaas, see on vaid väike valik huvitavaid ülesandeid, mis põhinevad eespool käsitletud võtetel.

1) Võrdhaarse trapetsi alumine alus on 13 ja ülemine 5. Leidke trapetsi pindala, kui selle diagonaal on küljega risti.
2) Leidke trapetsi pindala, kui selle põhjad on 2 cm ja 5 cm ning küljed 2 cm ja 3 cm.
3) Võrdhaarse trapetsi puhul on suurem alus 11, pool on võrdne 5 ja diagonaal on võrdne Trapetsi pindala leidmisega.
4) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on 5 ja keskjoon on 4. Leia pindala.
5) Võrdhaarse trapetsi alused on 12 ja 20 ning diagonaalid on üksteisega risti. Arvutage trapetsi pindala
6) Võrdhaarse trapetsi diagonaal moodustab oma alumise alusega nurga. Leidke trapetsi pindala, kui selle kõrgus on 6 cm.
7) Trapetsi pindala on 20 ja selle üks külg on 4 cm. Leidke kaugus selleni vastaskülje keskelt.
8) Võrdhaarse trapetsi diagonaal jagab selle kolmnurkadeks pindalaga 6 ja 14. Leia kõrgus, kui külgkülg on 4.
9) Trapetsi diagonaalid on 3 ja 5 ning aluste keskpunkte ühendav segment on võrdne 2-ga. Leidke trapetsi pindala (Mekhmat MSU, 1970).

Ma ei valinud parimat keerulised ülesanded(ärge kartke mehaanikat ja matemaatikat!) nende võimalikkuse ootuses sõltumatu otsus. Otsustage oma tervise nimel! Kui vajate ettevalmistust matemaatika ühtseks riigieksamiks, võivad ilma selles protsessis osalemata tekkida trapetsi pindala valemid tõsiseid probleeme isegi probleemiga B6 ja veelgi enam C4 puhul. Ära alusta teemat ja raskuste korral küsi abi. Matemaatikaõpetaja aitab teid alati hea meelega.

Kolpakov A.N.
Matemaatika juhendaja Moskvas, ettevalmistus ühtseks riigieksamiks Strogino linnas.

Me puutume oma elus väga sageli kokku geomeetria kasutamisega praktikas, näiteks ehituses. Üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid on trapets. Ja selleks, et projekt oleks edukas ja ilus, on sellise figuuri jaoks vajalik elementide korrektne ja täpne arvutamine.

Mis on kumer nelinurk, millel on paralleelsete külgede paar, mida nimetatakse trapetsi alusteks. Kuid neid aluseid ühendab veel kaks külge. Neid nimetatakse külgmiseks. Üks selle kujundiga seotud küsimustest on: "Kuidas leida trapetsi kõrgust?" Vahetult tuleb märkida, et kõrgus on segment, mis määrab kauguse ühest alusest teise. Selle kauguse määramiseks on mitu võimalust, sõltuvalt teadaolevatest suurustest.

1. Mõlema aluse väärtused on teada, tähistame neid b ja k, samuti selle trapetsi pindala. Teadaolevaid väärtusi kasutades on sellisel juhul väga lihtne leida trapetsi kõrgust. Nagu geomeetriast teada, arvutatakse see poole aluste summa ja kõrguse korrutisena. Selle valemi abil saate hõlpsasti tuletada soovitud väärtuse. Selleks peate jagama ala poole aluste summaga. Valemite kujul näeb see välja järgmine:

S=((b+k)/2)*h, seega h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Keskjoone pikkus on teada, tähistame seda d-ga ja pindala. Neile, kes ei tea, on keskmine joon külgede keskpunktide vaheline kaugus. Kuidas sel juhul leida trapetsi kõrgust? Trapetsi omaduse järgi vastab keskjoon poolele aluste summast ehk d=(b+k)/2. Jällegi kasutame pindala valemit. Asendades poole aluste summast keskjoone väärtusega, saame järgmise:

Nagu näeme, on saadud valemi järgi kõrgust väga lihtne tuletada. Jagades ala keskjoone väärtusega, leiame soovitud väärtuse. Kirjutame selle valemiga üles:

3. Teada on ühe külje pikkus (b) ning selle külje ja suurima aluse vahele moodustatud nurk. Vastus küsimusele, kuidas leida trapetsi kõrgust, on ka sel juhul olemas. Vaatleme trapetsi ABCD, kus AB ja CD on küljed ning AB=b. Suurim baas on AD. Tähistame AB ja AD poolt moodustatud nurga α. Punktist B langetage kõrgus h alusele AD. Nüüd kaaluge saadud kolmnurka ABF, mis on täisnurkne kolmnurk. Pool AB on hüpotenuus ja külg BF on külg. Täisnurkse kolmnurga omaduse järgi vastab jala ja hüpotenuusi väärtuse suhe nurga siinusele, vastaspool(BF). Seetõttu korrutame trapetsi kõrguse arvutamiseks ülaltoodu põhjal väärtuse tuntud pidu ja nurga α siinus. Valemi kujul näeb see välja järgmine:

4. Sarnaselt käsitletakse juhtumit, kui külgkülje suurus ja nurk on teada, tähistame seda β-ga, mis on moodustatud selle külje ja väiksema aluse vahele. Sellise ülesande lahendamisel on teadaoleva külje ja joonistatud kõrguse vaheline nurk 90° - β. Kolmnurkade omadustest - jala ja hüpotenuusi pikkuse suhe vastab nendevahelise nurga koosinusele. Sellest valemist on lihtne tuletada kõrguse väärtus:

h = b *cos(β-90°)

5. Kuidas leida trapetsi kõrgust, kui on teada ainult sissekirjutatud ringi raadius? Ringi definitsiooni järgi puudutab see iga aluse ühte punkti. Lisaks on need punktid ühel joonel ringi keskpunktiga. Sellest järeldub, et nende vaheline kaugus on trapetsi läbimõõt ja samal ajal kõrgus. Näeb välja selline:

6. Sageli esineb probleeme, mille puhul on vaja leida võrdhaarse trapetsi kõrgus. Tuletame meelde, et võrdsete külgedega trapetsi nimetatakse võrdhaarseks. Kuidas leida võrdhaarse trapetsi kõrgust? Perpendikulaarsete diagonaalide korral võrdub kõrgus poolega aluste summast.

Aga mis siis, kui diagonaalid pole risti? Vaatleme võrdhaarse trapetsi ABCD. Oma omaduste järgi on alused paralleelsed. Sellest järeldub, et ka aluste nurgad on võrdsed. Joonistame kaks kõrgust BF ja CM. Eelneva põhjal võime väita, et kolmnurgad ABF ja DCM on võrdsed, st AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Nüüd otsustame ülesande tingimuste põhjal teadaolevad väärtused ja alles siis leida kõrgus, võttes arvesse kõiki võrdhaarse trapetsi omadusi.

Geomeetria on üks teadustest, millega inimesed praktikas peaaegu iga päev kokku puutuvad. Erinevate geomeetriliste kujundite hulgas väärib trapets erilist tähelepanu. See on nelja küljega kumer kujund, millest kaks on üksteisega paralleelsed. Viimaseid nimetatakse alusteks ja ülejäänud kahte külgedeks. Alustega risti olev ja nendevahelise pilu suuruse määrav segment on trapetsi kõrgus. Kuidas selle pikkust arvutada?

Leidke suvalise trapetsi kõrgus

Figuuri kõrguse määramine on algandmete põhjal võimalik mitmel viisil.

Tuntud piirkond

Kui paralleelsete külgede pikkus on teada ja näidatud on ka joonise pindala, saate soovitud risti määramiseks kasutada järgmist suhet:

S=h*(a+b)/2,
h – soovitud väärtus (kõrgus),
S – kujundi pindala,
a ja b on üksteisega paralleelsed küljed.
Ülaltoodud valemist järeldub, et h=2S/(a+b).

Keskjoone väärtus on teada

Kui algandmete hulgas on lisaks trapetsi pindalale (S) teada ka selle keskjoone pikkus (l), siis on arvutusteks kasulik veel üks valem. Esiteks tasub selgitada, mis on seda tüüpi nelinurga keskjoon. Mõiste määratleb sirgjoone osa, mis ühendab joonise külgmiste külgede keskpunkte.

Lähtudes trapetsi omadusest l=(a+b)/2,
l – keskjoon,
a, b – nelinurga aluse küljed.
Seega h=2S/(a+b)=S/l.

Figuuri 4 külge on teada

IN sel juhul Aitab Pythagorase teoreem. Olles langetanud ristid suuremale külgalusele, kasutage seda kahe saadud täisnurkse kolmnurga jaoks. Lõplik avaldis näeb välja selline:

h=√c 2-(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,


c ja d – 2 teist külge.

Nurgad põhjas

Kui teil on andmeid baasnurkade kohta, kasutage trigonomeetrilisi funktsioone.

h = c* sinα = d*sinβ,

α ja β on nelinurga aluse nurgad,
c ja d on selle küljed.

Figuuri diagonaalid ja neid ristuvad nurgad

Diagonaali pikkus on joonise vastassuunalisi tippe ühendava lõigu pikkus. Tähistame need suurused sümbolitega d1 ja d2 ning nendevahelised nurgad γ ja φ. Seejärel:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a ja b on joonise aluse küljed,
d1 ja d2 on trapetsi diagonaalid,
γ ja φ on diagonaalide vahelised nurgad.

Figuuri kõrgus ja sellesse kantud ringi raadius

Nagu seda tüüpi ringi määratlusest tuleneb, puudutab see iga alust ühes punktis, mis on osa ühest sirgest. Seetõttu on nende vaheline kaugus läbimõõt – figuuri soovitud kõrgus. Ja kuna läbimõõt on kaks korda suurem raadiusest, siis:

h = 2 * r,
r on sellesse trapetsi kantud ringi raadius.

Leidke võrdhaarse trapetsi kõrgus

  • Nagu sõnastusest tuleneb, on võrdhaarse trapetsi iseloomulik tunnus selle külgmiste külgede võrdsus. Seetõttu kasutage joonise kõrguse leidmiseks selle väärtuse määramise valemit juhul, kui trapetsi küljed on teada.

Seega, kui c = d, siis h = √c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2-(a-b) 2 /4,
a, b – nelinurga põhjaküljed,
c = d – selle küljed.

  • Kui kahe külje (põhi ja külg) moodustavad nurgad, määratakse trapetsi kõrgus järgmise suhtega:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b–a)/2,

α – nurk joonise põhjas,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – selle küljed.

  • Kui on antud joonise diagonaalide väärtused, siis kujundi kõrguse leidmise avaldis muutub, sest d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.


Trapets on reljeefne nelinurk, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitteparalleelsed. Kui nelinurga kõik vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, siis on tegemist rööpkülikuga.

Sa vajad

  • – trapetsi kõik küljed (AB, BC, CD, DA).

Juhised

1. Mitteparalleelne küljed trapetsid nimetatakse külgmisteks külgedeks ja paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Aluste vaheline joon, nendega risti - kõrgus trapetsid. Kui külgmine küljed trapetsid on võrdsed, siis nimetatakse seda võrdhaarseks. Kõigepealt vaatame lahendust trapetsid, mis ei ole võrdhaarne.

2. Tõmmake joonelõik BE punktist B küljega paralleelselt alumise aluseni AD trapetsid CD. Kuna BE ja CD on paralleelsed ja tõmmatud paralleelsete aluste vahele trapetsid BC ja DA, siis BCDE on rööpkülik ja selle vastand küljed BE ja CD on võrdsed. BE = CD.

3. Vaata kolmnurka ABE. Arvutage külg AE. AE=AD-ED. Põhjused trapetsid BC ja AD on teada ning rööpküliku BCDE on vastandlikud küljed ED ja BC on võrdsed. ED=BC, seega AE=AD-BC.

4. Nüüd leidke kolmnurga ABE pindala Heroni valemi abil, arvutades poolperimeetri. S=juur(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Selles valemis on p kolmnurga ABE poolperimeeter. p=1/2*(AB+BE+AE). Pindala arvutamiseks on sul teada kõik vajalikud andmed: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Väljendage sellest valemist kolmnurga kõrgus, mis on ühtlasi ka kõrgus trapetsid. BH=2*S/AE. Arvutage see välja.

7. Kui trapets on võrdhaarne, saab lahenduse teostada erinevalt. Vaadake kolmnurka ABH. See on ristkülikukujuline, kuna üks nurkadest, BHA, on õige.

8. Joonistage kõrgus CF tipust C.

9. Uurige HBCF-i joonist. HBCF ristkülik, sest neid on kaks küljed on kõrgused ja ülejäänud kaks on alused trapetsid, see tähendab, et nurgad on õiged ja vastupidised küljed paralleelselt. See tähendab, et BC=HF.

10. Vaadake täisnurkseid kolmnurki ABH ja FCD. Nurgad kõrgustel BHA ja CFD on täisnurgad ja külgmised nurgad küljed x BAH ja CDF on võrdsed, kuna trapets ABCD on võrdhaarne, mis tähendab, et kolmnurgad on sarnased. Kuna kõrgused BH ja CF on võrdsed või külgmised küljed võrdhaarne trapetsid AB ja CD on kongruentsed, siis on sarnased kolmnurgad kongruentsed. Nii et nemad küljed AH ja FD on samuti võrdsed.

11. Avastage AH. AH+FD=AD-HF. Sest rööpkülikult HF=BC ja kolmnurkadest AH=FD, siis AH=(AD-BC)*1/2.

Trapets – geomeetriline kujund, mis on nelinurk, mille kaks külge, mida nimetatakse alusteks, on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed. Neid nimetatakse külgedeks trapetsid. Läbi külgmiste külgede keskpunktide tõmmatud lõiku nimetatakse keskjooneks trapetsid. Trapetsil võivad olla erinevad küljepikkused või identsed, sel juhul nimetatakse seda võrdhaarseks. Kui üks külgedest on alusega risti, on trapets ristkülikukujuline. Kuid palju praktilisem on teada, kuidas tuvastada ruut trapetsid .

Sa vajad

  • Millimeetrijaotusega joonlaud

Juhised

1. Mõõtke kõik küljed trapetsid: AB, BC, CD ja DA. Salvestage oma mõõtmised.

2. Lõigul AB märgi keskpunkt K. Lõigul DA märgi punkt L, mis asub samuti lõigu AD keskel. Kombineerige punktid K ja L, saadud lõik KL on keskjoon trapetsid ABCD. Mõõtke segment KL.

3. Algusest trapetsid– viska C, langeta lõigul CE risti selle aluse AD suhtes. Sellest saab kõrgus trapetsid ABCD. Mõõtke segment CE.

4. Nimetagem siis lõiku KL täheks m ja lõiku CE täheks h ruut S trapetsid ABCD arvutatakse valemiga: S=m*h, kus m on keskjoon trapetsid ABCD, h – kõrgus trapetsid ABCD.

5. On veel üks valem, mis võimaldab teil arvutada ruut trapetsid ABCD. Alumine alus trapetsid- Nimetagem AD täheks b ja ülemist alust BC täheks a. Pindala määratakse valemiga S=1/2*(a+b)*h, kus a ja b on alused trapetsid, h – kõrgus trapetsid .

Video teemal

Vihje 3: kuidas leida trapetsi kõrgust, kui pindala on teada

Trapets on nelinurk, mille kaks külge neljast on üksteisega paralleelsed. Selle aluseks on paralleelsed küljed trapetsid, ülejäänud kaks on selle külgmised küljed trapetsid. Avastage kõrgus trapetsid, kui teate selle piirkonda, on see väga lihtne.

Juhised

1. Peame välja mõtlema, kuidas initsiaali pindala arvutada trapetsid. Selle jaoks on mitu valemit, olenevalt algandmetest: S = ((a+b)*h)/2, kus a ja b on aluste pikkused trapetsid, ja h on selle kõrgus (Height trapetsid– risti, ühest alusest alla lastud trapetsid teisele);S = m*h, kus m on keskmine joon trapetsid(Keskmine joon on alustega paralleelne segment trapetsid ja ühendades selle külgede keskpunktid).

2. Nüüd, teades pindala arvutamise valemeid trapetsid, neist on lubatud kõrguse leidmiseks uusi tuletada trapetsid:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Sarnaste ülesannete lahendamise selgemaks tegemiseks võite vaadata näiteid: Näide 1: Antud trapets, mille pindala on 68 cm?, mille keskjoon on 8 cm, tuleb leida kõrgus antud trapetsid. Selleks, et otsustada see ülesanne, peate kasutama eelnevalt tuletatud valemit: h = 68/8 = 8,5 cm Vastus: selle kõrgus trapetsid on 8,5 cm. Näide 2: Olgu y trapetsid pindala on 120 cm?, aluste pikkus on antud trapetsid on vastavalt 8 cm ja 12 cm, on vaja tuvastada kõrgus see trapetsid. Selleks tuleb rakendada ühte tuletatud valemitest:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmVastus: antud kõrgus trapetsid võrdne 12 cm

Video teemal

Märge!
Igal trapetsil on mitmeid omadusi: - trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast - trapetsi diagonaale ühendav segment on võrdne poolega selle aluste erinevusest; on tõmmatud läbi aluste keskpunktide, siis lõikub trapetsi diagonaalide lõikepunktiga - Trapetsi saab kirjutada ringi, kui antud trapetsi aluste summa on võrdne selle trapetsi aluste summaga; küljed Kasutage neid omadusi probleemide lahendamisel.

Vihje 4: kuidas leida kolmnurga kõrgus punktide koordinaatide alusel

Kolmnurga kõrgus on sirge lõik, mis ühendab joonise tipu vastasküljega. See segment peab tingimata olema küljega risti, seetõttu on igast tipust lubatud joonistada ainult üks kõrgus. Kuna sellel joonisel on kolm tippu, on seal sama palju kõrgusi. Kui kolmnurk on antud selle tippude koordinaatidega, saab iga kõrguse pikkuse arvutada näiteks pindala leidmise ja külgede pikkuste arvutamise valemi abil.

Juhised

1. Arvutustes lähtuge sellest, et ala kolmnurk on võrdne poolega selle kummagi külje pikkusest sellele küljele langetatud kõrguse pikkusega. Sellest määratlusest järeldub, et kõrguse leidmiseks peate teadma kujundi pindala ja külje pikkust.

2. Alustage külgede pikkuste arvutamisega kolmnurk. Märgistage joonise tippude koordinaadid järgmiselt: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) ja C(X?,Y?,Z?). Seejärel saab külje AB pikkuse arvutada valemiga AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Ülejäänud kahe külje puhul näevad need valemid välja järgmised: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) ja AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?) + (Z?-Z?)?). Ütleme selle eest kolmnurk koordinaatidega A(3,5,7), B(16,14,19) ja C(1,2,13) ​​on külje AB pikkus?((3-16)? + (5-14) )? + (7-19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) =?394? 19.85. Samal meetodil arvutatud külgede BC ja AC pikkused on võrdsed?(15? + 12? + 6?) =?405? 20,12 ja ?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Pindala arvutamiseks piisab eelmises etapis saadud 3 külje pikkuse teadmisest kolmnurk(S) vastavalt Heroni valemile: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Oletame, et pärast selle valemi asendamist koordinaatidest saadud väärtused kolmnurk-eelmise sammu näide, annab see valem järgmise väärtuse: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 .12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Pindala põhjal kolmnurk, mis arvutati eelmises etapis, ja teises etapis saadud külgede pikkused, arvutage iga külje kõrgused. Kuna pindala on võrdne poole kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisega, millele see on tõmmatud, jagage kõrguse leidmiseks kahekordistunud pindala vajaliku külje pikkusega: H = 2*S/a. Ülaltoodud näite puhul on küljele AB langetatud kõrgus 2*68.815/16.09? 8.55, kõrgus BC-küljele on 2*68.815/20.12? 6,84 ja vahelduvvoolu poolel on see väärtus 2*68,815/7? 19.66.

Matemaatikas tuntakse mitut tüüpi nelinurki: ruut, ristkülik, romb, rööpkülik. Nende hulgas on trapets - kumerate nelinurkade tüüp, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitte. Paralleelseid vastaskülgi nimetatakse alusteks ja kahte ülejäänud trapetsi külgkülgedeks. Segmenti, mis ühendab külgede keskpunkte, nimetatakse keskjooneks. Trapetse on mitut tüüpi: võrdhaarsed, ristkülikukujulised, kõverad. Iga trapetsitüübi jaoks on olemas valemid ala leidmiseks.

Trapetsi pindala

Trapetsi pindala leidmiseks peate teadma selle aluste pikkust ja kõrgust. Trapetsi kõrgus on alustega risti olev segment. Olgu ülemine alus a, alumine alus b ja kõrgus h. Seejärel saate arvutada pindala S järgmise valemi abil:

S = ½ * (a+b) * h

need. võtke pool aluste summast, mis on korrutatud kõrgusega.

Samuti on võimalik arvutada trapetsi pindala, kui kõrgus ja keskjoon on teada. Tähistame keskmist joont - m. Siis

Lahendame keerulisema ülesande: on teada trapetsi nelja külje pikkused - a, b, c, d. Seejärel leitakse ala järgmise valemi abil:


Kui diagonaalide pikkused ja nendevaheline nurk on teada, siis otsitakse ala järgmiselt:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

kus d indeksitega 1 ja 2 on diagonaalid. Selles valemis on arvutuses antud nurga siinus.

Arvestades aluste a ja b teadaolevaid pikkusi ning alumise aluse kahte nurka, arvutatakse pindala järgmiselt:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Võrdhaarse trapetsi pindala

Võrdhaarne trapets on erijuhtum trapetsid. Selle erinevus seisneb selles, et selline trapets on kumer nelinurk, mille sümmeetriatelg läbib kahe vastaskülje keskpunkte. Selle küljed on võrdsed.


Võrdhaarse trapetsi pindala leidmiseks on mitu võimalust.

  • Läbi kolme külje pikkuse. Sel juhul kattuvad külgede pikkused, seetõttu tähistatakse neid ühe väärtusega - c ning a ja b - aluste pikkusega:

  • Kui on teada ülemise aluse pikkus, külg ja nurk alumise aluse juures, arvutatakse pindala järgmiselt:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kus a on ülemine alus, c on külg.

  • Kui ülemise aluse asemel on teada alumise pikkus - b, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

  • Kui kaks alust ja alumise aluse nurk on teada, arvutatakse pindala nurga puutuja kaudu:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

  • Pindala arvutatakse ka diagonaalide ja nendevahelise nurga kaudu. Sel juhul on diagonaalid võrdse pikkusega, seega tähistame neid iga d-tähega ilma alaindeksiteta:

S = ½ * d2 * sin α

  • Arvutame trapetsi pindala, teades külje pikkust, keskjoont ja nurka põhjas.

Olgu külgkülg c, keskjoon m ja nurk a, siis:

S = m * c * sin α

Mõnikord saate võrdkülgse trapetsi sisse kirjutada ringi, mille raadius on r.


On teada, et ringi saab kirjutada igasse trapetsi, kui aluste pikkuste summa on võrdne selle külgede pikkuste summaga. Siis saab ala leida läbi sisse kirjutatud ringi raadiuse ja nurga alumises aluse juures:

S = 4r2 / sinα

Sama arvutus tehakse sisse kirjutatud ringi D läbimõõduga (muide, see langeb kokku trapetsi kõrgusega):

Teades alust ja nurka, arvutatakse võrdhaarse trapetsi pindala järgmiselt:

S = a * b / sin α

(see ja järgnevad valemid kehtivad ainult sisse kirjutatud ringiga trapetsidele).


Kasutades ringi aluseid ja raadiust, leitakse ala järgmiselt:

Kui on teada ainult alused, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:


Läbi aluste ja külgjoon Trapetsi pindala koos sisse kirjutatud ringiga ja läbi aluste ja keskjoone - m arvutatakse järgmiselt:

Ruut ristkülikukujuline trapets

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, kui üks selle külgedest on alusega risti. Sel juhul langeb külje pikkus kokku trapetsi kõrgusega.

Ristkülikukujuline trapets koosneb ruudust ja kolmnurgast. Olles leidnud iga figuuri pindala, liidage tulemused ja saate joonise kogupindala.


Samuti sobivad ristkülikukujulise trapetsi pindala arvutamiseks üldvalemid trapetsi pindala arvutamiseks.

  • Kui aluste pikkused ja kõrgus (või risti asetsev külgkülg) on ​​teada, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:

S = (a + b) * h / 2

Külgkülg c võib toimida kui h (kõrgus). Siis näeb valem välja selline:

S = (a + b) * c / 2

  • Teine võimalus pindala arvutamiseks on keskjoone pikkuse korrutamine kõrgusega:

või külgmise risti oleva külje pikkuse järgi:

  • Järgmine arvutamisviis on pool diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest:

S = ½ * d1 * d2 * sin α


Kui diagonaalid on risti, siis lihtsustub valem järgmiselt:

S = ½ * d1 * d2

  • Teine võimalus arvutamiseks on poolperimeeter (kahe vastaskülje pikkuste summa) ja sisse kirjutatud ringi raadius.

See valem kehtib aluste jaoks. Kui võtame külgede pikkused, võrdub üks neist kahekordse raadiusega. Valem näeb välja selline:

S = (2r + c) * r

  • Kui trapetsis on ringjoon, arvutatakse pindala samal viisil:

kus m on keskjoone pikkus.

Kumera trapetsi pindala

Kumer trapets on lame figuur, mis on piiratud mittenegatiivse pideva funktsiooni y = f(x) graafikuga, mis on defineeritud lõigul , abstsisstelljel ja sirgtel x = a, x = b. Sisuliselt on selle kaks külge paralleelsed (alused), kolmas külg on alustega risti ja neljas on funktsiooni graafikule vastav kõver.


Kõverajoonelise trapetsi pindala otsitakse integraali kaudu Newtoni-Leibnizi valemi abil:


Nii arvutatakse pindalad erinevat tüüpi trapetsikujuline. Kuid lisaks külgede omadustele on trapetsidel samad nurkade omadused. Nagu kõik olemasolevad nelinurgad, summa sisemised nurgad trapets on 360 kraadi. Ja küljega külgnevate nurkade summa on 180 kraadi.