Lõplik aritmeetiline progressioon. Kuidas leida aritmeetilise progressiooni erinevust: valemid ja lahendusnäited

Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)

Milles iga järgnev termin erineb eelmisest uue terminiga, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi

Aritmeetilise progressiooni omadused

1) Aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Sellel teoreetiline materjal lõpeb ja liigume edasi levinud probleemide lahendamiseni praktikas.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt meie seisukorrale

Määrame edenemise etapi

Kõrval tuntud valem leida progressiooni neljakümnes liige

Näide 2. Aritmeetiline progressioon on antud selle kolmanda ja seitsmenda terminiga. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid

Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige

Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa

Keerulisi arvutusi kasutamata leidsime kõik vajalikud kogused.

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Edasimineku summa on 250.

Näide 4.

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv

Teostame lihtsustusi

ja otsustada ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5.

Lahenda võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse

Mõned inimesed suhtuvad sõna "edenemine" ettevaatusega kui väga keerukasse terminisse kõrgema matemaatika harudest. Vahepeal on lihtsaim aritmeetiline progressioon taksomeetri töö (kus need veel olemas on). Ja aritmeetilise jada olemuse mõistmine (ja matemaatikas pole midagi tähtsamat kui "olemuse mõistmine") polegi nii keeruline, kui analüüsinud mõnda elementaarset mõistet.

Matemaatiline numbrijada

Numbrijada nimetatakse tavaliselt numbrite jadaks, millest igaühel on oma number.

a 1 on jada esimene liige;

ja 2 on jada teine liige;

ja 7 on jada seitsmes liige;

ja n on jada n-s liige;

Kuid mitte ükski suvaline arvude ja arvude kogum ei huvita meid. Keskendume oma tähelepanu numbrilisele jadale, milles n-nda liikme väärtus on seotud tema järjekorranumbriga matemaatiliselt selgelt formuleeritava seosega. Teisisõnu: n-nda arvu arvväärtus on mingi n-i funktsioon.

a on arvjada liikme väärtus;

n on selle seerianumber;

f(n) on funktsioon, kus järjekorraarv arvjadas n on argument.

Definitsioon

Aritmeetiliseks progressiooniks nimetatakse tavaliselt arvjada, milles iga järgnev liige on sama arvu võrra suurem (väiksem) kui eelmine liige. Aritmeetilise jada n-nda liikme valem on järgmine:

a n - aritmeetilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

a n+1 - järgmise arvu valem;

d - erinevus (teatud arv).

Lihtne on kindlaks teha, et kui erinevus on positiivne (d>0), siis iga järgmine vaadeldava jada liige on suurem kui eelmine ja selline aritmeetiline progressioon on kasvav.

Alloleval graafikul on lihtne mõista, miks numbrijada nimetatakse "kasvavaks".

Juhtudel, kui erinevus on negatiivne (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Määratud liikme väärtus

Mõnikord on vaja määrata aritmeetilise progressiooni suvalise liikme a n väärtus. Seda saab teha, arvutades järjestikku aritmeetilise progressiooni kõigi liikmete väärtused, alustades esimesest kuni soovitud. See tee ei ole aga alati vastuvõetav, kui on vaja leida näiteks viietuhandik või kaheksamiljondikliikme väärtus. Traditsioonilised arvutused võtavad palju aega. Konkreetset aritmeetilist progressiooni saab aga uurida teatud valemite abil. Samuti on olemas valem n-nda liikme jaoks: aritmeetilise progressiooni mis tahes liikme väärtuse saab määrata progressiooni esimese liikme summana progressiooni erinevusega, korrutatuna soovitud liikme arvuga, mis on lahutatud üks.

Valem on universaalne progresseerumise suurendamiseks ja vähendamiseks.

Näide antud termini väärtuse arvutamisest

Lahendame järgmise aritmeetilise progressiooni n-nda liikme väärtuse leidmise ülesande.

Tingimus: on olemas aritmeetiline progressioon parameetritega:

Jada esimene liige on 3;

Arvuridade erinevus on 1,2.

Ülesanne: peate leidma 214 termini väärtuse

Lahendus: antud termini väärtuse määramiseks kasutame valemit:

a(n) = a1 + d(n-1)

Asendades probleemiavalduse andmed avaldisesse, saame:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Vastus: jada 214. liige on võrdne 258,6-ga.

Selle arvutusmeetodi eelised on ilmsed - kogu lahendus ei võta rohkem kui 2 rida.

Teatud arvu terminite summa

Väga sageli on antud aritmeetilises seerias vaja kindlaks määrata mõne selle segmendi väärtuste summa. Selleks pole vaja ka iga termini väärtusi arvutada ja neid seejärel kokku liita. See meetod on rakendatav, kui terminite arv, mille summat on vaja leida, on väike. Muudel juhtudel on mugavam kasutada järgmist valemit.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa 1-st n-ni võrdub esimese ja n-nda liikme summaga, mis on korrutatud liikme arvuga n ja jagatud kahega. Kui valemis asendatakse n-nda liikme väärtus artikli eelmise lõigu avaldisega, saame:

Arvutamise näide

Näiteks lahendame probleemi järgmiste tingimustega:

Jada esimene liige on null;

Vahe on 0,5.

Probleem nõuab seeria tingimuste summa määramist vahemikus 56 kuni 101.

Lahendus. Kasutame progresseerumise suuruse määramiseks valemit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Esiteks määrame progressiooni 101 liikme väärtuste summa, asendades meie probleemi antud tingimused valemiga:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Ilmselt tuleb 56.-st 101.-ni progresseerumise liikmete summa väljaselgitamiseks lahutada S 101-st S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Seega on selle näite aritmeetilise progressiooni summa:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Näide aritmeetilise progressiooni praktilisest rakendamisest

Artikli lõpus pöördume tagasi esimeses lõigus toodud aritmeetilise jada näite juurde - taksomeeter (taksoauto arvesti). Vaatleme seda näidet.

Takso (sisaldab 3 km sõitu) istumine maksab 50 rubla. Iga järgnev kilomeeter makstakse 22 rubla/km. Sõidukaugus on 30 km. Arvutage reisi maksumus.

1. Loobume esimesed 3 km, mille hind sisaldub maandumiskulus.

30 - 3 = 27 km.

2. Edasine arvutamine ei ole midagi muud kui aritmeetilise numbrirea sõelumine.

Liikmenumber – läbitud kilomeetrite arv (miinus kolm esimest).

Liikme väärtus on summa.

Selle ülesande esimene liige on 1 = 50 rubla.

Progressiooni erinevus d = 22 r.

meid huvitav number on aritmeetilise progressiooni (27+1) liikme väärtus - meetri näit 27. kilomeetri lõpus on 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Suvaliselt pika perioodi kalendriandmete arvutused põhinevad teatud arvulisi jadasid kirjeldavatel valemitel. Astronoomias on orbiidi pikkus geomeetriliselt sõltuv taevakeha kaugusest tähest. Lisaks kasutatakse erinevaid arvuridu edukalt statistikas ja muudes matemaatika rakendusvaldkondades.

Teine numbrijada tüüp on geomeetriline

Geomeetrilist progressiooni iseloomustavad suuremad muutused võrreldes aritmeetilise progressiooniga. Pole juhus, et poliitikas, sotsioloogias ja meditsiinis öeldakse, et protsess areneb geomeetrilises progressioonis, et näidata konkreetse nähtuse, näiteks haiguse epideemia ajal suurt leviku kiirust.

Geomeetrilise arvu jada N liige erineb eelmisest selle poolest, et see on korrutatud mingi konstantse arvuga - nimetaja, näiteks esimene liige on 1, nimetaja on vastavalt võrdne 2-ga, siis:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geomeetrilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

b n+1 - geomeetrilise progressiooni järgmise liikme valem;

q on geomeetrilise progressiooni nimetaja (konstantne arv).

Kui aritmeetilise progressiooni graafik on sirgjoon, siis geomeetriline progressioon annab veidi teistsuguse pildi:

Nagu aritmeetika puhul, on geomeetrilisel progressioonil suvalise liikme väärtuse valem. Geomeetrilise progressiooni mis tahes n-s liige on võrdne esimese liikme ja progressi nimetaja korrutisega n astmeni, mida on vähendatud ühega:

Näide. Meil on geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 3 ja progressiooni nimetaja on 1,5. Leiame progressiooni 5. liikme

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Spetsiaalse valemi abil arvutatakse ka teatud arvu terminite summa. Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa on võrdne progressiooni n-nda liikme ja selle nimetaja korrutise ning progressiooni esimese liikme korrutise vahega, mis on jagatud nimetajaga, mis on vähendatud ühega:

Kui b n asendatakse ülalkirjeldatud valemiga, on vaadeldava arvurea esimese n liikme summa väärtus järgmine:

Näide. Geomeetriline progressioon algab esimese liikmega, mis on võrdne 1-ga. Nimetajaks on seatud 3. Leiame esimese kaheksa liikme summa.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :)

Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemine cap-evidence ütleb mulle, et te ei tea veel, mis on aritmeetiline progressioon, aga te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade sissejuhatustega ja asun otse asja juurde.

Esiteks paar näidet. Vaatame mitut numbrite komplekti:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.

Otsustage ise. Esimene komplekt koosneb lihtsalt järjestikustest numbritest, millest iga järgmine on ühe võrra suurem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba viis, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldse olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ja $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. ja sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).

Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse aritmeetilisteks progressioonideks. Anname range määratluse:

Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.

Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.

Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist tellitud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Numbreid ei saa ümber paigutada ega vahetada.

Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui sa kirjutad midagi vaimus (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõputu edasiminek. Ellips pärast nelja näib vihjavat, et tulemas on veel päris palju numbreid. Lõpmatult palju näiteks. :)

Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine võib suureneda või väheneda. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:

Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:

suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;

väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.

Lisaks on olemas nn statsionaarsed jadad - need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).

Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:

Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine suureneb;
Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
Lõpuks on juhtum $d=0$ – sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta kaks kõrvuti asetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest numbrist vasakpoolne arv. See näeb välja selline:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Nagu näeme, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tegelikult negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme määratlused enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas edenemist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.

Progressioonitingimused ja kordumise valem

Kuna meie jadade elemente ei saa vahetada, saab neid nummerdada:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \õige$\]

Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistab number: esimene liige, teine liige jne.

Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberterminid seotud valemiga:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Seda valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi) teades. See on väga ebamugav, seetõttu on olemas kavalam valem, mis vähendab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tõenäoliselt olete selle valemiga juba kohanud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja lahendusraamatutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.

Siiski soovitan teil veidi harjutada.

Ülesanne nr 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progressiooni erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]

Vastus: (8; 3; −2)

See on kõik! Pange tähele: meie areng väheneb.

Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimene termin on meile juba teada. Ühtsust asendades olime aga veendunud, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.

Ülesanne nr 2. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on –40 ja seitsmeteistkümnes liige –50.

Lahendus. Kirjutame probleemiseisundi tuttavate sõnadega:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]

Panin süsteemimärgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Pangem nüüd tähele, et kui lahutame teisest võrrandist esimese (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]

Nii lihtne on leida progresseerumise erinevust! Jääb üle vaid asendada leitud arv süsteemi mis tahes võrrandiga. Näiteks esimeses:

\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]

Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ja kolmas termin:

\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]

Valmis! Probleem on lahendatud.

Vastus: (-34; -35; -36)

Pange tähele meie avastatud huvitavat progressiooni omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse, mis on korrutatud arvuga $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Lihtne, kuid väga kasulik omadus, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progressiooniprobleemide lahendamist. Siin on selle selge näide:

Ülesanne nr 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.

Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]

Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, millest saame:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]

Vastus: 20.4

See on kõik! Meil ei olnud vaja luua võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust - kõik lahendati vaid paari reaga.

Vaatame nüüd teist tüüpi probleeme – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete terminite otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb ja selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.

Samas pole elemente järjestikku läbides alati võimalik seda hetke “otspidi” leida. Tihti on ülesanded kirja pandud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu paberilehte – vastuse leidmise ajaks jääksime lihtsalt magama. Seetõttu proovime neid probleeme kiiremini lahendada.

Ülesanne nr 4. Mitu negatiivset liiget on aritmeetilises progressioonis −38,5; −35,8; ...?

Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kust leiame kohe vahe:

Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.

Proovime välja selgitada, kui kauaks (st millise naturaalarvuni $n$) püsib terminite negatiivsus:

\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]

Viimane rida nõuab mõningast selgitust. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest rahuldume ainult arvu täisarvu väärtustega (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), nii et suurim lubatud arv on täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16 .

Ülesanne nr 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.

See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:

Lisaks proovime väljendada viiendat liiget esimese kaudu ja erinevust standardvalemi abil:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]

Nüüd jätkame analoogselt eelmise ülesandega. Uurime välja, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]

Selle ebavõrdsuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.

Pange tähele: viimases ülesandes taandus kõik rangele ebavõrdsusele, seega valik $n=55$ meile ei sobi.

Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt uurime veel ühte väga kasulikku aritmeetilise progressiooni omadust, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)

Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded

Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:

Aritmeetilise progressiooni tingimused arvteljel

Märkisin konkreetselt suvalised terminid $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma teile nüüd räägin, töötab sama kõigi "segmentide" puhul.

Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde korduva valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud terminite jaoks üles:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]

Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]

No mis siis? Ja tõsiasi, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n) hulgast )$ samal kaugusel, mis võrdub $2d$. Võime jätkata lõpmatuseni, kuid tähendust illustreerib hästi pilt

Progressiooni tingimused asuvad keskpunktist samal kaugusel

Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et $((a)_(n))$ võib leida, kui naaberarvud on teada:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Oleme tuletanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Veelgi enam: me saame oma $((a)_(n))$-st vasakule ja paremale tagasi astuda mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra – ja valem jääb ikka õigeks:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Need. leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Kuid praktikas on paljud ülesanded spetsiaalselt kohandatud aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:

Ülesanne nr 6. Leia kõik $x$ väärtused, mille puhul numbrid $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ on järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (näidatud järjekorras).

Lahendus. Kuna need arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskelementi $x+1$ saab väljendada naaberelementidena:

\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]

Tulemuseks on klassikaline ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.

Vastus: −3; 2.

Ülesanne nr 7. Leidke $$ väärtused, mille puhul arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).

Lahendus. Avaldame keskmist liiget taas naaberterminite aritmeetilise keskmise kaudu:

\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]

Jälle ruutvõrrand. Ja jällegi on kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.

Vastus: 1; 6.

Kui probleemi lahendamise käigus jõuate mõne jõhkra numbrini või pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on olemas suurepärane tehnika, mis võimaldab teil kontrollida: kas oleme probleemi õigesti lahendanud?

Oletame, et ülesandes nr 6 saime vastused −3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peavad moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendame $x=-3$:

\[\begin(joona) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]

Saime numbrid −54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:

\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]

Jällegi progressioon, aga vahega 27. Seega sai probleem õigesti lahendatud. Teise probleemi saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.

Üldiselt sattusime viimaste ülesannete lahendamisel veel ühele huvitavale faktile, mida tuleb samuti meeles pidada:

Kui kolm arvu on sellised, et teine on esimese ja viimase aritmeetiline keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.

Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi tingimustest lähtuvalt vajalikud progressid. Kuid enne sellise “ehitamise” tegemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele faktile, mis tuleneb otseselt juba räägitust.

Elementide rühmitamine ja summeerimine

Pöördume uuesti arvtelje juurde. Märgime seal mitu progressi liiget, mille vahel ehk. on väärt paljusid teisi liikmeid:

Numbrireale on märgitud 6 elementi

Proovime väljendada “vasakpoolset saba” läbi $((a)_(n))$ ja $d$ ning “parem saba” läbi $((a)_(k))$ ja $d$. See on väga lihtne:

\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]

Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdsed mingi arvuga $S$, ja seejärel hakata nendest elementidest vastassuundades (üksteise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige selgemalt graafiliselt kujutada:

Võrdsed taanded annavad võrdsed summad

Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:

Ülesanne nr 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.

Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]

Seega me ei tea progresseerumise erinevust $d$. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]

Nende jaoks, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja kogukordaja 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui laiendame sulgusid, saame:

\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]

Nagu näete, on kõrgeima liikme koefitsient 11 - see on positiivne arv, seega on meil tegelikult tegemist ülespoole suunatud harudega parabooliga:

ruutfunktsiooni graafik - parabool
Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeemi abil (seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks märkida et soovitud tipp asub parabooli telje sümmeetrial, seetõttu on punkt $((d)_(0)) $ võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest võrdsel kaugusel:

\[\begin(joonda) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]

Seetõttu ma sulgude avamisega eriti ei kiirustanud: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]

Mida avastatud number meile annab? Sellega omandab vajalik toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud kunagi $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Samas on see arv algse progressiooni erinevus, s.o. leidsime vastuse. :)

Vastus: −36

Ülesanne nr 9. Sisestage numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele kolm arvu, nii et need koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni.

Lahendus. Põhimõtteliselt peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistame puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui me praegu ei saa $y$ numbritest $x$ ja $z$, siis on olukord progressi otstega teistsugune. Meenutagem aritmeetilist keskmist:

Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast

Sarnast põhjendust kasutades leiame ülejäänud arvu:

Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse selles järjekorras, millises järjekorras need tuleb sisestada algsete numbrite vahele.

Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Ülesanne nr 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu numbrit, mis koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui teate, et sisestatud arvu esimese, teise ja viimase summa on 56.

Lahendus. Veelgi keerulisem ülesanne, mis aga lahendatakse sama skeemi järgi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, kui palju numbreid tuleb sisestada. Seetõttu oletame kindluse mõttes, et pärast kõige sisestamist on täpselt $n$ arvud, millest esimene on 2 ja viimane 42. Sel juhul saab vajaliku aritmeetilise progressiooni esitada kujul:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Pange tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42 servades ühe sammu võrra üksteise suunas, st . jada keskele. Ja see tähendab seda

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Kuid siis saab ülal kirjutatud väljendi ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]

Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progressi erinevuse:

\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]

Jääb üle vaid leida ülejäänud terminid:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]

Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sõnaprobleemid edenemisega

Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nii lihtne: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need probleemid tunduda rasked. Sellegipoolest ilmnevad sellised probleemid OGE-s ja matemaatika ühtsel riigieksamil, seega soovitan teil nendega tutvuda.

Ülesanne nr 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel kuul. Mitu osa tootis meeskond novembris?

Lahendus. Ilmselt tähistab kuude kaupa loetletud osade arv kasvavat aritmeetilist progressiooni. Enamgi veel:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]

November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Seetõttu toodetakse novembris 202 osa.

Ülesanne nr 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja igal järgneval kuul 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?

Lahendus. Kõik on sama:

$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$

Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.

Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni "noore võitleja kursuse". Võite julgelt liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime edenemise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.

Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadusi – progressiooni. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.

Aritmeetiline progressioon on arvväärtuste jada, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates teisest, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva termini erinevus – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Progressi erinevus: määratlus

Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub naturaalarvude hulka N. Aritmeetika progressioon on oma definitsiooni järgi jada , milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.

d = a(j) – a(j-1).

Esiletõstmine:

Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid

Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg

See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.

Progressi vahe ja selle summa

Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Juhised

Aritmeetiline progressioon on jada kujul a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Number d samm progresseerumist.On ilmne, et aritmeetika suvalise n-nda liikme üldine progresseerumist on kujul: An = A1+(n-1)d. Siis teades üht liiget progresseerumist, liige progresseerumist ja astuda progresseerumist, saate ehk edenemisliikme number. Ilmselt määratakse see valemiga n = (An-A1+d)/d.

Olgu nüüd m-s tähtaeg teada progresseerumist ja veel üks liige progresseerumist- n-s, aga n, nagu sees eelmine juhtum, kuid on teada, et n ja m ei lange kokku progresseerumist saab arvutada valemiga: d = (An-Am)/(n-m). Siis n = (An-Am+md)/d.

Kui aritmeetilise võrrandi mitme elemendi summa on teada progresseerumist, samuti selle esimene ja viimane, siis saab määrata ka nende elementide arvu Aritmeetika summa progresseerumist on võrdne: S = ((A1+An)/2)n. Siis n = 2S/(A1+An) - chdenov progresseerumist. Kasutades asjaolu, et An = A1+(n-1)d, saab selle valemi ümber kirjutada järgmiselt: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Sellest saame ruutvõrrandi lahendamisega väljendada n.

Aritmeetiline jada on järjestatud arvude hulk, mille iga liige, välja arvatud esimene, erineb eelmisest sama palju. Seda konstantset väärtust nimetatakse progressiooni või selle astme erinevuseks ja seda saab arvutada aritmeetilise progressiooni teadaolevate liikmete põhjal.

Juhised

Kui ülesande tingimustest on teada esimese ja teise või mõne muu külgneva termini paari väärtused, lahutage erinevuse (d) arvutamiseks lihtsalt eelmine järgmisest liikmest. Saadud väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne arv- see sõltub sellest, kas progresseerumine suureneb. IN üldine vorm kirjutage progressiooni naaberliikmete suvaliselt valitud paari (aᵢ ja aᵢ₊₁) lahend järgmiselt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Sellise progressi liikmepaari jaoks, millest üks on esimene (a₁) ja teine on mis tahes muu suvaliselt valitud, on võimalik luua ka valem erinevuse (d) leidmiseks. Kuid sel juhul peab olema teada jada suvaliselt valitud liikme seerianumber (i). Erinevuse arvutamiseks liidage mõlemad arvud ja jagage saadud tulemus suvalise liikme järgarvuga, mida on vähendatud ühega. IN üldine vaade kirjuta see valem järgmiselt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Kui lisaks järjenumbriga i aritmeetilise progressiooni suvalisele liikmele on teada veel üks järgarvuga u liige, siis muuda vastavalt eelmise sammu valemit. Sel juhul on progressiooni erinevus (d) nende kahe liikme summa jagatud nende järgarvude erinevusega: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Vahe (d) arvutamise valem muutub mõnevõrra keerulisemaks, kui ülesande tingimused annavad selle esimese liikme väärtuse (a₁) ja aritmeetilise jada esimeste liikmete antud arvu (i) summa (Sᵢ). Soovitud väärtuse saamiseks jagage summa selle moodustavate liikmete arvuga, lahutage jada esimese numbri väärtus ja kahekordistage tulemus. Jagage saadud väärtus terminite arvuga, mis moodustavad ühe võrra vähendatud summa. Üldiselt kirjutage diskriminandi arvutamise valem järgmiselt: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).