Logaritmilised võrratused murdosa alustega. Ebavõrdsused. Logaritmilised võrratused. Mis on ODZ? ODZ logaritmiliste võrratuste jaoks
Logaritmvõrrandid ja võrratused matemaatika ühtsel riigieksamil on see pühendatud probleem C3 . Iga õpilane peab õppima lahendama matemaatika ühtse riigieksami C3 ülesandeid, kui ta soovib sooritada eelseisva eksami hindega "hea" või "suurepärane". See artikkel annab lühikese ülevaate sagedamini esinevatest logaritmilistest võrranditest ja võrratustest ning nende lahendamise põhimeetoditest.
Niisiis, vaatame täna mõnda näidet. logaritmilised võrrandid ja võrratused, mida pakuti eelmiste aastate matemaatika ühtsel riigieksamil õpilastele. Kuid see algab lühikokkuvõttega peamistest teoreetilistest punktidest, mida me nende lahendamiseks vajame.
Logaritmiline funktsioon
Definitsioon
Vormi funktsioon
0,\, a\ne 1 \]" title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
helistas logaritmiline funktsioon.
Põhiomadused
Logaritmifunktsiooni põhiomadused y=logi a x:
Logaritmilise funktsiooni graafik on logaritmiline kõver:
Logaritmide omadused
Toote logaritm kaks positiivset arvu on võrdne nende arvude logaritmide summaga:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Jagatise logaritm kaks positiivset arvu on võrdne nende arvude logaritmide erinevusega:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Kui a Ja b a≠ 1, siis mis tahes arvu jaoks r võrdsus on tõsi:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Võrdsus logi a t=logi a s, Kus a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, kehtib siis ja ainult siis t = s.
Kui a, b, c on positiivsed numbrid ja a Ja c erinevad ühtsusest, siis võrdsusest ( valem uuele logaritmialusele liikumiseks):
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
1. teoreem. Kui f(x) > 0 ja g(x) > 0, siis logaritmiline võrrand log a f(x) = log a g(x) (Kus a > 0, a≠ 1) on võrdne võrrandiga f(x) = g(x).
Logaritmvõrrandite ja võrratuste lahendamine
Näide 1. Lahendage võrrand:
Lahendus. Vastuvõetavate väärtuste vahemik hõlmab ainult neid x, mille puhul logaritmimärgi all olev avaldis on suurem kui null. Need väärtused määratakse järgmise võrratuste süsteemiga:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Võttes arvesse, et
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
saame intervalli, mis määrab selle logaritmilise võrrandi lubatud väärtuste vahemiku:
Tuginedes teoreemile 1, mille kõik tingimused on siin täidetud, jätkame järgmise ekvivalentse ruutvõrrandiga:
Vastuvõetavate väärtuste vahemik hõlmab ainult esimest juurt.
Vastus: x = 7.
Näide 2. Lahendage võrrand:
Lahendus. Võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemik määratakse võrratuste süsteemiga:
ql-right-eqno">
Lahendus. Võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemik määratakse siin lihtsalt: x > 0.
Kasutame asendust:
Võrrand muutub:
Vastupidine asendus:
Mõlemad vastama on võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemikus, kuna need on positiivsed arvud.
Näide 4. Lahendage võrrand:
Lahendus. Alustame lahendust uuesti, määrates võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See määratakse järgmise ebavõrdsuse süsteemiga:
ql-right-eqno">
Logaritmide alused on samad, seega saame vastuvõetavate väärtuste vahemikus liikuda järgmise ruutvõrrandi juurde:
Esimene juur ei ole võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemikus, kuid teine on.
Vastus: x = -1.
Näide 5. Lahendage võrrand:
Lahendus. Otsime lahendusi vahepeal x > 0, x≠1. Teisendame võrrandi samaväärseks:
Mõlemad vastama jäävad võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemikku.
Näide 6. Lahendage võrrand:
Lahendus. Võrrandi lubatud väärtuste vahemikku määratlev võrratussüsteem on seekord järgmine:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Kasutades logaritmi omadusi, teisendame võrrandi võrrandiks, mis on vastuvõetavate väärtuste vahemikus ekvivalentne:
Kasutades uuele logaritmialusele liikumise valemit, saame:
Vastuvõetavate väärtuste vahemik sisaldab ainult ühte vastus: x = 4.
Liigume nüüd edasi logaritmilised võrratused . Täpselt sellega peate tegelema matemaatika ühtsel riigieksamil. Edasiste näidete lahendamiseks vajame järgmist teoreemi:
2. teoreem. Kui f(x) > 0 ja g(x) > 0, siis:
juures a> 1 logaritmilise ebavõrdsuse log a f(x) > logi a g(x) võrdub samatähendusliku ebavõrdsusega: f(x) > g(x);
kell 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > logi a g(x) on samaväärne vastupidise tähendusega ebavõrdsusega: f(x) < g(x).
Näide 7. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus. Alustuseks määratleme ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Logaritmilise funktsiooni märgi all olev avaldis peab võtma ainult positiivseid väärtusi. See tähendab, et vastuvõetavate väärtuste nõutav vahemik määratakse järgmise võrratuste süsteemiga:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Kuna logaritmi alus on arv, mis on väiksem kui üks, on vastav logaritmiline funktsioon kahanev ja seetõttu on teoreemi 2 kohaselt üleminek järgmisele ruutvõrratusele ekvivalentne:
Lõpuks, võttes arvesse vastuvõetavate väärtuste vahemikku, saame vastus:
Näide 8. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus. Alustame uuesti vastuvõetavate väärtuste vahemiku määratlemisega:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Ebavõrdsuse lubatavate väärtuste hulgal teostame samaväärseid teisendusi:
Pärast taandamist ja üleminekut ebavõrdsuse ekvivalendile teoreemi 2 abil saame:
Võttes arvesse vastuvõetavate väärtuste vahemikku, saame lõpliku vastus:
Näide 9. Lahendage logaritmiline ebavõrdsus:
Lahendus. Ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik määratakse järgmise süsteemiga:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
On näha, et vastuvõetavate väärtuste vahemikus on logaritmi aluse avaldis alati suurem kui üks ja seetõttu on teoreemi 2 kohaselt üleminek järgmisele ebavõrdsusele samaväärne:
Võttes arvesse vastuvõetavate väärtuste vahemikku, saame lõpliku vastuse:
Näide 10. Lahendage ebavõrdsus:
Lahendus.
Ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik määratakse ebavõrdsuse süsteemiga:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com">!}
Meetod I Kasutame valemit üleminekuks logaritmi uuele alusele ja liigume edasi võrratuse juurde, mis on vastuvõetavate väärtuste vahemikus ekvivalentne.
Logaritmiliste võrratuste lahendamisel kasutame logaritmifunktsiooni monotoonsuse omadust. Kasutame ka logaritmi määratlust ja logaritmilisi põhivalemeid.
Vaatame üle, mis on logaritmid:
Logaritm aluse positiivne arv näitab võimsust, milleni seda tuleb tõsta, et saada .
Kus
Põhilogaritmiline identiteet:
Logaritmide põhivalemid:
(Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga)
(Jagatise logaritm võrdub logaritmide erinevusega)
(Kraadi logaritmi valem)
Uude baasi kolimise valem:
Algoritm logaritmiliste võrratuste lahendamiseks
Võime öelda, et logaritmilised võrratused lahendatakse kindla algoritmi abil. Peame üles kirjutama ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemiku (APV). Taanda ebavõrdsus vormile Märk võib siin olla ükskõik milline: Oluline on, et võrratuses vasakul ja paremal on logaritmid samale alusele.
Ja pärast seda "viskame" logaritmid ära! Veelgi enam, kui alus on kraad, jääb ebavõrdsuse märk samaks. Kui alus on selline, et ebavõrdsuse märk muutub vastupidiseks.
Loomulikult me ei "viska" logaritme lihtsalt ära. Kasutame logaritmilise funktsiooni monotoonsuse omadust. Kui logaritmi alus on suurem kui üks, suureneb logaritmiline funktsioon monotoonselt ja siis vastab avaldise suuremale väärtusele x suurem väärtus.
Kui alus on suurem kui null ja väiksem kui üks, väheneb logaritmiline funktsioon monotoonselt. Argumendi x suurem väärtus vastab väiksemale väärtusele
Oluline märkus: lahendus on kõige parem kirjutada samaväärsete üleminekute ahela kujul.
Liigume edasi praktika juurde. Nagu alati, alustame kõige lihtsamatest ebavõrdsustest.
1. Vaatleme ebavõrdsust log 3 x > log 3 5.
Kuna logaritmid on defineeritud ainult positiivsete arvude jaoks, on vajalik, et x oleks positiivne. Tingimust x > 0 nimetatakse selle võrratuse lubatud väärtuste vahemikuks (APV). Ainult sellise x puhul on ebavõrdsus mõttekas.
Noh, see sõnastus kõlab tormakalt ja seda on lihtne meeles pidada. Aga miks me saame seda ikkagi teha?
Oleme inimesed, meil on intelligentsus. Meie meel on kujundatud nii, et kõik, mis on loogiline, arusaadav ja millel on sisemine struktuur, jääb meelde ja rakendatakse palju paremini kui juhuslikud ja mitteseotud faktid. Seetõttu on oluline mitte mehaaniliselt reegleid pähe õppida nagu koolitatud matemaatikakoer, vaid tegutseda teadlikult.
Miks me siis ikkagi "logaritme langetame"?
Vastus on lihtne: kui alus on suurem kui üks (nagu meie puhul), suureneb logaritmiline funktsioon monotoonselt, mis tähendab, et suurem x väärtus vastab y suuremale väärtusele ja ebavõrdsusest log 3 x 1 > log 3 x 2 järeldub, et x 1 > x 2. 
Pange tähele, et oleme liikunud algebralise ebavõrdsuse juurde ja ebavõrdsuse märk jääb samaks.
Seega x > 5.
Lihtne on ka järgmine logaritmiline võrratus.
2. palk 5 (15 + 3x) > palk 5 2x
Alustame vastuvõetavate väärtuste vahemikust. Logaritmid on defineeritud ainult positiivsete arvude jaoks, seega
Selle süsteemi lahendamisel saame: x > 0.
Liigume nüüd logaritmilisest ebavõrdsusest algebralisele - "visake" logaritmid ära. Kuna logaritmi alus on suurem kui üks, jääb ebavõrdsuse märk samaks.
15 + 3x > 2x.
Saame: x > −15.
Vastus: x > 0.
Aga mis juhtub, kui logaritmi alus on väiksem kui üks? Lihtne on arvata, et sel juhul algebralisele ebavõrdsusele liikudes muutub ebavõrdsuse märk.
Toome näite.
Paneme ODZ kirja. Avaldised, millest logaritme võetakse, peavad olema positiivsed, st
Selle süsteemi lahendamisel saame: x > 4.5.
Kuna , logaritmiline funktsioon alusega väheneb monotoonselt. See tähendab, et funktsiooni suurem väärtus vastab argumendi väiksemale väärtusele: 
Ja kui siis
2x − 9 ≤ x.
Saame, et x ≤ 9.
Arvestades, et x > 4,5, kirjutame vastuse:
Järgmises ülesandes taandatakse eksponentsiaalne ebavõrdsus ruutvõrratuseks. Seega soovitame korrata teemat “ruutvõrratused”.
Nüüd keerulisemate ebavõrdsuste kohta:
4. Lahenda ebavõrdsus
5. Lahenda ebavõrdsus
Kui siis. Meil vedas! Teame, et kõigi ODZ-s sisalduvate x väärtuste puhul on logaritmi alus suurem kui üks.
Teeme asendus
Pange tähele, et esmalt lahendame ebavõrdsuse täielikult uue muutuja t suhtes. Ja alles pärast seda pöördume tagasi muutuja x juurde. Pidage seda meeles ja ärge tehke eksamil vigu!
Pidagem meeles reeglit: kui võrrand või võrratus sisaldab juuri, murde või logaritme, peab lahendus algama vastuvõetavate väärtuste vahemikust. Kuna logaritmi alus peab olema positiivne ja mitte võrdne ühega, saame tingimuste süsteemi:
Lihtsustame seda süsteemi:
See on ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik.
Näeme, et muutuja sisaldub logaritmi baasis. Liigume edasi alalise baasi poole. Tuletame teile seda meelde
Sel juhul on mugav minna 4. baasi.
Teeme asendus
Lihtsustame ebavõrdsust ja lahendame selle intervallmeetodi abil:
Tuleme tagasi muutuja juurde x:
Lisasime tingimuse x> 0 (ODZ-st).
7. Intervallmeetodi abil saab lahendada ka järgmise probleemi
Nagu ikka, alustame logaritmilise ebavõrdsuse lahendamist vastuvõetavate väärtuste vahemikust. Sel juhul
See tingimus peab olema täidetud ja me pöördume selle juurde tagasi. Vaatame praegu ebavõrdsust ennast. Kirjutame vasaku külje logaritmina 3. alusele:
Parema poole saab kirjutada ka logaritmina 3. alusele ja seejärel liikuda edasi algebralise võrratuse juurde:
Näeme, et tingimus (st ODZ) on nüüd automaatselt täidetud. Noh, see muudab ebavõrdsuse lahendamise lihtsamaks.
Lahendame ebavõrdsuse intervallmeetodi abil:
Vastus:
Juhtus? Noh, suurendame raskusastet:
8. Lahenda ebavõrdsus:
Ebavõrdsus on samaväärne süsteemiga:
9. Lahenda ebavõrdsus:
Avaldis 5 - x 2 korratakse ülesandepüstituses sunniviisiliselt. See tähendab, et saate asendada:
Kuna eksponentsiaalfunktsioon võtab ainult positiivseid väärtusi, t> 0. Siis
Ebavõrdsus avaldub järgmisel kujul:
Juba parem. Leiame ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Oleme seda juba öelnud t> 0. Lisaks ( t– 3) (5 9 · t − 1) > 0
Kui see tingimus on täidetud, on jagatis positiivne.
Ja avaldis logaritmi all võrratuse paremal küljel peab olema positiivne, see tähendab (625 t − 2) 2 .
See tähendab, et 625 t− 2 ≠ 0, see tähendab
Kirjutame ODZ hoolikalt üles
ja lahendage saadud süsteem intervallmeetodi abil.
Niisiis,
Noh, pool võitu on tehtud – saime ODZ-i korda. Lahendame ebavõrdsuse enda. Esitagem korrutise logaritmina vasakul olevate logaritmide summat.
KASUTAMISE LOGARITMILINE EBAVÄRDSUS
Setšin Mihhail Aleksandrovitš
Väike Teaduste Akadeemia Kasahstani Vabariigi üliõpilastele “Iskatel”
MBOU "Sovetskaja 1. Keskkool", 11. klass, linn. Sovetski Sovetski rajoon
Munitsipaaleelarvelise õppeasutuse “Sovetskaja 1. keskkool” õpetaja Gunko Ljudmila Dmitrievna
Sovetski rajoon
Töö eesmärk: logaritmiliste võrratuste C3 lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, selgitades välja huvitavaid fakte logaritmi kohta.
Õppeaine:
3) Õppige lahendama spetsiifilisi logaritmilisi võrratusi C3 mittestandardsete meetoditega.
Tulemused:
Sisu
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………….4
1. peatükk. Probleemi ajalugu……………………………………………………………5
2. peatükk. Logaritmiliste võrratuste kogum …………………………… 7
2.1. Ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod…………… 7
2.2. Ratsionaliseerimismeetod………………………………………………………………… 15
2.3. Mittestandardne asendus………………................................................ .............. 22
2.4. Ülesanded püünistega…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Järeldus………………………………………………………………………………… 30
Kirjandus……………………………………………………………………. 31
Sissejuhatus
Käin 11. klassis ja plaanin astuda ülikooli, kus põhiaineks on matemaatika. Seetõttu töötan ma palju C-osas esitatud probleemidega. Ülesandes C3 pean lahendama mittestandardse võrratuse või ebavõrdsuse süsteemi, mis on tavaliselt seotud logaritmidega. Eksamiks valmistudes seisin silmitsi C3-s pakutavate meetodite ja võtete nappuse probleemiga eksami logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Meetodid, mida sellel teemal kooli õppekavas õpitakse, ei anna alust C3 ülesannete lahendamiseks. Matemaatikaõpetaja soovitas mul tema juhendamisel iseseisvalt C3 ülesannetega tegeleda. Lisaks huvitas mind küsimus: kas me kohtame oma elus logaritme?
Seda silmas pidades valiti teema:
"Logaritmiline ebavõrdsus ühtsel riigieksamil"
Töö eesmärk: C3 probleemide lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastades huvitavaid fakte logaritmi kohta.
Õppeaine:
1) Leidke vajalik teave logaritmiliste võrratuste lahendamise mittestandardsete meetodite kohta.
2) Otsige lisateavet logaritmide kohta.
3) Õppige lahendama spetsiifilisi C3 ülesandeid mittestandardsete meetoditega.
Tulemused:
Praktiline tähtsus seisneb C3 ülesannete lahendamise aparaadi laiendamises. Seda materjali saab kasutada mõnes tunnis, klubides ja matemaatika valikainetes.
Projekti tooteks on kogumik “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”.
Peatükk 1. Taust
Kogu 16. sajandi jooksul kasvas umbkaudsete arvutuste arv kiiresti, eelkõige astronoomias. Instrumentide täiustamine, planeetide liikumise uurimine ja muud tööd nõudsid kolossaalseid, mõnikord mitmeaastaseid arvutusi. Astronoomiat ähvardas tõeline oht uppuda täitmata arvutustesse. Raskusi tekkis teistes valdkondades, näiteks kindlustusäris oli erinevate intressimäärade jaoks vaja liitintressi tabeleid. Peamine raskus oli mitmekohaliste arvude, eriti trigonomeetriliste suuruste korrutamine ja jagamine.
Logaritmide avastamine põhines progressioonide omadustel, mis olid hästi teada 16. sajandi lõpuks. Archimedes rääkis psalmis geomeetrilise progressiooni q, q2, q3, ... liikmete ja nende eksponentide 1, 2, 3,... aritmeetilise progressiooni vahelisest seosest. Teiseks eelduseks oli astme mõiste laiendamine negatiivsetele ja murdeksponentidele. Paljud autorid on juhtinud tähelepanu sellele, et korrutamine, jagamine, astendamine ja juure eraldamine geomeetrilises progressioonis vastavad aritmeetikas – samas järjekorras – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
Siin oli logaritmi kui eksponendi idee.
Logaritmiõpetuse kujunemisloos on läbitud mitu etappi.
1. etapp
Logaritmid leiutas hiljemalt 1594. aastal iseseisvalt Šoti parun Napier (1550-1617) ja kümme aastat hiljem Šveitsi mehaanik Bürgi (1552-1632). Mõlemad soovisid pakkuda uut mugavat vahendit aritmeetilisteks arvutusteks, kuigi lähenesid sellele probleemile erinevalt. Napier väljendas kinemaatiliselt logaritmilist funktsiooni ja sisenes seeläbi funktsiooniteooria uude valdkonda. Bürgi jäi diskreetsete edasiminekute arvestamise aluseks. Kummagi logaritmi definitsioon ei sarnane aga tänapäevasele. Mõiste "logaritm" (logaritm) kuulub Napierile. See tekkis kreeka sõnade kombinatsioonist: logos - "suhe" ja ariqmo - "arv", mis tähendas "suhete arvu". Algselt kasutas Napier teistsugust terminit: numeri mākslīged - "kunstlikud numbrid", mitte numeri naturalts - "looduslikud numbrid".
1615. aastal tegi Napier vestluses Londoni Greshi kolledži matemaatikaprofessori Henry Briggsiga (1561–1631) võtta ühe logaritmiks nulli ja 100 kümnendiku logaritmiks, ehk mis on sama. asi, lihtsalt 1. Nii trükiti kümnendlogaritmid ja Esimesed logaritmitabelid. Hiljem täiendas Briggsi tabeleid Hollandi raamatumüüja ja matemaatikaentusiast Adrian Flaccus (1600-1667). Napier ja Briggs, kuigi nad jõudsid logaritmidele varem kui kõik teised, avaldasid oma tabelid teistest hiljem – 1620. aastal. Märke log ja Log võttis 1624. aastal kasutusele I. Kepler. Mõiste “looduslik logaritm” võttis kasutusele Mengoli 1659. aastal ja järgnes N. Mercator 1668. aastal ning Londoni õpetaja John Speidel avaldas “Uued logaritmid” nime all arvude naturaallogaritmide tabelid 1–1000.
Esimesed logaritmitabelid ilmusid vene keeles 1703. aastal. Kuid kõigis logaritmilistes tabelites esines arvutusvigu. Esimesed vigadeta tabelid avaldati 1857. aastal Berliinis, neid töötles saksa matemaatik K. Bremiker (1804-1877).
2. etapp
Logaritmiteooria edasiarendamine on seotud analüütilise geomeetria ja lõpmatuarvulise arvutuse laiema rakendamisega. Selleks ajaks oli kindlaks tehtud seos võrdkülgse hüperbooli kvadratuuri ja naturaallogaritmi vahel. Selle perioodi logaritmide teooria on seotud mitmete matemaatikute nimedega.
Saksa matemaatik, astronoom ja insener Nikolaus Mercator essees
"Logaritmotehnika" (1668) annab rea, mis annab ln(x+1) laienemise
x astmed:
See väljend vastab täpselt tema mõttekäigule, kuigi loomulikult ei kasutanud ta märke d, ..., vaid kohmakamat sümboolikat. Logaritmirea avastamisega muutus logaritmide arvutamise tehnika: neid hakati määrama lõpmatute jadate abil. Oma aastatel 1907–1908 peetud loengutes “Elementaarne matemaatika kõrgemast vaatenurgast” tegi F. Klein ettepaneku kasutada valemit logaritmiteooria konstrueerimise lähtepunktina.
3. etapp
Logaritmilise funktsiooni definitsioon pöördfunktsioonina
eksponentsiaalne, logaritm kui antud baasi eksponent
ei sõnastatud kohe. Leonhard Euleri (1707-1783) essee
"Sissejuhatus lõpmatute väikeste suuruste analüüsimisse" (1748) aitas edasi
logaritmiliste funktsioonide teooria arendamine. Seega
Logaritmide esmakordsest kasutuselevõtust on möödunud 134 aastat
(arvestatakse aastast 1614), enne kui matemaatikud jõudsid definitsioonini
logaritmi mõiste, mis on nüüd koolikursuse aluseks.
Peatükk 2. Logaritmiliste võrratuste kogu
2.1. Ekvivalentsiirded ja üldistatud intervallide meetod.
Samaväärsed üleminekud
, kui a > 1
, kui 0 <
а <
1
Üldistatud intervallmeetod
See meetod on kõige universaalsem peaaegu igat tüüpi ebavõrdsuse lahendamiseks. Lahendusskeem näeb välja selline:
1. Vii ebavõrdsus vormile, kus asub vasakpoolsel küljel olev funktsioon 
, ja paremal 0.
2. Leidke funktsiooni domeen .
3. Leia funktsiooni nullpunktid , st lahendage võrrand 
(ja võrrandi lahendamine on tavaliselt lihtsam kui ebavõrdsuse lahendamine).
4. Joonistage numbrireale funktsiooni definitsioonipiirkond ja nullid.
5. Määrata funktsiooni märgid saadud intervallidel.
6. Valige intervallid, kus funktsioon võtab vajalikud väärtused, ja kirjutage vastus üles.
Näide 1.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
kus
Nende väärtuste puhul on kõik logaritmiliste märkide all olevad avaldised positiivsed.
Vastus:
Näide 2.
Lahendus:
1 tee . ADL määratakse ebavõrdsusega x> 3. Selliste jaoks logaritmide võtmine x baasis 10 saame
Viimase ebavõrdsuse saaks lahendada laiendamisreeglite rakendamisega, s.o. tegurite võrdlemine nulliga. Sel juhul on aga lihtne määrata funktsiooni konstantse märgi intervalle
seetõttu saab rakendada intervallmeetodit.
Funktsioon f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ on pidev kell x> 3 ja kaob punktides x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Seega määrame funktsiooni konstantse märgi intervallid f(x):
Vastus:
2. meetod . Rakendame intervallmeetodi ideid otse algsele ebavõrdsusele.
Selleks tuletage meelde, et väljendid a b- a c ja ( a - 1)(b- 1) neil on üks märk. Siis meie ebavõrdsus juures x> 3 võrdub ebavõrdsusega
või
Viimane võrratus lahendatakse intervallmeetodil
Vastus:
Näide 3.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
Vastus:
Näide 4.
Lahendus:
Alates 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 päriselt x, See
Teise võrratuse lahendamiseks kasutame intervallmeetodit
Esimeses ebavõrdsuses teeme asendus
siis jõuame ebavõrdsuseni 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, mis rahuldavad ebavõrdsust -0,5< y < 1.
Kust, sest
saame ebavõrdsuse
mis viiakse läbi, kui x, mille jaoks 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Nüüd, võttes arvesse süsteemi teise ebavõrdsuse lahendust, saame lõpuks tulemuse
Vastus:
Näide 5.
Lahendus:
Ebavõrdsus on samaväärne süsteemide kogumiga
või
Kasutame intervallmeetodit või
Vastus:
Näide 6.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga
Lase
Siis y > 0,
ja esimene ebavõrdsus
süsteem võtab vormi
või lahtikäiv
arvutatud ruuttrinoom,
Intervallmeetodi rakendamine viimasele ebavõrdsusele,
näeme, et selle lahendused vastavad tingimusele y> 0 on kõik y > 4.
Seega on algne ebavõrdsus samaväärne süsteemiga:
Seega on ebavõrdsuse lahendused kõik
2.2. Ratsionaliseerimise meetod.
Varem ei lahendatud ebavõrdsust ratsionaliseerimismeetodiga, seda ei teatud. See on "uus kaasaegne tõhus meetod eksponentsiaalse ja logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks" (tsitaat S.I. Kolesnikova raamatust)
Ja isegi kui õpetaja teda tundis, tekkis hirm – kas ühtse riigieksami ekspert teab teda ja miks nad teda koolis ei anna? Oli olukordi, kus õpetaja ütles õpilasele: "Kust sa selle said? Istu - 2."
Nüüd propageeritakse seda meetodit kõikjal. Ja ekspertide jaoks on selle meetodiga seotud juhised ja lahenduse C3 "Standardvalikute kõige täielikumad väljaanded ..." kasutatakse seda meetodit.
IMELINE MEETOD!
"Maagiline laud"
Teistes allikates
Kui a >1 ja b >1, siis log a b >0 ja (a -1)(b -1)>0;
Kui a >1 ja 0 kui 0<a<1 и b
>1, siis logi a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kui 0<a<1 и 00 ja (a -1) (b -1)>0. Läbiviidud arutluskäik on lihtne, kuid lihtsustab oluliselt logaritmiliste võrratuste lahendamist. Näide 4.
log x (x 2–3)<0
Lahendus:
Näide 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x) Lahendus: Näide 6.
Selle ebavõrdsuse lahendamiseks kirjutame nimetaja asemel (x-1-1)(x-1) ja lugeja asemel korrutise (x-1)(x-3-9 + x). Näide 7.
Näide 8.
2.3. Mittestandardne asendus. Näide 1.
Näide 2.
Näide 3.
Näide 4.
Näide 5.
Näide 6.
Näide 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Teeme asenduseks y=3 x -1; siis see ebavõrdsus võtab kuju Log 4 log 0,25 Sest log 0,25 Teeme asenduseks t =log 4 y ja saame võrratuse t 2 -2t +≥0, mille lahendiks on intervallid - Seega, et leida y väärtusi, on meil kahe lihtsa ebavõrdsuse hulk Seetõttu on algne võrratus võrdne kahe eksponentsiaalse ebavõrdsuse hulgaga, Selle hulga esimese võrratuse lahendus on intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Näide 8.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga ODZ-d määratleva teise ebavõrdsuse lahendus on nende kogum x,
mille jaoks x > 0.
Esimese ebavõrdsuse lahendamiseks teeme asendus Siis saame ebavõrdsuse või Viimase võrratuse lahenduste hulk leitakse meetodiga intervallid: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saame või Palju neid x, mis rahuldavad viimase ebavõrdsuse kuulub ODZ-le ( x> 0), on seega süsteemi lahendus, ja siit ka algne ebavõrdsus. Vastus: 2.4. Ülesanded lõksudega. Näide 1.
Lahendus. Ebavõrdsuse ODZ on kõik x, mis vastavad tingimusele 0 Näide 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Vastus. (0; 0,5)U.
Vastus :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , siis kirjutame viimase võrratuse ümber 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Selle komplekti lahenduseks on intervallid 0<у≤2 и 8≤у<+.
see tähendab agregaadid 
. Seega on algne võrratus täidetud kõigi x väärtuste korral intervallidest 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Seetõttu on kõik x vahemikus 0
Järeldus
C3-ülesannete lahendamiseks konkreetsete meetodite leidmine erinevatest õppeallikatest ei olnud lihtne. Tehtud töö käigus sain uurida mittestandardseid meetodeid keeruliste logaritmiliste võrratuste lahendamiseks. Need on: ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod, ratsionaliseerimise meetod , mittestandardne asendus , ülesanded lõksudega ODZ-l. Need meetodid ei sisaldu kooli õppekavas.
Erinevaid meetodeid kasutades lahendasin 27 ühtse riigieksami C osas pakutud ebavõrdsust, nimelt C3. Need ebavõrdsused lahendustega meetodite abil moodustasid aluse kogumikule “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”, millest sai minu tegevuse projektitoode. Projekti alguses püstitatud hüpotees leidis kinnitust: C3 probleeme saab tõhusalt lahendada, kui tead neid meetodeid.
Lisaks avastasin huvitavaid fakte logaritmide kohta. Minu jaoks oli huvitav seda teha. Minu projektitooted on kasulikud nii õpilastele kui ka õpetajatele.
Järeldused:
Seega on projekti eesmärk täidetud ja probleem lahendatud. Ja ma sain kõige täielikuma ja mitmekesisema kogemuse projektitegevusest kõigis tööetappides. Projekti kallal töötades oli minu peamine arendav mõju vaimsele pädevusele, loogiliste vaimsete operatsioonidega seotud tegevustele, loomingulise pädevuse, isikliku algatuse, vastutustunde, visaduse ja aktiivsuse arendamisele.
Edu tagatis uurimisprojekti loomisel Sain: olulise koolikogemuse, oskuse hankida teavet erinevatest allikatest, kontrollida selle usaldusväärsust ja tähtsuse järgi järjestada.
Lisaks vahetutele ainealastele teadmistele matemaatikas täiendasin oma praktilisi oskusi informaatika vallas, sain uusi teadmisi ja kogemusi psühholoogia vallas, sõlmisin kontakte klassikaaslastega, õppisin koostööd tegema täiskasvanutega. Projekti tegevuste käigus arendati organisatsioonilisi, intellektuaalseid ja kommunikatiivseid üldhariduslikke oskusi.
Kirjandus
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Ühe muutujaga võrratuste süsteemid (standardülesanded C3).
2. Malkova A. G. Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks.
3. Samarova S. S. Logaritmiliste võrratuste lahendamine.
4. Matemaatika. Koolitustööde kogumik toimetanud A.L. Semenov ja I.V. Jaštšenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Viimases tunnis vaatlesime lihtsaimate logaritmiliste võrratuste ja võrratuste lahendamist, kus logaritmi alus on fikseeritud.
Aga mis siis, kui logaritmi aluses on muutuja?
Siis tuleb see meile appi ebavõrdsuse ratsionaliseerimine. Et mõista, kuidas see toimib, vaatleme näiteks ebavõrdsust:
$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$
Nagu oodatud, alustame ODZ-ga.
ODZ
$$\left[ \begin(massiiv)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(massiivi)\right.$$
Lahendus ebavõrdsusele
Arutleme nii, nagu lahendaksime fikseeritud alusega ebavõrdsust. Kui alus on suurem kui üks, siis vabaneme logaritmidest ja ebavõrdsuse märk ei muutu, kui see on väiksem kui üks, siis muutub.
Kirjutame selle süsteemina:
$$\left[ \begin(massiivi)(l) \left\( \begin(massiivi)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(massiivi)\right. \\ \left\ ( \begin(massiivi)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Edasiseks arutluseks nihutagem kõik ebavõrdsuse parempoolsed küljed vasakule.
$$\left[ \begin(massiivi)(l) \left\( \begin(massiivi)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(massiivi)\right. \ \ \left\( \begin(massiiv)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Mida me saime? Selgub, et avaldised "2x-1" ja "x^2 - x" peavad olema samaaegselt positiivsed või negatiivsed. Sama tulemuse saame, kui lahendame ebavõrdsuse:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
See ebavõrdsus, nagu ka algne süsteem, kehtib siis, kui mõlemad tegurid on positiivsed või negatiivsed. Selgub, et saate liikuda logaritmilisest ebavõrdsusest ratsionaalsele (võttes arvesse ODZ-d).
Sõnastame meetod logaritmiliste võrratuste ratsionaliseerimiseks$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \vasakparemnool (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ kus `\vee` on mis tahes ebavõrdsuse märk. (Märgi `>` puhul kontrollisime just valemi paikapidavust. Ülejäänu osas soovitan ise kontrollida – see jääb paremini meelde).
Pöördume tagasi oma ebavõrdsuse lahendamise juurde. Laiendades selle sulgudesse (et funktsiooni nullid oleks paremini nähtavad), saame
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Intervalli meetod annab järgmise pildi:
(Kuna ebavõrdsus on range ja meid ei huvita intervallide otsad, siis neid ei varjutata.) Nagu näha, rahuldavad saadud intervallid ODZ-d. Saime vastuse: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.
Näide kaks. Logaritmilise võrratuse lahendamine muutuva alusega
$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$
ODZ
$$\left\(\begin(massiivi)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(massiivi)\right.$$
$$\left\(\begin(massiiv)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(massiivi)\right.$$
Lahendus ebavõrdsusele
Vastavalt reeglile, mille me just saime logaritmilise ebavõrdsuse ratsionaliseerimine, leiame, et see ebavõrdsus on identne (võttes arvesse ODZ-d) järgmisega:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Kombineerides selle lahenduse ODZ-ga, saame vastuse: "(1,2)".
Kolmas näide. Murru logaritm
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$
ODZ
$$\left\(\begin(massiivi)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(massiivi) \right.$ $
Kuna süsteem on suhteliselt keeruline, siis joonistame koheselt arvujoonele ebavõrdsuse lahendi:
Seega, ODZ: "(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)".
Lahendus ebavõrdsusele
Esitagem „-1” logaritmina alusega „x”.
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$
Kasutades logaritmilise ebavõrdsuse ratsionaliseerimine saame ratsionaalse ebavõrdsuse:
$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$
Kas arvate, et ühtse riigieksamini on veel aega ja jõuate ettevalmistuseks? Võib-olla on see nii. Kuid igal juhul, mida varem õpilane ettevalmistust alustab, seda edukamalt ta eksamid sooritab. Täna otsustasime pühendada artikli logaritmilistele ebavõrdsustele. See on üks ülesannetest, mis tähendab võimalust saada lisakrediiti.
Kas sa juba tead, mis on logaritm? Loodame väga. Kuid isegi kui teil pole sellele küsimusele vastust, pole see probleem. Mõista, mis on logaritm, on väga lihtne.
Miks 4? Peate tõstma arvu 3 selle astmeni, et saada 81. Kui olete põhimõttest aru saanud, võite jätkata keerukamate arvutustega.
Elasite paar aastat tagasi läbi ebavõrdsuse. Ja sellest ajast saadik olete nendega matemaatikas pidevalt kokku puutunud. Kui teil on probleeme ebavõrdsuse lahendamisega, vaadake vastavat jaotist.
Nüüd, kui oleme mõistetega individuaalselt tuttavaks saanud, jätkame nende üldistamist.
Lihtsaim logaritmiline võrratus.
Selle näitega ei piirdu kõige lihtsamad logaritmilised võrratused, neid on veel kolm, ainult erinevate märkidega. Miks see vajalik on? Et paremini aru saada, kuidas lahendada ebavõrdsust logaritmidega. Toome nüüd sobivama näite, mis on siiski üsna lihtne; jätame keerulised logaritmilised ebavõrdsused hilisemaks.
Kuidas seda lahendada? Kõik algab ODZ-st. Tasub sellest rohkem teada saada, kui tahad ebavõrdsust alati lihtsalt lahendada.
Mis on ODZ? ODZ logaritmiliste võrratuste jaoks
Lühend tähistab vastuvõetavate väärtuste vahemikku. See sõnastus tuleb sageli ette ühtse riigieksami ülesannetes. ODZ on teile kasulik mitte ainult logaritmilise ebavõrdsuse korral.
Vaadake uuesti ülaltoodud näidet. Vaatleme selle põhjal ODZ-d, et saaksite põhimõttest aru ja logaritmiliste ebavõrdsuste lahendamine ei tekita küsimusi. Logaritmi definitsioonist järeldub, et 2x+4 peab olema suurem kui null. Meie puhul tähendab see järgmist.
See arv peab definitsiooni järgi olema positiivne. Lahendage ülaltoodud ebavõrdsus. Seda saab teha isegi suuliselt, siin on selge, et X ei saa olla väiksem kui 2. Ebavõrdsuse lahenduseks on vastuvõetavate väärtuste vahemiku määratlemine.
Liigume nüüd lihtsaima logaritmilise võrratuse lahendamise juurde.
Jätame kõrvale logaritmid ise mõlemalt poolt ebavõrdsuselt. Mis meile sellest tulenevalt üle jääb? Lihtne ebavõrdsus.
Seda pole raske lahendada. X peab olema suurem kui -0,5. Nüüd ühendame kaks saadud väärtust süsteemi. Seega
See on vaadeldava logaritmilise ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik.
Miks meil ODZ-d üldse vaja on? See on võimalus ebaõiged ja võimatud vastused välja rookida. Kui vastus ei jää vastuvõetavate väärtuste vahemikku, siis pole vastusel lihtsalt mõtet. Seda tasub pikka aega meeles pidada, kuna ühtsel riigieksamil on sageli vaja otsida ODZ-d ja see ei puuduta ainult logaritmilist ebavõrdsust.
Algoritm logaritmilise võrratuse lahendamiseks
Lahendus koosneb mitmest etapist. Esiteks peate leidma vastuvõetavate väärtuste vahemiku. ODZ-l on kaks tähendust, me arutasime seda eespool. Järgmiseks peate lahendama ebavõrdsuse. Lahendusmeetodid on järgmised:
- kordaja asendamise meetod;
- lagunemine;
- ratsionaliseerimise meetod.
Olenevalt olukorrast tasub kasutada ühte ülaltoodud meetoditest. Liigume otse lahenduse juurde. Toome välja kõige populaarsema meetodi, mis sobib ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks peaaegu kõigil juhtudel. Järgmisena vaatleme lagunemismeetodit. See võib aidata, kui puutute kokku eriti keerulise ebavõrdsusega. Niisiis, algoritm logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks.
Näited lahendustest :
Pole asjata, et me võtsime täpselt selle ebavõrdsuse! Pöörake tähelepanu alusele. Pidage meeles: kui see on suurem kui üks, jääb märk aktsepteeritavate väärtuste vahemiku leidmisel samaks; vastasel juhul peate ebavõrdsuse märki muutma.
Selle tulemusena saame ebavõrdsuse:
Nüüd taandame vasaku külje võrrandi kujule, mis on võrdne nulliga. Märgi "vähem kui" asemel paneme "võrdub" ja lahendame võrrandi. Seega leiame ODZ-i. Loodame, et teil ei teki nii lihtsa võrrandi lahendamisel probleeme. Vastused on -4 ja -2. See pole veel kõik. Peate need punktid graafikul kuvama, asetades "+" ja "-". Mida tuleb selleks teha? Asendage intervallide arvud avaldisesse. Kui väärtused on positiivsed, paneme sinna "+".
Vastus: x ei saa olla suurem kui -4 ja väiksem kui -2.
Oleme leidnud ainult vasaku poole vastuvõetavate väärtuste vahemiku; nüüd peame leidma parema külje vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See on palju lihtsam. Vastus: -2. Lõikame mõlemad saadud alad.
Ja alles nüüd hakkame tegelema ebavõrdsusega.
Lihtsustame seda nii palju kui võimalik, et seda oleks lihtsam lahendada.
Lahenduses kasutame taas intervallmeetodit. Jätame arvutused vahele; eelmisest näitest on kõik juba selge. Vastus.
Kuid see meetod sobib, kui logaritmilise ebavõrdsuse alused on samad.
Erinevate alustega logaritmvõrrandite ja võrratuste lahendamine eeldab esialgset taandamist samale alusele. Järgmisena kasutage ülalkirjeldatud meetodit. Kuid on keerulisem juhtum. Vaatleme üht kõige keerulisemat logaritmilise ebavõrdsuse tüüpi.
Logaritmilised võrratused muutuva alusega
Kuidas selliste tunnustega ebavõrdsust lahendada? Jah, ja selliseid inimesi võib leida ühtsest riigieksamist. Ebavõrdsuse lahendamine järgmisel viisil avaldab soodsat mõju ka teie haridusprotsessile. Vaatame probleemi üksikasjalikult. Heidame teooria kõrvale ja läheme otse praktika juurde. Logaritmiliste võrratuste lahendamiseks piisab, kui end näitega korra kurssi viia.
Esitatud vormi logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja taandada parempoolne külg sama alusega logaritmiks. Põhimõte sarnaneb samaväärsete üleminekutega. Selle tulemusena näeb ebavõrdsus välja selline.
Tegelikult jääb üle vaid luua logaritmideta ebavõrdsuste süsteem. Ratsionaliseerimismeetodit kasutades liigume edasi samaväärse ebavõrdsuse süsteemi juurde. Reeglist endast saate aru, kui asendate sobivad väärtused ja jälgite nende muutusi. Süsteemis on järgmised ebavõrdsused.
Võrratuste lahendamisel ratsionaliseerimismeetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: üks tuleb lahutada alusest, x lahutatakse logaritmi definitsiooni järgi mõlemalt võrratuse poolelt (paremal vasakult), kaks avaldist korrutatakse ja seatud algse märgi alla nulli suhtes.
Edasine lahendus viiakse läbi intervallmeetodil, siin on kõik lihtne. Teil on oluline mõista lahendusmeetodite erinevusi, siis hakkab kõik lihtsalt sujuma.
Logaritmilises ebavõrdsuses on palju nüansse. Lihtsamaid neist on üsna lihtne lahendada. Kuidas saate neid kõiki probleemideta lahendada? Olete juba saanud kõik vastused selles artiklis. Nüüd ootab teid ees pikk praktika. Harjutage pidevalt erinevate ülesannete lahendamist eksamil ja saate kõrgeima punktisumma. Edu teile raskes ülesandes!