Igasugune irratsionaalne arv. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud: kirjeldus ja kuidas need erinevad? Irratsionaalarvude definitsioon ja näited

Ja nad tuletasid oma juured ladinakeelsest sõnast "ratio", mis tähendab "põhjust". Sõnasõnalise tõlke põhjal:

Ratsionaalne arv on "mõistlik arv".
Irratsionaalne arv on seega "ebamõistlik arv".

Ratsionaalarvu üldmõiste

Ratsionaalarv on arv, mille saab kirjutada järgmiselt:

Tavaline positiivne murd.
Negatiivne harilik murd.
Nullina (0).

Teisisõnu kehtivad ratsionaalarvule järgmised määratlused:

Iga naturaalarv on oma olemuselt ratsionaalne, kuna iga naturaalarvu saab esitada hariliku murruna.
Iga täisarv, sealhulgas arv null, kuna iga täisarvu saab kirjutada kas positiivse hariliku murruna, negatiivse hariliku murruna või arvuna null.
Iga tavaline murd, ja pole vahet, kas see on positiivne või negatiivne, läheneb otseselt ka ratsionaalarvu määratlusele.
Definitsioon võib sisaldada ka segaarvu, lõplikku kümnendmurdu või lõpmatut perioodilist murdu.

Ratsionaalarvu näited

Vaatame ratsionaalsete arvude näiteid:

Naturaalarvud - “4”, “202”, “200”.
Täisarvud – “-36”, “0”, “42”.
Tavalised murrud.

Ülaltoodud näidetest on üsna ilmne, et ratsionaalarvud võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed. Loomulikult ei kuulu arv 0 (null), mis on omakorda ka ratsionaalne arv, samal ajal positiivse ega negatiivse arvu kategooriasse.

Seetõttu tuletan üldharidusprogrammile meelde järgmist definitsiooni: "Ratsionaalarvud" on need arvud, mida saab kirjutada murdarvuna x/y, kus x (lugeja) on täisarv ja y (nimetaja) on naturaalarv.

Irratsionaalarvu üldmõiste ja definitsioon

Lisaks "ratsionaalarvudele" teame ka niinimetatud "irratsionaalseid numbreid". Proovime lühidalt neid numbreid defineerida.

Isegi iidsed matemaatikud, kes tahtsid arvutada ruudu diagonaali piki selle külgi, said teada irratsionaalarvu olemasolust.
Ratsionaalarvude definitsiooni põhjal saate ehitada loogilise ahela ja anda irratsionaalarvu definitsiooni.
Seega on sisuliselt need reaalarvud, mis pole ratsionaalsed, lihtsalt irratsionaalsed arvud.
Irratsionaalseid arve väljendavad kümnendmurrud ei ole perioodilised ja lõpmatud.

Näited irratsionaalarvust

Selguse huvides vaatleme väikest näidet irratsionaalarvust. Nagu me juba aru saime, nimetatakse lõpmatuid kümnendmurrusid irratsionaalseteks, näiteks:

Arv “-5.020020002... (selgelt on näha, et kahekesi eraldab järjestus üks, kaks, kolm jne nullid)
Arv “7.040044000444... (siin on selgelt näha, et neljade ja nullide arv kasvab ahelas iga kord ühe võrra).
Kõik teavad arvu Pi (3,1415...). Jah, jah – see on ka irratsionaalne.

Üldiselt on kõik reaalarvud nii ratsionaalsed kui ka irratsionaalsed. Lihtsamalt öeldes ei saa irratsionaalarvu esitada hariliku murruna x/y.

Üldine järeldus ja lühike võrdlus numbrite vahel

Vaatasime iga numbrit eraldi, kuid erinevus ratsionaalarvu ja irratsionaalarvu vahel jääb:

Irratsionaalne arv tekib ruutjuure eraldamisel, ringi jagamisel selle läbimõõduga jne.
Ratsionaalarv tähistab harilikku murru.

Lõpetagem oma artikkel mõne määratlusega:

Ratsionaalarvuga tehtud aritmeetiline tehe, välja arvatud 0-ga (null) jagamine, viib lõpuks ratsionaalarvuni.
Lõpptulemus võib irratsionaalarvuga aritmeetilise tehte tegemisel viia nii ratsionaalse kui ka irratsionaalse väärtuseni.
Kui aritmeetilises tehes osalevad mõlemad arvud (välja arvatud nulliga jagamine või korrutamine), on tulemuseks irratsionaalne arv.

Juba muistsed matemaatikud teadsid ühikupikkuse lõiku: nad teadsid näiteks diagonaali ja ruudu külje võrreldamatust, mis võrdub arvu irratsionaalsusega.

Irratsionaalsed on:

Näited irratsionaalsuse tõestuseks

2 juur

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud taandamatu murru kujul, kus ja on täisarvud. Teeme oletatava võrdsuse ruudus:

Sellest järeldub, et isegi on isegi ja . Las see olla seal, kus on tervik. Siis

Seetõttu tähendab isegi isegi ja . Leidsime, et ja on paaris, mis on vastuolus murdosa taandatamatusega. See tähendab, et esialgne eeldus oli vale ja see on irratsionaalne arv.

Arvu 3 kahendlogaritm

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud murdena, kus ja on täisarvud. Alates , ja saab valida positiivseks. Siis

Aga paaris ja veider. Saame vastuolu.

e

Lugu

Irratsionaalarvude kontseptsiooni võtsid India matemaatikud kaudselt kasutusele 7. sajandil eKr, kui Manava (umbes 750 eKr – u 690 eKr) leidis, et mõne naturaalarvu, näiteks 2 ja 61 ruutjuuri ei saa otseselt väljendada. .

Esimeseks tõendiks irratsionaalsete arvude olemasolu kohta omistatakse tavaliselt Hippasusele Metapontosest (umbes 500 eKr), Pythagorase'le, kes leidis selle tõendi pentagrammi külgede pikkusi uurides. Pythagoraslaste ajal arvati, et on olemas üksainus pikkusühik, piisavalt väike ja jagamatu, mis siseneb mis tahes lõiku täisarv kordi. Hippasus väitis aga, et ühest pikkuseühikut pole olemas, kuna selle olemasolu oletus toob kaasa vastuolu. Ta näitas, et kui võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus sisaldab täisarvu ühiklõike, siis peab see arv olema nii paaris kui ka paaritu. Tõestus nägi välja selline:

Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ja jala pikkuse suhet saab väljendada järgmiselt a:b, Kus a Ja b valitud võimalikult väikseks.
Pythagorase teoreemi järgi: a² = 2 b².
Sest a- isegi, a peab olema paaris (kuna paaritu arvu ruut oleks paaritu).
Kuna a:b taandamatu b peab olema veider.
Sest a isegi, me tähistame a = 2y.
Siis a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y² seega b- isegi siis b isegi.
Siiski on tõestatud, et b kummaline. Vastuolu.

Kreeka matemaatikud nimetasid seda võrreldamatute suuruste suhet alogos(ütlematu), kuid legendide järgi ei avaldanud nad Hippasusele nõuetekohast austust. On legend, et Hippasus tegi avastuse merereisil ja teised Pythagorased viskasid ta üle parda "universumi elemendi loomise pärast, mis eitab doktriini, et kõiki universumi üksusi saab taandada täisarvudeks ja nende suheteks". Hippasuse avastamine tekitas Pythagorase matemaatika jaoks tõsise probleemi, hävitades selle aluseks olnud eelduse, et arvud ja geomeetrilised objektid on üks ja lahutamatud.

Vaata ka

Märkmed

Arvsüsteemid
Loendamine komplektid	Täisarvud ()

Kõikide naturaalarvude hulk on tähistatud tähega N. Naturaalarvud on arvud, mida kasutame objektide loendamiseks: 1,2,3,4, ... Mõnes allikas peetakse arvu 0 ka naturaalarvuks.

Kõikide täisarvude hulk on tähistatud tähega Z. Täisarvud on kõik naturaalarvud, null- ja negatiivsed arvud:

1,-2,-3, -4, …

Nüüd lisame kõigi täisarvude hulka kõigi tavaliste murdude hulk: 2/3, 18/17, -4/5 ja nii edasi. Siis saame kõigi ratsionaalarvude hulga.

Ratsionaalarvude hulk

Kõigi ratsionaalarvude hulk on tähistatud tähega Q. Kõigi ratsionaalarvude hulk (Q) on hulk, mis koosneb numbritest kujul m/n, -m/n ja arvust 0. Iga naturaalarv võib toimida kui n,m. Tuleb märkida, et kõiki ratsionaalarve saab esitada lõpliku või lõpmatu PERIOODIlise kümnendmurruna. Tõsi on ka vastupidine, et iga lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurdu saab kirjutada ratsionaalarvuna.

Aga kuidas on näiteks numbriga 2.0100100010...? See on lõpmatult MITTEPERIOOODILINE kümnendmurd. Ja see ei kehti ratsionaalsete arvude kohta.

Koolialgebra kursusel õpitakse ainult reaal- (või reaal)arve. Kõigi reaalarvude hulk on tähistatud tähega R. Hulk R koosneb kõigist ratsionaalsetest ja kõigist irratsionaalarvudest.

Irratsionaalarvude mõiste

Irratsionaalarvud on kõik lõpmatud kümnendmurrud, mis ei ole perioodilised. Irratsionaalsetel arvudel pole erilist tähistust.

Näiteks kõik arvud, mis saadakse naturaalarvude ruutjuure eraldamisel, mis ei ole naturaalarvude ruudud, on irratsionaalsed. (√2, √3, √5, √6 jne).

Kuid ärge arvake, et irratsionaalsed arvud saadakse ainult ruutjuurte eraldamisel. Näiteks arv “pi” on samuti irratsionaalne ja see saadakse jagamise teel. Ja ükskõik kui palju te ka ei püüaks, ei saa te seda ühegi naturaalarvu ruutjuure abil.

Mis on irratsionaalsed arvud? Miks neid nii kutsutakse? Kus neid kasutatakse ja mis need on? Vähesed inimesed suudavad neile küsimustele mõtlemata vastata. Kuid tegelikult on vastused neile üsna lihtsad, kuigi kõik ei vaja neid ja väga harvadel juhtudel

Olemus ja tähistus

Irratsionaalarvud on lõpmatud mitteperioodilised arvud.Selle mõiste kasutuselevõtu vajadus tuleneb sellest, et uute tekkivate probleemide lahendamiseks ei piisanud enam varem eksisteerinud reaal- või reaalarvude, täisarvude, naturaal- ja ratsionaalarvude mõistetest. Näiteks selleks, et arvutada, milline suurus on 2 ruut, peate kasutama mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendkohti. Lisaks pole paljudel lihtsatel võrranditel lahendust ka irratsionaalarvu kontseptsiooni tutvustamata.

Seda komplekti tähistatakse kui I. Ja nagu juba selge, ei saa neid väärtusi esitada lihtmurruna, mille lugeja on täisarv ja nimetaja

Esimest korda puutusid India matemaatikud selle nähtusega ühel või teisel viisil kokku 7. sajandil, kui avastati, et mõne suuruse ruutjuuri ei saa selgesõnaliselt näidata. Ja esimene tõend selliste arvude olemasolu kohta omistatakse Pythagorase Hippasusele, kes tegi seda võrdhaarse täisnurkse kolmnurga uurimisel. Mõned teised enne meie ajastut elanud teadlased andsid selle komplekti uurimisele tõsise panuse. Irratsionaalsete arvude kontseptsiooni kasutuselevõtt tõi kaasa olemasoleva matemaatilise süsteemi revideerimise, mistõttu on need nii olulised.

nime päritolu

Kui ladina keelest tõlgitud suhe on "murd", "suhe", siis eesliide "ir"
annab sellele sõnale vastupidise tähenduse. Seega näitab nende arvude hulga nimi, et neid ei saa korreleerida täisarvu või murdosaga ja neil on eraldi koht. See tuleneb nende olemusest.

Koht üldarvestuses

Irratsionaalarvud koos ratsionaalsete arvudega kuuluvad reaal- või reaalarvude rühma, mis omakorda kuuluvad kompleksarvude hulka. Alamhulka pole, kuid on algebralisi ja transtsendentaalseid variante, mida arutatakse allpool.

Omadused

Kuna irratsionaalarvud on osa reaalarvude hulgast, kehtivad nende kohta kõik nende omadused, mida aritmeetikas uuritakse (neid nimetatakse ka algebralisteks põhiseadusteks).

a + b = b + a (kommutatiivsus);

(a + b) + c = a + (b + c) (assotsiatiivsus);

a + (-a) = 0 (vastandarvu olemasolu);

ab = ba (kommutatiivne seadus);

(ab)c = a(bc) (jaotus);

a(b+c) = ab + ac (jaotusseadus);

a x 1/a = 1 (retsiprookarvu olemasolu);

Võrdlus toimub ka üldiste seaduste ja põhimõtete kohaselt:

Kui a > b ja b > c, siis a > c (seose transitiivsus) ja. jne.

Muidugi saab kõiki irratsionaalseid numbreid põhiaritmeetika abil teisendada. Spetsiaalseid reegleid selleks ei ole.

Lisaks kehtib Archimedese aksioom irratsionaalarvude kohta. Selles öeldakse, et iga kahe suuruse a ja b puhul on tõsi, et kui võtta a-d piisavalt korda, võite b-st võita.

Kasutamine

Vaatamata asjaolule, et te ei kohta neid igapäevaelus väga sageli, ei saa irratsionaalseid numbreid üles lugeda. Neid on tohutult palju, kuid nad on peaaegu nähtamatud. Irratsionaalsed arvud on kõikjal meie ümber. Kõigile tuttavad näited on arv pi, mis võrdub 3,1415926... või e, mis on sisuliselt naturaallogaritmi alus, 2,718281828... Algebras, trigonomeetrias ja geomeetrias tuleb neid pidevalt kasutada. Muide, ka "kuldse suhte" kuulus tähendus, st nii suurema osa ja väiksema osa suhe kui ka vastupidi,

kuulub sellesse komplekti. Vähem tuntud “hõbedane” ka.

Arvjoonel asuvad need väga tihedalt, nii et mis tahes kahe ratsionaalseks liigitatud suuruse vahel tekib kindlasti üks irratsionaalne.

Selle komplektiga on seotud veel palju lahendamata probleeme. On olemas sellised kriteeriumid nagu irratsionaalsuse mõõt ja arvu normaalsus. Matemaatikud jätkavad kõige olulisemate näidete uurimist, et teha kindlaks, kas need kuuluvad ühte või teise rühma. Näiteks arvatakse, et e on tavaline arv, st erinevate numbrite esinemise tõenäosus selle tähistuses on sama. Mis puutub pi-sse, siis selle kohta uuringud alles käivad. Irratsionaalsuse mõõt on väärtus, mis näitab, kui hästi saab antud arvu ratsionaalsete arvude abil lähendada.

Algebraline ja transtsendentaalne

Nagu juba mainitud, jagatakse irratsionaalarvud tinglikult algebralisteks ja transtsendentaalseteks. Tinglikult, kuna rangelt võttes kasutatakse seda klassifikatsiooni hulga C jagamiseks.

See tähistus peidab kompleksarvud, mis sisaldavad reaal- või reaalarve.

Niisiis, algebraline on väärtus, mis on polünoomi juur, mis ei ole identselt võrdne nulliga. Näiteks 2 ruutjuur kuuluks sellesse kategooriasse, kuna see on võrrandi x 2 lahendus – 2 = 0.

Kõiki teisi reaalarve, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse transtsendentaalseteks. Sellesse sorti kuuluvad kõige kuulsamad ja juba mainitud näited - arv pi ja naturaallogaritmi alus e.

Huvitav on see, et matemaatikud ei töötanud algselt üht ega teist, nende irratsionaalsus ja transtsendents tõestati palju aastaid pärast nende avastamist. Pi jaoks esitati tõestus 1882. aastal ja lihtsustati 1894. aastal, lõpetades 2500 aastat kestnud debati ringi ruudu ruudustamise probleemi üle. Seda pole ikka veel täielikult uuritud, nii et kaasaegsetel matemaatikutel on, mille kallal töötada. Muide, selle väärtuse esimese üsna täpse arvutuse viis läbi Archimedes. Enne teda olid kõik arvutused liiga ligikaudsed.

e jaoks (Euleri või Napieri arv) leiti 1873. aastal tõend selle ületamisest. Seda kasutatakse logaritmiliste võrrandite lahendamisel.

Muud näited hõlmavad siinuse, koosinuse ja tangensi väärtusi mis tahes algebralise nullist erineva väärtuse jaoks.