Leidke võrgus kahe sirge vahelise nurga koosinus. Nurk kahe joone vahel. Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel
1. ülesanne
Leidke ridade $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ ja $\left\( vahelise nurga koosinus \begin(massiivi )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(massiivi)\right.$.
Olgu ruumis antud kaks rida: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ ja $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Valime suvalise ruumipunkti ja tõmbame selle kaudu andmetega paralleelselt kaks abijoont. Antud joonte vaheline nurk on mis tahes kahest külgnevast nurgast, mille moodustavad abijooned. Ühe joontevahelise nurga koosinuse saab leida tuntud valemi $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Kui väärtus $\cos \phi >0$, siis saadakse joontevaheline teravnurk, kui $\cos \phi
Esimese rea kanoonilised võrrandid: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Teise sirge kanoonilised võrrandid saab parameetrilistest võrranditest:
\ \ \
Seega on selle rea kanoonilised võrrandid: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Arvutame:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ vasak(-3\parem)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \umbes 0,9449.\]
2. ülesanne
Esimene rida läbib antud punkte $A\left(2,-4,-1\right)$ ja $B\left(-3,5,6\right)$, teine rida läbib antud punkte $ C\left (1,-2,8\right)$ ja $D\left(6,7,-2\right)$. Leidke nende joonte vaheline kaugus.
Olgu mõni sirge risti sirgetega $AB$ ja $CD$ ning lõikub need vastavalt punktides $M$ ja $N$. Nendel tingimustel on lõigu $MN$ pikkus võrdne joonte $AB$ ja $CD$ vahelise kaugusega.
Ehitame vektori $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Laske sirgete vahekaugust tähistaval lõigul läbida punkti $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ joonel $AB$.
Ehitame $\overline(AM)$ vektori:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ riba(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektorid $\overline(AB)$ ja $\overline(AM)$ on samad, seega on need kollineaarsed.
On teada, et kui vektorid $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ ja $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ on kollineaarsed, siis on nende koordinaadid on proportsionaalsed, siis on $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kus $m $ on jagamise tulemus.
Siit saame: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Lõpuks saame punkti $M$ koordinaatide avaldised:
Ehitame $\overline(CD)$ vektori:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ vasak(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Laske sirgete vahekaugust tähistaval lõigul läbida punkti $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ joonel $CD$.
Konstrueerime vektori $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ riba(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Vektorid $\overline(CD)$ ja $\overline(CN)$ on samad, seega on need kollineaarsed. Rakendame kollineaarsete vektorite tingimust:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ kus $n $ on jagamise tulemus.
Siit saame: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Lõpuks saame punkti $N$ koordinaatide avaldised:
Ehitame $\overline(MN)$ vektori:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \parem)\cdot \bar(k).\]
Asendame punktide $M$ ja $N$ koordinaatide avaldised:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]
Pärast sammude täitmist saame:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Kuna jooned $AB$ ja $MN$ on risti, on vastavate vektorite skalaarkorrutis võrdne nulliga, st $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ vasak(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Pärast sammude sooritamist saame esimese võrrandi $m$ ja $n$ määramiseks: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Kuna jooned $CD$ ja $MN$ on risti, on vastavate vektorite skalaarkorrutis võrdne nulliga, st $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ [-5+25\cpunkt n+25\cpunkt m+18+81\cpunkt n-81\cpunkt m-90+100\cpunkt n+70\cpunkt m=0.\]
Pärast toimingute sooritamist saame teise võrrandi $m$ ja $n$ määramiseks: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Leidke $m$ ja $n$, lahendades võrrandisüsteemi $\left\(\begin(massiivi)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(massiivi)\right.$.
Kasutame Crameri meetodit:
\[\Delta =\left|\begin(massiivi)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(massiivi)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(massiivi)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(massiivi)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(massiivi)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(massiivi)\right|=10731;\ ]\
Leidke punktide $M$ ja $N$ koordinaadid:
\ \
Lõpuks:
Lõpuks kirjutame vektori $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ või $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$.
Ridade $AB$ ja $CD$ vaheline kaugus on vektori $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^(2) ) \ umbes 3,8565 $ lin. ühikut
Definitsioon
Geomeetrilist kujundit, mis koosneb kahe ühest punktist väljuva kiire vahele jääva tasandi kõigist punktidest, nimetatakse tasane nurk.
Definitsioon
Nurk kahe vahel ristuvad otsene nimetatakse väikseima tasapinna nurga väärtuseks nende sirgete ristumiskohas. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis eeldatakse, et nendevaheline nurk on null.
Kahe lõikuva joone vaheline nurk (kui seda mõõdetakse radiaanides) võib võtta väärtused nullist kuni $\dfrac(\pi)(2)$.
Definitsioon
Nurk kahe ristuva sirge vahel nimetatakse väärtuseks, mis on võrdne nurgaga kahe ristuva sirge vahel, mis on paralleelsed viltudega. Joonte $a$ ja $b$ vahelist nurka tähistab $\angle (a, b)$.
Sissejuhatatava definitsiooni õigsus tuleneb järgmisest teoreemist.
Tasapinna nurga teoreem paralleelsete külgedega
Kahe kumera tasapinnalise nurga väärtused, mille küljed on vastavalt paralleelsed ja võrdselt suunatud, on võrdsed.
Tõestus
Kui nurgad on sirged, on need mõlemad võrdsed $\pi$. Kui neid ei arendata, siis joonistame nurkade $\angle AOB$ ja $\angle A_1O_1B_1$ vastavatele külgedele võrdsed lõigud $ON=O_1ON_1$ ja $OM=O_1M_1$.
Nelinurk $O_1N_1NO$ on rööpkülik, kuna selle vastasküljed $ON$ ja $O_1N_1$ on võrdsed ja paralleelsed. Samamoodi on nelinurk $O_1M_1MO$ rööpkülik. Seega $NN_1 = OO_1 = MM_1$ ja $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, seega $NN_1=MM_1$ ja $NN_1 \paralleel MM_1$ transitiivsuse järgi. Nelinurk $N_1M_1MN$ on rööpkülik, kuna selle vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. Seega on segmendid $NM$ ja $N_1M_1$ samuti võrdsed. Kolmnurgad $ONM$ ja $O_1N_1M_1$ on kolmanda kolmnurga võrdsuse kriteeriumi kohaselt võrdsed, seega on ka vastavad nurgad $\angle NOM$ ja $\angle N_1O_1M_1$ võrdsed.
Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , siis nende joonte vaheline teravnurk määratakse järgmiselt
Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2 . Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2 .
Teoreem. Sirged Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB on proportsionaalsed. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.
Antud punkti läbiva sirge võrrand
Selle joonega risti
Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv ja sirgega y \u003d kx + b risti kulgev sirge on esitatud võrrandiga:
Kaugus punktist jooneni
Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui
.
Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:
(1)
Koordinaate x 1 ja y 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:
Süsteemi teine võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,
siis lahendades saame:
Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:
Teoreem on tõestatud.
Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.
Lahendus. Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.
Näide. Kolmnurga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.
Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3a + 3 = 0;
Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: 
kust b = 17. Kokku: . 
Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.
Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrand. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine
1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.
2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjutatud nii:
Kaht etteantud punkti läbiva sirge kalle määratakse valemiga
3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaldevõrranditega on antud kaks sirget
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
siis määratakse nendevaheline nurk valemiga
Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese sirge kalle teise sirge kaldest.
Kui sirge võrrandid on antud üldkujul
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
nendevaheline nurk määratakse valemiga
4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:
a) Kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, siis nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus on nende nõlvade võrdsus:
k 1 = k 2 . (8)
b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et koefitsiendid vastavatel voolukoordinaatidel nende võrrandites on võrdelised, s.t.
5. Kahe joone perpendikulaarsuse tingimused:
a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende kalded on suuruselt pöördsuurused ja vastasmärgilised, s.t.
Selle tingimuse saab kirjutada ka vormile
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimus (vajalik ja piisav) on võrdsuse täitmine
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis
1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine risti antud sirgega l.
Olgu jooned antud ruumis l Ja m. Läbi ruumi mingi punkti A tõmbame sirgjooned l 1 || l Ja m 1 || m(joonis 138).
Pange tähele, et punkti A saab valida suvaliselt, eelkõige võib see asuda ühel antud sirgel. Kui sirge l Ja m lõikuvad, siis A võib võtta nende sirgete lõikepunktiks ( l 1 =l Ja m 1 = m).
Nurk mitteparalleelsete joonte vahel l Ja m on ristuvate sirgjoonte moodustatud külgneva nurga väikseima väärtus l 1 Ja m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Eeldatakse, et paralleelsete joonte vaheline nurk on null.
Nurk ridade vahel l Ja m tähistatakse \(\widehat((l;m)) \). Definitsioonist järeldub, et kui seda mõõdetakse kraadides, siis 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° ja kui radiaanides, siis 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Ülesanne. Antud on kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (joonis 139).
Leidke nurk sirgete AB ja DC 1 vahel.
Sirge AB ja DC 1 ristmik. Kuna sirge DC on paralleelne sirgega AB, siis sirgete AB ja DC 1 vaheline nurk on definitsiooni kohaselt võrdne \(\widehat(C_(1)DC)\).
Seega \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Otsene l Ja m helistas risti, kui \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Näiteks kuubis
Joontevahelise nurga arvutamine.
Kahe sirge vahelise nurga arvutamise ülesanne ruumis on lahendatud samamoodi nagu tasapinnal. Tähistame φ-ga joonte vahelist nurka l 1 Ja l 2 , ja läbi ψ - suunavektorite vaheline nurk aga Ja b need sirged jooned.
Siis kui
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (joonis 206.6), siis φ = 180° - ψ. On ilmne, et mõlemal juhul on tõene võrdsus cos φ = |cos ψ|. Vastavalt valemile (nullist erineva vektorite a ja b vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutisega jagatuna nende pikkuste korrutisega) saame
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Järelikult
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Olgu sirged antud nende kanooniliste võrranditega
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Ja \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Seejärel määratakse joonte vaheline nurk φ valemi abil
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Kui üks sirgetest (või mõlemad) on antud mittekanooniliste võrranditega, tuleb nurga arvutamiseks leida nende joonte suunavektorite koordinaadid ja seejärel kasutada valemit (1).
1. ülesanne. Arvutage ridadevaheline nurk
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ja\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Sirgete suunavektoritel on koordinaadid:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Valemi (1) järgi leiame
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 60°.
2. ülesanne. Arvutage ridadevaheline nurk
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) ja \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(juhtumid) $$
Juhtvektori taga aga esimese sirge võtame normaalvektorite vektorkorrutise n 1 = (3; 0; -12) ja n 2 = (1; 1; -3) seda sirget määratlevad tasapinnad. Valemiga \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) saame
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Samamoodi leiame teise sirge suunavektori:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Kuid valem (1) arvutab soovitud nurga koosinuse:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 90°.
3. ülesanne. Kolmnurkses püramiidis MAVS on servad MA, MB ja MC üksteisega risti, (joon. 207);
nende pikkused on vastavalt 4, 3, 6. Punkt D on keskmine [MA]. Leidke nurk φ sirgete CA ja DB vahel.
Olgu SA ja DB sirgete SA ja DB suunavektorid.
Võtame koordinaatide alguspunktiks punkti M. Ülesande tingimuse järgi on meil A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Seetõttu \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Kasutame valemit (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Koosinuste tabeli järgi leiame, et sirgjoonte CA ja DB vaheline nurk on ligikaudu 72 °.
aga. Olgu antud kaks joont, mis, nagu 1. peatükis märgitud, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis antud juhul võivad olla nii teravad kui ka nürid. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.
Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis
Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektori projektsioonid, mille vaheline nurk on võrdne ühe sirgjoonte moodustatud nurgaga. Seetõttu on ülesanne taandatud vektorite vahelise nurga määramisele, saame
Lihtsuse huvides võime terava positiivse nurga mõistmiseks kokku leppida kahe sirge vahelise nurga (nagu näiteks joonisel 53).
Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel saadakse miinusmärk, peame selle kõrvale jätma, st säilitama ainult absoluutväärtuse.
Näide. Määrake joonte vaheline nurk
Valemi (1) järgi on meil
alates. Kui on märgitud, kumb nurga külgedest on selle algus ja milline lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemitest (1) veel midagi välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 valemi (1) paremal küljel saadud märk näitab, milline nurk - terav või nüri - moodustab teise rea esimesega.
(Tõepoolest, jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud joontevahelise nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)
d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!
See on vajalik ja piisav tingimus, et kaks sirget oleksid paralleelsed.
Näide. Otsene
on paralleelsed, sest
e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuse, nimelt
Näide. Otsene
risti, sest
Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.
f. Joonistage läbi punkti antud sirgega paralleelne sirge
Otsus tehakse nii. Kuna soovitud sirge on paralleelne antud sirgega, siis selle suunavektoriks võib võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Seejärel kirjutatakse soovitud sirge võrrand. kujul (§ 1)
Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirgjoone võrrand
on järgmine!
g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega
Siin ei sobi enam võtta projektsioonidega A vektorit ja suunamisvektoriks, vaid on vaja sellega risti vektorit vinnata. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt tingimusele, et mõlemad vektorid on risti, st vastavalt tingimusele
Seda tingimust saab täita lõpmatul arvul viisidel, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga. Aga kõige lihtsam on see võtta. Siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand kujul
Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand
on järgmine (teise valemi järgi)!
h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega
kirjutades need võrrandid erinevalt ümber, on meil