Leidke paralleelsete joonte vaheline kaugus ruumis. Joonte suhteline asukoht ruumis. Probleemid joonega ruumis

Tõestus.

Võtame punkti , mis asub sirgel a, siis punkti koordinaadid M1 võrrandit rahuldama, see tähendab, et võrdsus on tõsi, kust meil on .

Kui fondi suurus:12,0pt;reakõrgus:115%;font-family:Verdana"> b paistab nagufont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> ja kui, siis sirge normaalvõrrand b paistab nagufont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Siis kl font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">kaugus punktistsirgjoonele b arvutatakse valemiga, ja millal - vastavalt valemile

See tähendab, et mis tahes väärtuse eest C2 vahemaa punktist sirgjoonele b saab arvutada valemi abil. Ja kui me võtame arvesse võrdsust, mis saadi ülal, siis võtab viimane valem kujufont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Teoreem on tõestatud.

2. Paralleelsete sirgete vahekauguse leidmise ülesannete lahendamine

Näide nr 1.

Leidke paralleelsete joonte vaheline kaugus Ja Lahendus.

Leiame antud paralleelsete sirgete üldvõrrandid.

Otse jaoks fondi suurus: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">vasted üldvõrrand otse. Liigume vormi sirgjoone parameetrilistest võrranditestfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">selle rea üldvõrrandisse:

fondi suurus: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">muutujate koefitsiendid x Ja y Saadud üldvõrrandites on paralleelsed sirged võrdsed, nii et saame kohe rakendada valemit tasapinna paralleelsete sirgete vahelise kauguse arvutamiseks:.

Vastus: fondi suurus: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Näide nr 2.

Tasapinnal võetakse kasutusele ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja antud kahe paralleelse sirge võrrandid Ja . Leidke näidatud paralleelsete joonte vaheline kaugus.

Lahendus:

Esimene lahendus.

Sirge kanoonilised võrrandid vormi tasapinnalfondi suurus: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">võimaldab teil kohe salvestada punkti koordinaadid M1 lamades sellel real:fondi suurus: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Kaugus sellest punktist sirgjoonenivõrdne paralleelsete joonte vahelise nõutava kaugusega. Võrrandon sirge tavavõrrand, seega saame kohe arvutada kauguse punktist sirgjoonele font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Teine lahendus.

Ühe antud paralleelse sirge üldvõrrand on meile juba antudfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Esitame joone kanoonilise võrrandisirge üldvõrrandile:. Muutuja koefitsiendid xüldvõrrandites on antud paralleelsed sirged võrdsed (muutujaga y koefitsiendid on samuti võrdsed - need on võrdsed nulliga), nii et saate kasutada valemit, mis võimaldab arvutada antud paralleelsete joonte vahelise kauguse:.

Vastus: 8

3. Kodutöö

Enesetesti ülesanded

1. Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

4. JÄRELDUS

Kõik seatud eesmärgid ja eesmärgid on täielikult täidetud. Kaks õppetundi on välja töötatud jaotisest " Vastastikune korraldus objektid tasapinnal“ teemal „Punkti kaugus jooneni. Paralleeljoonte vaheline kaugus” koordinaatmeetodil. Materjal valitakse õpilastele kättesaadaval tasemel, mis võimaldab lahendada geomeetriaülesandeid lihtsamate ja ilusamate meetodite abil.

5. VIITED

1) , Yudina. 7. – 9. klass: õpik üldharidusasutustele.

2) , Poznyak. Õpik keskkooli 10-11 klassile.

3) , Nikolski matemaatika. Esimene köide: lineaaralgebra ja analüütilise geomeetria elemendid.

4) , Poznyaki geomeetria.

6. RAKENDUSED

Võrdlusmaterjal

Sirge üldvõrrand:

Ah + Wu + C = 0 ,

Kus A Ja IN ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Koefitsiendid A Ja IN on koordinaadid normaalvektor sirgjoon (st joonega risti olev vektor). Kell A = 0 teljega paralleelne sirgjoon Oh, kell B = 0 teljega paralleelne sirgjoon KOHTA Y .

Kell IN0 saame kaldega sirge võrrand :

Punkti läbiva sirge võrrand ( X 0 , juures 0) ja mitte teljega paralleelneOY, on kujul:

juures – juures 0 = m (x – X 0) ,

Kus m – kalle , võrdne antud sirge ja telje positiivse suuna poolt moodustatud nurga puutujaga Oh .

Kell A font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

Kus a = – C / A , b = – C / B . See joon läbib punkte (a, 0) ja (0, b), st lõikab koordinaattelgedel ära pikkusega segmentea Ja b .

Kaht erinevat punkti läbiva sirge võrrand (X 1, juures 1) ja ( X 2, juures 2):

Sirge parameetriline võrrand punkti läbimine ( X 0 , juures 0) ja paralleelselt suunavektori sirgjoon (a, b) :

Tingimus paralleelsete joonte jaoks:

1) sirgjoonte jaoks Ah+ Wu+ C = 0 jaDx+Ey+F = 0: A.E. – BD = 0 ,

2) sirgjoonte jaoks juures = m x+ k Ja juures= lk x+ q : m = lk .

Käesolevas artiklis analüüsitakse ühtse riigieksami ülesande C2 lahendamise näitel koordinaatmeetodi abil leidmise meetodit. Tuletage meelde, et sirgjooned on viltu, kui nad ei asu samal tasapinnal. Täpsemalt, kui üks sirge asub tasapinnal ja teine ​​sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei asu esimesel sirgel, siis sellised sirged lõikuvad (vt joonist).

Leidma ristumisjoonte vahelised kaugused vajalik:

1. Joonistage ühe lõikuva joonega tasapind, mis on paralleelne teise ristumisjoonega.
2. Kujutage risti teise sirge mis tahes punktist saadud tasapinnale. Selle risti pikkus on vajalik joonte vaheline kaugus.

Analüüsime seda algoritmi üksikasjalikumalt, kasutades matemaatika ühtse riigieksami ülesande C2 lahendamise näidet.

Ridade vaheline kaugus ruumis

Ülesanne.Ühikukuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 leidke joonte vaheline kaugus B.A. 1 ja D.B. 1 .

Riis. 1. Ülesande joonistamine

Lahendus. Kuubi diagonaali keskosa kaudu D.B. 1 (punkt O) tõmmake joonega paralleelne joon A 1 B. Selle sirge lõikepunktid servadega B.C. Ja A 1 D 1 on vastavalt tähistatud N Ja M. Otse MN asub lennukis MNB 1 ja paralleelselt joonega A 1 B, mis ei asu selles tasapinnas. See tähendab, et sirgjoon A 1 B paralleelselt tasapinnaga MNB 1 sirge ja tasandi paralleelsuse alusel (joon. 2).

Riis. 2. Ristumisjoonte vaheline nõutav kaugus on võrdne kaugusega valitud joone mis tahes punktist kujutatud tasapinnani

Nüüd otsime kaugust joone mingist punktist A 1 B lennukisse MNB 1 . See kaugus on definitsiooni järgi nõutav kaugus ristumisjoonte vahel.

Selle kauguse leidmiseks kasutame koordinaatide meetodit. Tutvustame ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatide süsteemi nii, et selle alguspunkt langeb kokku punktiga B, telg X suunati mööda serva B.A., telg Y- mööda serva B.C., telg Z- mööda serva BB 1 (joonis 3).

Riis. 3. Valime ristkülikukujulise ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, nagu on näidatud joonisel

Tasapinna võrrandi leidmine MNB 1 selles koordinaatsüsteemis. Selleks määrame esmalt punktide koordinaadid M, N Ja B 1: Asendame saadud koordinaadid sirge üldvõrrandiga ja saame järgmise võrrandisüsteemi:

Süsteemi teisest võrrandist saame kolmandast, mille järel saame esimesest Asendage saadud väärtused sirge üldvõrrandisse:

Märgime, et muidu lennuk MNB 1 läbiks päritolu. Jagage selle võrrandi mõlemad pooled ja saame:

Kaugus punktist tasapinnani määratakse valemiga.

Sellega Interneti-kalkulaator leiate ruumi sirgjoonte vahelise kauguse. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Ruumijoonte vahelise kauguse arvutamiseks määrake joonte võrrandi tüüp ("kanooniline" või "parameetriline"), sisestage lahtritesse joonte võrrandite koefitsiendid ja klõpsake nuppu "Lahenda".

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täisarvud või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Ridade vaheline kaugus ruumis – teooria, näited ja lahendused

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz L 1 ja L 2:

.

(1)

,

(2)

Kus M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − sirgel asuvad punktid L 1 ja L 2, a q 1 ={m 1 , lk 1 , l 1) ja q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 ) – sirgete suunavektorid L 1 ja L 2, vastavalt.

Sirged (1) ja (2) ruumis võivad kokku langeda, olla paralleelsed, lõikuvad või lõikuvad. Kui ruumis olevad sirged lõikuvad või langevad kokku, on nende vaheline kaugus null. Vaatleme kahte juhtumit. Esimene on see, et sirged on paralleelsed, ja teine ​​on see, et sirged ristuvad. Ülejäänud on tavalised juhtumid. Kui paralleelsete sirgete vahelise kauguse arvutamisel saame kauguse võrdseks nulliga, tähendab see, et need sirged langevad kokku. Kui ristuvate sirgete vaheline kaugus on null, siis need sirged lõikuvad.

1. Ruumi paralleeljoonte vaheline kaugus

Vaatleme kahte meetodit joonte vahelise kauguse arvutamiseks.

1. meetod. Punktist M 1 sirge L 1 joonistage tasapind α , joonega risti L 2. Punkti leidmine M 3 (x 3 , y 3 , y 3) tasapinnalised ristumiskohad α ja sirge L 3. Sisuliselt leiame punkti projektsiooni M 1 sirge L 2. Kuidas leida punkti projektsioon joonele, vaata. Järgmisena arvutame punktide vahelise kauguse M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Näide 1. Leidke joonte vaheline kaugus L 1 ja L 2:

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Väärtuste asendamine m 2 , lk 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 in (5) saame:

Leiame sirge lõikepunkti L 2 ja lennuk α , loome selleks sirge parameetrilise võrrandi L 2 .

Sirge lõikepunkti leidmiseks L 2 ja lennuk α , asendage muutujate väärtused x, y, z(7) kuni (6):

Saadud väärtuse asendamine t punktis (7) saame sirge lõikepunkti L 2 ja lennuk α :

Jääb üle leida punktide vaheline kaugus M 1 ja M 3:

L 1 ja L 2 võrdub d=7.2506.

2. meetod. Leidke joonte vaheline kaugus L 1 ja L 2 (võrrandid (1) ja (2)). Esiteks kontrollime joonte paralleelsust L 1 ja L 2. Kui sirgjoonte suunavektorid L 1 ja L 2 on kollineaarsed, st. kui on selline arv λ, et võrdsus q 1 =λ q 2, siis otse L 1 ja L 2 on paralleelsed.

See paralleelsete vektorite vahelise kauguse arvutamise meetod põhineb vektorite vektorkorrutise kontseptsioonil. On teada, et vektorite ja vektorkorrutise norm q 1 näitab nende vektorite moodustatud rööpküliku pindala (joonis 2). Kui teate rööpküliku pindala, saate leida rööpküliku tipu d, jagades ala alusega q 1 rööpkülik.

q 1:

.

Ridade vaheline kaugus L 1 ja L 2 võrdub:

,

,

Näide 2. Lahendame näite 1 meetodi 2 abil. Leidke sirgete vaheline kaugus

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) ja sellel on suunavektor

q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vektorid q 1 ja q 2 on kollineaarsed. Seetõttu otse L 1 ja L 2 on paralleelsed. Paralleeljoonte vahelise kauguse arvutamiseks kasutame vektorite vektorkorrutist.

Ehitame vektori =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Arvutame vektorite ja vektorkorrutise q 1 . Selleks loome 3×3 maatriksi, mille esimene rida on baasvektorid i, j, k, ja ülejäänud read on täidetud vektorite elementidega ja q 1:

Seega vektorite ja vektorkorrutise tulemus q 1 on vektor:

Vastus: ridade vaheline kaugus L 1 ja L 2 võrdub d=7.25061.

2. Ristmisjoonte vaheline kaugus ruumis

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz ja olgu antud koordinaatsüsteemis sirged L 1 ja L 2 (võrrandid (1) ja (2)).

Lase sirgeks L 1 ja L 2 ei ole paralleelsed (paralleelseid sirgeid käsitlesime eelmises lõigus). Ridadevahelise kauguse leidmiseks L 1 ja L 2 peate ehitama paralleelsed tasapinnad α 1 ja α 2 nii, et see oleks sirge L 1 lamas lennukis α 1 sirge L 2 - lennukis α 2. Siis ridade vaheline kaugus L 1 ja L 2 on võrdne tasapindade vahelise kaugusega L 1 ja L 2 (joonis 3).

Kus n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − tasapinna normaalvektor α 1 . Lennuki jaoks α 1 läbis sirgjoone L 1, normaalvektor n 1 peab olema suunavektori suhtes ortogonaalne q 1 sirge L 1, st. skalaarkorrutis nendest vektoritest peab olema võrdne nulliga:

Lineaarvõrrandisüsteemi (27)−(29) lahendamine kolme võrrandi ja nelja tundmatuga A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ja asendades võrrandiga

Lennukid α 1 ja α 2 on paralleelsed, seega saadud normaalvektorid n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) ja n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) need tasapinnad on kollineaarsed. Kui need vektorid ei ole võrdsed, saame (31) korrutada teatud arvuga nii, et saadud normaalvektor n 2 langes kokku võrrandi (30) normaalvektoriga.

Seejärel arvutatakse paralleelsete tasapindade vaheline kaugus valemiga:

(33)

Lahendus. Otse L 1 läbib punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja sellel on suunavektor q 1 ={m 1 , lk 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) ja sellel on suunavektor q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Ehitame lennuki α 1 läbib liini L 1, paralleelne sirgjoonega L 2 .

Alates lennukist α 1 läbib liini L 1, siis läbib see ka punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja normaalvektor n 1 ={m 1 , lk 1 , l 1) lennuk α 1 risti suunavektoriga q 1 sirge L 1 . Siis peab tasapinna võrrand täitma tingimust:

Alates lennukist α 1 peab olema joonega paralleelne L 2, siis peab olema täidetud järgmine tingimus:

Esitame need võrrandid maatriksi kujul:

(40)

Lahendame lineaarvõrrandisüsteemi (40) suhtes A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab lõõgastumine hiljem, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirge suhteline asukoht

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirgjoont võivad:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Palun pea meeles matemaatiline märk ristmikel, juhtub seda väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on võrdelised, see tähendab, et on olemas arv “lambda”, mille puhul võrdsused on täidetud

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage –1-ga (muuda märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 2 võrra lõigates saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed st “lambda” väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

IN praktilisi probleeme võite kasutada just arutatud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida me klassis vaatasime Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelisi asukohti:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin pole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet millegi eest pakkuda sõltumatu otsus, on parem panna geomeetrilisse vundamendisse veel üks oluline tellis:

Kuidas konstrueerida antud sirgega paralleelset sirget?

Selle teadmatuse pärast lihtsaim ülesanne Röövli ööbik karistab karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Geomeetria näidis näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist määravad kiiresti ilma joonisteta joonte paralleelsuse.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, nii et vaatleme teile tuttavat probleemi kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Palun kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus- need on kaks tasapinnal ristuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatasime graafilist lahendust lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid on märgatavaid puudusi. Ei, asi ei ole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise loomine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Asjakohaste oskuste arendamiseks võtke õppetund Kuidas võrrandisüsteemi lahendada?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Sirgete vaheline nurk

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas konstrueerida antud sirgega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimuste järgi on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja abiga vektorite skalaarkorrutis jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Kas meie lõbus reis jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Traditsiooniliselt tähistatakse geomeetrias kaugust Kreeka kiri“ro”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgeni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leia kaugus punktist sirgeni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirgjoone suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan toimingud ise läbi viia, kuid toon välja lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskpunkti koordinaatide valemid leiame.

Hea oleks kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Siin võib arvutamisel tekkida raskusi, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Nurk kahe sirge vahel

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias peetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et ta ei saa olla loll. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et saame tavalise nurga mõistega hakkama. Fakt on see, et valemid, mille abil leiame nurgad, võivad kergesti anda negatiivse tulemuse ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti noolega (päripäeva) selle suund.

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus Ja Meetod üks

Mõelge kahele sirgele, võrranditega antud V üldine vaade:

Kui sirge mitte risti, See orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörakem hoolikalt tähelepanu nimetajale - see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame sirgete suunavektorite skalaarkorrutise:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsioon Nurka ise on lihtne leida. Sel juhul kasutame arctangensi veidrust (vt. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Vastuses osutame täpne väärtus, samuti ligikaudne väärtus (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis arvutatakse kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võtke koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsesest .

Ei möödunud minutitki, kui lõin uue Verdovi faili ja jätkasin nii põnevat teemat. Peate jäädvustama töömeeleolu hetki, nii et lüürilist sissejuhatust ei teki. Tuleb proosaline lahmimine =)

Kaks sirget tühikut võivad:

1) ristand;

2) lõikuvad punktis ;

3) olema paralleelne;

4) vaste.

Juhtum nr 1 erineb põhimõtteliselt teistest juhtumitest. Kaks sirget ristuvad, kui nad ei asu samal tasapinnal. Tõstke üks käsi üles ja sirutage teine ​​käsi ette – siin on näide joonte ületamise kohta. Punktides nr 2-4 peavad asetsema sirged ühes lennukis.

Kuidas teada saada joonte suhtelisi asukohti ruumis?

Mõelge kahele otsesele ruumile:

– punkti ja suunavektoriga määratletud sirgjoon;
– punkti ja suunavektoriga määratletud sirgjoon.

Parema mõistmise huvides teeme skemaatilise joonise:

Joonisel on näitena toodud ristuvad sirged.

Kuidas nende sirgjoontega toime tulla?

Kuna punktid on teada, on vektorit lihtne leida.

Kui sirge ristuvad, siis vektorid mitte koplanaarne(vaata õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused) ja seetõttu on nende koordinaatidest koosnev determinant nullist erinev. Või mis on tegelikult sama asi, on see nullist erinev: .

Juhtudel nr 2-4 “langeb” meie struktuur ühte tasapinda ja vektorid koplanaarne, ja lineaarselt sõltuvate vektorite segakorrutis võrdub nulliga: .

Laiendame algoritmi veelgi. Teeskleme seda Seetõttu sirged kas lõikuvad, on paralleelsed või langevad kokku.

Kui suunavektorid kollineaarne, siis on sirged kas paralleelsed või langevad kokku. Lõpliku naela jaoks pakun välja järgmise tehnika: võtke ühel real suvaline punkt ja asendage selle koordinaadid teise rea võrrandiga; kui koordinaadid "sobivad", siis jooned langevad kokku; kui nad "ei sobi", siis on jooned paralleelsed.

Algoritm on lihtne, kuid praktilised näited aitavad siiski:

Näide 11

Uurige kahe joone suhtelist asukohta

Lahendus: nagu paljudes geomeetriaülesannetes, on lahendust mugav sõnastada punktide kaupa:

1) Võrranditest võtame välja punktid ja suunavektorid:

2) Leidke vektor:

Seega on vektorid koplanaarsed, mis tähendab, et sirged asuvad samal tasapinnal ja võivad ristuda, olla paralleelsed või kokku langeda.

4) Kontrollime suunavektorite kollineaarsust.

Loome nende vektorite vastavatest koordinaatidest süsteemi:

Alates kõik võrranditest järeldub, et järelikult on süsteem järjekindel, vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised ja vektorid kollineaarsed.

Järeldus: jooned on paralleelsed või langevad kokku.

5) Uurige, kas joontel on ühiseid punkte. Võtame esimesele reale kuuluva punkti ja asendame selle koordinaadid sirge võrranditega:

Seega pole joontel ühiseid punkte ja neil pole muud valikut kui paralleelsed.

Vastus:

Huvitav näide sõltumatu lahenduse jaoks:

Näide 12

Uurige joonte suhtelisi asukohti

See on näide, mille saate ise lahendada. Pange tähele, et teisel real on parameetrina täht. Loogiline. Üldjuhul on tegemist kahe erineva reaga, seega on igal real oma parameeter.

Ja veelkord soovitan teil näiteid mitte vahele jätta, minu pakutud ülesanded pole kaugeltki juhuslikud ;-)

Probleemid joonega ruumis

Õppetunni viimases osas püüan kaaluda maksimaalne summa mitmesugused probleemid ruumijoontega. Sel juhul järgitakse loo algset järjekorda: kõigepealt käsitleme probleeme ristumisjoontega, seejärel ristuvate sirgetega ja lõpus räägime paralleelsetest joontest ruumis. Pean siiski ütlema, et mõned selle õppetunni ülesanded saab sõnastada korraga mitme ridade asukoha jaoks ja sellega seoses on jaotise jagamine lõikudeks mõnevõrra meelevaldne. Neid on rohkemgi lihtsaid näiteid, neid on rohkemgi keerulised näited, ja ma loodan, et igaüks leiab vajaliku.

Piire ületama

Lubage mul teile meelde tuletada, et sirged lõikuvad, kui puudub tasapind, milles need mõlemad asuvad. Kui ma harjutust läbi mõtlesin, tuli mulle meelde koletise probleem ja nüüd on mul hea meel tuua teie tähelepanu nelja peaga draakonile:

Näide 13

Antud sirged jooned. Nõutud:

a) tõestada, et sirged ristuvad;

b) leida antud sirgetega risti läbiva sirge võrrandid;

c) koostab võrrandid sirgest, mis sisaldab ühine risti piire ületama;

d) leidke joonte vaheline kaugus.

Lahendus: See, kes kõnnib, valdab teed:

a) Tõestame, et sirged lõikuvad. Leiame nende joonte punktid ja suunavektorid:

Leiame vektori:

Arvutame vektorite segakorrutis:

Seega vektorid mitte koplanaarne, mis tähendab, et jooned lõikuvad, mida oli vaja tõestada.

Tõenäoliselt on kõik juba ammu märganud, et joonte ületamiseks on kontrollalgoritm kõige lühem.

b) Leidke punkti läbiva ja sirgetega risti oleva sirge võrrandid. Teeme skemaatilise joonise:

Vahelduseks postitasin otse TAGA sirge, vaata, kuidas see ristumiskohtades veidi kustutatakse. Ristamist? Jah, üldiselt ristub sirgjoon “de” algsete sirgjoontega. Kuigi Sel hetkel meid see veel ei huvita, me lihtsalt peame ehitama risti ja kõik.

Mida teatakse otsese "de" kohta? Selle juurde kuuluv punkt on teada. Juhtvektorit pole piisavalt.

Tingimuse kohaselt peab sirge olema sirgetega risti, mis tähendab, et selle suunavektor on suunavektoritega ortogonaalne. Juba näitest nr 9 tuttav, leiame vektorkorrutise:

Koostame punkti ja suunavektori abil sirge "de" võrrandid:

Valmis. Põhimõtteliselt saab nimetajates märke muuta ja vastuse vormile kirjutada , kuid selleks pole vajadust.

Kontrollimiseks peate saadud sirgjoone võrranditega asendama punkti koordinaadid ja seejärel kasutama vektorite skalaarkorrutis veenduge, et vektor oleks tõesti ortogonaalne suunavektorite "pe üks" ja "pe kaks" suhtes.

Kuidas leida ühisristi sisaldava sirge võrrandeid?

c) See probleem on keerulisem. Soovitan mannekeenidel see punkt vahele jätta, ma ei taha jahutada teie siirast kaastunnet analüütilise geomeetria vastu =) Muide, ka ettevalmistatumatel lugejatel oleks ehk parem tagasi hoida, tõsiasi on see, et keerukuse mõttes on näide tuleks paigutada artiklis viimaseks, kuid esitusloogika järgi peaks see asuma siin.

Niisiis, peate leidma kaldjoonte ühist risti sisaldava joone võrrandid.

- see on segment, mis ühendab neid jooni ja on nende joontega risti:

Siin on meie kena mees: - ristuvate joonte ühine risti. Ta on ainuke. Teist sellist pole. Peame seda lõiku sisaldava joone jaoks looma võrrandid.

Mida teatakse otsese "um" kohta? Selle suunavektor on teada, leitud eelmises lõigus. Kuid kahjuks ei tea me ühtki sirgele “em” kuuluvat punkti ega ka ristsirge – punkte . Kus see risti asetsev joon lõikub kahe algse sirgega? Aafrikas, Antarktikas? Seisundi esialgsest ülevaatusest ja analüüsist pole üldse selge, kuidas probleemi lahendada... Kuid sirgjoone parameetriliste võrrandite kasutamisega on seotud üks keeruline trikk.

Otsuse sõnastame punkthaaval:

1) Kirjutame esimese rea võrrandid ümber parameetrilisel kujul:

Mõelgem asjale. Me ei tea koordinaate. AGA. Kui punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid , tähistame seda . Seejärel kirjutatakse punkti koordinaadid kujul:

Elu läheb paremaks, üks tundmatu pole ikka veel kolm tundmatut.

2) Sama pahameeletorm tuleb läbi viia ka teises punktis. Kirjutame teise rea võrrandid ümber parameetrilisel kujul:

Kui punkt kuulub antud sirgele, siis väga konkreetse tähendusega selle koordinaadid peavad vastama parameetrilised võrrandid:

Või:

3) Vektor, nagu ka varem leitud vektor, on sirge suunav vektor. Sellest, kuidas kahest punktist vektorit konstrueerida, arutati aastal aegumatu aeg tunnis Mannekeenide vektorid. Nüüd on erinevus selles, et vektorite koordinaadid on kirjutatud tundmatud väärtused parameetrid. Mis siis? Keegi ei keela lahutada vektori lõpu koordinaatidest vektori alguse vastavaid koordinaate.

Seal on kaks punkti: .

Vektori leidmine:

4) Kuna suunavektorid on kollineaarsed, siis üks vektor on lineaarselt väljendatud teise kaudu teatud proportsionaalsuse koefitsiendiga “lambda”:

Või koordineerige koordinaatide kaupa:

See osutus kõige tavalisemaks lineaarvõrrandi süsteem kolme tundmatuga, mis on näiteks standardselt lahendatav, Crameri meetod. Kuid siin on võimalik väljuda väikese kaotusega; kolmandast võrrandist väljendame "lambda" ja asendame selle esimese ja teise võrrandiga:

Seega: ja me ei vaja "lambdat". See, et parameetrite väärtused osutusid samaks, on puhtalt õnnetus.

5) Taevas on täiesti selge, asendame leitud väärtused meie punktidele:

Suunavektorit pole eriti vaja, kuna selle vaste on juba leitud.

Pärast pikka reisi on alati huvitav kontrollida.

:

Saadakse õiged võrdsused.

Asendame võrranditesse punkti koordinaadid :

Saadakse õiged võrdsused.

6) Lõpuakord: loome sirgjoone võrrandid, kasutades punkti (võite selle võtta) ja suunavektorit:

Põhimõtteliselt saate valida "hea" punkti tervete koordinaatidega, kuid see on kosmeetiline.

Kuidas leida ristuvate joonte kaugust?

d) Lõikasime draakoni neljanda pea maha.

Meetod üks. Isegi mitte viis, vaid väike erijuhtum. Ristumisjoonte vaheline kaugus on võrdne nende ühise risti pikkusega: .

Ühisristi äärmuspunktid leitud eelmises lõigus ja ülesanne on elementaarne:

Teine meetod. Praktikas on enamasti ühise perpendikulaari otsad teadmata, mistõttu kasutatakse teistsugust lähenemist. Paralleelseid tasapindu saab tõmmata läbi kahe ristuva sirge ja nende tasandite vaheline kaugus on võrdne nende sirgete vahelise kaugusega. Eelkõige paistab nende tasandite vahelt välja ühine risti.

Analüütilise geomeetria käigus tuletatakse ülaltoodud kaalutlustest valem ristuvate sirgete vahelise kauguse leidmiseks:
(meie punktide "um one, two" asemel võite võtta suvalised joonepunktid).

Vektorite segakorrutis juba punktis "a" leitud: .

Vektorite vektorkorrutis leitud lõigus "olla": , arvutame selle pikkuse:

Seega:

Paneme trofeed uhkelt välja ühes reas:

Vastus:
A) , mis tähendab, et sirged lõikuvad, mida oli vaja tõestada;
b) ;
V) ;
G)

Mida veel joonte ületamise kohta öelda? Nende vahel on määratletud nurk. Kuid järgmises lõigus käsitleme universaalset nurga valemit:

Ristuvad sirged ruumid asuvad tingimata samal tasapinnal:

Esimene mõte on kõigest jõust ristumispunktile toetuda. Ja ma mõtlesin kohe, et miks keelata endale õigeid soove?! Lähme kohe tema peale!

Kuidas leida ruumiliste joonte lõikepunkti?

Näide 14

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Kirjutame joonte võrrandid ümber parameetrilisel kujul:

See ülesanne seda käsitleti üksikasjalikult selle õppetunni näites nr 7 (vt. Ruumi sirge võrrandid). Ja muide, võtsin sirgjooned ise näitest nr 12. Ma ei valeta, ma olen liiga laisk, et uusi välja mõelda.

Lahendus on standardne ja seda on juba kohatud, kui püüdsime välja selgitada ristuvate sirgete ühisristi võrrandeid.

Sirgete lõikepunkt kuulub sirgele, mistõttu selle koordinaadid vastavad selle sirge parameetrilistele võrranditele ja vastavad neile väga spetsiifiline parameetri väärtus:

Kuid see sama punkt kuulub ka teise rida, seega:

Võrdsustame vastavad võrrandid ja teostame lihtsustusi:

Saadakse kolmest lineaarvõrrandist koosnev süsteem kahe tundmatuga. Kui sirged lõikuvad (mis on tõestatud näites nr 12), on süsteem tingimata järjekindel ja unikaalse lahendusega. Seda saab lahendada Gaussi meetod, kuid me ei tee pattu sellise lasteaiafetišismiga, teeme seda lihtsamalt: esimesest võrrandist väljendame "te nulli" ja asendame selle teise ja kolmanda võrrandiga:

Kaks viimast võrrandit osutusid sisuliselt samaks ja neist järeldub, et . Seejärel:

Asendame parameetri leitud väärtuse võrranditesse:

Vastus:

Kontrollimiseks asendame parameetri leitud väärtuse võrranditesse:
Saadi samad koordinaadid, mida oli vaja kontrollida. Põhjalikud lugejad võivad punkti koordinaadid originaaliga asendada kanoonilised võrrandid otse

Muide, oli võimalik teha vastupidist: leida punkt läbi “es zero” ja kontrollida seda läbi “te zero”.

Tuntud matemaatiline ebausk ütleb: seal, kus räägitakse sirgete lõikepunktist, on alati haisu perpendikulaaride järgi.

Kuidas konstrueerida ruumijoont, mis on antud ruumiga risti?

(jooned ristuvad)

Näide 15

a) Kirjutage üles sirgega risti läbiva sirge võrrandid (jooned ristuvad).

b) Leia kaugus punktist sirgeni.

Märge : klausel "jooned ristuvad" - märkimisväärne. Läbi punkti
saate joonistada lõpmatu arvu risti jooni, mis lõikuvad sirgega "el". Ainuke otsus esineb juhul, kui läbi see punkt sirgjoon tõmmatakse risti kaks antud sirgjoonega (vt näide nr 13 punkt “b”).

A) Lahendus: Tähistame tundmatut rida . Teeme skemaatilise joonise:

Mida teatakse sirgjoonest? Vastavalt tingimusele antakse punkt. Sirge võrrandite koostamiseks on vaja leida suunavektor. Vektor on sellise vektorina üsna sobiv, seega käsitleme seda. Täpsemalt, võtame vektori tundmatu otsa kuklasse.

1) Võtame sirge “el” võrranditest välja selle suunavektori ja kirjutame võrrandid ise ümber parameetrilisel kujul:

Paljud arvasid, et nüüd tõmbab mustkunstnik tunni jooksul juba kolmandat korda kübarast välja valge luige. Vaatleme tundmatute koordinaatidega punkti. Kuna punkt on , vastavad selle koordinaadid sirge “el” parameetrilistele võrranditele ja need vastavad konkreetsele parameetri väärtusele:

Või ühes reas:

2) Tingimuse järgi peavad sirged olema risti, seetõttu on nende suunavektorid risti. Ja kui vektorid on ortogonaalsed, siis nende skalaarkorrutis võrdub nulliga:

Mis juhtus? Kõige lihtsam lineaarvõrrandühe tundmatuga:

3) Parameetri väärtus on teada, leiame punkti:

Ja suunavektor:
.

4) Koostame sirgjoone võrrandid punkti ja suunavektori abil :

Proportsiooni nimetajad osutusid murdosadeks ja just nii ongi, kui on paslik murdudest lahti saada. Ma korrutan need lihtsalt -2-ga:

Vastus:

Märge : lahenduse rangem lõpp formaliseeritakse järgmiselt: koostame sirgjoone võrrandid punkti ja suunavektori abil . Tõepoolest, kui vektor on sirge juhtvektor, siis loomulikult on kollineaarvektor ka selle sirge juhtvektor.

Kontrollimine koosneb kahest etapist:

1) kontrollib sirgete suunavektorite ortogonaalsust;

2) asendame iga sirge võrrandisse punkti koordinaadid, need peaksid “mahtuma” nii sinna kui sinna.

Tüüpilistest tegevustest räägiti palju, nii et kontrollisin mustandit.

Muide, ma unustasin veel ühe punkti - konstrueerida punkt “zyu”, mis on sümmeetriline punkti “en” suhtes sirge “el” suhtes. Siiski on hea "lame analoog", mille leiate artiklist Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Siin on ainus erinevus täiendavas Z-koordinaadis.

Kuidas leida kaugust punktist jooneni ruumis?

b) Lahendus: Leiame kauguse punktist sirgeni.

Meetod üks. See kaugus on täpselt võrdne risti pikkusega: . Lahendus on ilmne: kui punktid on teada , See:

Teine meetod. Praktilistes ülesannetes on risti alus sageli suletud saladus, mistõttu on ratsionaalsem kasutada valmis valemit.

Kaugus punktist sirgeni väljendatakse järgmise valemiga:
, kus on sirge "el" suunav vektor ja - tasuta antud sirgele kuuluv punkt.

1) Sirge võrranditest võtame välja suunavektori ja kõige ligipääsetavama punkti.

2) Punkt on tingimusest teada, teritage vektorit:

3) leiame vektorprodukt ja arvutage selle pikkus:

4) Arvutage juhtvektori pikkus:

5) Seega kaugus punktist sirgeni: