Tõenäosuse jaotuse normaalseadus. Tavaliste SV väärtuste sattumise tõenäosus matemaatilise ootuse suhtes sümmeetrilisse intervalli, kolme sigma reegel Leia matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervall

Antud on normaaljaotusega juhusliku suuruse X matemaatiline ootus a=3 ja standardhälve =5.

Kirjutage tõenäosusjaotuse tihedus ja joonistage see skemaatiliselt.

Leidke tõenäosus, et x võtab väärtuse vahemikust (2;10).

Leidke tõenäosus, et x saab väärtuse, mis on suurem kui 10.

Leidke matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervall, milles sisalduvad suuruse x väärtused tõenäosusega =0,95.

1). Koostame valemi abil juhusliku suuruse X jaotustiheduse funktsiooni parameetritega а=3, =5

. Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku
. Pöörame tähelepanu asjaolule, et normaalkõver on sümmeetriline sirge x = 3 suhtes ja selle max on selles punktis võrdne
, st.
ja kaks käändepunkti
ordinaadiga

Koostame graafiku

2) Kasutame valemit:

Funktsiooni väärtused leiate rakenduste tabelist.

4) Kasutame valemit
. Tingimuse järgi tõenäosus langeda matemaatilise ootuse suhtes sümmeetrilisse intervalli
. Tabelit kasutades leiame t, mille juures Ф(t)=0,475, t=2. Tähendab
. Seega
. Vastus on x(-1;7).

Probleemidele 31-40.

Leidke usaldusvahemik hinnangule, mille usaldusväärsus on 0,95 üldkogumi normaaljaotusega tunnuse X tundmatu matemaatilise ootuse a usaldusväärsusega, kui üldine standardhälve =5, valimi keskmine
ja valimi suurus n=25.

Peame leidma usaldusvahemiku
.

Kõik suurused peale t on teada. Leiame t suhtest Ф(t)=0,95/2=0,475. Kasutades lisatabelit leiame t=1,96. Asendades saame lõpuks soovitud usaldusvahemiku 12.04

Probleemidele 41-50.

Tehnilise kontrolli osakond kontrollis 200 identsete toodete partiid ja sai järgmise empiirilise jaotuse, sagedus n i - partiide arv, mis sisaldas x i mittestandardset toodet. Olulisuse tasemel 0,05 on vaja kontrollida hüpoteesi, et toodete arv mittestandardsed tooted X levitatakse vastavalt Poissoni seadusele.

Leiame näidise keskmise:

Võtame Poissoni jaotuse parameetri  hinnanguks valimi keskmise =0,6. Seetõttu eeldatakse Poissoni seadust
paistab nagu
.

Seadistusega i=0,1,2,3,4 leiame i mittestandardsete toodete ilmumise tõenäosused P i 200 partii puhul:
,
,
,
,
.

Leiame valemi abil teoreetilised sagedused
. Asendades selle valemiga tõenäosusväärtused, saame
,
,
,
,
.

Võrdleme empiirilisi ja teoreetilisi sagedusi Pearsoni testi abil. Selleks koostame arvutustabeli. Kombineerime väikesed sagedused (4+2=6) ja vastavad teoreetilised sagedused (3,96+0,6=4,56).

Tõenäosus, et CB kõrvalekalle X temalt M.O. a absoluutväärtuses on väiksem kui antud positiivne arv, võrdne

Kui paneme selle võrdsuse sisse, saame

s w:space="720"/>"> ,

See tähendab, et normaalselt jaotatud SV X eksib oma M.O. a, reeglina alla 3. See on nn 3 sigma reegel, mida kasutatakse sageli matemaatilises statistikas.

Ühe juhusliku suuruse funktsioon. Ühe SV funktsiooni matemaatiline ootus.(tetr)

Kui juhusliku suuruse iga võimalik väärtus X vastab juhusliku suuruse ühele võimalikule väärtusele Y , See Y helistas juhusliku argumendi funktsioon X: Y = φ (X ).

Uurime, kuidas argumendi teadaoleva jaotusseaduse põhjal leida funktsiooni jaotusseadust.

1) Laske väita X – diskreetne juhuslik suurus, erinevate väärtustega X erinevad väärtused vastavad Y . Seejärel vastavate väärtuste tõenäosused X Ja Y võrdne .

2) Kui erinevad väärtused X samad väärtused võivad vastata Y , siis liidetakse argumentide väärtuste tõenäosused, mille korral funktsioon võtab sama väärtuse.

3) Kui X – pidev juhuslik suurus, Y = φ (X ), φ (x ) on monotoonne ja diferentseeruv funktsioon ja ψ (juures ) – funktsioon pöördväärtusega φ (X ).

Ühe juhusliku argumendi funktsiooni matemaatiline ootus.

Lase Y = φ (X ) – juhusliku argumendi funktsioon X , ja see on kohustatud leidma selle matemaatilise ootuse, teades jaotusseadust X .

1) Kui X on siis diskreetne juhuslik suurus

2) Kui X on siis pidev juhuslik suurus M (Y ) saab otsida erineval viisil. Kui jaotustihedus on teada g (y ), See

21. Kahe juhusliku argumendi funktsioon. Funktsiooni Z=X+Y jaotus diskreetsete sõltumatute SV-de X ja Y jaoks. (tetr)

Kui juhuslike suuruste X ja Y iga võimalike väärtuste paar vastab juhusliku suuruse Z ühele võimalikule väärtusele, siis Z nimetatakse kahe juhusliku argumendi X ja Y funktsiooniks ja kirjutatakse Z=φ(X,Y) . Kui X ja Y on diskreetsed sõltumatud juhuslikud muutujad, siis funktsiooni Z=X+Y jaotuse leidmiseks on vaja leida kõik võimalikud Z väärtused, mille jaoks piisab iga võimaliku väärtuse liitmisest. X kõigi Y võimalike väärtustega; Z leitud võimalike väärtuste tõenäosused on võrdsed X ja Y liidetud väärtuste tõenäosuste korrutistega. Kui X ja Y on pidevad sõltumatud juhuslikud suurused, siis jaotustihedus g(z) summa Z = X+Y (eeldusel, et vähemalt ühe argumendi jaotustihedus on intervallis (- oo, oo) antud ühe valemiga) on leitav valemiga või samaväärse valemiga , kus f1 ja f2 on argumentide jaotustihedused; kui argumentide võimalikud väärtused on mittenegatiivsed, siis väärtuse Z=X + Y jaotustihedus g(z) leitakse valemi või samaväärse valemi abil. Juhul, kui mõlemad tihedused f1(x) ja f2(y) on antud lõplike intervallidega, on suuruse Z = X+Y tiheduse g(z) leidmiseks soovitatav esmalt leida jaotusfunktsioon G(z) ja seejärel eristada seda z suhtes: g(z)=G'(z). Kui X ja Y on sõltumatud juhuslikud suurused, mis on määratud vastavate jaotustihedustega f1(x) ja f2(y), siis on tõenäosus, et juhuslik punkt (X, Y) langeb piirkonda D, on võrdne topeltintegraaliga üle selle piirkonna. jaotustiheduste korrutisest: P [( X, Y)cD] = . Diskreetsed sõltumatud juhuslikud muutujad X ja Y määratakse jaotuste abil:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Leidke juhusliku suuruse jaotus Z = X + K. Lahendus. Väärtuse Z=X+Y jaotuse loomiseks on vaja leida kõik võimalikud Z väärtused ja nende tõenäosused. Z võimalikud väärtused on X iga võimaliku väärtuse summad kõigi Y võimalike väärtustega: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3 = 3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Leiame nende võimalike väärtuste tõenäosused. Selleks, et Z=3, piisab, kui väärtus X võtab väärtuseks x1= l ja väärtuseks K-väärtuseks y1=2. Nende võimalike väärtuste tõenäosused, mis tulenevad nendest jaotusseadustest, on vastavalt 0,3 ja 0,6. Kuna argumendid X ja Y on sõltumatud, on sündmused X = 1 ja Y = 2 sõltumatud, seega on nende ühise toimumise tõenäosus (s.o sündmuse Z = 3 tõenäosus) korrutusteoreemi järgi 0,3 * 0,6 = 0,18. Samamoodi leiame:

I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P(Z = 3. = 7) = 0,7-0,4 = 0,28. Kirjutame nõutud jaotuse, liides esmalt kokkusobimatute sündmuste tõenäosused Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

Z 3 5 7; P 0,18 0,54 0,28 . Kontroll: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

Nagu varem mainitud, tõenäosusjaotuste näited pidev juhuslik suurus X on:

• ühtlane jaotus
• eksponentsiaalne jaotus pideva juhusliku suuruse tõenäosused;
• pideva juhusliku suuruse normaalne tõenäosusjaotus.

Anname normaaljaotuse seaduse mõiste, sellise seaduse jaotusfunktsiooni ja juhusliku suuruse X teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamise protseduuri.

№	Indeks	Normaaljaotuse seadus	Märge
	Definitsioon	Normaalseks kutsutud pideva juhusliku suuruse X tõenäosusjaotus, mille tihedus on kujul
			kus m x on juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, σ x on standardhälve
2	Jaotusfunktsioon
	Tõenäosus langeb intervalli (a;b)		- Laplace'i lahutamatu funktsioon
	Tõenäosus asjaolu, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv δ		juures m x = 0

Näide ülesande lahendamisest teemal “Pideva juhusliku suuruse normaaljaotuse seadus”

Ülesanne.

Teatud osa pikkus X on normaaljaotuse seaduse järgi jaotatud juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 20 mm ja standardhälve 0,2 mm.
Vajalik:
a) kirjuta üles jaotustiheduse avaldis;
b) leida tõenäosus, et detaili pikkus jääb vahemikku 19,7–20,3 mm;
c) leida tõenäosus, et kõrvalekalle ei ületa 0,1 mm;
d) määrab, mitu protsenti on osad, mille kõrvalekalle keskmisest väärtusest ei ületa 0,1 mm;
e) leida, milline kõrvalekalle tuleks seada, et osade protsent, mille kõrvalekalle keskmisest ei ületaks määratud väärtust, tõuseks 54%-ni;
f) leida keskmise väärtuse suhtes sümmeetriline intervall, milles X asub tõenäosusega 0,95.

Lahendus. A) Leiame tavalise seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse X tõenäosustiheduse:

eeldusel, et m x = 20, σ = 0,2.

b) Juhusliku suuruse normaaljaotuse korral määratakse intervalli (19,7; 20,3) sattumise tõenäosus järgmiselt:
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Väärtuse Ф(1,5) = 0,4332 leidsime lisadest, Laplace'i integraalfunktsiooni Φ(x) väärtuste tabelist ( tabel 2 )

V) Leiame tõenäosuse, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv 0,1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Väärtuse Ф(0,5) = 0,1915 leidsime lisadest, Laplace'i integraalfunktsiooni Φ(x) väärtuste tabelist ( tabel 2 )

G) Kuna alla 0,1 mm hälbe tõenäosus on 0,383, siis järeldub, et keskmiselt 38,3 osal 100-st on selline kõrvalekalle, s.t. 38,3%.

d) Kuna osade protsent, mille kõrvalekalle keskmisest ei ületa määratud väärtust, on kasvanud 54%-ni, siis P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Rakenduse kasutamine ( tabel 2 ), leiame δ/σ = 0,74. Seega δ = 0,74 * σ = 0,74 * 0,2 = 0,148 mm.

e) Kuna vajalik intervall on sümmeetriline keskmise väärtuse m x = 20 suhtes, saab seda defineerida kui X väärtuste kogumit, mis rahuldab ebavõrdsust 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Tingimuse kohaselt on X leidmise tõenäosus soovitud intervallis 0,95, mis tähendab P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Rakenduse kasutamine ( tabel 2 ), leiame δ/σ = 1,96. Seega δ = 1,96 * σ = 1,96 * 0,2 = 0,392.
Otsinguintervall : (20 – 0,392; 20 + 0,392) või (19,608; 20,392).

Näide 1. Normaaljaotusega pideva SV matemaatiline ootus X M(X) = 6 ja standardhälve s( X) = 2.

Leidke: 1) SV väärtuste tabamise tõenäosus X intervallis (2; 9);

3) intervall sümmeetriline suhtes a X tõenäosusega g = 0,9642.

Lahendus. 1) Leidke SV väärtuste tabamise tõenäosus X intervalli (2; 9).

Laplace'i funktsiooni väärtused laualt võetud. Funktsiooni Ф(– veidruse omadus X) = – Ф( X).

2) Määrake tõenäosus

Sest a = M(X) = 6 ja s = s( X) = 2, siis

3) Leidke intervall, mis on sümmeetriline a, mis sisaldab SV väärtusi X tõenäosusega g = 0,9642.

Laplace'i funktsiooni väärtuste tabelist leiame, et d = 4,2. Siis on intervall –4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Näide 2. Juhuslik väärtus T(tunnid) – seadme tööaeg on eksponentsiaalse jaotusega. Leidke tõenäosus, et seade töötab ilma remondita vähemalt 600 tundi, kui seda tüüpi seadmete keskmine rikkevaba tööaeg on 400 tundi.

Lahendus. M(T) = 400 tundi, seega vastavalt valemile (1.46) Kuna eksponentsiaalse jaotuse jaoks See
0,2233.

Näide 3. Juhuslik väärtus X jaotatud ühtlaselt segmendile [ a, b]. Leidke juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X segmendi jaoks
, mis sisaldub täielikult segmendis [ a, b].

Lahendus. Kasutame valemit kus on tõenäosustihedus

.

Seega

Näide 4. Elektrirongid sõidavad ajavahemike järel rangelt graafiku alusel
20 minutit. Leia tõenäosus, et perroonile saabuv reisija ootab järgmist elektrirongi üle 10 minuti, samuti keskmine ooteaeg.

Lahendus. X– elektrirongi ooteaega (min) võib pidada ühtlaselt jaotatud juhuslikuks muutujaks tihedusega:

ja see on elektrirongi keskmine ooteaeg.

Näide 5. Masin toodab pukse. Puks loetakse sobivaks, kui kõrvalekalle X selle läbimõõt kavandatud suurusest absoluutväärtuses on väiksem kui 1 mm. Eeldusel, et juhuslik muutuja X jaotatud normaalselt standardhälbega s = 0,5 mm ja matemaatilise ootusega a= 0, leidke, kui palju sobivaid pukse 100 toodetud hulgas on, samuti tõenäosus, et kõrvalekalle projekteeritud suurusest on vähemalt 0,4 mm ja mitte rohkem kui 0,8 mm.

Lahendus. Kasutame valemit () d = 1, s = 0,5 ja a = 0.

Sellest järeldub, et umbes 95 puksi 100-st sobivad.

Et leida tõenäosus, et kõrvalekalle projekteeritud suurusest on vähemalt 0,4 mm ja mitte rohkem kui 0,8 mm, kasutame valemit (1,54)

juures a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Funktsiooni Ф( väärtused x) leiame tabelist.

Ülesande valikud

VALIK 1

X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i
p i	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x M(X), dispersioon D(XX), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Iga laskur laseb sihtmärki ühe korra. Tõenäosus, et esimene, teine ​​ja kolmas laskur tabavad sihtmärki ühe lasuga, on vastavalt 0,8; 0,6 ja 0,9. Sest
CB X– sihtmärgi tabamuste koguarv kindlaksmääratud tingimustel, koostada jaotusseeria ja leida F(x), M(X), s( X) Ja D(X).

Ülesanne 3. Mõne sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses on 0,6. Nõutav: 1) konstrueerida diskreetse jaotuse seeria CB X– sündmuse esinemiste arv A neljas sõltumatus katses; 2) hindab tõenäosust, et 80 sõltumatu katse seerias ilmneb see sündmus vähemalt 60 korda.

Ülesanne 4. Diskreetne CB X antud jaotussarja järgi:

x i	–2	–1
p i	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Leidke jaotusseeriad CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) Ja D(Y).

Ülesanne 5. Pidev CB X

Leia: a) jaotustihedus f(x); b) M(x); V) d) tõenäosus, et kolmes sõltumatus katses CB X võtab intervallile kuuluvaid väärtusi täpselt kaks korda

Ülesanne 6. Antud funktsioon

A CB X. Otsi F(x), M(X) Ja D(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 14 ja s( X NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a CB X tõenäosusega g = 0,8385.

Ülesanne 8. Stopperi skaala jagamisväärtus on 0,2 s. Aega loetakse lähima täisjaotuseni, ümardatuna lähima punktini. Loendusviga määratud tingimustel võib pidada ühtlaselt jaotatud juhuslikuks muutujaks.

Leidke selle stopperi abil ajastamise tõenäosus veaga a) alla 0,05 s; b) mitte vähem kui 0,01 s ja mitte rohkem kui 0,05 s.

2. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i	–2	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Loosis on 100 piletit, millest 10 on võidukad. Keegi ostab 4 piletit. Sest SV X– ostetavate piletite võitnud piletite arv, koosta jaotusseeria ja leia F(x), M(X), s( X).

Ülesanne 3. Aruanded koostatakse üksteisest sõltumatult. Iga aruande koostamisel on vea tegemise tõenäosus 0,3. Nõutav: 1) konstrueerida jaotusseeria CB X – vigadega aruannete arv nelja koostatud hulgas; arvutama M(X), D(X) ja s( X); 2) hindab tõenäosust, et 50 aruande koostamisel on vigadega 20 aruannet.

Ülesanne 4. On teada, et diskreetne CB X võib võtta ainult kaks väärtust x 1 = –2 ja x 2 = 3 ja selle matemaatiline ootus M(X) = 1,5. Koostage jaotussarjad CB X Ja CB Z= Leia F(z) ja s( Z).

Ülesanne 5. Pidev CB X jaotusfunktsiooni poolt antud

f(x); 2) M(x) Ja D(X);
3) 4) tõenäosus, et kolmel sõltumatul katsel CB X täpselt üks kord saab intervalli (1; 4) kuuluva väärtuse.

Ülesanne 6. Antud funktsioon

Määrake parameetri väärtus A, mille juures see funktsioon määrab mõne pideva tõenäosusjaotuse tiheduse CB X. Otsi F(x), M(X), D(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 12 ja s( X NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a intervall, millesse väärtused langevad CB X tõenäosusega g = 0,4515.

Ülesanne 8. Teatud detaili juhuslik mõõtmisviga allub normaalseadusele parameetriga s = 20 mm. Leidke tõenäosus, et: a) detail mõõdeti veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 22 mm; b) ühelgi kahest tehtud mõõtmisest ei ületa viga absoluutväärtuses 22 mm.

3. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i
p i	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Kõrgushüppevõistlusel noortekoondisse kaasatud kolmest sportlasest saab läbida kvalifitseeritud stardid tõenäosusega 0,9, teine ​​0,8 ja kolmas tõenäosusega 0,6. Sest CB X– võistkondlike sportlaste arv, kes pääsevad järgmisse võistlusvooru, loovad jaotussarja ja leiavad M(X), s( X).

Ülesanne 3. Sihtmärki tehakse rida iseseisvaid lasku. Iga lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Nõutav: 1) konstrueerida jaotusseeria CB X – tabamuste arv kolme lasuga; 2) hindab tõenäosust, et 100 lasuga tuleb vähemalt 90 tabamust.

Ülesanne 4. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i	–3	–2	–1
p i	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Leidke seeria ja jaotusfunktsioon CB Y = 2X + 1, M(Y) Ja D(Y).

Ülesanne 5. Pidev CB X jaotusfunktsiooni poolt antud

Leia: 1) jaotustihedus f(x); 2) M(x) Ja D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X täpselt kaks korda, võetakse intervalli (–2,3; 1,5) kuuluvad väärtused.

Ülesanne 6. Antud funktsioon

Määrake parameetri väärtus A, mille juures see funktsioon määrab mõne pideva tõenäosusjaotuse tiheduse CB X. Otsi F(x), Ja M(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 13 ja s( X NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a intervall, millesse väärtused langevad CB X tõenäosusega g = 0,9973.

Ülesanne 8. Teatavasti on teleri remondi aeg juhuslik suurus X, mis on jaotatud eksponentsiaalseaduse järgi, mille keskmine teleri remondiaeg on kaks nädalat. Leidke tõenäosus, et töökotta toodud teleri parandamiseks kulub: a) vähem kui 10 päeva; b) 9 kuni 12 päeva.

4. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i	–10	–5
p i	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Teenindajal on 5 erinevat võtit erinevatesse ruumidesse. Võttes juhuslikult võtme välja, püüab ta avada ühe toa ust. Diskreetseks CB X– katsete arv ust avada (kontrollitud võtit teist korda ei kasutata), koostada jaotusseeria ja leida F(x) Ja M(X).

Ülesanne 3. Tõenäosus valmistada iga detaili standardtoorist etteantud täpsusparameetritega detail on 0,8.

Nõutav: 1) konstrueerida jaotusseeria CB X– viiest standardtoorikust valmistatavate etteantud täpsusomadustega osade arv; 2) hindab tõenäosust, et 90 toorikust valmistatakse etteantud täpsusomadustega 70 detaili.

CB X Ja Y:

x i
p i	?	0,5	0,2

y i
p i	0,6	?

Loo jaotusseeria CB Z = Y – X. Otsi M(Z) Ja D(Z).

Ülesanne 5. Pidev CB X jaotusfunktsiooni poolt antud

Leia: 1) jaotustihedus f(x); 2) M(x); 3) CB X võtab intervallile kuuluvaid väärtusi täpselt kolm korda

Ülesanne 6. Antud funktsioon

Määrake parameetri väärtus A, mille juures see funktsioon määrab mõne pideva tõenäosusjaotuse tiheduse CB X. Otsi F(x), M(X) Ja D(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 16 ja s( X) = 2 normaalse jaotusega pidev NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a intervall, millesse väärtused langevad CB X tõenäosusega g = 0,9281.

Ülesanne 8. Täiskasvanud mehe pikkus on SV X, mis on jaotatud normaalseaduse järgi parameetritega A= 175 cm ja s = 10 cm Leia tõenäosus, et juhuslikult valitud mehe pikkus on: a) väiksem kui 180 cm; b) mitte vähem kui 170 cm ja mitte üle 175 cm.

5. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i
p i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Sihtmärk koosneb ringist ja kahest kontsentrilisest rõngast. Ringi tabamine on väärt 6 punkti, rõngas 2 on väärt 4 punkti ja rõngas 3 on väärt kaks punkti. Ringi ja rõngastesse 2 ja 3 sattumise tõenäosus on 0,2; 0,3 ja 0,5. Diskreetseks SV X– kolme tabamuse tulemusena välja löödud punktide summa, koostada jaotusseeria ja leida F(x), M(X), s( X).

Ülesanne 3. Automaatrida koosneb n sama tüüpi iseseisvalt töötavad masinad. Tõenäosus, et masin vajab iga masina vahetuse ajal reguleerimist, on 0,3. Nõutav: 1) konstrueerida jaotusseeria CB X– vahetuse ajal reguleerimist vajavate masinate arv, kui n= 4; 2) hinnata tõenäosust, et vahetuses vajab reguleerimist 20 masinat, kui n = 100.

Ülesanne 4. Diskreetse ühisjaotus CB X Ja Y antud tabeli järgi:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Looge levitamisseadus CB Z = Y + X. Otsi M(Z) Ja D(Z).

Ülesanne 5. Pidev CB X jaotusfunktsiooni poolt antud

Leia: 1) jaotustihedus f(x); 2) M(x) Ja D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X täpselt kaks korda, võetakse intervalli (3; 9) kuuluvad väärtused.

Ülesanne 6. Antud funktsioon

Määrake parameetri väärtus A, mille juures see funktsioon määrab mõne pideva tõenäosusjaotuse tiheduse CB X. Otsi F(x), M(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 10 ja s( X) = 4 normaalse jaotusega pidev NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a intervall, millesse väärtused langevad CB X tõenäosusega g = 0,5161.

Ülesanne 8. Elektrikella minutiosuti liigub järsult iga minuti lõpus. Juhuslik väärtus X– ekraanil kuvatava aja ja tegeliku aja vahe on ühtlaselt jaotunud. Leia tõenäosus, et kell näitab mingil ajahetkel tegelikust erinevat aega: a) mitte vähem kui 10 s ja mitte rohkem kui 25 s võrra; b) mitte vähem kui 25 sekundit.

6. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i	–5	–3	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Rühmas on 12 õpilast, kellest 5 elavad ühiselamus. Nimekirjast valitakse juhuslikult 4 õpilast. Sest SV X– õpilaskodus elavate õpilaste arv väljavalitute hulgast, koostada jaotusseeria ja leida F(x), M(X) Ja D(X).

Ülesanne 3. Vananenud seadmetega sama tüüpi detailide valmistamisel võib iga osa osutuda defektseks tõenäosusega 0,1. Koostage jaotusseeria CB X< 3);
4) tõenäosus, et neljas sõltumatus katses CB X võtab intervalli (1; 3) kuuluvaid väärtusi täpselt kaks korda.

Ülesanne 6. Antud funktsioon

Määrake parameetri väärtus A, mille juures see funktsioon määrab mõne pideva tõenäosusjaotuse tiheduse CB X. Otsi F(x), M(X) Ja D(X). Koostage graafik F(x).

Ülesanne 7. Antud M(X) = 11 ja s( X) = 3 normaalse jaotusega pidev NE X. Leia:

1) tõenäosus ;

2) tõenäosus ;

3) sümmeetriline suhteliselt a intervall, millesse väärtused langevad CB X tõenäosusega g = 0,9973.

Ülesanne 8. Teatud brändi teleri tööaeg on juhuslik suurus, mis jaotub vastavalt parameetritele tavalise seaduse järgi A= 12 aastat ja s = 2 aastat. Leidke tõenäosus, et teler töötab ilma remondita: a) 9 kuni 12 aastat;
b) vähemalt 10 aastat.

7. VARIANT

Ülesanne 1. Diskreetne juhuslik suurus X (CB X) on antud jaotussarjana:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Leia: 1) jaotusfunktsioon F(x); 2) numbrilised tunnused: matemaatiline ootus M(X), dispersioon D(X), standardhälve s( X), mood M 0 (X); 3) tõenäosus P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Ülesanne 2. Töötaja hooldab 4 iseseisvalt töötavat masinat. Tõenäosus, et tunni jooksul ei vaja masin esimese masina puhul töötaja tähelepanu, on 0,7; teisele – 0,75; kolmandale – 0,8; neljandale – 0,9. Diskreetseks SV X- masinate arv, mis ei vaja tunni jooksul töötaja tähelepanu, looge jaotusseeria ja leidke F(x), M(X) Ja D(X).

Probleem 3. Saadaval n iseseisvalt töötavad masinad. Koostage jaotusseeria CB X– teatud ajahetkel töötavate masinate arv, kui n= 6 ja tõenäosus, et masin teatud ajahetkel töötab, on 0,9; arvutama M(X) Ja D(X). Hinnake tõenäosust, et ettevõte, millel on n= 180 ja iga masina töötõenäosus on 0,98, praegu töötavate masinate arv on vähemalt 170.

Ülesanne 4. Sõltumatu diskreetse jaotuse seadused CB X Ja Y:

x i
p i	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
p i	?	0,4

Loo jaotusseeria CB Z = XY+ 2. Otsi M(Z) Ja D(Z).

Tavalise tõenäosusjaotuse seadus

Liialdamata võib seda nimetada filosoofiliseks seaduseks. Vaadeldes ümbritsevas maailmas erinevaid objekte ja protsesse, puutume sageli kokku tõsiasjaga, et millestki ei piisa ja et on norm:


Siin on põhivaade tihedusfunktsioonid normaalne tõenäosusjaotus ja ma tervitan teid selle huvitava õppetüki juures.

Milliseid näiteid saate tuua? Nendes on lihtsalt pimedus. See on näiteks inimeste (ja mitte ainult) pikkus, kaal, füüsiline jõud, vaimsed võimed jne. Seal on "põhimass" (ühel või teisel põhjusel) ja kõrvalekaldeid on mõlemas suunas.

Need on elutute objektide erinevad omadused (sama suurus, kaal). See on protsesside juhuslik kestus, näiteks sajameetrise võistluse aeg või vaigu muutumine merevaiguks. Füüsikast jäid mulle meelde õhumolekulid: osa neist on aeglased, osad kiired, aga enamus liigub “standardkiirusel”.

Järgmisena kaldume keskpunktist kõrvale veel ühe standardhälbe võrra ja arvutame kõrguse:

Punktide tähistamine joonisel (roheline värv) ja me näeme, et sellest piisab.

Viimases etapis joonistame hoolikalt graafiku ja eriti hoolikalt seda peegeldama kumer/nõgus! Tõenäoliselt saite juba ammu aru, et x-telg on horisontaalne asümptoot, ja selle taha “ronida” on absoluutselt keelatud!

Elektrooniliselt lahendust vormistades on lihtne Excelis graafikut koostada ning endalegi ootamatult salvestasin sel teemal isegi väikese video. Kuid kõigepealt räägime sellest, kuidas normaalse kõvera kuju muutub sõltuvalt ja väärtustest.

"a" suurendamisel või vähendamisel (pideva "sigmaga") graafik säilitab oma kuju ja liigub paremale/vasakule vastavalt. Näiteks kui funktsioon võtab vormi ja meie graafik “liigub” 3 ühikut vasakule - täpselt koordinaatide alguspunkti:


Normaalselt jaotatud suurus nulli matemaatilise ootusega sai täiesti loomuliku nime - tsentreeritud; selle tihedusfunktsioon – isegi, ja graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

"Sigma" muutumise korral (konstandiga "a"), graafik "jääb samaks", kuid muudab kuju. Suurendades muutub see madalamaks ja piklikuks, nagu kaheksajalg, mis sirutab oma kombitsaid. Ja vastupidi, graafiku vähendamisel muutub kitsamaks ja kõrgemaks- selgub, et see on "üllatunud kaheksajalg". Jah, millal vähenema"sigma" kaks korda: eelmine graafik kitseneb ja venib kaks korda üles:

Kõik on täielikus kooskõlas graafikute geomeetrilised teisendused.

Nimetatakse normaaljaotust ühikulise sigma väärtusega normaliseeritud ja kui on ka tsentreeritud(meie juhtum), siis sellist jaotust nimetatakse standard. Sellel on veelgi lihtsam tihedusfunktsioon, mis on juba leitud Laplace'i lokaalne teoreem: . Tavaline distributsioon on praktikas leidnud laialdast rakendust ja varsti saame lõpuks aru selle eesmärgist.

Noh, vaatame nüüd filmi:

Jah, täiesti õige – kuidagi teenimatult jäi see varju tõenäosusjaotuse funktsioon. Pidagem teda meeles määratlus:
- tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab väärtuse VÄHEM kui muutuja, mis "jookseb" läbi kõigist tegelikest väärtustest kuni "pluss" lõpmatuseni.

Integraali sees kasutatakse tavaliselt erinevat tähte, et tähistusega ei oleks “kattuvusi”, sest siin on iga väärtus seotud vale integraal , mis on võrdne mõnega number intervallist .

Peaaegu kõiki väärtusi ei saa täpselt arvutada, kuid nagu me just nägime, pole tänapäevase arvutusvõimsuse korral see keeruline. Niisiis, funktsiooni jaoks standardjaotus, sisaldab vastav Exceli funktsioon tavaliselt ühte argumenti:

=NORMSDIST(z)

Üks, kaks – ja ongi valmis:

Joonis näitab selgelt kõigi rakendamist jaotusfunktsiooni omadused, ja tehnilistest nüanssidest peaksite siin tähelepanu pöörama horisontaalsed asümptoodid ja käändepunkt.

Meenutagem nüüd üht teema põhiülesannet, nimelt uurime välja, kuidas leida tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus võtab väärtuse intervallist. Geomeetriliselt on see tõenäosus võrdne ala normaalkõvera ja x-telje vahel vastavas osas:

aga iga kord üritan saada ligikaudset väärtust on ebamõistlik ja seetõttu on seda ratsionaalsem kasutada "lihtne" valem:
.

! Samuti mäletab , Mida

Siin saate Excelit uuesti kasutada, kuid on paar olulist "aga": esiteks pole see alati käepärast ja teiseks tekitavad "valmis" väärtused tõenäoliselt õpetajal küsimusi. Miks?

Olen sellest varemgi korduvalt rääkinud: omal ajal (ja mitte väga ammu) oli tavaline kalkulaator luksus ja õppekirjanduses säilib kõnealuse ülesande lahendamise “käsitsi” meetod siiani. Selle olemus on standardiseerida väärtused "alfa" ja "beeta", st taandavad lahenduse standardjaotusele:

Märge : funktsiooni on üldjuhtumi põhjal lihtne hankidakasutades lineaarset asendused. Siis ka:

ja teostatud asendamisest järgmine valem: üleminek suvalise jaotuse väärtustelt standardjaotuse vastavatele väärtustele.

Miks see vajalik on? Fakt on see, et meie esivanemad arvutasid väärtused hoolikalt välja ja koostasid need spetsiaalsesse tabelisse, mis on paljudes terweri raamatutes. Kuid veelgi sagedamini on väärtuste tabel, mida oleme juba käsitlenud Laplace'i integraalteoreem:

Kui meie käsutuses on Laplace'i funktsiooni väärtuste tabel , siis lahendame selle kaudu:

Murdväärtused ümardatakse traditsiooniliselt 4 kümnendkohani, nagu on tehtud standardtabelis. Ja kontrolli jaoks on olemas Punkt 5 paigutus.

Tuletan teile seda meelde ja segaduse vältimiseks alati kontrolli all, teie silme ees on tabel MIS funktsioonist.

Vastus tuleb esitada protsentides, seega tuleb arvutatud tõenäosus korrutada 100-ga ja tulemus lisada sisuka kommentaariga:

– lennul 5–70 m kukub umbes 15,87% mürskudest

Treenime iseseisvalt:

Näide 3

Tehases valmistatud laagrite läbimõõt on juhuslik suurus, mis jaotub tavaliselt matemaatilise ootusega 1,5 cm ja standardhälbega 0,04 cm Leia tõenäosus, et juhuslikult valitud laagri suurus jääb vahemikku 1,4–1,6 cm.

Näidislahenduses ja allpool kasutan enamlevinud võimalusena Laplace'i funktsiooni. Muide, pange tähele, et vastavalt sõnastusele võib siin arvesse võtta intervalli lõpud. See pole aga kriitiline.

Ja juba selles näites puutusime kokku erijuhtumiga - kui intervall on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Sellises olukorras saab selle kirjutada kujul ja Laplace'i funktsiooni veidrust kasutades töövalemit lihtsustada:

Delta parameetrit nimetatakse hälve matemaatilisest ootusest ja kahekordse ebavõrdsuse saab "pakendada" kasutades moodul:

– tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus erineb matemaatilisest ootusest vähem kui .

Hea, et lahendus ühte ritta mahub :)
– tõenäosus, et juhuslikult võetud laagri läbimõõt erineb 1,5 cm-st mitte rohkem kui 0,1 cm.

Selle ülesande tulemus osutus ühtsuse lähedaseks, kuid sooviksin veelgi suuremat usaldusväärsust - nimelt välja selgitada piirid, milles diameeter asub peaaegu kõik laagrid. Kas sellel on mingi kriteerium? Olemas! Esitatud küsimusele vastab nn

kolme sigma reegel

Selle olemus seisneb selles praktiliselt usaldusväärne on asjaolu, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja võtab intervalli väärtuse .

Tõepoolest, eeldatavast väärtusest kõrvalekaldumise tõenäosus on väiksem kui:
ehk 99,73%

Laagrite osas on need 9973 tükki läbimõõduga 1,38–1,62 cm ja ainult 27 "mittestandardset" eksemplari.

Praktilises uurimistöös rakendatakse kolme sigma reeglit tavaliselt vastupidises suunas: kui statistiliselt Leiti, et peaaegu kõik väärtused uuritav juhuslik suurus jäävad 6 standardhälbe vahemikku, siis on kaalukaid põhjusi arvata, et see väärtus on jaotatud tavaseaduse järgi. Kontrollimine toimub teooria abil statistilised hüpoteesid.

Jätkame nõukogude karmide probleemide lahendamist:

Näide 4

Kaaluvea juhuslik väärtus jaotatakse normaalseaduse järgi nulli matemaatilise ootusega ja standardhälbega 3 grammi. Leidke tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 5 grammi.

Lahendus väga lihtne. Tingimuse järgi märgime selle kohe järgmisel kaalumisel (midagi või keegi) peaaegu 100% saame tulemuse 9 grammi täpsusega. Kuid probleem hõlmab kitsamat kõrvalekallet ja valemi järgi :

– tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis ei ületa 5 grammi.

Vastus:

Lahendatud probleem erineb põhimõtteliselt näiliselt sarnasest. Näide 3õppetund umbes ühtlane jaotus. Seal oli viga ümardamine mõõtmistulemustest, siin räägime mõõtmiste endi juhuslikust veast. Sellised vead tulenevad seadme enda tehnilistest omadustest. (aktsepteeritavate vigade vahemik on tavaliselt märgitud tema passis), ja ka eksperimenteerija süül - kui me näiteks “silma järgi” võtame näidud samade skaalade nõelast.

Teiste seas on ka nn süstemaatiline mõõtmisvead. See on juba mitte-juhuslikud vead, mis tekivad seadme vale seadistamise või kasutamise tõttu. Näiteks reguleerimata põrandakaalud võivad järjekindlalt kilogramme “lisandada” ja müüja kaalub süstemaatiliselt kliente. Või ei saa seda arvutada mitte süstemaatiliselt. Kuid igal juhul ei ole selline viga juhuslik ja selle ootus erineb nullist.

... töötan kiiresti välja müügikoolituse =)

Lahendame pöördülesande ise:

Näide 5

Rulli läbimõõt on juhuslik normaalselt jaotatud juhuslik suurus, selle standardhälve on võrdne mm. Leidke matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervalli pikkus, millesse rulliku läbimõõdu pikkus tõenäoliselt langeb.

Punkt 5* disaini paigutus aitama. Pange tähele, et matemaatilist ootust siin ei teata, kuid see ei takista meid vähimalgi määral probleemi lahendamast.

Ja eksamiülesanne, mida materjali tugevdamiseks soojalt soovitan:

Näide 6

Tavalise jaotusega juhuslik suurus määratakse selle parameetrite (matemaatiline ootus) ja (standardhälve) abil. Nõutud:

a) kirjutage üles tõenäosustihedus ja kujutage skemaatiliselt selle graafikut;
b) leidke tõenäosus, et see võtab intervallist väärtuse ;
c) leida tõenäosus, et absoluutväärtus ei erine rohkem kui ;
d) leidke "kolme sigma" reegli abil juhusliku suuruse väärtused.

Selliseid probleeme pakutakse igal pool ja aastatepikkuse praktika jooksul olen neid sadu ja sadu lahendanud. Kindlasti harjuta käsitsi joonistamist ja pabertabelite kasutamist;)

Noh, ma vaatan näidet suurenenud keerukusest:

Näide 7

Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tihedusel on vorm . Leida, matemaatiline ootus, dispersioon, jaotusfunktsioon, koostada tihedusgraafikud ja jaotusfunktsioonid, leida.

Lahendus: Kõigepealt paneme tähele, et tingimus ei ütle midagi juhusliku suuruse olemuse kohta. Eksponenti olemasolu iseenesest ei tähenda midagi: see võib osutuda näiteks soovituslik või isegi meelevaldne pidev levitamine. Ja seetõttu tuleb jaotuse "normaalsust" ikkagi põhjendada:

Alates funktsioonist määratud kl ükskõik milline tegelik väärtus ja seda saab taandada vormile , siis jaotatakse juhuslik suurus normaalseaduse järgi.

Siin me läheme. Selle jaoks vali terve ruut ja korraldada kolmekorruseline murd:


Tehke kindlasti kontroll, tagastades indikaatori algsele kujule:

, mida me näha tahtsimegi.

Seega:
- Kõrval volitustega toimingute reegel"näpi ära" Ja siin saate kohe kirja panna ilmsed numbrilised omadused:

Nüüd leiame parameetri väärtuse. Kuna normaaljaotuse kordaja on kujul ja , siis:
, kust me väljendame ja asendame oma funktsiooniga:
, misjärel käime salvestuse veel kord silmadega läbi ja veendume, et tulemuseks oleval funktsioonil on vorm .

Koostame tiheduse graafiku:

ja jaotusfunktsiooni graafik :

Kui teil pole käepärast Excelit ega isegi tavalist kalkulaatorit, saab viimast graafikut hõlpsasti käsitsi koostada! Sellel hetkel võtab jaotusfunktsioon väärtuse ja siin see on