Uus obskurantism. Vladimir Igorevitš Arnold Uus obskurantism ja vene valgustus. Siin on näidislahendus

Vladimir Igorevitš Arnold

Pühendan oma õpetajale Andrei Nikolajevitš Kolmogorovile

"Ära puuduta minu ringe," ütles Archimedes teda tapvale Rooma sõdurile. See prohvetlik lause meenus Riigiduumas, kui hariduskomisjoni koosoleku esimees (22.10.2002) katkestas mind sõnadega: „Mul on mitte Teaduste Akadeemia, kus saab tõde kaitsta, vaid Riigiduuma, kus kõik põhineb sellel, et erinevatel inimestel on erinevates küsimustes erinev arvamus.

Mina pooldasin seisukohta, et kolm korda seitse on kakskümmend üks ja et meie lastele nii korrutustabeli kui ka ühekohaliste arvude ja paarismurdude liitmise õpetamine on riiklik vajadus. Mainisin hiljuti California osariigis (Nobeli preemia laureaadi, transuraanifüüsiku Glen Seaborgi algatusel) ülikooli astuvatele koolilastele uue nõude kehtestamist: peate suutma arvu 111 iseseisvalt 3-ga jagada (ilma arvutita) .

Ilmselt ei saanud duuma kuulajad lahku minna ega saanud seetõttu aru ei minust ega Seaborgist: Izvestijas asendati minu fraasi sõbralikult esitledes number "sada üksteist" numbriga "üksteist" (mis muudab küsimus on palju keerulisem, kuna üksteist ei jagu kolmega).

Tutvusin obskurantismi võidukäiguga, kui lugesin Nezavisimaya Gazetast Moskva lähedale vastvalminud püramiide ülistavat artiklit “Retrogaadid ja šarlatanid”, kus

Venemaa Teaduste Akadeemia kuulutati teaduse arengut pärssivate retrograadide kohtumiseks (püüdes asjata kõike seletada oma “loodusseadustega”). Pean ütlema, et olen ilmselt ka retrograad, kuna usun endiselt loodusseadustesse ja usun, et Maa pöörleb ümber oma telje ja ümber Päikese ning et nooremad koolilapsed peavad jätkuvalt selgitama, miks talvel on külm ja suvel soe, mitte lasta meie koolihariduse tasemel langeda alla revolutsioonieelses kihelkonnakoolides saavutatu (nimelt just selle haridustaseme alandamise poole püüdlevad meie praegused reformijad, viidates Ameerika tõeliselt madalale koolitasemele).

Ameerika kolleegid selgitasid mulle seda nende riigi madal üldkultuuri ja koolihariduse tase on majanduslikel eesmärkidel sihilik saavutus. Fakt on see, et haritud inimesest saab pärast raamatute lugemist halvem ostja: ta ostab vähem pesumasinaid ja autosid ning hakkab neile eelistama Mozartit või Van Goghi, Shakespeare’i või teoreeme. Selle all kannatab tarbimisühiskonna majandus ja ennekõike elu omanike sissetulek - nii nad pingutavad takistada kultuuri ja haridust(mis lisaks takistab neil manipuleerida elanikkonnaga nagu karja, kellel puudub intelligentsus).

Seistes silmitsi teadusvastase propagandaga Venemaal, otsustasin vaadata hiljuti oma majast umbes paarikümne kilomeetri kaugusel ehitatud püramiidi ja sõitsin sinna jalgrattaga läbi sajanditevanuste männimetsade Istra ja Moskva jõe vahel. Siin puutusin kokku raskusega: kuigi Peeter Suur keelas metsade raiumise Moskvast lähemal kui kahesaja miili kaugusel, olid mitmed minu teel olnud parimad ruutkilomeetrid männimetsad hiljuti taraga piiratud ja moonutatud (nagu kohalikud külaelanikud mulle selgitasid, tegi "isik, keda teavad [kõik peale minu! - V.A.] bandiit Pashka"). Aga isegi paarkümmend aastat tagasi, kui ma sellelt nüüdseks hoonestatud lagendikult ämbrisse sain

vaarikad, minust möödus terve kari mööda lagendikku jalutanud metssigu, kes tegid umbes kümnemeetrise raadiusega poolringi.

Sarnased arengud toimuvad praegu kõikjal. Minu majast mitte kaugel ei lubanud elanikkond omal ajal (isegi televisiooni proteste kasutades) Mongoolia ja teiste ametnike poolt metsa arendamist. Kuid sellest ajast on olukord muutunud: endised valitsuspartei külad haaravad kõigi silme all uusi ruutkilomeetreid põlist metsa ja enam ei protesti keegi (keskaegsel Inglismaal põhjustas “vehklemine” ülestõususid!).

Tõsi, minu kõrval Soloslovi külas üritas üks külanõukogu liige metsa arendamisele vastu vaielda. Ja siis päise päeva ajal saabus auto relvastatud bandiitidega, kes otse külas, kodus ja tulistati. Ja areng toimus selle tulemusena.

Teises naaberkülas Daryinis on terve põld häärberitega ümber ehitatud. Inimeste suhtumine neisse sündmustesse selgub nimest, mille nad külas sellele hoonestatud põllule andsid (nimetus, mis kahjuks veel kaartidel ei kajastu): "vargapõld".

Selle valdkonna uued motoriseeritud asukad on muutnud meilt Perkhushkovo jaama viiva kiirtee oma vastandiks. Viimastel aastatel on bussid mööda seda peaaegu lõpetanud. Algul kogusid uued elanikud-autojuhid lõppjaamas raha bussijuhile, et too tunnistaks bussi “korrast välja” ja reisijad maksaksid erakaupmeestele. "Põllu" uute elanike autod kihutavad nüüd seda maanteed suure kiirusega (ja sageli kellegi teise sõidurajal). Ja mina, kõndides viis miili jaama, riskin end ümber lükata, nagu mu paljud jalakäijate eelkäijad, kelle surmakohad olid hiljuti teeservadele pärgadega tähistatud. Elektrirongid ei peatu aga ka nüüd vahel graafikus ettenähtud jaamades.

Varem üritas politsei mõrvarlike autojuhtide kiirust mõõta ja neid ära hoida, kuid pärast seda, kui radariga kiirust mõõtnud politseiniku tulistas mööduva inimese valvur, ei julge enam keegi autosid peatada. Aeg-ajalt leian otse maanteelt kulunud padruneid, kuid pole selge, kelle pihta tulistati. Mis puutub jalakäijate hukkumiskohtade kohal asuvatesse pärgadesse, siis kõik need on hiljuti asendatud teadetega “Prügi mahaviskamine keelatud”, mis on riputatud samadele puudele, kus varem olid kallatute nimedega pärjad.

Mööda iidset rada Aksininist Chesnokovisse, kasutades Katariina II rajatud teid, jõudsin püramiidini ja nägin selle sees "riiulid pudelite ja muude okultse intellektuaalse energiaga esemete laadimiseks". Juhised V mitme ruutmeetri suurused loetlesid püramiidis objekti või A- või B-hepatiiti põdeva patsiendi mitmetunnise viibimise eeliseid (lugesin ajalehest, et keegi saatis koguni mitmekilose kivikoorma, mille oli “laetud” püramiid kosmosejaama riigi raha eest).

Kuid selle juhendi koostajad näitasid üles ka minu jaoks ootamatut ausust: nad kirjutasid nii pole mõtet püramiidi sees olevate riiulite juures järjekorras tungleda, sest<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же". See on minu arvates täiesti tõsi.

Nii et tõelise "retrograadsena" pean kogu seda püramiidset ettevõtmist kahjulikuks, teadusvastaseks reklaamiks poe jaoks, kus müüakse "esemeid laadimist".

Kuid obskurantism on alati järginud teaduslikke saavutusi, alates antiigist. Aristotelese õpilane Aleksander Philippovitš Makedooniast tegi mitmeid "teaduslikke" avastusi (mida kirjeldas tema kaaslane Arian Anabasises). Näiteks, avastas ta Niiluse jõe allika: tema sõnul on see Indus."Teaduslikud" tõendid olid: " Need on ainsad kaks suurt jõge, mis on krokodillidest nakatunud."(ja kinnitus: “Lisaks on mõlema jõe kaldad lootostest kinni kasvanud”).

Kuid see pole tema ainus avastus: ta avastas ka selle Oxuse jõgi (tänapäeva nimega Amu Darya) "voolab põhjast Uuralite lähedale pöörates Pontus Euxine'i Meoti sohu, kus seda nimetatakse Tanaisiks"("Ta-nais" on Don ja "Meotiani soo" on Aasovi meri). Obkurantistlike ideede mõju sündmustele ei ole alati tühine:

Aleksander Sogdianast (see tähendab Samarkandist) ei läinud kaugemale itta, Hiinasse, nagu ta algul tahtis, vaid lõunasse, Indiasse, kartes, veetõke, mis tema kolmanda teooria kohaselt ühendab Kaspia ("Hürkaani") merd India ookeaniga(V Bengali lahe piirkond). Sest ta uskus, et mered on "määratluse järgi" ookeanilahed. See on selline "teadus", milleni meid juhitakse.

Tahaksin avaldada lootust, et meie sõjavägi ei jää nii tugevasti mõjutatud obskurantistidest (nad aitasid mul isegi päästa geomeetriat “reformijate” katsetest see koolist välja visata). Kuid tänased katsed viia Venemaal koolihariduse tase Ameerika tasemele on äärmiselt ohtlikud nii riigile kui ka maailmale.

Tänasel Prantsusmaal on 20% armee värbajatest täiesti kirjaoskamatud, ei mõista ohvitseride kirjalikke korraldusi (ja võivad oma rakette koos lõhkepeadega vales suunas saata). Saagu see tass meilt üle! Meie inimesed ikka loevad, aga “reformaatorid” tahavad selle peatada: “Nii Puškin kui Tolstoi on liiga palju!” - nad kirjutavad.

Minul kui matemaatikul oleks liiga lihtne kirjeldada, kuidas nad kavatsevad meie traditsiooniliselt kvaliteetse matemaatikaõppe koolidest ära kaotada. Selle asemel loetlen mitu sarnast obskurantistlikku ideed seoses teiste ainete õpetamisega: majandus, õigus, ühiskonnaõpetus, kirjandus (ained aga soovitavad koolis kõik ära kaotada).

Venemaa Haridusministeeriumi välja antud kaheköiteline projekt “Üldhariduse standardid” sisaldab suurt loetelu teemadest mille tundmise kohta tehakse ettepanek lõpetada praktikantidelt nõudmine. Just see nimekiri annab kõige eredama ettekujutuse “reformijate” ideedest ja sellest, milliste “liigsete” teadmiste eest nad järgmisi põlvkondi “kaitsta” püüavad.

Ma hoidun poliitilistest kommentaaridest, kuid siin on tüüpilised näited väidetavalt "liigsest" teabest, mis on ammutatud neljasajaleheküljelisest standardite projektist:

NSV Liidu põhiseadus;
fašistlik "uus kord" okupeeritud aladel;
Trotski ja trotskism;
suuremad erakonnad;
kristlik demokraatia;
inflatsioon;
kasum;
valuuta;
väärtpaberid;
mitmeparteisüsteem;
õiguste ja vabaduste tagatised;
õiguskaitseorganid;
raha ja muud väärtpaberid;
Vene Föderatsiooni riiklik-territoriaalse struktuuri vormid;
Ermak ja Siberi annekteerimine;
Venemaa välispoliitika (XVII, XVIII, XIX ja XX sajand);
Poola küsimus;
Konfutsius ja Buddha;
Cicero ja Caesar;
Jeanne of Arc ja Robin Hood;
Eraisikud ja juriidilised isikud;
isiku õiguslik seisund demokraatlikus õigusriigis;
võimude lahusus;
kohtusüsteem;
autokraatia, õigeusk ja rahvus (Uvarovi teooria);
Venemaa rahvad;
kristlik ja islamimaailm;
Louis XIV;
Luther;
Loyola;
Bismarck;
Riigiduuma;
tööpuudus;
suveräänsus;
aktsiaturg (börs);
riigi tulud;
pere sissetulek.

“Ühiskonnaõpetus”, “ajalugu”, “majandus” ja “õigus”, milles ei käsitleta kõiki neid mõisteid, on lihtsalt formaalsed jumalateenistused, mis on õpilaste jaoks kasutud. Prantsusmaal tunnen ma sedalaadi abstraktsetel teemadel teoloogilise lobisemise ära võtmesõnade järgi: «Prantsusmaa on nagu katoliku kiriku vanim tütar..." (järgneda võib kõike, näiteks: "... ei vaja kulutusi teadusele, kuna meil oli juba ja on veel teadlasi"), nagu kuulsin Prantsusmaa Vabariigi Rahvuskomitee koosolekul. Teadus ja teadus, mille liikmeks määras mind Prantsusmaa Vabariigi teadus-, teadus- ja tehnoloogiaminister.

Et mitte olla ühekülgne, annan ka nimekirja "ebasoovitavatest" (nende tõsise uurimuse "vastuvõetamatuse" tähenduses) autoritest ja teostest, mida häbiväärne "Standard" selles ametis mainib:

Glinka;
Tšaikovski;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Raphael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Togh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Oliver Twist";
Shakespeare'i sonetid;
Radištševi "Reis Peterburist Moskvasse";
"Vastukindel tinasõdur";
"Gobsek";
"Père Goriot"
"Les Miserables";
"Valgekihv";
"Belkini lood";
"Boriss Godunov";
"Poltava";
"Dubrovski";
"Ruslan ja Ludmila";
"Siga tamme all";
"Õhtud talus Dikanka lähedal";
"Hobuse perekonnanimi";
"Päikese sahver";
"Meshchera pool";
"Vaikne Don";
"Pygmalion";
"Hamlet";
"Faust";
"Hüvastijätt relvadega";
"Noble Nest";
"Daam koeraga";
"Hüppaja";
"Pilv pükstes";
"Must mees";
"Jookse";
"Vähktõve osakond";
"Edevuste laat";
"Kellele lüüakse hingekella";
"Kolm seltsimeest";
"Esimeses ringis";
"Ivan Iljitši surm."

Teisisõnu teevad nad ettepaneku kaotada vene kultuur kui selline. Nad püüavad „kaitsda” koolilapsi „standardite” järgi kultuurikeskuste „liigse” mõju eest; nii nad siin olevat Ebasoovitav, standardite koostajate sõnul kooliõpetajate mainimiseks:

Ermitaaž;
Vene muuseum;
Tretjakovi galerii;
Puškini kaunite kunstide muuseum Moskvas.

Kelluke heliseb meile!

Endiselt on raske hoiduda üldse mainimast, mida täpselt tehakse täppisteadustes „koolituse valikuliseks” (igal juhul "Standardid" soovitavad "mitte nõuda õpilastelt nende osade valdamist"):

aatomite struktuur;
kaugtegevuse kontseptsioon;
inimsilma struktuur;
kvantmehaanika määramatuse seos;
põhilised vastasmõjud;
tähine taevas;
Päike on nagu üks tähtedest;
organismide rakuline struktuur;
refleksid;
geneetika;
elu päritolu Maal;
elusmaailma areng;
Koperniku, Galileo ja Giordano Bruno teooriad;
Mendelejevi, Lomonossovi, Butlerovi teooriad;
Pasteuri ja Kochi teeneid;
naatrium, kaltsium, süsinik ja lämmastik (nende roll ainevahetuses);
õli;
polümeerid.

Matemaatikas rakendati sama diskrimineerimist standardite teemadele, ilma milleta ei saa hakkama ükski õpetaja (ja ilma täieliku arusaamata sellest, millised koolilapsed on täiesti abitud füüsikas, tehnoloogias ja paljudes muudes teaduse rakendustes, sealhulgas mõlemas sõjaline ja humanitaarabi):

vajalikkus ja piisavus;
punktide asukoht;
nurkade siinused nurga all 30 o, 45 o, 60 o;
nurgapoolitaja konstrueerimine;
segmendi jagamine võrdseteks osadeks;
nurga mõõtmine;
lõigu pikkuse mõiste;
aritmeetilise progressiooni liikmete summa;
sektori piirkond;
pöördtrigonomeetrilised funktsioonid;
lihtsad trigonomeetrilised võrratused;
polünoomide ja nende juurte võrdsused;
kompleksarvude geomeetria (vajalik vahelduvvoolufüüsika, raadiotehnika ja kvantmehaanika jaoks);
ehitusülesanded;
kolmnurkse nurga tasapinnalised nurgad;
kompleksfunktsiooni tuletis;
lihtmurdude teisendamine kümnendkohtadeks.

Ainus, mis mulle lootust annab, on see Senised tuhanded hästi koolitatud õpetajad jätkavad oma kohuse täitmist ja õpetavad seda kõike ka uue põlvkonna kooliõpilastele vaatamata ministeeriumi korraldustele. Terve mõistus on tugevam kui bürokraatlik distsipliin. Peame lihtsalt meeles pidama, et maksaksime oma suurepärastele õpetajatele nende saavutuse eest piisavalt tasu.

Duuma esindajad selgitasid mulle seda Olukorda saaks oluliselt parandada, kui hoolitsetaks juba vastu võetud haridusseaduste rakendamise eest.

Järgneva asjade seisu kirjelduse esitas asetäitja I. I. Melnikov oma ettekandes Matemaatika Instituudis. V. A. Steklov Venemaa Teaduste Akadeemiast Moskvas 2002. aasta sügisel.

Näiteks näeb üks seadustest ette iga-aastast koolituste eelarve osamaksu suurendamist ligikaudu 20% aastas. Kuid minister ütles, et "selle seaduse rakendamise pärast pole vaja muretseda, kuna peaaegu iga-aastane kasv toimub üle 40%. Vahetult pärast seda ministri kõnet kuulutati välja (palju väiksema protsendi võrra), mis oli järgmiseks aastaks praktiliselt teostatav (see oli 2002). Ja kui arvestada ka inflatsiooni, siis selgub, et võeti vastu otsus vähendada reaalset aastast panust haridusse.

Teine seadus täpsustab, kui suur on eelarvekulude protsent, mis tuleb kulutada haridusele. Tegelikkuses kulub palju vähem (mitu korda täpselt ei saanudki teada). Kuid kulutused „kaitseks sisevaenlase vastu” kasvasid kolmandikult pooleni välisvaenlase vastase kaitse kuludest.

Loomulik on lõpetada lastele murdude õpetamine, muidu, jumal hoidku, saavad nad aru!

Ilmselt just õpetajate reaktsiooni ootuses tõid “Standardi” koostajad oma soovitatava lugemisvara nimekirja kirjanike nimesid (nagu Puškini, Krõlovi, Lermontovi, Tšehhovi jms nimed). "tärni" märk, mille nad dešifreerisid järgmiselt: "Õpetaja võib oma äranägemisel tutvustada õpilastele veel ühte või kahte samalt autorilt tehtud teost."(ja mitte ainult Puškini puhul soovitatud “monumendiga”).

Meie traditsioonilise matemaatikahariduse kõrgem tase välisriikidega võrreldes sai mulle selgeks alles pärast seda, kui sain seda taset välismaistega võrrelda, olles töötanud palju semestreid Pariisi ja New Yorgi, Oxfordi ja Cambridge'i, Pisa ja Bologna ülikoolides ja kolledžites. , Bonn ja Berkeley, Stanford ja Boston, Hongkong ja Kyoto, Madrid ja Toronto, Marseille ja Strasbourg, Utrecht ja Rio de Janeiro, Conakry ja Stockholm.

"Me ei saa kuidagi järgida teie põhimõtet valida kandidaate nende teaduslike saavutuste põhjal," ütlesid minu kolleegid Pariisi ühte parimasse ülikooli uute professorite kutsumise komisjonist. - "Lõppude lõpuks peaksime sel juhul valima ainult venelased - selline on nende teaduslik paremus meile kõigile selge!” (Ma rääkisin valikust prantslaste seas).

Riskides sellega, et mind mõistavad ainult matemaatikud, toon siiski näiteid parimate 2002. aasta kevadel Pariisi ülikooli matemaatikaprofessuuri kandidaatide vastustest (igale kohale kandideeris 200 inimest).

Kandidaat on mitu aastat õpetanud lineaaralgebrat erinevates ülikoolides, kaitsnud väitekirja ja avaldanud kümmekond artiklit Prantsusmaa parimates matemaatikaajakirjades.

Valik sisaldab intervjuud, kus kandidaadilt küsitakse alati elementaarseid, kuid olulisi küsimusi (küsimuste tasand "Nimeta Rootsi pealinn" kui õppeaineks oli geograafia).

Nii et ma küsisin: "Mis on ruutvormi signatuur xy?"

Kandidaat nõudis talle antud 15 minutit mõtlemisaega, misjärel ütles: “Mul on Toulouse’is arvutis selline rutiin (programm), mis tunni või paari pärast saab teada, kui palju plusse ja mitu miinust tuleb. tavakujul. Nende kahe numbri erinevus ja see on allkiri - aga annate ainult 15 minutit ja ilma arvutita, nii et ma ei saa vastata, see vorm xy See on liiga keeruline."

Mittespetsialistidele lubage mul selgitada, et kui me räägiksime zooloogiast, oleks see vastus sarnane järgmisele: "Linnaeus loetles kõik loomad, aga kas kask on imetaja või mitte, ei oska ma ilma raamatuta vastata."

Järgmiseks kandidaadiks osutus “elliptiliste osadiferentsiaalvõrrandite süsteemide” spetsialist (poolteist kümnendit pärast väitekirja kaitsmist ja üle kahekümne avaldatud teose).

Küsisin selle käest: „Mis on funktsiooni laplane 1/r kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis?"

Vastus (tavalise 15 minuti jooksul) oli minu jaoks hämmastav; "Kui r seisis lugejas, mitte nimetajas ja oleks olnud vaja esimest tuletist, mitte teist, siis oleksin suutnud selle poole tunniga välja arvutada, aga muidu on küsimus liiga raske.

Lubage mul selgitada, et küsimus pärineb elliptiliste võrrandite teooriast, nagu küsimus "Kes on Hamleti autor?" inglise kirjanduse eksamil. Püüdes aidata, esitasin rea suunavaid küsimusi (sarnaselt Othello ja Ophelia küsimustega): "Kas sa tead, mis on universaalse gravitatsiooni seadus? Coulombi seadus? Kuidas on need seotud laplasega? Mis on põhimõtteline lahendus Laplace'i võrrandist?"

Kuid miski ei aidanud: ei Macbethi ega kuningas Leari ei teadnud kandidaat, kui me räägime kirjandusest.

Lõpuks selgitas eksamikomisjoni esimees mulle, mis toimub: „Lõppude lõpuks ei uurinud kandidaat mitte ainult ühte elliptilist võrrandit, vaid nende süsteeme ja te küsite temalt Laplace'i võrrandi kohta, misKokku Üks on selge, et ta pole sellega kunagi kokku puutunud!”

Kirjandusliku analoogia kohaselt vastaks see "õigustus" fraasile: "Kandidaat õppis inglise luuletajaid, kuidas ta võiks Shakespeare'i tunda, sest ta on näitekirjanik!"

Kolmas kandidaat (ja neist küsitleti kümneid) töötas "holomorfsete diferentsiaalvormide" kallal ja ma küsisin temalt: "Mis on puutuja Riemanni pind?" (Ma kartsin küsida arctangensi kohta).

Vastus: "Riemanni meetrika on koordinaatide diferentsiaalide ruutvorm, kuid see, milline vorm puutujafunktsiooniga seostatakse, pole mulle üldse selge."

Selgitan uuesti sarnase vastuse näidise abil, asendades seekord matemaatika ajalooga (millele Mitrofanid rohkem kalduvad). Siin oleks küsimus: "Kes on Julius Caesar?" ja vastus on: "Bütsantsi valitsejaid kutsuti keisriteks, kuid ma ei tea Juliat nende hulgas."

Lõpuks ilmus välja tõenäosusuurija kandidaat, kes rääkis huvitavalt oma lõputööst. Ta tõestas sellega väide “A ja B on koos õiglased” on vale(avaldused ise A Ja IN on pikalt sõnastatud, nii et ma neid siin ei korda).

Küsimus: “Ja ometi, kuidas on lood väitega A omaette, ilma IN: kas see on tõsi või mitte?

Vastus: "Ma ju ütlesin, et väide "A ja B" on vale. See tähendab, et ka A on vale." See on: Kuna pole tõsi, et Petya ja Miša said koolerasse, siis Petya koolerasse ei saanud.

Siin hajutas mu hämmeldust taas komisjoni esimees: ta selgitas, et kandidaat ei ole tõenäoline, nagu ma arvasin, vaid statistik (eluloos, nimega CV, pole mitte “proba”, vaid “stat”). .

"Tõenäosustajatel," selgitas mulle meie kogenud esimees, "on tavaline loogika, sama mis matemaatikutel, Aristotelesel. Kuid statistikute jaoks on see täiesti erinev: nad ei ütle asjata: "On valesid, räigeid valesid ja statistika." Kõik nende põhjendused on põhjendamata, kõik nende järeldused on ekslikud. Aga need on alati väga vajalikud ja kasulikud, need järeldused. Peame selle statistiku kindlasti vastu võtma!”

Moskva ülikoolis ei suudaks selline võhik mehaanika-matemaatikateaduskonna kolmandat kursust lõpetada. Riemanni pindu pidas Moskva Matemaatika Seltsi asutaja N. Bugajev (Andrei Bely isa) matemaatika tipuks. Ta aga uskus, et 19. sajandi lõpus hakkasid kaasaegses matemaatikas ilmnema objektid, mis ei sobinud selle vana teooria peavoolu - reaalsete muutujate mitteholomorfsed funktsioonid, mis tema arvates on vaba tahte idee matemaatiline kehastus samal määral, kui Riemanni pinnad ja holomorfsed funktsioonid kehastavad fatalismi ja ettemääratuse ideed.

Nende mõtiskluste tulemusena saatis Bugajev noored moskvalased Pariisi, et õppida seal uut "vaba tahte matemaatikat" (Borelist ja Lebesguest). Selle programmi viis suurepäraselt läbi N. N. Luzin, kes lõi Moskvasse naastes hiilgava kooli, kuhu kuulusid kõik aastakümnete peamised Moskva matemaatikud: Kolmogorov ja Petrovski, Aleksandrov ja Pontrjagin, Menšov ja Keldõš, Novikov ja Lavrentjev, Gelfand ja Ljusternik. .

Muide, Kolmogorov soovitas mulle Parisiana hotelli (Tournefort Streetil, Pantheoni lähedal), mille Luzin hiljem Pariisi Ladina kvartalis endale valis. Esimese Euroopa matemaatikakongressi ajal Pariisis (1992) ööbisin selles odavas hotellis (19. sajandi tasemel mugavustega, ilma telefonita ja nii edasi). Ja selle hotelli eakas omanik, saades teada, et tulin Moskvast, küsis minult kohe: “ Kuidas mu vanal külalisel Luzinil seal läheb? Kahju, et ta pole meil pikka aega käinud.»

Paar aastat hiljem suleti hotell renoveerimiseks (omanik ilmselt suri) ja hakati seda ameerikalikult ümber ehitama, nii et nüüd seda 19. sajandi saart Pariisis enam näha ei saa.

Tulles tagasi 2002. aasta professorite valiku juurde, märgin, et kõik ülalloetletud võhikud said (kõigilt peale minu) parimad hinded. Vastupidi, ainuke minu meelest väärt kandidaat lükati peaaegu üksmeelselt tagasi. Ta avastas ("Gröbneri aluste" ja arvutialgebra abil) mitukümmend uut täiesti integreeritavat matemaatilise füüsika Hamiltoni võrrandite süsteemi (samal ajal, kuid mitte uute hulka kuulunud kuulsa Korteweg-de Vriesi). Sayn-Gordon ja sarnased võrrandid).

Tulevikuprojektina pakkus kandidaat välja ka uue arvutimeetodi diabeedi ravi modelleerimiseks. Minu küsimusele tema meetodi hinnangu kohta arstide poolt vastas ta üsna mõistlikult: „Meetodit katsetatakse praegu sellistes ja sellistes keskustes ja haiglates ning poole aasta pärast teevad nad oma järeldused, võrreldes tulemusi teiste meetoditega ja patsientide kontrollrühmad, kuid praegu pole seda uuringut tehtud ja on vaid esialgsed hinnangud, kuigi need on head.

Nad lükkasid selle tagasi järgmise selgitusega: "Tema lõputöö igal lehel mainitakse kas valede rühmi või vale algebrat, kuid keegi ei saa sellest aru, nii et ta ei sobi meie meeskonda üldse." Tõsi, oleks saanud tagasi lükata nii mind kui ka kõiki mu tudengeid, kuid mõned kolleegid arvavad, et tagasilükkamise põhjus oli erinev: erinevalt kõigist eelmistest kandidaatidest ei olnud see prantslane (ta oli kuulsa Ameerika professori õpilane). Minnesotast).

Kogu kirjeldatud pilt tekitab kurbaid mõtteid Prantsuse teaduse, eriti matemaatika tuleviku kohta. Kuigi "Prantsuse riiklik teaduskomitee" kaldus uusi teadusuuringuid üldse mitte rahastama, vaid kulutama raha (mida parlament teaduse arendamiseks eraldas) Ameerika valmisretseptide ostmiseks, olin ma sellele enesetapupoliitikale teravalt vastu. ja siiski saavutanud vähemalt mõned subsideerivad uued teadusuuringud. Raskust tekitas aga raha jagamine. Meditsiin, tuumaenergeetika, polümeeride keemia, viroloogia, geneetika, ökoloogia, keskkonnakaitse, radioaktiivsete jäätmete kõrvaldamine ja palju muud tunnistati järjekindlalt (viietunnisel koosolekul) toetuste vääriliseks. Lõpuks valisid nad kolm "teadust", mis väidetavalt väärisid nende uue uurimistöö rahastamist. Need kolm "teadust" on: 1) AIDS; 2) psühhoanalüüs; 3) farmatseutilise keemia kompleksne haru, mille teaduslikku nimetust mul ei õnnestu reprodutseerida, kuid mis käsitleb lakrimogeense gaasiga sarnaste psühhotroopsete ravimite väljatöötamine, muutes mässumeelse rahvahulga sõnakuulelikuks karjaks.

Nii et nüüd on Prantsusmaa päästetud!

Luzini õpilastest andis minu arvates kõige tähelepanuväärsema panuse teadusesse Andrei Nikolajevitš Kolmogorov. Olles üles kasvanud külas oma vanaisa juures Jaroslavli lähedal, viitas Andrei Nikolajevitš uhkelt Gogoli sõnadele "efektiivne Roslavli mees".

Tal polnud kavatsust saada matemaatikuks, isegi kui ta oli juba astunud Moskva ülikooli, kus ta asus kohe ajalugu õppima (professor Bahrušini seminaris) ja kirjutas enne kahekümneaastaseks saamist oma esimese teadusliku töö.

See töö oli pühendatud maamajanduslike suhete uurimisele keskaegses Novgorodis. Siin on säilinud maksudokumendid ja tohutu hulga nende dokumentide analüüs statistiliste meetoditega viis noore ajaloolase ootamatute järeldusteni, millest ta Bahrušini koosolekul rääkis.

Ettekanne oli väga edukas ja kõnelejat kiideti palju. Kuid ta nõudis teist heakskiitu: ta tahtis, et tema järeldusi tunnistataks õigeks.

Lõpuks ütles Bahrušin talle: "See aruanne tuleb kindlasti avaldada, see on väga huvitav. Aga mis puudutab järeldusi, Meie, ajaloolaste jaoks ei vaja me iga järelduse äratundmiseks alati mitte ühte tõendit, vaid vähemalt viit!"

Järgmisel päeval muutis Kolmogorov ajaloo matemaatika vastu, kus piisab ainult tõestamisest. Ta ei avaldanud aruannet ja see tekst jäi tema arhiivi, kuni pärast Andrei Nikolajevitši surma näidati seda kaasaegsetele ajaloolastele, kes tunnistasid seda mitte ainult väga uueks ja huvitavaks, vaid ka üsna veenvaks. Nüüd on see Kolmogorovi aruanne avaldatud ja ajaloolaste kogukond peab seda silmapaistvaks panuseks nende teadusesse.

Olles saanud professionaalseks matemaatikuks, jäi Kolmogorov erinevalt enamikust ennekõike loodusteadlaseks ja mõtlejaks, mitte aga sugugi mitmekohaliste arvude kordajaks (mis ilmneb peamiselt matemaatikute tegevust analüüsides matemaatikavõõratele inimestele, sealhulgas isegi L.D. Landau, kes väärtustas matemaatikat, on just loendusoskuse jätk: viis viis – kakskümmend viis, kuus kuus – kolmkümmend kuus, seitse seitse – nelikümmend seitse, nagu ma lugesin tema füüsika- ja tehnoloogiatudengite koostatud Landau paroodiast. ; aga Landau kirjades mulle, kes ma olin siis üliõpilane, pole matemaatika loogilisem kui selles paroodias).

Majakovski kirjutas: "Lõppude lõpuks suudab ta ruutjuure iga sekund välja tõmmata" (professori kohta, kellel "ei hakka igav, et akna taga olevad õpilased käivad aktiivselt gümnaasiumis").

Kuid ta kirjeldas suurepäraselt, mis on matemaatiline avastus, öeldes, et " Kes avastas, et kaks ja kaks võrdub neli, oli suurepärane matemaatik, isegi kui ta avastas selle sigaretikonid lugedes. Ja igaüks, kes tänapäeval arvutab sama valemiga palju suuremaid objekte, näiteks vedureid, pole üldse matemaatik!

Erinevalt paljudest teistest ei hirmutanud Kolmogorovit rakenduslik „veduri” matemaatika ja ta rakendas matemaatilisi kaalutlusi rõõmsalt inimtegevuse erinevates valdkondades: hüdrodünaamikast suurtükiväeni, taevamehaanikast luuleni, arvutite miniaturiseerimisest Browni liikumise teooria, alates Fourier' seeriate lahknemisest kuni teabe edastamise teooria ja intuitsionistliku loogikani. Ta naeris selle üle, et prantslased kirjutavad “Celestial Mechanics” suure algustähega ja “kandid” väikese tähega.

Kui ma 1965. aastal esimest korda Pariisi saabusin, tervitas mind soojalt eakas professor Fréchet järgmiste sõnadega: „Oled sa ju Kolmogorovi õpilane, see noormees, kes konstrueeris näite Fourier' seeriast, mis lahkneb peaaegu kõikjal!

Kolmogorovi poolt siin mainitud töö lõpetas ta üheksateistkümneaastaselt, lahendas klassikalise ülesande ja tõstis selle õpilase kohe maailma tähtsusega esmaklassiliste matemaatikute auastmesse. Nelikümmend aastat hiljem jäi see saavutus Frecheti jaoks endiselt olulisemaks kui kõik järgnevad ja palju olulisemad Kolmogorovi fundamentaalteosed, mis muutsid tõenäosusteoorias, funktsiooniteoorias, hüdrodünaamikas, taevamehaanikas, lähendusteoorias ja teoorias. Algoritmiline keerukus ja topoloogia kohemoloogia teooria ja dünaamiliste süsteemide juhtimise teooria (kus Kolmogorovi ebavõrdsus erinevat järku tuletiste vahel on tänapäeval üks suurimaid saavutusi, kuigi kontrolliteooria spetsialistid mõistavad seda harva).

Kuid Kolmogorov ise oli oma lemmikmatemaatika suhtes alati mõnevõrra skeptiline, tajudes seda kui väikest osa loodusteadusest ja loobudes kergesti nendest loogilistest piirangutest, mida aksiomaatilis-deduktiivse meetodi kammid tõelistele matemaatikutele seavad.

"Oleks asjata," ütles ta mulle, "oma turbulentsi käsitlevates töödes matemaatilist sisu otsida. Ma räägin siin füüsikuna ega muretse üldse matemaatiliste tõendite või oma järelduste tuletamise pärast esialgsetest eeldustest, nagu näiteks Navier-Stokesi võrrandid. Isegi kui need järeldused pole tõestatud, on need tõesed ja avameelsed ning see on palju olulisem kui nende tõestamine!”

Paljusid Kolmogorovi avastusi mitte ainult ei tõestatud (ei tema enda ega tema järgijate poolt), vaid neid isegi ei avaldatud. Kuid sellest hoolimata on neil juba olnud ja on ka edaspidi otsustav mõju paljudele loodusteaduste osakondadele (ja mitte ainult matemaatikale).

Toon vaid ühe kuulsa näite (turbulentsi teooriast).

Hüdrodünaamika matemaatiline mudel on dünaamiline süsteem vedeliku kiirusväljade ruumis, mis kirjeldab vedeliku osakeste algkiiruse välja kujunemist nende vastasmõju: rõhu ja viskoossuse (samuti välisjõudude võimaliku mõju) mõjul. , näiteks raskusjõud jõe korral või veesurve veetorus).

Selle evolutsiooni mõjul võib tekkida dünaamiline süsteem tasakaaluseisund (statsionaarne), kui voolukiirus voolupiirkonna igas punktis ei muutu ajas(kuigi kõik voolab ja iga osake liigub ja muudab aja jooksul oma kiirust).

Sellised statsionaarsed voolud (näiteks laminaarsed voolud klassikalise hüdrodünaamika mõttes) on dünaamilise süsteemi punktide tõmbamine. Seetõttu nimetatakse neid (punkt)attraktoriteks.

Võimalikud on ka muud naabreid ligitõmbavad komplektid, näiteks suletud kõverad, mis kujutavad voolusid, mis aja jooksul perioodiliselt muutuvad kiirusväljade funktsionaalruumis. Selline kõver on atraktor, kui naaberalgtingimused, mida kujutavad kiirusväljade funktsionaalruumi "häiritud" punktid näidatud suletud kõvera lähedal, algavad, kuigi aja jooksul perioodiliselt ei muutu, sellele lähenevat voolu (nimelt häiritud vool kaldub aja jooksul perioodiliselt varem kirjeldatule).

Poincaré, kes selle nähtuse esmakordselt avastas, nimetas selliseid kinniseid atraktorikõveraid "stabiilsed piirtsüklid". Füüsilisest küljest võib neid nimetada perioodilised ühtlased voolurežiimid: algseisundi häirimisest põhjustatud üleminekuprotsessi käigus häire kaob järk-järgult, ja mõne aja pärast muutub erinevus liikumise ja häirimatu perioodilisuse vahel vaevumärgatavaks.

Pärast Poincarét uuris selliseid piirtsükleid põhjalikult A. A. Andronov, kes lähtus raadiolainete generaatorite ehk raadiosaatjate uurimisel ja arvutamisel sellest matemaatilisest mudelist.

On õpetlik, et Poincaré avastus ja arendus Andronovi poolt teooria piirtsüklite sünnist ebastabiilsetest tasakaalupositsioonidest Tänapäeval nimetatakse seda tavaliselt (isegi Venemaal) Hopfi bifurkatsiooniks. E. Hopf avaldas osa sellest teooriast paarkümmend aastat pärast Andronovi avaldamist ja rohkem kui pool sajandit pärast Poincarét, kuid erinevalt neist elas ta Ameerikas, mistõttu toimis tuntud eponüümiprintsiip: kui mõni objekt kannab kellegi teise nime, siis see pole avastaja nimi(näiteks Ameerikat ei nimetata Kolumbuse järgi).

Inglise füüsik M. Berry nimetas seda samanimelist põhimõtet "Arnoldi põhimõtteks", lisades sellele teise. Berry põhimõte: Arnoldi põhimõte kehtib iseenda kohta(st see oli varem teada).

Olen selles osas Berryga täiesti nõus. Rääkisin talle selle samanimelise põhimõtte vastuseks eeltrükile “Berry faasist”, mille näited, mis ei ole sugugi halvemad kui üldteooria, avaldati aastakümneid enne Berryt S. M. Rytov (nime all “polarisatsioonisuuna inerts”). ja A. Yu .Ishlinsky (pealkirja all "allveelaeva güroskoobi väljumine baasi naasmise tee ja sealt lahkumise tee lahknevuse tõttu"),

Tuleme aga tagasi atraktorite juurde. Atraktor või tõmbekomplekt on püsiv liikumise olek, mis aga ei pea olema perioodiline. Matemaatikud on uurinud ka palju keerulisemaid liikumisi, mis võivad samuti meelitada häiritud naaberliigutusi, kuid mis ise võivad olla äärmiselt ebastabiilsed: väikesed põhjused põhjustavad mõnikord suuri tagajärgi,ütles Poincaré. Sellise piirava režiimi olek või "faas" (st punkt atraktori pinnal) võib liikuda piki atraktori pinda veidral "kaootiliselt" ja lähtepunkti väikese kõrvalekaldega. atraktoril võib liikumise kulgu oluliselt muuta ilma piiravat režiimi üldse muutmata. Kõigi võimalike vaadeldavate suuruste pikkade aegade keskmised on originaalis ja häiritud liikumises lähedased, kuid detailid kindlal ajahetkel on reeglina täiesti erinevad.

Meteoroloogilises mõttes võib "piirrežiimi" (atraktoriga) võrrelda kliima, ja faas - ilm. Väike muutus esialgsetes tingimustes võib homsele ilmale (ja veelgi enam nädala ja kuu aja pärast) suurt mõju avaldada. Kuid selline muutus ei muuda tundrat troopiliseks metsaks: lihtsalt reedel võib teisipäeva asemel puhkeda äikesetorm, mis ei pruugi aasta (ega isegi kuu) keskmist muuta.

Hüdrodünaamikas iseloomustab alghäirete sumbumise astet tavaliselt viskoossus (nii-öelda vedelate osakeste vastastikune hõõrdumine, kui nad liiguvad üksteise suhtes) või pöördviskoossus, mida nimetatakse "Reynoldsi numbriks". Reynoldsi arvu suured väärtused vastavad häirete nõrgale sumbumisele ja suured viskoossuse väärtused (st väikesed Reynoldsi numbrid) - vastupidi, reguleerivad voolu, vältides häireid ja nende arengut. Majandusteaduses mängivad “viskoossuse” rolli sageli altkäemaksud ja korruptsioon 1 .

1 Mitmeastmeline tootmisjuhtimine on ebastabiilne, kui etappide arv (tööline, töödejuhataja, tsehhijuht, tehase direktor, tegevjuht jne) on rohkem kui kaks, kuid seda saab jätkusuutlikult rakendada, kui vähemalt osa juhte premeeritakse mitte ainult ülalt (käskude täitmise eest), vaid ka altpoolt (eesmärgi hüvanguks, tootmist soodustavate otsuste eest). Viimase julgustamiseks kasutatakse korruptsiooni. Täpsemalt vaata artiklit: V. I. Arnold. Matemaatika ja matemaatikaõpe tänapäeva maailmas. Raamatus: Matemaatika hariduses ja kasvatuses. - M.: FAZIS, 2000, lk. 195-205.

Suure viskoossuse tõttu luuakse madalate Reynoldsi arvude korral tavaliselt stabiilne statsionaarne (laminaarne) vool, mida kiirusväljade ruumis esindab punkt-atraktor.

Peamine küsimus on selles, kuidas voolumuster Reynoldsi arvu suurenemisega muutub. Veevarustuses vastab see näiteks veesurve tõusule, mis muudab kraanist tuleva sujuva (laminaarse) voolu ebastabiilseks, kuid matemaatiliselt on Reynoldsi arvu suurendamiseks mugavam vähendada osakeste hõõrdetegurit, mis väljendab viskoossus (mis katses nõuaks tehniliselt keerukat vedeliku asendamist). Kuid mõnikord piisab Reynoldsi numbri muutmiseks temperatuuri muutmisest laboris. Sellist installatsiooni nägin Novosibirskis Täppismõõtmiste Instituudis, kus Reynoldsi arv muutus (neljandas numbris), kui tõin käe lähemale silindrile, kus vool toimus (täpselt temperatuuri muutuse tõttu) ja edasi. katset töötleval arvutiekraanil näitab see Reynoldsi numbri muutus koheselt elektroonilise automatiseerimisega.

Mõeldes nendele laminaarselt (stabiilselt statsionaarselt) voolult tormiliselt turbulentsele ülemineku nähtustele, väljendas Kolmogorov juba ammu mitmeid hüpoteese (mis on tänaseni tõestamata). Arvan, et need hüpoteesid pärinevad ajast (1943), mil tema vaidlus Landauga turbulentsi olemuse üle. Igatahes sõnastas ta need selgelt oma seminaril (hüdrodünaamika ja dünaamiliste süsteemide teooria) 1959. aastal Moskva ülikoolis, kus need olid isegi osa tema tollal postitatud seminarikuulutusest. Kuid ma ei tea, et Kolmogorovi oleks need hüpoteesid ametlikult avaldanud ja läänes omistatakse need tavaliselt Kolmogorovi epigoonidele, kes neist teada said ja kümneid aastaid hiljem avaldasid.

Nende Kolmogorovi hüpoteeside olemus seisneb selles, et Reynoldsi arvu kasvades muutub ühtlase voolu režiimile vastav atraktor üha keerulisemaks, nimelt selle mõõde suureneb.

Esiteks on see punkt (nullmõõtmeline atraktor), seejärel ring (Poincaré piirtsükkel, ühemõõtmeline atraktor). Ja Kolmogorovi hüpotees hüdrodünaamika atraktorite kohta koosneb kahest väitest: Reynoldsi arvu suurenemisega 1) ilmuvad üha suuremate mõõtmetega atraktorid; 2) kõik madaladimensioonilised atraktorid kaovad.

1-st ja 2-st koos järeldub, et kui Reynoldsi arv on piisavalt suur, on püsiseisundil paratamatult palju vabadusastmeid, nii et selle faasi (punkti atraktoril) kirjeldamiseks on vaja seada palju parameetreid, mis siis mööda atraktorit liikudes muutub kapriissel ja mitteperioodiliselt "kaootiliselt" ning väike muutus atraktori lähtepunktis toob reeglina kaasa suure (pika aja peale) "ilma" (atraktori hetkepunkti) muutuse, kuigi see ei muuda atraktorit ennast (see see ei põhjusta muutusi "kliimas").

Väitest 1 iseenesest siinkohal ei piisa, sest koos võivad eksisteerida erinevad atraktorid, sealhulgas ühes süsteemis erineva mõõtmega atraktorid (mis võivad seega sooritada teatud algtingimustel rahulikku “laminaarset” ja teistes tormilist “turbulentset”, sõltuvalt selle algolekust).

Selliste mõjude eksperimentaalne vaatlus "pikaajaline stabiilsuse kaotus"üllatas füüsikuid pikka aega, kuid Kolmogorov lisas, et isegi kui madaladimensiooniline atraktor ei kao, ei pruugi see vaadeldavat turbulentsi muuta juhul, kui selle tõmbeala suurus Reynoldsi arvu suurenedes oluliselt väheneb. Sel juhul laminaarset režiimi, kuigi see on põhimõtteliselt võimalik (ja isegi stabiilne), praktiliselt ei täheldata selle tõmbeala äärmise väiksuse tõttu: Juba väikesed, kuid katses alati esinevad häired võivad viia süsteemi selle atraktori külgetõmbetsoonist välja teise, juba turbulentse püsiseisundi tõmbevööndisse, mida jälgitakse.

See arutelu võib selgitada ka seda kummalist tähelepanekut: Mõnda kuulsat 19. sajandi hüdrodünaamilist katset ei suudetud 20. sajandi teisel poolel korrata, kuigi samas laboris üritati kasutada samu seadmeid. Selgus aga, et vana katset (koos stabiilsuse kaotuse pikenemisega) saab korrata, kui seda teha mitte vanas laboris, vaid sügaval maa-aluses kaevanduses.

Fakt on see, et kaasaegne tänavaliiklus on oluliselt suurendanud "hoomamatute" häirete ulatust, mis hakkasid avaldama mõju (ülejäänud "laminaarse" atraktori tõmbeala väiksuse tõttu).

Paljude matemaatikute arvukad katsed kinnitada Kolmogorovi hüpoteese 1 ja 2 (või vähemalt esimest) tõenditega on seni viinud ainult atraktorite mõõtmete hinnangud Reynoldsi numbrite järgi ülalt: see mõõde ei saa muutuda liiga suureks, kuni viskoossus seda takistab.

Mõõtmelisust hinnatakse nendes töödes Reynoldsi arvu võimsusfunktsiooniga (st negatiivne viskoossusaste) ja eksponent sõltub ruumi mõõtmest, kus vool toimub (kolmemõõtmelise voolu korral on turbulents tugevam kui lennukiprobleemides).

Mis puutub ülesande kõige huvitavamasse osasse ehk mõõtmete hindamisse altpoolt (vähemalt mõne atraktori puhul, nagu hüpotees 1, või isegi kõigi puhul, nagu hüpotees 2 puhul, mille suhtes Kolmogorov väljendas rohkem kahtlusi), siis siin matemaatikud ei suutnud kõrgust mõõta, sest tema harjumuse kohaselt asendasid tegeliku loodusteadusliku probleemi nende formaalse aksiomaatilise abstraktse sõnastusega oma täpsete, kuid reeturlike määratlustega.

Fakt on see, et matemaatikud sõnastasid aksiomaatilise atraktori kontseptsiooni, kaotades mõned füüsikalise piirava liikumisviisi omadused, mida (mitte rangelt määratletud) matemaatikakontseptsiooni nad püüdsid aksiomatiseerida, võttes kasutusele termini "atraktor".

Vaatleme näiteks atraktorit, mis on ring (millele lähenevad spiraalselt kõik läheduses olevad dünaamika trajektoorid).

Just sellel ringil, mis tõmbab ligi naabreid, korraldage dünaamika järgmiselt: kaks vastandpunkti (sama läbimõõduga otstes) on liikumatud, kuid üks neist on atraktor (tõmbab ligi naabreid) ja teine on tõrjuja (tõrjub). neid).

Näiteks võib ette kujutada vertikaalselt seisvat ringi, mille dünaamika nihkub mööda ringi mis tahes punkti allapoole, välja arvatud ülejäänud fikseeritud poolused:

allosas atraktor ja üleval tõrjuja.

Sel juhul, Vaatamata ühedimensioonilise atraktor-ringi olemasolule on füüsiliselt stabiilne olek ainult stabiilne statsionaarne asend(alumine atraktor ülaltoodud "vertikaalses" mudelis).

Suvalise väikese häire korral areneb liikumine kõigepealt atraktori ringi suunas. Kuid siis mängib rolli selle atraktori sisemine dünaamika ja süsteemi olek, tahe lõpuks lähenege "laminaarsele" nullmõõtmelisele atraktorile; ühemõõtmeline atraktor, kuigi see on matemaatiliselt olemas, ei sobi "püsiseisundi režiimi" rolli.

Üks viis selliste probleemide vältimiseks on arvestage atraktoritena ainult minimaalseid atraktoreid, st atraktoreid, mis ei sisalda väiksemaid atraktoreid. Kolmogorovi hüpoteesid viitavad just sellistele atraktoritele, kui tahame neile täpset sõnastust anda.

Kuid siis pole altpoolt mõõtmete hinnangute kohta midagi tõestatud, hoolimata arvukatest väljaannetest.

Deduktiiv-aksiomaatilise lähenemise oht matemaatikale Paljud mõtlejad enne Kolmogorovi said sellest selgelt aru. Esimene Ameerika matemaatik J. Sylvester kirjutas selle Mitte mingil juhul ei tohiks matemaatilisi ideid kivistada, kuna need kaotavad soovitud omaduste aksiomatiseerimisel oma jõu ja rakenduse. Ta ütles, et ideid tuleks tajuda kui vett jões: me ei sisene kunagi täpselt samasse vette, kuigi ford on sama. Samuti võib idee tekitada palju erinevaid ja mittevõrdväärseid aksiomaatika, millest igaüks ei kajasta ideed täielikult.

Sylvester jõudis kõikidele nendele järeldustele, mõeldes läbi tema sõnadega „veidra intellektuaalse nähtuse, mis üldisema väite tõestus osutub sageli lihtsamaks kui selles sisalduvate konkreetsete juhtumite tõendamine." Näitena võrdles ta vektorruumi geomeetriat (tollal veel välja kujunemata) funktsionaalanalüüsiga.

Seda Sylvesteri ideed kasutati tulevikus palju. Näiteks just see seletab Bourbaki soovi muuta kõik mõisted võimalikult üldiseks. Nad isegi kasutavad sisse Prantsusmaal väljendatakse sõna "rohkem" selles mõttes, et teistes riikides (mida nad põlglikult "anglosaksiks" kutsuvad) väljendatakse sõnadega "suurem või võrdne", kuna Prantsusmaal peeti üldisemat mõistet "> =" on esmane ja täpsem ">" - " ebaoluline" näide. Seetõttu õpetavad nad õpilastele, et null on positiivne arv (nagu ka negatiivne, mittepositiivne, mittenegatiivne ja loomulik), mida mujal ei tunnustata.

Kuid ilmselt ei jõudnud nad Sylvesteri järeldusele teooriate kivistumise lubamatuse kohta (vähemalt Pariisis, Ecole Normale Superieure'i raamatukogus, olid need tema kogutud teoste leheküljed lõikamata, kui ma neile hiljuti jõudsin).

Ma ei suuda veenda matemaatilisi "spetsialiste" atraktorite mõõtmete kasvu hüpoteese õigesti tõlgendama, kuna nad, nagu juristid, vaidlevad mulle vastu ametlike viidetega olemasolevatele dogmaatilistele seaduste koodeksitele, mis sisaldavad "täpset formaalset määratlust". teadmatute ligitõmbajad.

Kolmogorov, vastupidi, ei hoolinud kunagi kellegi määratluse tähest, vaid mõtles asja olemusele 2.

2 Olles 1960. aastal lahendanud Birkhoffi ülesande mitteresonantssüsteemide püsipunktide stabiilsuse kohta, avaldasin 1961. aastal lahenduse just sellele probleemile. Aasta hiljem üldistas Yu. Moser minu tulemust, tõestades stabiilsust resonantside korral, mis on suuremad kui neli. Alles siis märkasin, et minu tõestus kinnitas selle üldisema fakti, kuid olles hüpnotiseerituna Birkhoffi mitteresonantsi definitsiooni sõnastusest, ei kirjutanud ma, et olin tõestanud rohkem, kui Birkhoff väitis.

Ühel päeval selgitas ta mulle, et ta ei tulnud oma topoloogilise kohemoloogia teooriani üldse mitte kombinatoorselt või algebraliselt, nagu see välja näeb, vaid mõeldes vedelikuvoogudele hüdrodünaamikas ja seejärel magnetväljadele: ta tahtis seda füüsikat kombinatooriumis modelleerida. abstraktse kompleksi olukorda ja tegi seda.

Püüdsin neil aastail Kolmogorovile naiivselt selgitada, mis juhtus topoloogias nende aastakümnete jooksul, mille jooksul ta ammutas kõik oma teadmised selle kohta ainult P. S. Aleksandrovilt. Selle isolatsiooni tõttu ei teadnud Kolmogorov homotoopia topoloogiast midagi; ta veenis mind selles "Spektraalsed järjestused sisaldusid Pavel Sergejevitši Kaasani teoses 1942 aasta", ja katsed talle selgitada, milline oli täpne jada, ei olnud edukamad kui minu naiivsed katsed panna ta veesuuskadele või jalgrattale, see suur reisija ja suusataja.

Minu jaoks oli aga üllatav range eksperdi Vladimir Abramovitš Rohlini kõrge hinnang Kolmogorovi sõnadele kohemoloogia kohta. Ta selgitas mulle, sugugi mitte kriitiliselt, et need Kolmogorovi sõnad sisaldasid esiteks sügavalt õiget hinnangut tema kahe saavutuse vahelisele suhtele (eriti raske juhul, kui, nagu siin, mõlemad saavutused on tähelepanuväärsed), ja teiseks, kaval ettenägemine kohomoloogiaoperatsioonide tohututest tähendustest.

Kaasaegse topoloogia saavutustest hindas Kolmogorov enim Milnori sfääre, millest viimane rääkis 1961. aastal üleliidulisel matemaatikakongressil Leningradis. Kolmogorov isegi veenis mind (tollal alustavat magistranti) neid valdkondi oma kraadiõppekavasse lisama, mis sundis mind asuma diferentsiaaltopoloogiat õppima Rokhlini, Fuchsi ja Novikovi juurest (selle tulemusena olin isegi peagi viimase doktoriõppe vastane). .D. lõputöö sfääride produktide diferentseeruvatest struktuuridest).

Kolmogorovi idee oli Milnori sfääride abil tõestada, et mitme muutuja funktsiooni ei saa Hilberti 13. ülesandes superpositsioonidega esitada (ilmselt algebraliste funktsioonide puhul), kuid ma ei tea ühtegi tema selleteemalist publikatsiooni ega tema hüpoteeside sõnastust. .

Veel üks vähetuntud Kolmogorovi ideede ring on seotud dünaamiliste süsteemide optimaalne juhtimine.

Selle ringi lihtsaim ülesanne on maksimeerida mingil hetkel intervallil või ringil defineeritud funktsiooni esimene tuletis, teades funktsiooni enda ja selle teise tuletise moodulite ülemisi piire. Teine tuletis takistab esimese kiiret kustutamist ja kui esimene on liiga suur, ületab funktsioon antud piirangu.

Tõenäoliselt avaldas Hadamard esimesena selle probleemi lahenduse teisel tuletisel ja hiljem avastas Littlewood selle suurtükiväe trajektooride kallal töötades. Näib, et Kolmogorov ei teadnud ei ühe ega teise väljaandeid ja otsustas mis tahes vahetuletise ülaltpoolt hindamise probleem diferentseeruva funktsiooni ja selle kõrget (fikseeritud) tuletise moodulite maksimaalsete väärtuste kaudu.

Kolmogorovi imeline idee oli näitavad selgesõnaliselt äärmuslikke funktsioone, nagu Tšebõševi polünoomid (millel tõestatav ebavõrdsus muutub võrduseks). Ja selleks, et funktsioon oleks äärmuslik, arvas ta seda loomulikult kõrgeima tuletise väärtus tuleb alati valida absoluutväärtuses maksimumiks, muutes ainult selle märki.

See viis ta tähelepanuväärsete eriomaduste seeriani. Selle seeria nullfunktsioon on argumendi siinuse märk (kõikjal, kus on maksimaalne moodul). Järgmine, esimene, funktsioon on nulli antiderivaat (st juba pidev "saag", mille tuletis on kõikjal maksimaalse mooduliga). Edasised funktsioonid saadakse iga eelmisest sama integreerimise teel (suurendades tuletisi ühe võrra). Peate lihtsalt valima integreerimiskonstandi nii, et saadud antiderivatiivfunktsiooni integraal perioodi jooksul oleks iga kord võrdne nulliga (siis on kõik konstrueeritud funktsioonid perioodilised).

Saadud osade kaupa polünoomifunktsioonide eksplitsiitsed valemid on üsna keerulised (integratsioonid sisestatakse ratsionaalsete konstantide abil, mis on seotud isegi Bernoulli arvudega).

Konstrueeritud funktsioonide ja nende tuletiste väärtused antakse Kolmogorovi võimsushinnangutes olevate konstantidega (hindab vahepealse tuletise moodulit ülalt funktsiooni mooduli maksimumide ja kõrgeima tuletise ratsionaalsete võimsuste korrutise kaudu). Näidatud ratsionaalseid eksponente on Leonardo da Vinci sarnasuse seaduste ja Kolmogorovi turbulentsiteooria juurde tagasi minnes sarnasuse kaalutluse põhjal lihtne ära arvata, et kombinatsioon peaks osutuma dimensioonituks, kuna on selge (vähemalt Leibnizi märge), kuidas erineva järgu tuletised käituvad ühikute muutumisel Argumentide ja funktsioonide mõõtmised. Näiteks Hadamardi ülesande puhul on mõlemad ratsionaalsed astendajad võrdsed poolega, seega hinnatakse esimese tuletise ruut ülalt funktsiooni enda mooduli maksimumide ja selle teise tuletise korrutisega (koefitsiendiga, mis sõltub selle lõigu või ringi pikkus, kus funktsiooni vaadeldakse).

Lihtsam on tõestada kõiki neid hinnanguid, kui tulla välja ülalkirjeldatud äärmuslike funktsioonidega (ja esitades muu hulgas Gaussi teoreemi: murdosa taandamatuse tõenäosus p/q täisarvu lugeja ja nimetajaga on võrdne 6/p 2, see tähendab umbes 2/3).

Tänapäeva juhtimisteooria seisukohalt Kolmogorovi valitud strateegiat nimetatakse "suureks pauguks": juhtparameeter tuleb alati valida äärmusliku väärtusega, igasugune mõõdukus teeb ainult kahju.

Mis puudutab Hamiltoni diferentsiaalvõrrandit selle äärmusliku väärtuse valiku muutmiseks aja jooksul paljudest võimalikest, siis Kolmogorov teadis seda väga hästi, nimetades seda siiski Huygensi printsiibiks (mis on tegelikult selle võrrandiga samaväärne ja millest Hamilton sai oma võrrandi ümbrikutelt diferentsiaalidele liikumine) . Kolmogorov isegi juhtis mulle, kes ma olin siis tudeng, et Huygensi põhimõtte selle geomeetria parim kirjeldus on Whittakeri mehaanikaõpikus, kus ma seda õppisin ja et keerukamal algebralisel kujul on see Sophus Lie teoorias "Berurungi teisendus" (selle asemel õppisin kanooniliste teisenduste teooriat Birkhoffi raamatust "Dünaamilised süsteemid" ja mida tänapäeval nimetatakse kontaktgeomeetriaks). ).

Kaasaegse matemaatika päritolu jälitamine klassikalistes teostes ei ole tavaliselt lihtne, eriti uue teadusena aktsepteeritava terminoloogia muutumise tõttu. Näiteks ei pane peaaegu keegi tähele, et nn Poissoni kollektorite teooria töötas välja juba Jacobi. Fakt on see, et Jacobi järgis algebraliste sortide - sortide, mitte siledate sortide - kollektorite teed. Nimelt huvitas teda Hamiltoni dünaamilise süsteemi orbiitide mitmekesisus. Topoloogilise ehk sileda objektina on tal omapära ja veelgi ebameeldivamad patoloogiad (“mitte-Hausdorffity” jms) koos orbiitide (keerulise dünaamilise süsteemi faasikõverate) põimumisega.

Kuid selle (võimalik, et halva) "kollektori" funktsioonide algebra on hästi määratletud: see on lihtsalt algse süsteemi esimeste integraalide algebra. Poissoni teoreemi järgi on kahe esimese integraali Poissoni sulg jällegi esimene integraal. Seetõttu on integraalide algebras lisaks korrutamisele veel üks bilineaarne tehe - Poissoni sulg.

Nende operatsioonide (korrutamine ja sulud) koostoime funktsioonide ruumis antud sujuval kollektoril teeb sellest Poissoni kollektori. Jätan vahele selle määratluse formaalsed üksikasjad (need pole keerulised), seda enam, et Jacobit huvitanud näites, kus Poissoni kollektor pole sile ega Hausdorff, ei ole need kõik täidetud.

Seega Jacobi teooria sisaldab üldisemate singulaarsustega sortide uurimist kui tänapäevased Poissoni sujuvad sordid ja pealegi on ta selle teooria konstrueerinud rõngaste ja ideaalide algebralise geomeetria, mitte alamkollektorite diferentsiaalgeomeetria stiilis.

Sylvesteri nõuannet järgides peaksid Poissoni kollektorite spetsialistid pöörduma tagasi üldisema ja huvitavama juhtumi juurde, mida Jacobi juba käsitles. Kuid Sylvester seda ei teinud (hilinedes, nagu ta ütles, Baltimore'i suunduvale laevale) ja uuema aja matemaatikud alluvad täielikult aksiomaatikute diktaadile.

Kolmogorov ise, olles lahendanud vahepealsete tuletisinstrumentide ülemiste hinnangute probleemi, mõistis, et suudab Huygensi ja Hamiltoni samu tehnikaid kasutades lahendada palju muid optimeerimisülesandeid, kuid ta ei teinud seda, eriti kui Pontryagin, keda ta alati aidata püüdis, avaldas oma "printsiibi maksimumi", mis on sisuliselt sama Huygensi unustatud kontaktgeomeetria printsiibi erijuhtum, rakendatuna siiski mitte väga üldisele probleemile.

Kolmogorov arvas õigesti, et Pontrjagin ei mõistnud ei neid seoseid Huygensi printsiibiga ega ka tema teooria seost Kolmogorovi palju varasema tööga tuletisi hinnangute kohta. Ja seetõttu, tahtmata Pontrjaginit häirida, ei kirjutanud ta sellest talle hästi teadaolevast seosest kuskil.

Aga nüüd, ma arvan, võib seda juba öelda, lootuses, et keegi oskab neid seoseid kasutada uute tulemuste avastamiseks.

On õpetlik, et Kolmogorovi ebavõrdsused tuletiste vahel olid aluseks Yu. Moseri märkimisväärsetele saavutustele nn KAM-teoorias (Kolmogorov, Arnold, Moser), mis võimaldas tal üle kanda Kolmogorovi 1954. aasta tulemused analüütiliste Hamiltoni süsteemide invariantsete torite kohta. vaid kolmsada kolmkümmend kolm korda diferentseeruvatele süsteemidele. See juhtus 1962. aastal, kui Moseri leiutis oma tähelepanuväärse Nashi silumise ja Kolmogorovi kiirendatud konvergentsi meetodi kombinatsiooni.

Nüüd on tõestamiseks vajalike tuletiste arvu oluliselt vähendatud (eeskätt J. Matheri poolt), nii et kahemõõtmelises rõngavaste ülesandes vajalikud kolmsada kolmkümmend kolm tuletist on vähenenud kolmele (samas on vastunäiteid leitud kahe tuletise jaoks).

Huvitav on see, et pärast Moseri teose ilmumist püüdsid Ameerika matemaatikud avaldada oma "Moseri teoreemi üldistamist analüütilistele süsteemidele" (see üldistus oli lihtsalt kümme aastat varem avaldatud Kolmogorovi teoreem, mille Moseril õnnestus üldistada). Moser aga tegi otsustavalt lõpu katsetele omistada teistele Kolmogorovi klassikalist tulemust (märkides aga õigesti, et Kolmogorov ei avaldanud kunagi oma tõestuse üksikasjalikku esitlust).

Mulle tundus siis, et Kolmogorovi poolt DAN-i märkuses avaldatud tõestus oli üsna selge (kuigi ta kirjutas rohkem Poincaré kui Hilberti jaoks), vastupidiselt Moseri tõestusele, kus ma ei saanud ühest kohast aru. Ma isegi revideerisin seda oma 1963. aasta ülevaates Moseri tähelepanuväärsest teooriast. Moser selgitas mulle hiljem, mida ta selles ebaselges kohas mõtles, kuid ma pole ikka veel kindel, kas need selgitused avaldati õigesti (minu redaktsioonis pean valima s < e/3, а не e/2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Õpetlik on ka see "Kolmogorovi kiirendatud lähenemise meetod"(Kolmogorov omistas õigesti Newtonile) kasutas sarnasel eesmärgil mittelineaarse võrrandi lahendamisel A. Cartani poolt kümme aastat enne Kolmogorovit, tõestades seda, mida nüüd nimetatakse teoreemiks. A talade teooria. Kolmogorov ei teadnud sellest midagi, kuid Cartan juhtis mulle seda 1965. aastal ja oli veendunud, et Kolmogorov oleks võinud Cartanile viidata (kuigi tema olukord talade teoorias oli mõnevõrra lihtsam, kuna lineariseeritud ülesande lahendamisel puudus põhimõtteline taevamehaanika on resonantside ja väikeste nimetajate raskus, mis esineb Kolmogorovis ja Poincarés). Kolmogorovi mitte matemaatiline, vaid laiem lähenemine uurimistööle avaldus selgelt kahes tema kaasautoritega tehtud töös: artiklis M. A. Leontovitšiga Browni trajektoori naabruskonnast ja artiklis "KPP" (Kolmogorov). , Petrovski ja Piskunov) mittelineaarsete lainete levimiskiiruse kohta

Mõlemal juhul sisaldab töö nii loodusteadusliku probleemi selget füüsikalist sõnastust kui ka keerukat ja mittetriviaalset matemaatilist tehnikat selle lahendamiseks.

Ja mõlemal juhul Kolmogorov ei täitnud töö matemaatilist, vaid füüsilist osa, seotud ennekõike ülesande formuleerimise ja vajalike võrrandite tuletamisega, kusjuures nende uurimine ja vastavate teoreemide tõestamine kuuluvad kaasautoritele.

Browni asümptootika puhul hõlmab see keeruline matemaatiline tehnika integraalide uurimist piki deformeeritavaid radasid Riemanni pindadel, võttes arvesse parameetrite muutmisel selleks vajalike integratsioonikontuuride keerulisi deformatsioone, st seda, mida tänapäeval nimetatakse kas "Picardiks". -Lefschetzi teooria" või "ühenduvuse teooria Gauss-Manin".

“KOOL ON KATSE, KAS VANEMAD SAAVAD OMA LAST KAITSTA VÕI MITTE” Kujutage ette, et sina, täiskasvanu, elad sellist elu. Tõuse üles enne koitu ja lähed tööle, mis sulle üldse ei meeldi. Selle töö juures veedad kuus-seitse tundi millegagi, mis sulle üldiselt ei meeldi ja millel sa ei näe mõtet. Teil pole absoluutselt võimalust pühenduda tööle, mis teid huvitab, mis teile meeldib. Mitu korda päevas hindavad teie ülemused (ja neid on üsna palju) teie tööd ja väga konkreetselt - viiepallisüsteemi punktidega. Kordan: mitu korda päevas. Teil on kindel raamat, kuhu salvestatakse saadud punktid ja ka kommentaarid. Iga ülemus võib sulle noomida, kui märkab, et sa ei käitu nii, nagu talle, ülemusele, õige tundub. Oletame, et kõnnite koridoris liiga kiiresti. Või liiga aeglane. Või räägi liiga valjult. Põhimõtteliselt võib iga ülemus sind kergesti solvata või isegi joonlauaga pihku lüüa. Ülemuse peale kurtmine on teoreetiliselt võimalik, kuid praktikas on see väga pikk protseduur, sellesse puutuvad vähesed: seda on kergem taluda. Lõpuks naasete koju, kuid isegi siin pole teil võimalust häirida, sest kodus olete kohustatud tegema midagi vajalikku, tegema midagi, mis teile ei meeldi. Ülemus võib su lapsele igal ajal helistada ja sinu kohta igasugu vastikuid asju rääkida, et noorem põlvkond saaks sind mõjutada. Ja õhtul noomib laps teid liiga kiiresti mööda teeninduskoridori kõndimise või väheste punktide saamise eest. Või võib ta su igaõhtusest konjakiklaasist ilma jätta – sa ei vääri seda. Neli korda aastas antakse teile oma töö eest viimaseid hindeid. Seejärel algavad eksamid. Ja siis - kõige kohutavamad eksamid, nii arusaamatud ja rasked, et peate nendeks valmistuma mitu aastat. Kas ma olen koolieluga nii palju liialdanud? Ja kui kaua teil, täiskasvanul, sellisest elust hulluks läheks? Ja meie lapsed elavad nii üksteist aastat! Ja mitte midagi. Ja - tundub, et nii see peakski olema. Lapsed mõistavad väga kiiresti, et kool on maailm, millega tuleb võidelda: enamikku lihtsalt ei saa koolis eksisteerida. Ja siis hakkab laps mõtlema: kelle poolel on vanem? Kas ta on tema või õpetaja jaoks? Kas ka ema ja isa arvavad, et peaksite hea meelega tegema seda, mis teile ei meeldi? Kas emme-issi on ka veendunud, et õpetajal on alati õigus ja laps on alati süüdi? Meie suhetes lastega on kool proovikivi, kas vanemad suudavad oma last kaitsta või mitte. Jah, ma olen täiesti veendunud: lapse kaitsmine on vanemlik põhitöö. Kaitsta, mitte harida. Kaitske, mitte sundige, tehke kodutööd. Kaitske, mitte aga lõpmatult kiruge ja kritiseerige, sest kui soovite, siis alati leidub midagi, mille pärast saate oma last norida ja kritiseerida. Koolis toimub palju jama ja jama. See on kohutav, kui vanemad ei paista seda nägevat. See on kohutav, kui õpilane teab, et teda koolis sõimatakse ja alandatakse, ja siis jätkub sama asi ka kodus. Ja kus on siis tema jaoks väljapääs? Kool on tõsine proovikivi, mille vanemad ja lapsed peavad koos läbi tegema. Koos. Koolilaps peab mõistma: tal on kodu, kus teda alati mõistetakse ega solvu. Vanema põhiülesanne ei ole teha lapsest suurepärane õpilane, vaid hoolitseda selle eest, et ta leiaks oma kutsumuse ja saaks võimalikult palju selle kutse täitmiseks vajalikke teadmisi. See on see, millele me peaksime keskenduma. Rumal on öelda lapsele, kes unistab saada kunstnikuks, et tal on vaja algebrat. See ei ole tõsi. Samuti pole tõsi, et poisist võib kasvada matemaatik, kui poiss ei tea, mis vanuses Nataša Rostova ballile läks. Kuid tõsi on see, et matemaatikas ja kirjanduses peab teise klassi siirdumiseks olema vähemalt C. Te ei tohiks nuhelda "humanitaarset" last selle eest, et ta langes matemaatikas D-st C-sse. Temast tuleks kaasa tunda – ta on ju sunnitud tegema midagi, mis pole talle huvitav ega vajalik. Ja aidata nii palju kui võimalik. Kui lapsel ei ole õpetajaga häid suhteid, sest õpetaja on näiteks ebaintelligentne inimene, peate seda temaga arutama. Ja selgitage, et elus peate sageli looma suhteid rumalate inimestega. Teil on võimalus seda õppida. Miks mitte seda ära kasutada? Kui laps saab tegemata kodutöö eest halva hinde, on see halb. Ta saab halva hinde mitte mõistmatuse, vaid laiskuse pärast. Ma oleks võinud seda kergesti mitte saada, aga ma sain. Sellest tasub rääkida. Kui last klassis halva käitumise pärast lõputult noomitakse, ei tohiks te talle pidevalt öelda, et õppimine on väga oluline. Kui lapsel on tunnis igav, tähendab see, et ta ei saa talle midagi õpetada. Küll aga saame täpsustada: vaatamata sellele, et elus tuleks püüda teha ainult seda, mis on huvitav, tuleb paraku vahel teha igavaid asju. Õppige - ilma selle oskuseta ei saa te elus hakkama. Õige on sõimata last selle eest, et ta ei õpi aineid, mis talle elus kasulikud on. Väike inimene peab mõistma: kui oled kutsumuse valinud, siis pead selle täitmiseks tegema kõik. Miks sa seda ei tee? Lühidalt: ära valeta oma lapsele. Peame andma endast parima, et aidata tal tähendust leida ka sellistes kooliolukordades, kus see tähendus on täiesti ebaselge. Andrei Maksimov (raamatust “Kuidas mitte saada oma lapse vaenlaseks”).

Pühendan oma õpetajale Andrei Nikolajevitš Kolmogorovile

Tutvusin obskurantismi võidukäiguga, kui lugesin Nezavisimaya Gazetast Moskva lähedale vastvalminud püramiide ülistavat artiklit “Retrogaadid ja šarlatanid”, kus

vaarikad, minust möödus terve kari mööda lagendikku jalutanud metssigu, kes tegid umbes kümnemeetrise raadiusega poolringi.

Ameerika kolleegid selgitasid mulle, et nende riigi madal üldkultuuri ja koolihariduse tase on majanduslikel eesmärkidel sihilik saavutus. Fakt on see, et haritud inimesest saab pärast raamatute lugemist halvem ostja: ta ostab vähem pesumasinaid ja autosid ning hakkab neile eelistama Mozartit või Van Goghi, Shakespeare’i või teoreeme. Tarbimisühiskonna majandus kannatab selle all ja eelkõige elu omanike sissetulekud – seega püüavad nad takistada kultuuri ja haridust (mis lisaks takistavad neil manipuleerida elanikkonnaga kui intelligentsuseta karjaga).

Vladimir Igorevitš Arnold

Uus obskurantism
ja vene haridus

Pühendan oma õpetajale Andrei Nikolajevitš Kolmogorovile

Tutvusin obskurantismi võidukäiguga, kui lugesin Nezavisimaya Gazetast Moskva lähedale vastvalminud püramiide ülistavat artiklit “Retrogaadid ja šarlatanid”, kus

vaarikad, minust möödus terve kari mööda lagendikku jalutanud metssigu, kes tegid umbes kümnemeetrise raadiusega poolringi.

Selle valdkonna uued motoriseeritud asukad on muutnud meilt Perkhushkovo jaama viiva kiirtee oma vastandiks. Viimastel aastatel on bussid mööda seda peaaegu lõpetanud. Algul kogusid uued elanikud-autojuhid terminalijaamas bussijuhile raha, et too tunnistaks bussi “korrast välja” ja reisijad maksaksid erakaupmeestele. "Põllu" uute elanike autod kihutavad nüüd seda maanteed suure kiirusega (ja sageli kellegi teise sõidurajal). Ja mina, kõndides viis miili jaama, riskin end ümber lükata, nagu mu paljud jalakäijate eelkäijad, kelle surmakohad olid hiljuti teeservadele pärgadega tähistatud. Elektrirongid ei peatu aga ka nüüd vahel graafikus ettenähtud jaamades.

Nii et tõelise "retrograadsena" pean kogu seda püramiidset ettevõtmist kahjulikuks, teadusvastaseks reklaamiks poe jaoks, kus müüakse "esemeid laadimist".

Kuid obskurantism on alati järginud teaduslikke saavutusi, alates antiigist. Aristotelese õpilane Aleksander Philipovitš Makedooniast tegi mitmeid "teaduslikke" avastusi (mida kirjeldas tema kaaslane Arian Anabasises). Näiteks, avastas ta Niiluse jõe allika: tema sõnul on see Indus."Teaduslikud" tõendid olid: " Need on ainsad kaks suurt jõge, mis on krokodillidest nakatunud."(ja kinnitus: “Lisaks on mõlema jõe kaldad lootostest kinni kasvanud”).

Kuid see pole tema ainus avastus: ta avastas ka selle Oxuse jõgi (tänapäeva nimega Amu Darya) "voolab põhjast Uuralite lähedale pöördudes Pontus Euxine'i Meoti sohu, kus seda nimetatakse Tanaisiks"("Ta-nais" on Don ja "Meotiani soo" on Aasovi meri). Obkurantistlike ideede mõju sündmustele ei ole alati tühine:

Aleksander Sogdianast (see tähendab Samarkandist) ei läinud kaugemale itta, Hiinasse, nagu ta algul tahtis, vaid lõunasse, Indiasse, kartes, veetõke, mis ühendab tema kolmanda teooria kohaselt Kaspia ("Hürkaani") merd India ookeaniga(V Bengali lahe piirkond). Sest ta uskus, et mered on "määratluse järgi" ookeani lahed. See on selline "teadus", milleni meid juhitakse.

Venemaa Haridusministeeriumi välja antud kaheköiteline projekt “Üldhariduse standardid” sisaldab suurt loetelu teemadest mille tundmise kohta tehakse ettepanek lõpetada praktikantidelt nõudmine. Just see nimekiri annab kõige selgema ettekujutuse "reformijate" ideedest ja sellest, milliste "liigsete" teadmiste eest nad järgmisi põlvkondi "kaitsta" püüavad.

Ma hoidun poliitilistest kommentaaridest, kuid siin on tüüpilised näited väidetavalt "ebavajalikust" teabest, mis on välja võetud neljasajaleheküljelisest standardite projektist:

NSV Liidu põhiseadus;
fašistlik "uus kord" okupeeritud aladel;
Trotski ja trotskism;
suuremad erakonnad;
kristlik demokraatia;
inflatsioon;
kasum;
valuuta;
väärtpaberid;
mitmeparteisüsteem;
õiguste ja vabaduste tagatised;
õiguskaitseorganid;
raha ja muud väärtpaberid;
Vene Föderatsiooni riiklik-territoriaalse struktuuri vormid;
Ermak ja Siberi annekteerimine;
Venemaa välispoliitika (XVII, XVIII, XIX ja XX sajand);
Poola küsimus;
Konfutsius ja Buddha;
Cicero ja Caesar;
Jeanne of Arc ja Robin Hood;
Eraisikud ja juriidilised isikud;
isiku õiguslik seisund demokraatlikus õigusriigis;
võimude lahusus;
kohtusüsteem;
autokraatia, õigeusk ja rahvus (Uvarovi teooria);
Venemaa rahvad;
kristlik ja islamimaailm;
Louis XIV;
Luther;
Loyola;
Bismarck;
Riigiduuma;
tööpuudus;
suveräänsus;
aktsiaturg (börs);
riigi tulud;
pere sissetulek.

“Ühiskonnaõpetus”, “ajalugu”, “majandus” ja “õigus”, milles ei käsitleta kõiki neid mõisteid, on lihtsalt formaalsed jumalateenistused, mis on õpilaste jaoks kasutud. Prantsusmaal tunnen ma sedalaadi abstraktsetel teemadel teoloogilise lobisemise ära võtmesõnade järgi: «Prantsusmaa on nagu katoliku kiriku vanim tütar..." (järgneda võib kõike, näiteks: "... ei vaja kulutusi teadusele, kuna meil oli juba ja on veel teadlasi"), nagu kuulsin Prantsusmaa Vabariigi Rahvuskomitee koosolekul. Teadus ja teadus, mille liige ma olen. Mind määras ametisse Prantsusmaa Vabariigi teadus-, teadus- ja tehnoloogiaminister.

Et mitte olla ühekülgne, annan ka nimekirja "ebasoovitavatest" (nende tõsise uurimuse "vastuvõetamatuse" tähenduses) autoritest ja teostest, mida häbiväärne "Standard" selles ametis mainib:

Glinka;
Tšaikovski;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Raphael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Togh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Oliver Twist";
Shakespeare'i sonetid;
Radištševi “Reis Peterburist Moskvasse”;
"Vastukindel tinasõdur";
"Gobsek";
"Père Goriot"
"Les Miserables";
"Valgekihv";
"Belkini lood";
"Boriss Godunov";
"Poltava";
"Dubrovski";
"Ruslan ja Ludmila";
"Siga tamme all";
"Õhtud talus Dikanka lähedal";
"Hobuse perekonnanimi";
"Päikese sahver";
"Meštšerskaja pool";
"Vaikne Don";
"Pygmalion";
"Hamlet";
"Faust";
"Hüvastijätt relvadega";
"Noble Nest";
"Daam koeraga";
"Hüppaja";
"Pilv pükstes";
"Must mees";
"Jookse";
"Vähktõve osakond";
"Edevuste laat";
"Kellele lüüakse hingekella";
"Kolm seltsimeest";
"Esimeses ringis";
"Ivan Iljitši surm."

Ermitaaž;
Vene muuseum;
Tretjakovi galerii;
Puškini kaunite kunstide muuseum Moskvas.

Kelluke heliseb meile!

aatomite struktuur;
kaugtegevuse kontseptsioon;
inimsilma struktuur;
kvantmehaanika määramatuse seos;
põhilised vastasmõjud;
tähine taevas;
Päike on nagu üks tähtedest;
organismide rakuline struktuur;
refleksid;
geneetika;
elu päritolu Maal;
elusmaailma areng;
Koperniku, Galileo ja Giordano Bruno teooriad;
Mendelejevi, Lomonossovi, Butlerovi teooriad;
Pasteuri ja Kochi teeneid;
naatrium, kaltsium, süsinik ja lämmastik (nende roll ainevahetuses);
õli;
polümeerid.

vajalikkus ja piisavus;
punktide asukoht;
nurkade siinused nurga all 30 o, 45 o, 60 o;
nurgapoolitaja konstrueerimine;
segmendi jagamine võrdseteks osadeks;
nurga mõõtmine;
lõigu pikkuse mõiste;
aritmeetilise progressiooni liikmete summa;
sektori piirkond;
pöördtrigonomeetrilised funktsioonid;
lihtsad trigonomeetrilised võrratused;
polünoomide ja nende juurte võrdsused;
kompleksarvude geomeetria (vajalik vahelduvvoolufüüsika, raadiotehnika ja kvantmehaanika jaoks);
ehitusülesanded;
kolmnurkse nurga tasapinnalised nurgad;
kompleksfunktsiooni tuletis;
lihtmurdude teisendamine kümnendkohtadeks.

Duuma esindajad selgitasid mulle seda Olukorda saaks oluliselt parandada, kui hoolitsetaks juba vastu võetud haridusseaduste rakendamise eest.

Järgneva asjade seisu kirjelduse esitas asetäitja I. I. Melnikov oma ettekandes Matemaatika Instituudis. V. A. Steklov Venemaa Teaduste Akadeemiast Moskvas 2002. aasta sügisel.

Loomulik on lõpetada lastele murdude õpetamine, muidu, jumal hoidku, saavad nad aru!

"Me ei saa kuidagi järgida teie põhimõtet valida kandidaate nende teaduslike saavutuste põhjal," ütlesid minu kolleegid Pariisi ühte parimasse ülikooli uute professorite kutsumise komisjonist. - "Lõppude lõpuks peaksime sel juhul valima ainult venelased - selline on nende teaduslik paremus meile kõigile See on selge!" (Ma rääkisin ka valikust prantslaste seas).

Kandidaat on mitu aastat õpetanud lineaaralgebrat erinevates ülikoolides, kaitsnud väitekirja ja avaldanud kümmekond artiklit Prantsusmaa parimates matemaatikaajakirjades.

Valik sisaldab intervjuud, kus kandidaadilt küsitakse alati elementaarseid, kuid olulisi küsimusi (küsimuste tasand "Nimeta Rootsi pealinn" kui õppeaineks oli geograafia).

Nii et ma küsisin: "Mis on ruutvormi signatuur xy?»

Kandidaat nõudis talle antud 15 minutit mõtlemisaega, misjärel ütles: “Minu arvutis Toulouse’is on selline rutiin (programm), mis tunni või paari pärast saab teada, mitu plussi ja mitu miinust tuleb. normaalsel kujul. Erinevus nende kahe numbri vahel on allkiri - aga annate ainult 15 minutit ja ilma arvutita, nii et ma ei saa vastata, see vorm xy see on liiga keeruline."

Järgmiseks kandidaadiks osutus “elliptiliste osadiferentsiaalvõrrandite süsteemide” spetsialist (poolteist kümnendit pärast väitekirja kaitsmist ja üle kahekümne avaldatud teose).

Küsisin selle käest: „Mis on funktsiooni laplane 1/r kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis?

Lubage mul selgitada, et küsimus pärineb elliptiliste võrrandite teooriast, nagu küsimus "Kes on Hamleti autor?" inglise kirjanduse eksamil. Püüdes aidata, esitasin rea suunavaid küsimusi (sarnaselt Othello ja Ophelia kohta käivatele küsimustele): „Kas sa tead, mis on gravitatsiooniseadus? Coulombi seadus? Kuidas nad on laplastega seotud? Mis on Laplace'i võrrandi põhilahendus?

Kuid miski ei aidanud: ei Macbethi ega kuningas Leari ei teadnud kandidaat, kui me räägime kirjandusest.

Lõpuks selgitas eksamikomisjoni esimees mulle, mis toimub: "Lõppude lõpuks, kandidaat ei uurinud ainult ühte elliptilist võrrandit, vaid nende süsteeme ja te küsite temalt Laplace'i võrrandi kohta, mis KokkuÜks on selge, et ta pole sellega kunagi kokku puutunud!”

Kirjanduslikus analoogias vastaks see "õigustus" fraasile: "Kandidaat õppis inglise luuletajaid, kuidas ta võiks Shakespeare'i tunda, lõppude lõpuks on ta näitekirjanik!"

Kolmas kandidaat (ja neist küsitleti kümneid) töötas "holomorfsete diferentsiaalvormide" kallal ja ma küsisin temalt: "Mis on puutuja Riemanni pind?" (Ma kartsin küsida arctangensi kohta).

Vastus: "Riemanni meetrika on koordinaatide diferentsiaalide ruutvorm, kuid see, milline vorm puutujafunktsiooniga seostatakse, pole mulle üldse selge."

Küsimus: “Ja ometi, kuidas on lood väitega A omaette, ilma IN: kas see on tõsi või mitte?

Vastus: "Ma ju ütlesin, et väide "A ja B" on vale. See tähendab, et ka A on vale." See on: Kuna pole tõsi, et Petya ja Miša said koolerasse, siis Petya koolerasse ei saanud.

Siin hajutas mu hämmeldust taas komisjoni esimees: ta selgitas, et kandidaat ei ole tõenäoline, nagu ma arvasin, vaid statistik (eluloos, nimega CV, pole mitte “proba”, vaid “stat”). .

"Tõenäosustajatel," selgitas mulle meie kogenud esimees, "on tavaline loogika, sama mis matemaatikutel, Aristotelesel. Statistikute jaoks on see täiesti erinev: nad ei ütle asjata, et "on valesid, räigeid valesid ja statistikat". Kõik nende põhjendused on põhjendamata, kõik nende järeldused on ekslikud. Aga need on alati väga vajalikud ja kasulikud, need järeldused. Peame selle statistiku kindlasti vastu võtma!”

Paar aastat hiljem suleti hotell renoveerimiseks (omanik ilmselt suri) ja hakati seda ameerikalikult ümber ehitama, nii et nüüd seda 19. sajandi saart Pariisis enam näha ei saa.

Nii et nüüd on Prantsusmaa päästetud!

Luzini õpilastest andis minu arvates kõige tähelepanuväärsema panuse teadusesse Andrei Nikolajevitš Kolmogorov. Olles üles kasvanud külas oma vanaisa juures Jaroslavli lähedal, nimetas Andrei Nikolajevitš Gogoli sõnu uhkusega kui "efektiivset Roslavli talupoega".

Ettekanne oli väga edukas ja kõnelejat kiideti palju. Kuid ta nõudis teist heakskiitu: ta tahtis, et tema järeldusi tunnistataks õigeks.

Lõpuks ütles Bahrušin talle: „See aruanne tuleb avaldada; ta on väga huvitav. Aga mis puudutab järeldusi, siis Meie, ajaloolaste jaoks ei vaja me iga järelduse äratundmiseks alati mitte ühte tõendit, vaid vähemalt viit!«

Majakovski kirjutas: "Lõppude lõpuks suudab ta ruutjuure iga sekund välja tõmmata" (professori kohta, kellel "ei hakka igav, et akna all käivad õpilased aktiivselt gümnaasiumis").

Erinevalt paljudest teistest ei hirmutanud Kolmogorovit rakenduslik „veduri” matemaatika ja ta rakendas matemaatilisi kaalutlusi rõõmsalt inimtegevuse erinevates valdkondades: hüdrodünaamikast suurtükiväeni, taevamehaanikast luuleni, arvutite miniaturiseerimisest Browni liikumise teooria, alates Fourier' seeriate lahknemisest kuni teabe edastamise teooria ja intuitsionistliku loogikani. Ta naeris selle üle, et prantslased kirjutavad “Taevamehaanika” suure algustähega ja “rakendasid” väikese tähega.

"Oleks asjata, " ütles ta mulle, "otsida oma turbulentsi käsitlevates töödes matemaatilist sisu. Ma räägin siin füüsikuna ega ole üldse huvitatud oma esialgsetest eeldustest, näiteks Navier-Stokesi võrranditest, tehtud järelduste matemaatiliste tõendite või tuletamisest. Isegi kui need järeldused pole tõestatud, on need tõesed ja avameelsed ning see on palju olulisem kui nende tõestamine!”

Toon vaid ühe kuulsa näite (turbulentsi teooriast).

Sellised statsionaarsed voolud (näiteks laminaarsed voolud klassikalise hüdrodünaamika mõttes) on dünaamilise süsteemi punktide tõmbamine. Seetõttu nimetatakse neid (punkt)attraktoriteks.

Pärast Poincarét uuris selliseid piirtsükleid põhjalikult A. A. Andronov, kes lähtus raadiolainete generaatorite ehk raadiosaatjate uurimisel ja arvutamisel sellest matemaatilisest mudelist.

Inglise füüsik M. Berry nimetas seda samanimelist põhimõtet "Arnoldi põhimõtteks", lisades sellele teise. Berry põhimõte: Arnoldi põhimõte kehtib iseenda kohta(st see oli varem teada).

Olen selles osas Berryga täiesti nõus. Rääkisin talle selle samanimelise põhimõtte vastuseks eeltrükile “Berry faasist”, mille näited, mis ei ole sugugi halvemad kui üldteooria, avaldati aastakümneid enne Berryt S. M. Rytov (nime all “polarisatsioonisuuna inerts”). ja A. Yu .Ishlinsky (nime all "allveelaeva güroskoobi väljumine baasi naasmise tee ja sealt lahkumise tee lahknevuse tõttu"),

Hüdrodünaamikas iseloomustab alghäirete sumbumise astet tavaliselt viskoossus (nii-öelda vedelate osakeste vastastikune hõõrdumine, kui nad üksteise suhtes liiguvad) või pöördviskoossus, väärtus, mida nimetatakse "Reynoldsi numbriks". Reynoldsi arvu suured väärtused vastavad häirete nõrgale sumbumisele ja suured viskoossuse väärtused (st väikesed Reynoldsi numbrid) - vastupidi, reguleerivad voolu, vältides häireid ja nende arengut. Majandusteaduses mängivad “viskoossuse” rolli sageli altkäemaksud ja korruptsioon 1 .

1 Mitmeastmeline tootmisjuhtimine on ebastabiilne, kui etappide arv (tööline, töödejuhataja, tsehhijuht, tehase direktor, tegevjuht jne) on rohkem kui kaks, kuid seda saab jätkusuutlikult rakendada, kui vähemalt osa juhte premeeritakse mitte ainult ülalt (käskude täitmise eest), vaid ka altpoolt (eesmärgi hüvanguks, tootmist soodustavate otsuste eest). Viimase julgustamiseks kasutatakse korruptsiooni. Täpsemalt vaata artiklit: V. I. Arnold. Matemaatika ja matemaatikaõpe tänapäeva maailmas. Raamatus: Matemaatika hariduses ja kasvatuses. - M.: FAZIS, 2000, lk. 195-205.

Suure viskoossuse tõttu luuakse madalate Reynoldsi arvude korral tavaliselt stabiilne statsionaarne (laminaarne) vool, mida kiirusväljade ruumis esindab punkt-atraktor.

Nende Kolmogorovi hüpoteeside olemus seisneb selles, et Reynoldsi arvu kasvades muutub ühtlase voolu režiimile vastav atraktor üha keerulisemaks, nimelt selle mõõde suureneb.

Fakt on see, et kaasaegne tänavaliiklus on oluliselt suurendanud "hoomamatute" häirete ulatust, mis hakkasid avaldama mõju (ülejäänud "laminaarse" atraktori tõmbeala väiksuse tõttu).

Vaatleme näiteks atraktorit, mis on ring (millele lähenevad spiraalselt kõik läheduses olevad dünaamika trajektoorid).

Näiteks võib ette kujutada vertikaalselt seisvat ringi, mille dünaamika nihkub mööda ringi mis tahes punkti allapoole, välja arvatud ülejäänud fikseeritud poolused:

allosas atraktor ja üleval tõrjuja.

Sel juhul, Vaatamata ühedimensioonilise atraktor-ringi olemasolule on füüsiliselt stabiilne olek ainult stabiilne statsionaarne asend(alumine atraktor ülaltoodud "vertikaalses" mudelis).

Kuid siis pole altpoolt mõõtmete hinnangute kohta midagi tõestatud, hoolimata arvukatest väljaannetest.

Sylvester jõudis kõikidele nendele järeldustele, mõeldes läbi tema sõnadega „veidra intellektuaalse nähtuse, mis üldisema väite tõestamine osutub sageli lihtsamaks kui selles sisalduvate konkreetsete juhtumite tõendamine. Näitena võrdles ta vektorruumi geomeetriat (tollal veel välja kujunemata) funktsionaalanalüüsiga.

Seda Sylvesteri ideed kasutati tulevikus palju. Näiteks just see seletab Bourbaki soovi muuta kõik mõisted võimalikult üldiseks. Nad isegi kasutavad sisse Prantsusmaal väljendatakse sõna "rohkem" selles tähenduses, nagu teistes riikides (mida nad põlglikult "anglosaksiks" kutsuvad) sõnadega "suurem või võrdne", kuna Prantsusmaal on üldisem mõiste ">=" peeti esmaseks ja täpsem ">" - " ebaoluline" näide. Seetõttu õpetavad nad õpilastele, et null on positiivne arv (nagu ka negatiivne, mittepositiivne, mittenegatiivne ja loomulik), mida mujal ei tunnustata.

Kolmogorov, vastupidi, ei hoolinud kunagi kellegi määratluse tähest, vaid mõtles asja olemusele 2.

2 Olles 1960. aastal lahendanud Birkhoffi ülesande mitteresonantssüsteemide püsipunktide stabiilsuse kohta, avaldasin 1961. aastal lahenduse just sellele probleemile. Aasta hiljem üldistas Yu. Moser minu tulemust, tõestades stabiilsust resonantside korral, mis on suuremad kui neli. Alles siis märkasin, et minu tõestus kinnitas selle üldisema fakti, kuid olles hüpnotiseerituna Birkhoffi mitteresonantsi definitsiooni sõnastusest, ei kirjutanud ma, et olin tõestanud rohkem, kui Birkhoff väitis.

Püüdsin neil aastail Kolmogorovile naiivselt selgitada, mis juhtus topoloogias nende aastakümnete jooksul, mille jooksul ta ammutas kõik oma teadmised selle kohta ainult P. S. Aleksandrovilt. Selle isolatsiooni tõttu ei teadnud Kolmogorov homotoopia topoloogiast midagi; ta veenis mind selles "Spektraaljärjestused sisaldusid Pavel Sergejevitši Kaasani teoses 1942 aasta", ja katsed talle selgitada, milline oli täpne jada, ei olnud edukamad kui minu naiivsed katsed panna ta veesuuskadele või jalgrattale, see suur reisija ja suusataja.

Veel üks vähetuntud Kolmogorovi ideede ring on seotud dünaamiliste süsteemide optimaalne juhtimine.

See viis ta tähelepanuväärsete eriomaduste seeriani. Selle seeria nullfunktsioon on argumendi siinuse märk (kõikjal, kus on maksimaalne moodul). Järgmine, esimene, funktsioon on nulli antiderivaat (st juba pidev “saag”, mille tuletis on kõikjal maksimaalse mooduliga). Edasised funktsioonid saadakse iga eelmisest sama integreerimise teel (suurendades tuletisi ühe võrra). Peate lihtsalt valima integreerimiskonstandi nii, et saadud antiderivatiivfunktsiooni integraal perioodi jooksul oleks iga kord võrdne nulliga (siis on kõik konstrueeritud funktsioonid perioodilised).

Saadud osade kaupa polünoomifunktsioonide eksplitsiitsed valemid on üsna keerulised (integratsioonid sisestatakse ratsionaalsete konstantide abil, mis on seotud isegi Bernoulli arvudega).

Kaasaegse matemaatika päritolu jälitamine klassikalistes teostes ei ole tavaliselt lihtne, eriti uue teadusena aktsepteeritava terminoloogia muutumise tõttu. Näiteks ei pane peaaegu keegi tähele, et nn Poissoni kollektorite teooria töötas välja juba Jacobi. Fakt on see, et Jacobi järgis algebraliste sortide - sortide, mitte siledate sortide - kollektorite teed. Nimelt huvitas teda Hamiltoni dünaamilise süsteemi orbiitide mitmekesisus. Topoloogilise või sileda objektina on sellel tunnuseid ja veelgi ebameeldivamaid patoloogiaid (“mitte-Hausdorffness” jms) koos orbiitide (keerulise dünaamilise süsteemi faasikõverate) põimumisega.

Kuid selle (võimalik, et halva) "kollektori" funktsioonide algebra on täpselt määratletud: see on lihtsalt algse süsteemi esimeste integraalide algebra. Poissoni teoreemi järgi on kahe esimese integraali Poissoni sulg jällegi esimene integraal. Seetõttu on integraalide algebras lisaks korrutamisele veel üks bilineaarne tehe - Poissoni sulg.

Kolmogorov ise, olles lahendanud vahepealsete tuletisinstrumentide ülemiste hinnangute probleemi, mõistis, et suudab Huygensi ja Hamiltoni samu tehnikaid kasutades lahendada palju muid optimeerimisülesandeid, kuid ta ei teinud seda, eriti kui Pontryagin, keda ta alati aidata püüdis, avaldas oma “põhimõtte maksimumi”, mis on sisuliselt sama Huygensi unustatud kontaktgeomeetria printsiibi erijuhtum, rakendatuna siiski mitte väga üldisele probleemile.

Aga nüüd, ma arvan, võib seda juba öelda, lootuses, et keegi oskab neid seoseid kasutada uute tulemuste avastamiseks.

Mulle tundus siis, et Kolmogorovi poolt DAN-i märkuses avaldatud tõestus oli üsna selge (kuigi ta kirjutas rohkem Poincaré kui Hilberti jaoks), vastupidiselt Moseri tõestusele, kus ma ei saanud ühest kohast aru. Ma isegi revideerisin seda oma 1963. aasta ülevaates Moseri tähelepanuväärsest teooriast. Moser selgitas mulle hiljem, mida ta selles ebaselges kohas mõtles, kuid ma pole ikka veel kindel, kas need selgitused avaldati õigesti (minu redaktsioonis pean valima s < e /3, а не e /2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Mõlemal juhul sisaldab töö nii loodusteadusliku probleemi selget füüsikalist sõnastust kui ka keerukat ja mittetriviaalset matemaatilist tehnikat selle lahendamiseks.

Browni asümptootika puhul hõlmab see keeruline matemaatiline tehnika integraalide uurimist piki Riemanni pindadel deformeeritavaid radasid, võttes arvesse parameetrite muutmisel selleks vajalikke integratsioonikontuuride keerulisi deformatsioone, st seda, mida tänapäeval nimetatakse kas "Picard- Lefschetzi teooria" või "ühenduvuse teooria" Gauss-Manin".

Ja kogu see asümptootiliste integraalide uurimine kuulub M. A. Leontovitšile, tähelepanuväärsele füüsikule (muide, kes tuli koos oma õpetaja L. I. Mandelstamiga välja teooria, mis selgitas radioaktiivset lagunemist, kasutades läbipääsu kvanttunneliefekti. tõke ja nende avaldatud tööd üldistas hiljem nende õpilane G. Gamow, kes lahkus USA-sse, 3 kelle nime all see nüüd paremini tuntud).

3 Minu kaasmaalane, Odessa elanik G. Gamow on kõige kuulsam kolme järgmise avastuse poolest: alfalagunemise teooria, DNA aluste kolmetähelise kodeerimise lahendus ja "suure paugu" teooria. ” Universumi kujunemisel. Nüüd on tema imelised raamatud saadaval ka vene lugejale (kellel polnud pikka aega seda võimalust, kuna Gamow ei naasnud Solvay kongressilt).

Eespool nimetatud Browni trajektoori käsitlev töö avaldati nii Leontovitši kui Kolmogorovi koguteostes. Ja mõlemas väljaandes on nii öeldud töö füüsiline osa kuulub matemaatikule ja matemaatiline osa füüsikule. See seletab paljusid vene matemaatilise kultuuri jooni.

Sama olukord on KPP töös keskkonnalainete levimiskiiruse kohta. Kolmogorov ütles mulle, et tema vastutab selles matemaatilise ülesande sõnastuse eest (mille leiutas ta mõeldes liigi või geeni leviku rinde liikumise ökoloogiline olukord rände ja difusiooni korral).

Matemaatilised lahendused (sama ebakonventsionaalsed kui probleem ise) töötas välja I. G. Petrovski (kelle jaoks on see mittelineaarne töö samuti pigem erand). Artikli kirjutas peamiselt Piskunov, ilma kelleta poleks seda samuti olnud. Kuigi see suurepärane teos "vahepealse asümptootika" kohta, nagu Ya. B. Zeldovitš seda nimetas, on rakendusteadlastele laialdaselt tuntud ja seda kasutatakse pidevalt, on see matemaatikute jaoks vähe teada, hoolimata sellest, et see sisaldab täiesti originaalseid ja hiilgavaid ideid konkurentsi kohta. erineva kiirusega liikuvad lained.

Olen ammu oodanud, et mõni tõsine matemaatik selle uurimistööga jätkaks, kuid seni olen näinud ainult “rakendusteadlasi”, kes rakendavad valmistulemusi ega lisa uusi ideid ja meetodeid.

Suur rakendusteadlane Pasteur ütles seda Pole olemas “rakendusteadusi”, vaid on tavalised fundamentaalteadused, kus avastatakse uusi tõdesid, ja on nende rakendused, kus neid tõdesid kasutatakse.

“KPP” töö tõeliseks jätkumiseks on vaja just fundamentaalteaduse edusamme.

Marat kirjutas, et "kõigist matemaatikutest on parimad Laplace, Monge ja Cousin, kes arvutavad kõike eelnevalt ettevalmistatud valemite abil." See fraas on märk revolutsionääride täielikust matemaatikast arusaamatusest, peamine, milles on vaba mõtlemine väljaspool igasuguste eelnevalt koostatud skeemide raamistikku.

Veidi hiljem kirjutas Marat Abel Pariisist, kus ta veetis umbes aasta, et „kohalike matemaatikutega ei saa millestki rääkida, sest igaüks neist tahab kõiki õpetada ega taha ise midagi õppida. Selle tulemusena kirjutas ta prohvetlikult, igaüks neist mõistab ainult ühte kitsast valdkonda ega mõista midagi väljaspool seda. On olemas soojusteooria spetsialist [Fourier], on elastsusteooria spetsialist [Poisson], on taevamehaanika spetsialist [Laplace] ja ainult Cauchy [Lagrange elas Berliinis] võis millestki aru saada, kuid teda huvitab ainult tema enda prioriteet.“ [näiteks kompleksarvude rakendamine Lamé lahendusele Fermat’ ülesandele, laiendades binoomarvu x n + y n keerulistele teguritele].

Nii Abel kui (kümme aastat hiljem) Galois väljusid kaugelt "valmis skeemide" raamidest (olles Abeli puhul välja töötanud Riemanni pindade topoloogia ja tuletanud sellest nii viienda astme võrrandite radikaalide lahendamise võimatuse ja "elliptiliste integraalide" elementaarfunktsioonide väljendamatus, nagu ellipsi kaare pikkust väljendav kolmanda või neljanda astme polünoomi ruutjuure integraal ja nende pöördfunktsioonid "elliptilised funktsioonid" ).

Seetõttu "kaotas" Cauchy nii Abeli kui ka Galois' käsikirjad, nii et Abeli teos otsustamatuse kohta avaldati (autor Liouville) alles aastakümneid pärast seda, kui tolleaegse Pariisi ajalehe järgi "naasis see vaene mees oma Siberi ossa, kutsus Norra jalgsi – ilma laevapileti rahata – üle Atlandi ookeani jää."

Juba 20. sajandil kirjutas kuulus inglise ekstsentrik Hardy, et "Abel, Riemann ja Poincaré elasid oma elu asjata, toomata inimkonnale midagi."

Suurem osa kaasaegsest matemaatikast (ja kõige enam füüsikute kasutatavast matemaatikast) on Abeli, Riemanni, Poincaré imeliste geomeetriliste ideede kordused või edasiarendused, mis läbivad kogu kaasaegse matemaatika ühtse tervikuna, kus Jacobi sõnul „sama funktsioon lahendab nii arvude esitamise ruutude summana kui ka pendli suurte võnkumiste seaduse küsimuse,” lahendades ka ellipsi pikkuse küsimuse, mis ellipsis kirjeldab planeetide liikumist, pendli varisemist. satelliidid ja koonilised sektsioonid. A Riemanni pinnad, Abeli integraalid ja Poincaré diferentsiaalvõrrandid on matemaatika hämmastava maailma peamised võtmed.

Kolmogorov tajus ühtse tervikuna mitte ainult kogu matemaatikat, vaid ka kogu loodusteadust. Siin on näide tema mõtetest arvuti miniaturiseerimisest, mille lihtsaimaks mudeliks ta pidas graafikut (diagrammi, diagrammi) alates P tipud (pallid (fikseeritud raadiusega), millest igaüks on ühendatud mitte rohkem kui k muud (kasutades ühendusi: fikseeritud paksusega "juhtmed"). Enamik ühendusi k ta fikseeris iga tipu ja tippude arvu P peetakse väga suureks (inimese ajus on umbes 10 10 neuronit). Küsimus miniaturiseerimise kohta on järgmine: Mis on väikseim pall, mis mahub antud graafikule ilma iselõikusteta, millel on järgmised omadused: kuidas kasvab selle minimaalse kuuli raadius koos tippude arvuga n?

Üks piirang on ilmne: palli maht ei tohiks kasvada sellest aeglasemalt, kuna palli tippude kogumaht kasvab sellise kiirusega ja kõik peavad ära mahtuma.

Kuid kas on võimalik mahutada kogu graafik kuupjuurega võrdelise raadiusega kuuli n. Peale tippude peavad ju sisse mahtuma ka ühendused! Ja kuigi nende arv on samuti suurusjärgus ta, võib maht olla palju suurem, kuna suure ta korral võib vaja minna pikki ühendusi.

Kolmogorov arutles edasi, kujutledes krahvi ajuna. Väga rumal aju (“uss”) koosneb ühest järjestikku ühendatud tippude ahelast. Sellist aju nagu "madu" on lihtne sobitada "koljusse", mille raadius on kuupjuure suurusjärgus. n.

Samas oleks loomade evolutsioon pidanud püüdma aju ökonoomselt korrastada, vähendades võimalusel kolju suurust. Kuidas on lood loomadega?

Teadaolevalt koosneb aju hallainest (neuronitippude keha) ja valgest ainest (ühendused: aksonid, dendriidid). Hall aine paikneb piki aju pinda ja valge aine sees. Sellise paigutuse korral pinnal peaks kolju raadius kasvama mitte nagu kuupraadius, vaid kiiremini, nagu tippude arvu ruutjuur (raadius on palju suurem, kui tippupallide maht ette näeb).

Nii jõudis Kolmogorov matemaatilise hüpoteesini, et minimaalne raadius peab olema tippude arvu ruutjuure suurusjärgus(põhineb tõsiasjal, et päris ajurakkude paigutus on evolutsiooniga viinud kolju raadiust minimeerivasse seisundisse). Kolmogorov vältis oma publikatsioonides teadlikult nendest bioloogilistest kaalutlustest ja ajust üldiselt kirjutamast, kuigi esialgu polnud tal ruutjuure kasuks ühtegi argumenti peale bioloogiliste.

Tõesta, et iga graafik alates n tippe saab mahutada (piirangutega k tipu ühenduste arvu järgi) raadiusega kuuliks selle ruutjuure suurusjärgus, see meil õnnestus (kuigi see polnud lihtne). See on juba puhas rangete tõestuste matemaatika.

Kuid küsimus, miks ei saa graafikut paigutada väiksema raadiusega "koljusse", osutus keerulisemaks (kui ainult sellepärast, et "võimatu" pole alati: “Väga rumala” ussi aju mahub koljusse, mille raadius on n-i kuupjuure suurusjärgus, mis on palju väiksem kui ruutjuur).

Lõpuks sai Kolmogorov selle probleemiga täielikult hakkama. Esiteks tõestas ta seda n raadiuse ruutjuurest väiksemasse koljusse investeerimine ei ole enamiku n neuronitest koosnevate "ajude" jaoks lubatud: manustatavad (nagu "ühemõõtmeline" aju järjestikku ühendatud tippude ahela kujul) moodustavad tohutust koguarvust väikese vähemuse n-tipugraafikud (piiratud antud konstandiga k

Teiseks kehtestas ta tähelepanuväärse keerukuse kriteeriumi, mis takistab kinnistamist väiksemasse "koljusse": keerukuse märgiks osutus universaalsus. Nimelt nimetatakse nende tippudega graafi universaalne, kui see sisaldab alamgraafidena (veidi väiksema tippude arvuga) kõiki selle väiksema arvu tippude graafikuid (muidugi piiratud või konstantne k iga tipu ühenduste arv).

Sõnu “veidi vähem tippe” võib siin mõista erinevalt: as an või kuidas n a, Kus A vähem kui 1. Selle õige arusaamaga universaalsusest on tõestatud kaks järgmist fakti: esiteks mõne jaoks c = const mis tahes universaalne n tipuga graaf osutub mittemanustatavaks kuuli, mille raadius on väiksem kui n ruutjuur, ja teiseks, mitteuniversaalsed graafid moodustavad tühise vähemuse(suurel hulgal n-tipugraafikud ülaltoodud piiranguga kühenduses).

Teisisõnu, Kuigi rumalad ajud võivad olla väikesed, ei mahuta piisavalt tarka aju (või arvutit) väikesesse ruumalasse ja lisaks tagab ainuüksi süsteemi keerukus valdavalt selle hea (“universaalse”) toimimise võimaluse, see tähendab selle võimet asendada (“modelleerida”) kõiki teisi (peaaegu sama keerulisi kui ta ise) süsteeme.

Need saavutused olid üks Andrei Nikolajevitši viimaseid töid (lõplikud ebavõrdsused saavutas ta koos õpilase Bardziniga; Kolmogorovi algsed ebavõrdsused sisaldasid lisalogaritme, mis Bardzinil õnnestus eemaldada).

Kolmogorovi suhtumine logaritmidesse asümptootikas oli väga spetsiifiline. Ta selgitas seda õpilastele numbrid on jagatud nelja järgmisesse kategooriasse:

väikesed numbrid: 1, 2, …, 10, 100;
keskmised arvud: 1000, 1000000;
suured numbrid: 10 100, 10 1000;
praktiliselt lõpmatud arvud: 10 1010.

Logaritmide võtmine viib arvu eelmisse kategooriasse. Sellepärast logaritmid asümptootikas nagu n 3 ln n - need on lihtsalt konstandid: n 3 ln juures n= 10 - see on praktiliselt 2p 3, ja logaritmi kasv on nii aeglane, et selle võib esimese lähendusena tähelepanuta jätta, arvestades, et logaritm on "piiratud".

kindlasti, see kõik on formaalse aksiomaatilise matemaatika seisukohalt täiesti vale. Kuid see on praktilise töö jaoks palju kasulikum kui rafineeritud "range arutluskäik" ja hinnangud, mis algavad sõnadega "mõelge kaheksateistkümne argumendi järgmiseks abifunktsiooniks" (millele järgneb poolteiseleheküljeline valem, mis tuli eikusagilt ).

Kolmogorovi lähenemine logaritmidele tuletas mulle meelde Ya.B. Zeldovitši vaatenurka matemaatilisele analüüsile. Oma analüüsiõpikus "algajatele füüsikutele ja tehnikutele" määratles Zeldovitš tuletise järgmiselt. funktsiooni ja selle argumendi sammude suhe, eeldades, et viimane juurdekasv ei ole liiga suur.

Tõeliste matemaatikute vastuväidetele, et piiri on vaja, vastas Zeldovitš, et "suhte piir" ei sobi siia, kuna liiga väikeseid (näiteks alla 10-10 meetri või sekundi) argumendi astmeid ei saa lihtsalt võtta. kuna sellisel skaalal muutuvad ruumi ja aja omadused kvantideks, mistõttu nende kirjeldamine matemaatilist ühemõõtmelist kontiinumi kasutades R muutub mudeli täpsuse ülemääraseks.

Zeldovitš pidas "matemaatilisi tuletisi" mugavaks ligikaudsed asümptootilised valemid arvutada lõplike juurdekasvude suhe, mis meid tõeliselt huvitab, antud keerulisema valemiga kui matemaatikute tuletised.

Mis puutub matemaatikute “rangusse”, siis Kolmogorov ei hinnanud kunagi selle tähtsust üle (kuigi ta püüdis kooli geomeetriakursusesse tuua nurga mõiste mitmeleheküljelise definitsiooni, et tema sõnul anda nurga mõistele range tähendus. nurk 721 kraadi”).

Tema loenguid oli õpilastel ja koolilastel raske mõista, mitte ainult seetõttu, et ükski fraas ei lõppenud ja pooltel polnud ei ainet ega predikaati. Veelgi hullem on see (nagu Andrei Nikolajevitš mulle selgitas, kui hakkasin õpilastele loenguid pidama) oma sügavas veendumuses, "Õpilasi ei huvita üldse, mida neile loengutes öeldakse: nad lihtsalt jätavad pähe vastused mõnele enamlevinud eksamiküsimusele, saamata üldse millestki aru."

Need sõnad viitavad Kolmogorovi täiesti õigele arusaamisele olukorrast: tema loengutega juhtus enamiku üliõpilaste jaoks täpselt see, mida ta kirjeldas. Kuid need, kes tahtsid asja olemusest aru saada, said neilt soovi korral palju rohkem õppida kui tavapärastest mahaarvamistest nagu "X rohkem y, seega y on väiksem kui X". Just “kaheksateistkümne muutuja abifunktsioonide” taga peituvad põhiideed ja salavedrud püüdis ta arusaadavaks teha ning neist põhiideedest vormiliste tagajärgede tuletamise jättis ta meelsasti kuulajate hooleks. Eriti keeruliseks tegi asja see, et Kolmogorov mõtles loengutel ja see jäi kuulajatele silma.

Mind rabas alati Andrei Nikolajevitši üllas soov näha igas vestluskaaslases vähemalt võrdset intellekti (sellepärast oli teda nii raske mõista). Samas teadis ta väga hästi, et tegelikkuses oli enamiku vestluskaaslaste tase hoopis teine. Andrei Nikolajevitš nimetas mind kunagi ainult kaheks matemaatikuks, kellega vesteldes "tundis kõrgema meele kohalolekut" (üks neist nimetas oma õpilast I. M. Gelfandiks).

Andrei Nikolajevitši aastapäeval ütles Gelfand kõnepuldist, et ta mitte ainult ei õppinud õpetajalt palju, vaid külastas teda ka Komarovkas, külas Kljazma kaldal Bolševo lähedal, kus Kolmogorov elas suurema osa ajast ( Tulevad Moskvasse ainult üheks või kaheks päevaks nädalas).

Pavel Sergejevitš Aleksandrov, kes viibis sellel Gelfandi kõnel, kes ostis 20ndate lõpus koos Kolmogoroviga (Aleksejevi, see tähendab Stanislavsky perekonnast) Komarovski maja, kinnitas kergesti: "Jah, Israel Moisejevitš käis tõesti Komarovkal ja oli isegi väga kasulik, kuna päästis kassi ahjus põletamisest."

Üks kuulajatest rääkis mulle, et Gelfand, juba juubelisaalis istudes, kommenteeris neid sõnu oma naabrile järgmiselt: "See kass oli seal ahjus pool tundi niitnud ja ma olin seda pikka aega kuulnud, kuid tõlgendasin seda niitmist valesti, kuna ma ei teadnud kassist ja omistasin helid teisele allikale."

Andrei Nikolajevitši diktsiooni ei olnud tõepoolest lihtne mõista; Ma aga arvasin sagedamini, mida ta öelda tahab, kui mõistsin tema lausutud poolikuid sõnu, nii et see diktsioon mind ei häirinud.

Sellegipoolest õppisid 1963. aastal Moskvas Andrei Nikolajevitši korraldatud matemaatilise internaatkooli N18 koolilapsed temalt palju. Muidugi polnud tegemist tavaliste kooliõpilastega, vaid üle kogu Venemaa kogunenud matemaatikaolümpiaadide võitjad, kes on käinud suvekoolis Krasnovidovos Mošaiski mere ääres ning neid ei õpetanud mitte ainult Andrei Nikolajevitš ise, vaid ka näiteks paljud suurepärased õpetajad. matemaatik Vladimir Mihhailovitš Aleksejev, üks Moskva parimaid kooliõpetajaid Aleksandr Abramovitš Šerševski jne.

Erilisi jõupingutusi tehti selleks, et pakkuda head toitu ja huvitavat õpetust mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, kirjanduses, ajaloos ja inglise keeles: Andrei Nikolajevitš tajus internaatkooli paljuski oma perekonnana. Esimestest lõpetajatest astus enamus parimatesse matemaatika- ja füüsikaülikoolidesse (kus on edukam vastuvõtt Moskva Füüsika- ja Tehnoloogiainstituuti kui Moskva Ülikooli füüsikateaduskonda, mis on kuulus, nagu Kolmogorov ütles, "vaenulikkuse" poolest eksamitel. ).

Nüüd on paljudest nendest lõpetajatest juba saanud professorid, osakonnajuhatajad ja instituutide direktorid; Ma ei kahtle, et mõned neist väärivad valimist Venemaa Teaduste Akadeemiasse ja auhindu, nagu Fieldsi või Abeli medalid.

Nehhoroševi teoreem, kes oli Littlewoodist kaugel ees, on pikka aega muutunud klassikaliseks tulemuseks taevamehaanikas ja dünaamiliste süsteemide Hamiltoni evolutsiooni teoorias. Ka seejärel Leningradi kolinud Ju.Matijasevitš alustas koos esimeste Moskva internaatmatemaatikutega Kolmogorovi korraldatud suvekoolis Krasnovidovos Mošaiski mere ääres. A. Abramov juhtis pikka aega koolinoorte matemaatilise hariduse täiustamisele pühendatud instituuti (kuid võitlus Haridusministeeriumi katsetega hävitada täiuslikult töötav süsteem muutis ta „reformaatorite“ jaoks ebasoovitavaks, kelle hämaraid ideid kirjeldasin ülal, selle artikli alguses).

Üks internaatkooli esimese lõpuklassi õpilastest V. B. Aleksejev avaldas 1976. aastal oma märkmed minu loengutest internaatkoolis 1963. aastal: "Abeli teoreem ülesannetes." Nendes loengutes ta rääkis Abeli teoreemi topoloogiline tõestus viienda astme (ja kõrgemate astmete) algebraliste võrrandite lahendamatuse kohta radikaalides (juurte kombinatsioonides). Koolis õpetatakse 2. astme juhtumit, aga lahendatakse ka 3. ja 4. astme võrrandeid radikaalides.

Nende loengute eesmärk oli edastada oluline (ja raske) matemaatiline tulemus, mis ühendab paljusid kaasaegse füüsika ja matemaatika valdkondi, täiesti ettevalmistamata (kuid intelligentsetele) koolilastele pika rea arusaadavate ja kättesaadavate probleemide kujul, millega nad saaksid hakkama. iseendaga, kuid mis viiks nad semestri lõpus Abeli teoreemi juurde.

Selleks said koolilapsed kiiresti tuttavaks kompleksarvude geomeetrilise teooriaga, sealhulgas Moivre valemitega (mida praegused "reformaatorid" üritavad uutest programmidest välja jätta), seejärel liikusid Riemanni pindade ja topoloogia, sealhulgas kõverate põhirühma juurde. pind ning katete ja hargnenud katete monodroomsed (mitmeväärtuslikud) rühmad.

Need kõige olulisemad geomeetrilised mõisted (mida võiks võrrelda aine struktuuri aatomiteooriaga füüsikas ja keemias või taimede ja loomade rakustruktuuriga bioloogias nende fundamentaalsuse poolest) viivad seejärel algebraliste võrdselt oluliste objektideni: transformatsioonirühmadeni. , nende alarühmad, normaaljagajad, täpsed jadad.

Eelkõige ilmuvad seal sümmeetria ja kaunistused ning kristallid ja korrapärased hulktahukad: tetraeeder, kuup, oktaeedr, ikosaeeder ja dodekaeeder, sealhulgas Kepleri poolt kasutatavad (planeetide orbiitide raadiuste kirjeldamiseks) nende üksteisesse kinnistamise konstruktsioonid (kuubiku kaheksa tippu saab jagada kaheks kuubi “kirjutatud” tetraeedri neljakordseks tipuks ja viis kuupi võib olla “ sisse kirjutatud" dodekaeedrisse, mille iga tipud moodustavad osa dodekaeedri tippudest (milles on kakskümmend) ja kuubi servad osutuvad dodekaeedri viisnurksete tahkude diagonaalideks, üks iga kaheteistkümnest näost). "Dodeca" on kreeka keeles vaid "kaksteist" ja kuubikul on kaksteist serva.

See Kepleri tähelepanuväärne geomeetriline konstruktsioon seob dodekaeedri sümmeetriarühma viie objekti (nimelt kuubikute) kõigi saja kahekümne permutatsiooni rühmaga. See tuvastab algebralises mõttes ka mõlema rühma otsustamatuse (st nende taandatamatuse kommutatiivseteks rühmadeks, mis on nii näiteks tetraeedri, kuubi ja oktaeedri sümmeetriarühmade ja permutatsioonide rühmade puhul kolm või neli objekti, näiteks nelja suure diagonaali kuup ja kolm oktaeedri diagonaali). Kommutatiivseid rühmi (kus korrutis – järjestikuste teisenduste täitmine – ei sõltu nende järjekorrast) nimetatakse algebras Abeliks, kuna tema teooria jaoks on oluline kuubikute permutatsioonide mittekommutatiivsus.

A Viienda astme võrrandi monodroomrühma lahendamatusest tuletatakse topoloogiliselt oma juuri radikaalide kaudu väljendava valemi mitteolemasolu. Asi on selles, et monodroomne rühm, mis mõõdab iga radikaali polüseemiat, on kommutatiivne ja radikaalide kombinatsiooni monodroomne rühm koosneb nende monodroomsetest rühmadest samamoodi nagu lahustuv rühm koosneb kommutatiivsetest rühmadest. Niisiis kõik need Riemanni pindade teooria topoloogilised kaalutlused viivad Abeli algebralise teoreemi tõestuseni(mis pani aluse Galois' teooriale, mis sai nime noore prantsuse matemaatiku järgi, kes viis Abeli teooria keerulisest geomeetriast üle arvuteooriasse ja suri duellis ilma oma teooriat avaldamata).

Kogu matemaatika sügav ühtsus avaldub väga selgelt selles topoloogia, loogika, algebra, analüüsi ja arvuteooria koosmõju näites, mis lõi uue viljaka meetodi, mille abil kvantteooria füüsikat ja relatiivsusteooriat hiljem kaugele arendati ning matemaatikas tõestati ka paljude teiste analüüsiülesannete lahendamatust: näiteks elementaarfunktsioonide abil integreerimise ülesanded ja integratsioonitehte abil diferentsiaalvõrrandite selgesõnalise lahendamise ülesanded.

See, et kõik need küsimused on topoloogilised, on täiesti hämmastav matemaatiline saavutus, mida võiks minu arvates võrrelda elektri ja magnetismi seoste avastustega füüsikas või grafiidi ja teemandi seoste avastustega keemias.

Võib-olla kõige kuulsam tulemus matemaatika võimatuse kohta oli avastus Lobatševski geomeetria, mille keskseks tulemuseks on võimatus tuletada "paralleelset aksioomi" teistest Eukleidese geomeetria aksioomidest, selle tõestamatus.

On õpetlik, et Lobatševski ei kehtestanud seda tulemust tõestamatuse kohta, vaid kuulutas selle ainult oma hüpoteesiks, mida kinnitavad mitmed leheküljed (ebaõnnestunud) katsed tõestada paralleelide aksioomi, st jõuda vastupidise väite põhjal vastuolule. paralleelide aksioomile: " Läbi joonest väljaspool asuva punkti läbib mitu (palju) sirget, mis sellega ei ristu.

Tõestage seda sisse vastuolud, mis tulenevad sellest Lobatševski geomeetria aksioomist, ei ole muud kui eukleidilises geomeetrias (postuleerib paralleelse sirge ainulaadsust), leiti alles pärast Lobatševskit (ilmselt üksteisest sõltumatult mitmed autorid, sealhulgas Beltrami, Bogliai, Klein ja Poincaré või isegi Gauss, kes hindas Lobatševski ideid kõrgelt).

See Lobatševski geomeetria järjepidevuse tõestus ei ole lihtne; see viiakse läbi Lobatševski geomeetria mudeli esitamisega, milles on täidetud täpselt tema aksioomid. Üks neist mudelitest ("Kleini mudel") kujutab Lobatševski tasapinda ringi sisemusena ja Lobatševski jooni selle akordidena. Pole raske tõmmata läbi ringi punkti palju akorde, mis ei ristu ühtegi antud akordi, mis seda punkti ei läbi. Ülejäänud geomeetriaaksioomide kontrollimine selles mudelis ei ole samuti kuigi keeruline, kuid see on aeganõudev, kuna neid aksioome on palju. Näiteks "mis tahes kahte punkti ringi sees saab ühendada Lobatševski sirgjoonega (akordiga) ja pealegi ainult ühega" ja nii edasi. Kõik see on õpikutes selgelt tehtud ja võtab palju (igavaid) lehekülgi.

Kleini Lobatševski tasandi mudeli jätkamine väljaspool ringi, mis selles mudelis Lobatševski tasapinda kujutas, annab de Sitteri relativistliku maailma, kuid kahjuks saavad vähesed inimesed sellest tõsiasjast aru (nii matemaatikute kui ka relativistide seas).

Kaasaegsed koolimatemaatikakursuse “reformaatorid” teatasid soovist tutvustada seal Lobatševski geomeetriat (mida Kolmogorov ei julgenud teha). Kuid nad ei maini isegi selle peamist tulemust (tõenäoliselt ilma seda kahtlustamata) ega kavatse Lobatševski teesi tõestada (ilma milleta saab kogu sellest ettevõtmisest lihtsalt reklaamtrikk, mis on siiski patriootilise varjundiga).

Erinevalt nendest "reformaatoritest" püüdis Kolmogorov lastele matemaatikat päriselt õpetada. Tema arvates Selleks sobib kõige paremini probleemide lahendamine, näiteks olümpiaadid ja ta korraldas korduvalt koolinoortele matemaatilisi olümpiaade, eriti nõudes, et see ettevõtmine ei peaks asuma mitte ainult Moskvas, vaid hõlmama ka kõiki riigi linnu ja isegi külasid (tänapäeval on olümpiaadid levinud kogu maailma, ja meie koolilaste edusammud on need olemas – vaieldamatu tõend koolide endiselt kõrgest tasemest).

Ta rääkis mulle heameelega, kui õnnelik oli õpetaja, kes oli koos temaga ühe Moskva olümpiaadi žüriis, kui ta kinkis matemaatikaraamatute komplekti kümnendale klassile, kes sai Moskva osariigi autasustamistseremoonial esimese auhinna. Ülikool: "Nii hea meel, - ta ütles - et auhind anti lihtsale külakoolipoisile Khotkovo külast!”

See pedagoogikast pärit daam ei teadnud, et “lihtne külakoolipoiss” oli Abramtsevo akadeemilises külas elanud akadeemiku poeg, ja Kolmogorov, kuigi naeris, seda talle ei selgitanud.

Nüüd on see “külakoolipoiss” (kes oli juba koolis minu õpilane) väljakujunenud iseseisev matemaatik, kes on avaldanud palju töid ja on ammu lõpetanud Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika-matemaatikateaduskonna. Muide, ta kirjutas huvitava kommentaari A. D. Sahharovi matemaatilisele ülesandele kapsa hakkimise kohta. Sahharov õppis koos minu isaga ülikoolis matemaatikat (millest A. D. oma memuaarides soojalt kirjutab) ja pärast Andrei Dmitrijevitši surma palusid tema kolleegid mul kommenteerida tema matemaatilisi käsikirju (mis sisaldas mitukümmend huvitavat leiutatud ja läbimõeldud puhtmatemaatilist ülesannet). tema poolt).

Kapsa hakkimise probleem tekkis Andrei Dmitrijevitšilt tema naise soovist see hakkida, mis algab kapsapea jagamisest noaga ringikujulisteks kihtideks. Seejärel jagatakse iga kiht juhuslike noahoopidega paljudeks kumerateks "hulknurkadeks".

Seda tööd tehes esitas Sahharov endale küsimuse: Mitu külge on neil hulknurkadel? Mõned on kolmnurgad, mõnel on mitu külge. Seetõttu esitati küsimus matemaatiliselt järgmiselt: Kui suur on tüki külgede keskmine arv?

Sahharov jõudis (õige) vastuseni mingit (võib-olla eksperimentaalset?) teed pidi: neli.

Kommenteerides oma käsikirja selle avaldamiseks, jõudis mu itaalia õpilane F. Aicardi selle Sahharovi väite järgmisele üldistusele: n-mõõtmelise keha lõikamisel suure hulga juhuslike hüpertasanditega (mõõtmetasandid). n- 1) kumerale n-mõõtmelisele hulktahukale, saadud tükid mis tahes mõõtme tahkude keskmine arv on sama kui n-mõõtmelise kuubiku oma. Näiteks meie tavalises kolmemõõtmelises ruumis tüki tippude keskmine arv on 8, keskmine servade arv on 12, ja tüki keskmine servade arv on 6.

Igal juhul, isegi kui internaatkoolis oli koolilastel mõnikord raske, oli ja jääb internaatkoolist saadav kasu tohutult, minu arvates mõõtmatult suuremaks kui Kolmogorovi katsetest moderniseerida matemaatikateaduste kursusi klassikaliste õpikute asendamisega. A. Kiseljovi uute burbakistliku tüüpi õpikutega ( nende kaasaegse terminoloogiaga, mis asendas klassikalise eukleidilise "kolmnurkade võrdsuse testid" ebaselgete, kuigi loogiliselt eelistatavate "kongruentsikatsetega").

See reform õõnestas kooli, õpetajate ja õpikute autoriteeti, luues teadusliku illusiooni pseudo-teadmistest, mis varjab täielikku arusaamatust kõige lihtsamatest faktidest, näiteks sellest, et 5 + 8 = 13. Uue eelnõus reform, on märgatavad samad koolinoorte lollitamise tendentsid, kellele pakutakse lihtmurdude kümnendkohtadesse kirjutamise asemel arusaamatut “geomeetriat” ja treeningust välja jäetud “tekstiaritmeetikaülesandeid” punktist A punkti liikuvate meeskondade kohta. IN, või kaupmeestest, kes müüvad telgede jaoks riiet, või kaevajatest ja veehoidlaid täitvatest torudest - probleemid, mille üle eelmised põlvkonnad õppisid mõtlema.

"Reformi" tulemuseks on pseudoharidus, mis viib ignorantsed väljaütlemisteni nagu ühe Stalinile omistatud poliitilise tegelase kriitika: "See ei ole lihtsalt negatiivne väärtus, see on negatiivne väärtus ruudus!"

Ühel koolireformi projekti arutelul matemaatika instituudi õppenõukogu poolt. Steklov RAS, mainisin, et oleks hea naasta Kiselevi suurepäraste õpikute ja probleemraamatute juurde.

Vastuseks kiitis mind sellel koosolekul viibinud mõne haridusosakonna juhataja: "Mul on nii hea meel, et Kiseljovi tegevus leidis nii kvalifitseeritud spetsialistide toetuse!"

Hiljem selgitasid nad mulle, et Kiselev on selle juhi ühe noore alluva nimi, kes juhib koolimatemaatikat, olles kuulnudki silmapaistva gümnaasiumiõpetaja Kiselevi imelistest õpikutest, mida mitukümmend korda kordustrükki tehti. Kiseljovi õpikud, muide, polnud algusest peale nii head. Esitrükkidel oli palju puudujääke, kuid kümnete ja sadade gümnaasiumiõpetajate kogemus võimaldas neid raamatuid parandada ja täiendada, millest (pärast kümmekonda esmatrükki) kujunesid monumentaalsed kooliõpikute näited.

Andrei Nikolajevitš Kolmogorov oli samuti noorpõlvest (Potüliha koolis) kooliõpetaja ja nii edukas, et lootis, et koolilapsed valivad ta (tol ajal oli tavaline valida) oma klassijuhatajaks. Kuid kehalise kasvatuse õpetaja võitis valimised - see on koolilastele lähemal.

Huvitav mida Teine suur matemaatik K. Weierstrass alustas oma karjääri koolis kehalise kasvatuse õpetajana. Poincaré sõnul oli ta iseäranis edukas oma gümnasistidele rööprähklemise õpetamisel. Kuid Preisimaa reeglid nõudsid, et gümnaasiumiõpetaja esitas aasta lõpus kirjaliku töö, mis tõendas tema kutsesobivust. Ja Weierstrass esitas essee elliptiliste funktsioonide ja integraalide kohta.

Gümnaasiumis ei saanud keegi sellest esseest aru, mistõttu saadeti see ülikoolile hindamiseks. Ja üsna pea viidi autor üle sinna, kus temast sai kiiresti üks sajandi silmapaistvamaid ja kuulsamaid matemaatikuid nii Saksamaal kui ka maailmas. Vene matemaatikutest oli tema otsene õpilane Sofia Kovalevskaja, kelle põhisaavutuseks ei olnud aga õpetaja seisukoha (kes palus tõestada uute esimeste integraalide puudumist rotatsiooniprobleemis) seisukohta ümberlükkamine. jäigast kehast fikseeritud punkti ümber ja ta leidis need integraalid, analüüsides tema katsete ebaõnnestumise põhjusi tõestada oma armastatud õpetaja oletust).

Kooliõpilaste eelistus kehalise kasvatuse õpetajale mõjutas Kolmogorovi järgmiselt: ta hakkas palju rohkem sportima, suusatas palju, sõitis kaugetel jõgedel paatidega, temast sai paadunud rändur (ja saavutas heakskiidu, kuigi mitte oma Potõlihhini õpilastelt , vaid paljude põlvkondade esimestest MSU üliõpilastest ja seejärel tema loodud internaatkooli õpilastest).

Kolmogorovi tavalised igapäevased suusareisid kestsid umbes nelikümmend kilomeetrit mööda Vori kallast, umbes Radonežist Berlyuki kloostrini ja mõnikord ka Brjusovskie Glinkisse Vori ja Kljazma ühinemiskohas. Süsta- ja paadimarsruudid hõlmasid näiteks Zaonežjet koos imelise Svjatuhhaga, Seremo järve Granitšnaja, Šlina jõgedega, mis ühendavad seda piirkonda Võšnevolotski veehoidlaga, kust Meta (Ilmenisse, Volhovi, Sviri) ja Tvertsa (subub Volga) vooluga. , edasise purjetamisega Moskva merele ja Dubnasse.

Meenuvad Andrei Nikolajevitši jutud vankrist, mis teda keset Ilmenit ehmatas, ületades mitmekilomeetrise lahefordi, mis oma tormiliste lainetega süstale raskusi valmistas. Tõenäoliselt algas tema suurim teekond põhjas Kuloyst, kulgedes edasi mööda Petšorat ja Shugorit kuni Uuralite läbimiseni, laskudes Obile ja tõustes mööda seda Altaisse, kus oli selle tuhandekilomeetrise teekonna lõpp. kas ratsutamine või "paljajalu mööda mägiradu" kõndimine.

Andrei Nikolajevitš hämmastas mind oma oskusega vanaraua materjalidest kiiresti kajakile isetehtud viltune puri paigaldada: see tänapäeval vähetuntud tehnoloogia pärineb tõenäoliselt Stepan Razinile eelnenud Volga röövlitest.

Andrei Nikolajevitši geograafilised teadmised olid mitmekesised ja ebatavalised. Vähesed moskvalased teavad, miks Rogožskaja Zastava ja Stromõnka tänavat nii kutsutakse, miks kutsuti (kuid enam ei nimetata) Leninoks Tsaritsõno jaama, kus asuvad Moskva jõed Ratška ja Hapilovka, aga tema teadis. Huvilistele annan mõned vastused:

Rogožskaja eelpost asub Rogoža linna viiva tee alguses, mille Katariina II nimetas eufoonia huvides (1781. aastal) ümber Bogorodskiks (kuid mida pole veel ümbernimetatud Kitai-Gorodiks, kuigi nad said lahti nimega "Bogorodsk" revolutsiooni ajal).

Stromõni teed nimetatakse praegu Štšelkovski maanteeks, kuid see viis iidsesse Stromõni linna (mille eeslinna nimetatakse praegu Tšernogolovkaks) teel Moskvast Kiržatši, Suzdali ja Vladimirisse. Tsaritsyno ehitati varemete jaoks, millest Katariinal Venemaal puudus ja millel mägironijad praegu treenivad.

Rachka jõele tekkis Puhas tiik. Mis puutub Khapilovkasse, siis see on sügavam kui Moskva esimesel topograafilisel plaanil (1739) olev Yauza, mis suubub Yauzasse vahetult Elektrozavodski silla kohal. Nüüd on sellel näha Tšerkizovski tiik, kuid ma ei saanud aru, kuidas see sinna voolab läbi Golyanovo oma allikast Balašikha ja Reutovi vahel.

Nimi “Lenino” pärineb Kantemiri tütre nimest, kellelt Katariina ostis “Musta pori”, millest nüüd sai Tsaritsõn: ta nimetas mitut ümberkaudset küla, mille talle kingiti oma tütarde nimed.

Andrei Nikolajevitš Kolmogorovit iseloomustas heatahtlikkus selgelt hoolimatute vastaste suhtes. Näiteks väitis ta seda T.D. Lõssenko on kohusetundlikult eksinud võhik, ja istus oma lauda Teaduste Akadeemia söögisaalis (kust teised, alustades 1948. aasta kurikuulsast Üleliidulise Põllumajandusteaduste Akadeemia istungist, püüdsid teiste laudade juurde kolida).

Fakt on see, et Andrei Nikolajevitš analüüsis kunagi ühe Lõssenko õpilase eksperimentaalset tööd, et kummutada Mendeli iseloomu lõhenemise seadusi [N.I. Ermolaeva, Vernalisatsioon, 1939, 2(23)]. Selles katses külvati minu arvates 4000 herneseemet ja Mendeli seaduste järgi eeldati, et tärkavad 1000 ühte (retsessiivset) värvi ja 3000 teist (dominantset) värvi hernest. Katses oli 1000 asemel ainult 970 retsessiivset ja 3030 domineerivat päikesetõusu, kui mu mälu mind ei peta.

Järeldus, mille Kolmogorov sellest artiklist tegi, on järgmine:

katse tehti ausalt, täheldatud kõrvalekalle teoreetilisest proportsioonist on täpselt see suurusjärk, mida sellise statistikamahu juures eeldama peaks. Kui teooriaga nõustumine oleks parem, viitaks see täpselt eksperimendi ebaaususele ja tulemustega manipuleerimisele.

Andrei Nikolajevitš ütles mulle, et ta ei avaldanud oma leide täielikult, sest klassikaliste geneetikute vastuväited olid juba ilmunud, väites, et nad on katset kordanud ja saanud täpne kokkulepe teooriaga. Nii piirdus Kolmogorov, et neid mitte kahjustada, sõnumiga (DAN NSVL, 1940, 27(1), 38-42), et Lõssenko õpilase läbiviidud eksperiment on mitte ümberlükkamine, vaid suurepärane kinnitus Mendeli seadustele.

See aga ei takistanud T. D. Lõssenkot, kes kuulutas end "võitlejaks juhuse vastu teaduses" ja seega kogu tõenäosusteooria ja statistikaga ning seega ka nende patriarhi A. N. Kolmogoroviga. Andrei Nikolajevitš aga ei raisanud aega Lõssenkoga vaidlemisele (järgides ilmselt Puškini nõuandeid "tervete mõtete" ja "veriste teede" kasutamise kohta, mis kaitseb selgelt kõiki obskurantiste - nii Lõssenkot kui ka praeguseid vene "reformaatoreid". kool).

Kolmogorovi mõju kogu matemaatika arengule Venemaal on tänapäeval täiesti erandlik. Ma ei räägi ainult tema teoreemidest, mis mõnikord lahendavad tuhandeid aastaid vanu probleeme, vaid ka tema loomingust imelise teaduse ja valgustumise kultuse kohta, mis meenutab Leonardot ja Galileot. Andrei Nikolajevitš avas paljudele inimestele tohutud võimalused kasutada oma intellektuaalseid jõupingutusi uute loodus- ja ühiskonnaseaduste põhjapanevate avastuste jaoks ja mitte ainult matemaatika valdkonnas, vaid kõigis inimtegevuse valdkondades: alates kosmoselendudest kuni kontrollitud termotuumareaktsioonideni, hüdrodünaamikast ökoloogiani, suurtükimürskude hajutamise teooriast infoedastuse teooriani ja algoritmide teooriani, luulest Novgorodi ajalooni, Galilei sarnasusseadustest Newtoni kolme keha probleemiga.

Newton, Euler, Gauss, Poincare, Kolmogorov -
ainult viis elu lahutab meid meie teaduse päritolust.

Puškin ütles kord, et temal on noorte ja vene kirjandusele suurem mõju kui kogu rahvaharidusministeeriumil, vaatamata rahaliste vahendite täielikule ebavõrdsusele. Kolmogorovi mõju matemaatikale oli sama.

Andrei Nikolajevitšiga kohtusin tudengiaastatel. Seejärel oli ta Moskva ülikooli mehaanika-matemaatikateaduskonna dekaan. Need olid teaduskonna hiilgeajad, matemaatika hiilgeajad. Tase, milleni õppejõud jõudis toona, tänu eelkõige Andrei Nikolajevitš Kolmogorovile ja Ivan Georgievitš Petrovskile, pole enam kunagi jõudnud ja tõenäoliselt ei jõuagi.

Andrei Nikolajevitš oli suurepärane dekaan. Ta ütles, et andekatele tuleb andeks anda ja ma võiksin nimetada praegu väga kuulsaid matemaatikuid, kelle ta siis päästis ülikoolist väljaviskamisest.

Andrei Nikolajevitši elu viimast kümnendit varjutas raske haigus. Algul hakkas ta kaebama nägemise üle ja neljakümnekilomeetrised suusarajad tuli kahandada kahekümnele kilomeetrile.

Hiljem muutus Andrei Nikolajevitšil merelainetega võitlemine keeruliseks, kuid ta jooksis ikkagi Anna Dmitrievna ja arstide range järelevalve all Uzkoje sanatooriumi aia taha tiiki ujuma.

Viimastel aastatel oli Andrei Nikolajevitši elu väga raske, mõnikord tuli teda sõna otseses mõttes süles kanda. Oleme kõik sügavalt tänulikud Anna Dmitrievnale, Asa Aleksandrovna Bukanovale, Andrei Nikolajevitši õpilastele ja tema loodud füüsika-matemaatika internaatkooli N18 lõpetajatele nende mitmeaastase ööpäevaringse töö eest.

Mõnikord suutis Andrei Nikolajevitš rääkida vaid paar sõna tunnis. Kuid ikkagi oli temaga alati huvitav - mäletan, kuidas Andrei Nikolajevitš rääkis paar kuud tagasi, kuidas jälgimiskarbid lendasid aeglaselt üle Komarovka, kuidas ta ei saanud 70-aastaselt külmuvast Moskva jõest välja, kuidas ta Calcuttas ujus. esimest korda oma sealsete õpilaste India ookeanis.

Pühendan oma õpetajale Andrei Nikolajevitš Kolmogorovile

"Ära puuduta minu ringe," ütles Archimedes teda tapvale Rooma sõdurile. See prohvetlik lause meenus riigiduumas, kui hariduskomisjoni koosoleku esimees (22. oktoober 2002) mind katkestas sõnadega: “Meil ei ole Teaduste Akadeemiat, kus saaksime tõde kaitsta. , vaid riigiduuma, kus kõik põhineb sellel, mis meil on.” Erinevatel inimestel on erinevates küsimustes erinev arvamus.
Mina pooldasin seisukohta, et kolm korda seitse on kakskümmend üks ja et meie lastele nii korrutustabelite kui ka ühekohaliste arvude ja isegi murdude liitmise õpetamine on riiklik vajadus. Mainisin hiljuti California osariigis (Nobeli preemia laureaadi, transuraanifüüsiku Glen Seaborgi algatusel) ülikooli astuvatele koolilastele uue nõude kehtestamist: peate suutma arvu 111 iseseisvalt 3-ga jagada (ilma arvutita) .
Ilmselt ei saanud duuma kuulajad lahku minna ega saanud seetõttu aru ei minust ega Seaborgist: Izvestijas asendati minu fraasi sõbralikult esitledes number "sada üksteist" numbriga "üksteist" (mis muudab küsimus on palju keerulisem, kuna üksteist ei jagu kolmega).
Tutvusin obskurantismi võidukäiguga, kui lugesin Nezavisimaya Gazetast artiklit “Retrogaadid ja šarlatanid”, mis ülistasid vastvalminud püramiide Moskva lähistel, kus Venemaa Teaduste Akadeemia kuulutati teaduse arengut pärssivate retrograadide kogumiks (proovides asjatu seletada kõike oma "loodusseadustega"). Pean ütlema, et ilmselt olen ka mina retrograad, kuna usun endiselt loodusseadustesse ja usun, et Maa pöörleb ümber oma telje ja ümber Päikese ning et nooremad koolilapsed peavad jätkuvalt selgitama, miks Eestis on külm. talv ja suvel soe, laskmata meie koolihariduse tasemel langeda alla revolutsioonieelses kihelkonnakoolides saavutatu (nimelt püüdlevad meie praegused reformijad samasuguse haridustaseme languse poole, tuues põhjuseks tõeliselt madala Ameerika kooli tase).
Ameerika kolleegid selgitasid mulle, et nende riigi madal üldkultuuri ja koolihariduse tase on majanduslikel eesmärkidel sihilik saavutus. Fakt on see, et haritud inimesest saab pärast raamatute lugemist halvem ostja: ta ostab vähem pesumasinaid ja autosid ning hakkab neile eelistama Mozartit või Van Goghi, Shakespeare’i või teoreeme. Tarbimisühiskonna majandus kannatab selle all ja eelkõige elu omanike sissetulekud – seega püüavad nad takistada kultuuri ja haridust (mis lisaks takistavad neil manipuleerida elanikkonnaga kui intelligentsuseta karjaga).
Seistes silmitsi teadusvastase propagandaga Venemaal, otsustasin vaadata hiljuti oma majast umbes paarikümne kilomeetri kaugusel ehitatud püramiidi ja sõitsin sinna jalgrattaga läbi sajanditevanuste männimetsade Istra ja Moskva jõe vahel. Siin puutusin kokku raskusega: kuigi Peeter Suur keelas metsade raiumise Moskvast lähemal kui kahesaja miili kaugusel, olid mitmed minu teel olnud parimad ruutkilomeetrid männimetsad hiljuti aiaga piiratud ja moonutatud (nagu kohalikud külaelanikud mulle selgitasid, seda tegi "[kõigile peale minu tuntud isik] V.A.] bandiit Pashka"). Kuid isegi paarkümmend aastat tagasi, kui ma sellel nüüdseks hoonestatud lagendikul ämbrit vaarikaid korjasin, möödus minust terve kari mööda lagendikku jalutanud metssigu, kes tegid kümnemeetrise raadiusega poolringi.
Sarnased arengud toimuvad praegu kõikjal. Minu majast mitte kaugel ei lubanud elanikkond omal ajal (isegi televisiooni proteste kasutades) Mongoolia ja teiste ametnike poolt metsa arendamist. Kuid sellest ajast on olukord muutunud: endised valitsuspartei külad haaravad kõigi silme all uusi ruutkilomeetreid põlist metsa ja enam ei protesti keegi (keskaegsel Inglismaal põhjustas “vehklemine” ülestõususid!).
Tõsi, minu kõrval Soloslovi külas üritas üks külanõukogu liige metsa arendamisele vastu vaielda. Ja siis saabus päise päeva ajal auto relvastatud bandiitidega, kes tulistasid ta otse külas, kodus. Ja areng toimus selle tulemusena.
Teises naaberkülas Daryinis on terve põld häärberitega ümber ehitatud. Inimeste suhtumine neisse sündmustesse selgub nimest, mille nad külas sellele hoonestatud põllule andsid (nimetus, mis kahjuks veel kaartidel ei kajastu): "vargapõld".
Selle valdkonna uued motoriseeritud asukad on muutnud meilt Perkhushkovo jaama viiva kiirtee oma vastandiks. Viimastel aastatel on bussid mööda seda peaaegu lõpetanud. Algul kogusid uued elanikud-autojuhid terminalijaamas bussijuhile raha, et too tunnistaks bussi “korrast välja” ja reisijad maksaksid erakaupmeestele. "Põllu" uute elanike autod kihutavad nüüd seda maanteed suure kiirusega (ja sageli kellegi teise sõidurajal). Ja mina, kõndides viis miili jaama, riskin end ümber lükata, nagu mu paljud jalakäijate eelkäijad, kelle surmakohad olid hiljuti teeservadele pärgadega tähistatud. Elektrirongid ei peatu aga ka nüüd vahel graafikus ettenähtud jaamades.
Varem üritas politsei mõrvarlike autojuhtide kiirust mõõta ja neid ära hoida, kuid pärast seda, kui radariga kiirust mõõtnud politseiniku tulistas mööduva inimese valvur, ei julge enam keegi autosid peatada. Aeg-ajalt leian otse maanteelt kasutatud padruneid, kuid pole selge, kelle pihta tulistati. Mis puutub jalakäijate hukkumiskohtade kohal asuvatesse pärgadesse, siis kõik need on hiljuti asendatud teadetega “Prügi mahaviskamine keelatud”, mis on riputatud samadele puudele, kus varem olid kallatute nimedega pärjad.
Mööda iidset rada Aksininist Chesnokovisse, kasutades Katariina II rajatud teid, jõudsin püramiidini ja nägin selle sees "riiulid pudelite ja muude okultse intellektuaalse energiaga esemete laadimiseks". Mitme ruutmeetri suuruses juhendis oli kirjas, kui kasulikud on objekti või A- või B-hepatiiti põdeva patsiendi mitmetunnine viibimine püramiidis (lugesin ajalehest, et keegi saatis isegi mitmekilose kivikoorma “ laetud” püramiidi poolt kosmosejaamale avaliku raha eest).
Kuid selle juhendi koostajad näitasid üles ka minu jaoks ootamatut ausust: nad kirjutasid, et püramiidi sees olevate riiulite juures ei tasu järjekorda tungleda, kuna „kümnete meetrite kaugusel püramiidist väljas on efekt sama. ” See on minu arvates täiesti tõsi.
Nii et tõelise "retrograadsena" pean kogu seda püramiidset ettevõtmist kahjulikuks, teadusvastaseks reklaamiks poe jaoks, kus müüakse "esemeid laadimist".
Kuid obskurantism on alati järginud teaduslikke saavutusi, alates antiigist. Aristotelese õpilane Aleksander Philipovitš Makedooniast tegi mitmeid "teaduslikke" avastusi (mida kirjeldas tema kaaslane Arian Anabasises). Näiteks avastas ta Niiluse jõe allika: tema sõnul on see Indus. "Teaduslikud" tõendid olid järgmised: "Need on ainsad kaks suurt jõge, mis on krokodillidest nakatunud" (ja kinnitus: "Lisaks on mõlema jõe kaldad lootostega võsastunud").
Kuid see pole tema ainus avastus: ta avastas ka, et Oxuse jõgi (tänapäeva nimega Amu Darya) suubub põhjast, pöördudes Uuralite lähedale Euxine Pontuse Meotiani sohu, kus seda nimetatakse Tanaisiks. ("Tanais" on Don ja "Meotiani soo" on Aasovi meri). Obkurantistlike ideede mõju sündmustele ei ole alati tühine:
Aleksander Sogdianast (ehk Samarkandist) ei läinud kaugemale itta, Hiinasse, nagu ta alguses tahtis, vaid lõunasse, Indiasse, kartes veetõket, mis ühendab tema kolmanda teooria kohaselt Kaspia (“Hyrcanian ”) Meri India ookeaniga (Bengali lahe piirkonnas). Sest ta uskus, et mered on "määratluse järgi" ookeani lahed. See on selline "teadus", milleni meid juhitakse.
Tahaksin avaldada lootust, et meie sõjavägi ei jää nii tugevasti mõjutatud obskurantistidest (nad aitasid mul isegi päästa geomeetriat “reformijate” katsetest see koolist välja visata). Kuid tänased katsed viia Venemaal koolihariduse tase Ameerika tasemele on äärmiselt ohtlikud nii riigile kui ka maailmale.
Tänasel Prantsusmaal on 20% armee värbajatest täiesti kirjaoskamatud, ei mõista ohvitseride kirjalikke korraldusi (ja võivad oma rakette koos lõhkepeadega vales suunas saata). Saagu see tass meilt üle! Meie inimesed ikka loevad, aga “reformaatorid” tahavad selle peatada: “Nii Puškin kui Tolstoi on liiga palju!” - nad kirjutavad.
Minul kui matemaatikul oleks liiga lihtne kirjeldada, kuidas nad kavatsevad meie traditsiooniliselt kvaliteetse matemaatikaõppe koolidest ära kaotada. Selle asemel loetlen mitu sarnast obskurantistlikku ideed seoses teiste ainete õpetamisega: majandus, õigus, ühiskonnaõpetus, kirjandus (ained aga soovitavad koolis kõik ära kaotada).
Venemaa haridusministeeriumi avaldatud kaheköiteline projekt “Üldhariduse standardid” sisaldab suurt loetelu teemadest, mille tundmise kohta tehakse ettepanek lõpetada õpilaste teadmise nõudmine. Just see nimekiri annab kõige selgema ettekujutuse "reformijate" ideedest ja sellest, milliste "liigsete" teadmiste eest nad järgmisi põlvkondi "kaitsta" püüavad.
Ma hoidun poliitilistest kommentaaridest, kuid siin on tüüpilised näited väidetavalt "ebavajalikust" teabest, mis on välja võetud neljasajaleheküljelisest standardite projektist:
· NSV Liidu konstitutsioon;
· fašistlik “uus kord” okupeeritud aladel;
· Trotski ja trotskism;
· peamised erakonnad;
· kristlik demokraatia;
· inflatsioon;
· kasum;
· valuuta;
· väärtpaberid;
· mitmeparteisüsteem;
· õiguste ja vabaduste tagatised;
· õiguskaitseorganid;
· raha ja muud väärtpaberid;
· Vene Föderatsiooni riiklik-territoriaalse struktuuri vormid;
· Ermak ja Siberi annekteerimine;
· Venemaa välispoliitika (XVII, XVIII, XIX ja XX sajand);
· Poola küsimus;
· Konfutsius ja Buddha;
· Cicero ja Caesar;
· Jeanne of Arc ja Robin Hood;
· Eraisikud ja juriidilised isikud;
· isiku õiguslik seisund demokraatlikus õigusriigis;
· võimude lahusus;
· kohtusüsteem;
· autokraatia, õigeusk ja rahvuslikkus (Uvarovi teooria);
· Venemaa rahvad;
· kristlik ja islamimaailm;
· Louis XIV;
· Luther;
· Loyola;
· Bismarck;
· Riigiduuma;
· tööpuudus;
· suveräänsus;
· aktsiaturg (börs);
· riigi tulud;
· pere sissetulek.
“Ühiskonnaõpetus”, “ajalugu”, “majandus” ja “õigus”, milles ei käsitleta kõiki neid mõisteid, on lihtsalt formaalsed jumalateenistused, mis on õpilaste jaoks kasutud. Prantsusmaal tunnen ma sedalaadi abstraktsetel teemadel teoloogilise lobisemise ära võtmesõna järgi: "Prantsusmaa kui katoliku kiriku vanim tütar..." (sellele võib järgneda mis tahes, näiteks: "... ei pea teadusele kulutama, sest meil oli juba teadlasi ja on neid ka praegu), nagu kuulsin Prantsusmaa Vabariigi teadus- ja teaduskomitee koosolekul, millest teadus-, teadus- ja tehnoloogiaminister Prantsusmaa Vabariik määras mu liikmeks.
Et mitte olla ühekülgne, annan ka nimekirja "ebasoovitavatest" (nende tõsise uurimuse "vastuvõetamatuse" tähenduses) autoritest ja teostest, mida häbiväärne "Standard" selles ametis mainib:
· Glinka;
· Tšaikovski;
· Beethoven;
· Mozart;
· Grieg;
· Rafael;
· Leonardo da Vinci;
· Rembrandt;
· Van Gogh;
· Omar Khayyam;
· "Tom Sawyer";
· "Oliver Twist";
· Shakespeare’i sonetid;
· Radištševi “Reis Peterburist Moskvasse”;
· "Vannakindel tinasõdur";
· "Gobsek";
· “Isa Goriot”;
· “Les Miserables”;
· "Valgekihv";
· "Belkini lood";
· "Boriss Godunov";
· "Poltava";
· "Dubrovski";
· "Ruslan ja Ludmila";
· “Siga tamme all”;
· "Õhtud talus Dikanka lähedal";
· “Hobuse perekonnanimi”;
· “Päikese sahver”;
· “Meštšerskaja pool”;
· "Vaikne Don";
· "Pygmalion";
· “Hamlet”;
· "Faust";
· "Hüvasti relvadega";
· "Noble Nest";
· "Daam koeraga";
· "Jumper";
· "Pilv püksis";
· "Must mees";
· "Käivita";
· “Vähktõve hoone”;
· "Edevuste laat";
· "Kellele lüüakse hingekella";
· “Kolm seltsimeest”;
· “Esimeses ringis”;
· "Ivan Iljitši surm".
Teisisõnu teevad nad ettepaneku kaotada vene kultuur kui selline. Nad püüavad „kaitsda” koolilapsi „standardite” järgi kultuurikeskuste „liigse” mõju eest; Need osutusid “Standardite” koostajate sõnul kooliõpetajate mainimiseks ebasoovitavaks:
· Ermitaaž;
· Vene Muuseum;
· Tretjakovi galerii;
· Puškini kaunite kunstide muuseum Moskvas.
Kelluke heliseb meile!
Endiselt on raske vastu seista ja üldse mainimata jätta, mida täpselt tehakse täppisteadustes „õppimiseks vabatahtlikuks” (igatahes soovitavad „standardid” „mitte nõuda koolilastelt nende osade valdamist”):
· aatomite ehitus;
· kaugtegevuse kontseptsioon;
inimsilma struktuur;
· kvantmehaanika määramatuse seos;
· fundamentaalsed vastasmõjud;
· tähine taevas;
· Päike on nagu üks tähtedest;
· organismide rakuline ehitus;
· refleksid;
· geneetika;
· elu tekkimine Maal;
· elusmaailma areng;
· Koperniku, Galileo ja Giordano Bruno teooriad;
· Mendelejevi, Lomonossovi, Butlerovi teooriad;
· Pasteuri ja Kochi teened;
· naatrium, kaltsium, süsinik ja lämmastik (nende roll ainevahetuses);
· õli;
· polümeerid.
Matemaatikas rakendati sama diskrimineerimist standardite teemadele, ilma milleta ei saa hakkama ükski õpetaja (ja ilma täieliku arusaamata sellest, millised koolilapsed on täiesti abitud füüsikas, tehnoloogias ja paljudes muudes teaduse rakendustes, sealhulgas mõlemas sõjaline ja humanitaarabi):
· vajalikkus ja piisavus;
· punktide geomeetriline asukoht;
· nurkade siinused nurga all 30o, 45o, 60o;
· nurgapoolitaja ehitus;
· segmendi jagamine võrdseteks osadeks;
· nurga mõõtmine;
· lõigu pikkuse mõiste;
· aritmeetilise progressiooni liikmete summa;
· sektori piirkond;
· trigonomeetrilised pöördfunktsioonid;
· lihtsad trigonomeetrilised võrratused;
· polünoomide ja nende juurte võrdsused;
· kompleksarvude geomeetria (vajalik füüsika jaoks
vahelduvvool, raadiotehnika ja kvantmehaanika jaoks);
· ehitusülesanded;
· kolmnurkse nurga tasased nurgad;
kompleksfunktsiooni tuletis;
Lihtmurdude teisendamine kümnendkohtadeks.
Ainus lootus on, et senised tuhanded hästi koolitatud õpetajad jätkavad oma kohustuste täitmist ja õpetavad seda kõike ka uutele kooliõpilaste põlvkondadele vaatamata ministeeriumi korraldustele. Terve mõistus on tugevam kui bürokraatlik distsipliin. Peame lihtsalt meeles pidama, et maksaksime oma suurepärastele õpetajatele nende saavutuse eest piisavalt tasu.

Uus obskurantism. Vladimir Igorevitš Arnold Uus obskurantism ja vene valgustus. Siin on näidislahendus

Vladimir Igorevitš Arnold

Uus obskurantism ja vene haridus

Uus obskurantism
ja vene haridus